光学资料：第四章 光栅衍射（习题课）

1、第四章 光栅衍射（习题课）例1：绿光500.0nm正入射在光栅常数为 ，宽度为3cm的光栅上，聚光镜的焦距为50cm，（1）求第1级光谱的线色散；（2）求第1级光谱中能分辨的最小波长差；（3）该光栅最多能看到第几级光谱？ 1.由光栅线色分辨本领公式解： 光栅一级光谱5000 附近线色散为：2.光栅一级光谱在5000 邻近可分辨的最小波长差3. 得最多可分别看到 级光谱。例2： 根据以下数据比较光栅、棱镜、法-珀干涉仪三者的分光性能：（1）分辨本领；（2）色散本领；（3）自由光谱范围。光谱宽度D=5cm；刻线密度1/d=600条/mm；棱镜底边b=5cm；顶角=60；折射率n=1.51；色散率d

2、n/d=0.610-4/nm；法-珀腔长h=5cm；反射率R=0.99。解：（1）光栅一级光谱色分辨率本领为棱镜色分辨本领为F-P腔色分辨本领（取 ， ， ）（2）光栅一级光谱在5000 邻近角色散本领 棱镜角色散 F-P角色散（取 ， ） ， （3）光栅可测最大波长由 限制光栅一级光谱上限 与二级光谱下限 满足一级光谱自由光谱范围若取光谱范围光谱范围 F-P：中心波长 的 级与波长（ ）的（ ）级 重叠条件为 自由光谱范围 F-P长程干涉仪，高分辨本领，量程很窄，适用高分辨光谱技术 棱镜只有一套光谱，无级重叠问题，自由光谱范围不受限制，可提高光谱分析灵敏度（入射光集中在一套谱线上），这是一大

3、优点。 例3 以 和 的两单色光同时垂直射至某光栅。实验发现，除零级外，它们的谱线第三次重叠在 的方向上，求此光栅的光栅常数。【思路分析】 由光栅方程出发结合重叠条件可得光栅常数。由光栅方程，谱线重叠的条件为即 、 均为整数，要满足上式，只有当 时，谱线重叠。因此，第三次重叠时故光栅常数为 此题为光栅光谱重叠的计算问题，求解的关键是明确谱线第三次重叠时所满足的条件。解:【方法要略】例4：一波长为600nm的平行光垂直照射到平面光栅上，它的一级谱线的衍射角为 。求：（5）要在二级光谱中分辨 的光谱，光栅宽度至 少为多大？（6）在上述情况下，为不降低分辨本领，线光源的最大宽度为 多少（若光源的准直

4、物镜的焦距为25cm）？（4）二级光谱的线色散。 （设在光栅后放一焦距为50cm的透镜）（3）二级光谱的角色散。（2）最多能看到第几级光谱？（1）光栅常数。 由已知条件，应用光栅方程式可求得光栅常数。令衍射角 时，即可求出可看到的最高光谱级次。角色散、线色散可直接应用公式而求得。应用光栅分辨率公式可求出周期单元数和光栅宽度。对光栅的实际分辨本领要有所了解。【思路分析】解:由光栅方程式 得(1)已知（取整数部分） 即最多能看到第二级光谱。（3）由光栅方程式对光栅方程两边取微分，可得角色散 （2）由光栅方程式 , 当 时， 最大，故（5）光栅的分辨本领为 即 （4）设二级谱线到屏幕中央的距离为 。

5、则 取微分即可得到线色散 （6）已知准直物镜的焦距 ，设光源宽度为W，光栅的实际分辨本领为 式中， 为光栅的理想分辨本领，为不降低分辨本领，则上式中，令 ，可得到最大宽度 此题为光栅衍射的综合性试题，考核概念范围广，深度、难度大。求解此题关键是光栅衍射概念清晰，公式理解透彻，熟练掌握并能运用光栅方程式、分辨率、角色散、线色散等基本公式。在衍射角较小时，线色散可用公式 计算；在衍射角较大时，线色散用 计算更加精确。另一方面，要了解 光栅的实际分辨本领与光源宽度及其他参数以及理想分辨本领之间的关系。【方法要略】例5如图所示，利用超声波在液体中形成 驻波时产生的一定间隔的疏部和密部，就相当于一个平面

6、光栅，同样可以产生光的衍射现象。当光源波长为 ，超声频率为 时 ，在距离透镜 为 的屏幕 上测得相邻两级衍射条纹间的距离为 。试证明：（1）超声波在液体中的传播速率为 （2）当 和 不变时，使超声波在同一液体的 频率由 变为 ，测得相邻两级衍射条纹间距离为 ，这时超声波的频率解（1）驻波的半波长相当于光栅常数d。设超声波的波长为 ，则 。由光栅方程式 不难导出当 很小时衍射条纹的间距为故 因此，超声波在液体中的传播速度 超声波形成驻波时，波腹处的液体密度变化，光容易透过，相当于光栅的透光部分，波节处的液体密度变化大，光不容易透过，相当于光栅的不透光部分，驻波相邻波腹间的距离则等效于光栅常数，由

