中国民航大学电路分析基础

1、第第2 2章章 网孔分析和节点分析网孔分析和节点分析 重点：重点：熟练掌握电路方程的列写方法：熟练掌握电路方程的列写方法： 节点电压法节点电压法 网孔网孔( (回路回路) )电流法电流法 Df_Df_cauc000cauc0002. 1 网孔分析网孔分析2. 2 互易定理互易定理2. 4 含运算放大器的电路的分析含运算放大器的电路的分析2. 3 节点分析节点分析2. 5 电路的对偶性电路的对偶性 2. 1 网孔分析网孔分析基本思想：基本思想： 假想每个网孔假想每个网孔(回路回路)中有一个网孔中有一个网孔(回路回路)电流电流。若网孔若网孔(回路回路)电流已求得，各支路电流则可电流已求得，各支路电

2、流则可用各回路电流用各回路电流线性组合线性组合表示。表示。i1i3uS1uS2R1R2R3ba+i2il1il2b=3，n=2。独立回路为独立回路为m=b- -(n- -1)=2。选图示的两个独立回路，回路选图示的两个独立回路，回路电流分别为电流分别为il1、 il2。支路电流。支路电流i1= il1，i2= il2- - il1， i3= il2。 网孔分析是以网孔分析是以网孔电流网孔电流（mesh current）作为第一步求）作为第一步求解的对象，故又称为网孔电流法解的对象，故又称为网孔电流法独立回路的选取：独立回路的选取：可以证明可以证明: 用用KVL只能列出只能列出bn+1个独立回路

3、电压方程。个独立回路电压方程。14352n=8，b=12对对平面电路平面电路，bn+1个网孔即是一组独立回路。个网孔即是一组独立回路。网孔网孔(回路回路)电流在独立回路中闭合，对每个相关节点均电流在独立回路中闭合，对每个相关节点均流进一次，流出一次，所以流进一次，流出一次，所以自动满足自动满足KCL。以回路电流为变。以回路电流为变量列方程来求解电路，量列方程来求解电路，只需只需对独立回路列写对独立回路列写KVL方程。方程。网孔网孔(回路回路)电流法电流法：以网孔以网孔(回路回路)电流为变量列写电路方电流为变量列写电路方 程分析电路的方法。程分析电路的方法。i1i3uS1uS2R1R2R3ba+

4、i2il1il2网孔网孔(回路回路)电流法的独立方程数为电流法的独立方程数为b- -(n- -1)。与支路电。与支路电流法相比，流法相比，方程数可减少方程数可减少n- -1个个。KVL1：R1 il1+ +R2(il1- - il2)-uS1+uS2=0KVL2：R2(il2- - il1)+ R3 il2 - -uS2=0整理得，整理得，(R1+ R2) il1- -R2il2=uS1- -uS2- - R2il1+ (R2 +R3) il2 =uS2电压与回路绕行方向电压与回路绕行方向一致一致时取时取“+”；否则取；否则取“- -”。R11=R1+R2 回路回路1的自电阻的自电阻,等等于回

5、路于回路1中所有电阻之和。中所有电阻之和。R22=R2+R3 回路回路2的自电阻的自电阻,等于回路等于回路2中所有电阻之和。中所有电阻之和。R12= R21= R2 回路回路1、回路、回路2之间的互电阻。之间的互电阻。当两个回路电流流过相关支路方向当两个回路电流流过相关支路方向相同相同时，互电阻取时，互电阻取正正号；号；否则为负号。否则为负号。ul1= uS1- -uS2 回路回路1中所有电压源电压的代数和。中所有电压源电压的代数和。ul2= uS2 回路回路2中所有电压源电压的代数和。中所有电压源电压的代数和。当电压源电压方向与该回路方向一致时，取负号；反之取正号。当电压源电压方向与该回路方

6、向一致时，取负号；反之取正号。i1i3uS1uS2R1R2R3ba+i2il1il2自电阻总为正自电阻总为正R11il1+ +R12il2=uSl1R12il1+ +R22il2=uSl2由此得标准形式的方程：由此得标准形式的方程：一般情况，对于具有一般情况，对于具有 m=b- -(n- -1) 个网孔的电路，有个网孔的电路，有其中其中Rjk:互电阻互电阻+ : 流过互阻两个回路电流方向相同流过互阻两个回路电流方向相同- - : 流过互阻两个回路电流方向相反流过互阻两个回路电流方向相反0 : 无关无关特例：不含受控源的线性网络特例：不含受控源的线性网络 Rjk=Rkj , 系数矩阵为对称阵。系