7、此可证之。【思路分析】在同一液体中，超声波的速度不变，故【方法要略】 此题为光栅方程的应用。本题的光栅是利用超声波在液体中形成驻波时产生的一定间隔的疏部和密部对应光栅的透光和不透光部分。【知识扩展】 本题提供了一种测量超声波在液体中传播速率的方法。 （2）设超声波的频率变为 时，其波长变为 ，则（1）式变为 例6有一每厘米有2000条狭缝的衍射光栅，缝宽为 以波长为500nm的单色光垂直入射，问（2）最多能看到多少级主极大明纹？（1）最多能看到第几级主极大明纹？（3）最多能看到多少条主极大明纹？（4）若单色入射光与缝面法线成角入射，重新计算（1）、（2）、（3）。 【思路分析】 由题意可知光栅

8、常数d，波长已知。应用垂直入射与斜入射时的光栅方程式，当衍射角等于最高级次，考虑缺级现象，即可得出可看到的明纹数目。时可得到明纹解 （1）由光栅公式有 其中所以 因此有。所以缺级的k值为：2,4,6,8；最多能看到6级条纹：（3）最多能看到条明纹。（4）应用斜入射时光栅方程式设入射光线与衍射光线在法线异侧， 因此有第5级位于处，看不见。设入射光线与衍射光线在法线同侧由于斜入射，相对于屏幕中心位置，两边条纹并不对称，所以还需计算另一侧的 值。因此有第15级位于处，看不见。由缺级条件，有所以能看到的级数为下列各级： 最多能看到的明纹条数为【方法要略】光栅方程式是求解光栅衍射问题的基本公式。在应用斜

9、入射光栅方程式时，应注意入射光线与衍射光线在法线同侧和异侧两种情况，此时法线两侧衍射条纹不对称。另外要求可观察到的明纹最高级次和可看到的最多明纹数目时，只要令衍射角等于 虑到缺级即可方便求解。 例7波长600nm的单色光垂直入射在一光栅上。第二级、第三级明纹分别出现在 、 处，第四级缺级。试问：（1）光栅上相邻两缝的间距有多大？ （2）光栅上狭缝可能的最小宽度有多大？ （3）按上述选定的a、b值，试举出光屏上实际呈现的 全部级数。【思路分析】 解 （1）设狭缝宽度为a，相邻两缝间不透光部分宽度为b，光栅常数d=b+a，根据题意，由光栅方程式 由光栅方程及缺级公式可解出相邻两缝的间距、观察到的条

10、纹最高级次，考虑缺级，即可得到光屏上实际呈现条纹的全部级数。狭缝可能的最小宽度。取衍射角等于 即可得出光栅所能得（2）由于第四级衍射条纹缺级，即第四级干涉明纹在单缝衍射暗条纹上，由光栅方程式与缺级公式解得 取 ，得光栅上狭缝的最小宽度 ，则 （3）由光栅方程，当 时，可求得条纹最高级次，即 由缺级公式所以缺级的k值为：4，8；所以光屏上实际呈现得全部级数：【方法要略】 熟练掌握光栅方程式和缺级公式是求解此类试题的关键。第二、三级明纹分别出现在 、 处，由此推得第4级明纹应出现在 处，但由于第4级缺级，故可知衍射角 既满足多缝干涉明纹第4级条件，又满足单缝衍射第一级暗纹条件，这点从题中缺级公式即

11、可看出。实际上从题意分析即可知k =4为开始缺级，故k =4、8、12等均缺级。 例8 设计一平面透射光栅，当用白光垂直照射时，能在 衍射方向上观察到的 第二级干涉主极大，并能在该处分辨 的两条光谱线。但在此 方向上却测不到 的第三级主极大。试求光栅常数d与总缝数N，光栅的缝宽a和缝距b及光栅总宽度各是多少？ （1） 由光栅的（色）分辨本领 ,有（2） 解 令 ， ；衍射角 ,由题中已知条件得 【思路分析】 由光栅方程出发可得光栅常数d，由光栅分辨本领可求出光栅单元总数，进而可求得光栅总宽度。在衍射角 方向上测不到 的第三级主极大，即 波长第三级缺级，应用缺级公式即可求得a。由于 在方向上 缺级，故有（3） 由式（1）得由式（3）得由 d=a+b 得 由式（2）得 此题求解参数较多，但实际上只是求解三个参数 其他所求量均可由此三个参数而得出。题中已知条件三句话中，每一句话均可列出一个方程求出一个参数。在衍射方向 上可观察到600nm第二级干涉主