7、数矩阵为对称阵。R11il1+R12il1+ +R1l ill=uSl1 R21il1+R22il1+ +R2l ill=uSl2Rl1il1+Rl2il1+ +Rll ill=uSllRkk:自电阻自电阻(为正为正) ，k=1,2,l ( 绕行方向取参考方向绕行方向取参考方向)。网孔网孔(回路回路) 法的一般步骤：法的一般步骤：(1) 选定选定m=b- -(n- -1)个独立回路，确定其绕行方向；个独立回路，确定其绕行方向；(2) 对对m个独立回路，以回路电流为变量，列写个独立回路，以回路电流为变量，列写其其KVL方程；方程；(3) 求解上述方程，得到求解上述方程，得到m个回路电流；个回路电

8、流；(5) 求解其它参数。求解其它参数。(4) 求各支路电流求各支路电流(用回路电流表示用回路电流表示)；网孔电流法网孔电流法：对平面电路，若以：对平面电路，若以网孔网孔为独立回路，此为独立回路，此时回路电流也称为时回路电流也称为网孔电流网孔电流，对应的分，对应的分析方法称为网孔电流法。析方法称为网孔电流法。例例1.用回路法求各支路电流。用回路法求各支路电流。解：解：(1) 设独立回路电流设独立回路电流(顺时针顺时针)(2) 列列 KVL 方程方程(R1+R2)Ia - -R2Ib = US1- - US2 对称阵，且对称阵，且互电阻为负互电阻为负(3) 求解回路电流方程，得求解回路电流方程，

9、得 Ia , Ib , Ic(4) 求各支路电流：求各支路电流： I1=Ia , I2=Ib- -Ia , I3=Ic- -Ib , I4=- -Ic(5) 校核：校核：选一新回路。选一新回路。IaIcIb - -R2Ia + (R2+R3)Ib - - R3Ic = US2 - -R3Ib + (R3+R4)Ic = - -US4+_US2+_US1I1I2I3R1R2R3+_ US4R4I4 将看将看VCVSVCVS作独立源建立方程；作独立源建立方程； 找出控制量和回路电流关系。找出控制量和回路电流关系。校核校核: :4Ia- -3Ib=2- -3Ia+6Ib- -Ic=- -3U2- -

10、Ib+3Ic=3U2 4Ia- -3Ib=2- -12Ia+15Ib- -Ic=09Ia- -10Ib+3Ic=0U2=3(Ib- -Ia)Ia=1.19AIb=0.92AIc=- -0.51A1 I1+2I3+2I5=2V( UR 降降= E升升 )例例2.用回路法求含有受控电压源电路的各支路电流。用回路法求含有受控电压源电路的各支路电流。解解：将代入，得将代入，得各支路电流为：各支路电流为：I1= Ia=1.19A, I2= Ia- - Ib=0.27A, I3= Ib=0.92A,I4= Ib- - Ic=1.43A, I5= Ic=0.52A.解得解得* 由于含受控源，方程的系数矩阵一

11、般由于含受控源，方程的系数矩阵一般不对称不对称。+_2V 3 U2+3U21 2 1 2 I1I2I3I4I5IaIbIc例例3. 列写含有理想电流源支路的电路的回路电流方程。列写含有理想电流源支路的电路的回路电流方程。引入电流源引入电流源电压电压为变量，增加回路电流和电流源电流的关系方程。为变量，增加回路电流和电流源电流的关系方程。(R1+R2)I1- -R2I2=US1+US2+Ui- -R2I1+(R2+R4+R5)I2- -R4I3=- -US2- -R4I2+(R3+R4)I3=- -UiIS=I1- -I3I1I2I3_+_US1US2R1R2R5R3R4IS_+Ui+2. 2 互

12、易定理互易定理 (Reciprocity Theorem)第一种形式第一种形式:激励激励电压源，响应电压源，响应电流电流图图a电路中，只有电路中，只有j支路中有电压源支路中有电压源uj，其在其在k支路中产生支路中产生的电流为的电流为 ikj 。 图图b电路中，只有电路中，只有k支路中有电压源支路中有电压源uk，其在其在j支路中产生支路中产生的电流为的电流为 ijk 。当当 uk = uj 时，时，ikj = ijk 。ikj线性线性电阻电阻网络网络 N+ujabcd(a)j支路支路k支路支路cd线性线性电阻电阻网络网络 Nijk+ukab(b)j支路支路k支路支路+u+u线性电线性电阻网络阻网

13、络 Nabc(a)j支路支路k支路支路diA线性电线性电阻网络阻网络 Nabc(b)j支路支路k支路支路diA证明证明 选定回路电流，使支路选定回路电流，使支路j和支路和支路k都只有一个都只有一个回路电流回路电流流过，且取回路电流的方向和电压流过，且取回路电流的方向和电压升高升高的的方向方向一致。一致。ikj线性线性电阻电阻网络网络 N+ujabcd(a)cd线性线性电阻电阻网络网络 Nijk+ukab(b)IjIkIjIk列方程列方程0111212111llkkjjIRIRIRIRIR0222222121llkkjjIRIRIRIRIR000111111111111lllklkjljllkl

14、kkkjkjkjljlkjkjjjjllkkjjIRIRIRIRIRIRIRIRuIRIRIRIRIRIRIRIRjjkkjkuIIj行行j列列k列列jjjjjjuII图图a000ku图图b图图a图图bkkjjkjuIIk行行kkkkkkuIIjjkkjkuIIjjjjjjuII图图a图图bkkjjkjuIIkkkkkkuII无受控源无受控源，系数矩阵对称，系数矩阵对称kjjk当当 uk = uj 时，时，ikj = ijk000111111111111 lllklkjljllklkkkjkjkjljlkjkjjjjllkkjjIRIZIRIRIRIRIRIRuIRIRIRIRIRIRIRIR

15、当当含有受控源含有受控源时，系数矩阵不对称时，系数矩阵不对称kjjk互易定理不成立互易定理不成立。互易定理成立。互易定理成立。名词介绍名词介绍jjjjjjjjuIuIjkjkjjkkuIuI线性线性电阻电阻网络网络 N+ujIjIk入端电导入端电导Gjj转移电导转移电导Gkjukjij+jjkk(a)ik+ujkjjkk(b)第二种形式第二种形式:激励激励电流源，响应电流源，响应电压电压当当 ik = ij 时，时，ukj = ujk 课后思考课后思考求电流求电流I 。解解利用互易定理利用互易定理I2 = 0.5 I1=0.5A I= I1- -I3 = 0.75AA14/)32/2(8101

16、I例例1I2 4 2 8 +10V3 I2 4 2 8 +10V3 I1I2I3I3 = 0.5 I2=0.25A 回路法，节点法，戴维南回路法，节点法，戴维南例例2R+_2V2 0.25A已知如图已知如图 , 求：求：I1R+_10V2 I1解解R+_2V2 0.25A互易互易齐次性齐次性注意方向注意方向AI25. 1)25. 0(2101(1) 适用于线性网络适用于线性网络只有一个电源只有一个电源时，电源支路和另一支路时，电源支路和另一支路间电压、电流的关系。间电压、电流的关系。(2) 激励为电压源时，响应为电流激励为电压源时，响应为电流激励为电流源时，响应为电压激励为电流源时，响应为电压

17、电压与电流互易电压与电流互易。(3) 电压源激励，互易时原电压源处电压源激励，互易时原电压源处短路短路，电压源串入另一，电压源串入另一支路；支路； 电流源激励，互易时原电流源处电流源激励，互易时原电流源处开路开路，电流源并入另一，电流源并入另一支路的两个节点间。支路的两个节点间。(4) 互易时要注意电压、电流的互易时要注意电压、电流的方向方向。(5) 含有含有受控源受控源的网络，互易定理一般的网络，互易定理一般不成立不成立。应用互易定理时应注意：应用互易定理时应注意：2. 3 节点电压法节点电压法 (node voltage method)能否假定一组变量，使之自动满足能否假定一组变量，使之自

18、动满足 KVL，从而就不必，从而就不必列写列写KVL方程，减少联立方程的个数？方程，减少联立方程的个数？基本思想基本思想 (思考思考)：KVL恰说明了电位的单值性。如果选恰说明了电位的单值性。如果选节点电压节点电压为未知为未知量，则量，则KVL自动满足，就无需列写自动满足，就无需列写KVL 方程。当以节点电方程。当以节点电压为未知量列电路方程、求出节点电压后，便可方便地得压为未知量列电路方程、求出节点电压后，便可方便地得到各支路电压、电流。到各支路电压、电流。任意选择任意选择参考点参考点，其它节点与参考点的电压差即是节，其它节点与参考点的电压差即是节点电压点电压(位位)，方向为从独立节点指向参

19、考节点。，方向为从独立节点指向参考节点。(uA- -uB)+ ( uB 0) + (0 - -uA) =0KVL自动满足（自动满足（独立性独立性）uA- -uBuAuB节点电压法节点电压法：以以节点电压节点电压为未知量列写电路方程分析电路为未知量列写电路方程分析电路的方法。的方法。可见，节点电压法的独立方程数为可见，节点电压法的独立方程数为(n- -1)个。与支路个。与支路电流法相比，电流法相比，方程数可减少方程数可减少b- -( n- -1)个个。完备性：完备性：任意支路电压，可由节相关点电压差表示。任意支路电压，可由节相关点电压差表示。uAo = uA - - 0 uBo=uB - - 0

20、 uAB= uA - - uB uo举例说明：举例说明： (2) 列列KCL方程：方程： iR出出= iS入入i1+i2+i3+i4=iS1- -iS2+iS3- -i3- -i4+i5=- -iS3un1un2012(1) 选定参考节点，标明其余选定参考节点，标明其余n-1个独立节点的电压个独立节点的电压代入支路特性：代入支路特性：S3S2S14n2n13n2n12n21n1iiiRuuRuuRuRu S35n24n2n13n2n1iRuRuuRuu iS1iS2iS3R1i1i2i3i4i5R2R5R3R4- -整理，得整理，得S3S2S1n243n14321)11( )1111(iiiu

21、RRuRRRR S32n543n143 )111()11(iuRRRuRR 令令 Gk=1/Rk，k=1, 2, 3, 4, 5上式简记为上式简记为G11un1+G12un2 = iSn1G21un1+G22un2 = iSn2标准形式的节点电压方程。标准形式的节点电压方程。其中其中G11=G1+G2+G3+G4节点节点1的自电导，等于接在节点的自电导，等于接在节点1上上所有支路的电导之和。所有支路的电导之和。G22=G3+G4+G5 节点节点2的自电导，等于接在节点的自电导，等于接在节点2上所上所有支路的电导之和。有支路的电导之和。G12= G21 =-(-(G3+G4)节点节点1与节点与节

22、点2之间的互电导，等之间的互电导，等于接在节点于接在节点1与节点与节点2之间的所有之间的所有支路的电导之和，并冠以负号。支路的电导之和，并冠以负号。iSn1=iS1- -iS2+iS3流入节点流入节点1的电流源电流的代数和。的电流源电流的代数和。iSn2=- -iS3 流入节点流入节点2的电流源电流的代数和。的电流源电流的代数和。* 自自电导总为电导总为正正，互互电导总为电导总为负负。* 电流源支路电导为电流源支路电导为零零。* 流入节点取正号，流出取负号。流入节点取正号，流出取负号。由节点电压方程求得各节点电压后即可求得个支路电由节点电压方程求得各节点电压后即可求得个支路电压，各支路电流即可

23、用节点电压表示：压，各支路电流即可用节点电压表示：un1un2iS1iS2iS3R1i1i2i3i4i5R2R5R3R40121n11Rui 2n22Rui 3n2n13Ruui n1n244uuiR5n25Rui un1un2uS1iS2iS3R1i1i2i3i4i5R2R5R3R4012+- -*若电路中含电压源若电路中含电压源与电阻串联的支路：与电阻串联的支路：S35n24n2n13n2n1iRuRuuRuu 整理，并记整理，并记Gk=1/Rk，得，得(G1+G2+G3+G4)un1- -(G3+G4) un2 = G1 uS1 - -iS2+iS3- -(G3+G4) un1 + (G

24、1+G2+G3+G4)un2= - -iS3等效电流源等效电流源- - - -uS1n1S1n1n1n2n1n2S2S31234uuuuuuuiiRRRR 一般情况：一般情况：G11un1+G12un2+G1,n- -1un,n- -1=iSn1G21un1+G22un2+G2,n-1un,n-1=iSn2 Gn- -1,1un1+Gn- -1,2un2+Gn-1,nun,n- -1=iSn,n- -1其中其中Gii 自电导，自电导，等于接在节点等于接在节点i上所有支路的电导之上所有支路的电导之和和(包括电压源与电阻串联支路包括电压源与电阻串联支路)。总为总为正正。 * 当电路含受控源时，系数

25、矩阵一般不再为对称当电路含受控源时，系数矩阵一般不再为对称阵。且有些结论也将不再成立。阵。且有些结论也将不再成立。iSni 流入节点流入节点i的所有电流源电流的代数和的所有电流源电流的代数和(包括包括由由电压源与电阻串联支路等效的电流源电压源与电阻串联支路等效的电流源)。Gij = Gji互电导，互电导，等于接在节点等于接在节点i与节点与节点j之间的所之间的所支路的电导之和，并冠以支路的电导之和，并冠以负负号。号。节点法的一般步骤：节点法的一般步骤：(1) 选定参考节点，标定选定参考节点，标定n- -1个独立节点；个独立节点；(2) 对对n- -1个独立节点，以节点电压为未知量，个独立节点，以

26、节点电压为未知量，列写其列写其KCL方程；方程；(3) 求解上述方程，得到求解上述方程，得到n- -1个节点电压；个节点电压；(5) 其它分析。其它分析。(4) 求各支路电流求各支路电流(用用节点电压节点电压表示表示)；(1) 先先把受控源当作独立源看列方程；把受控源当作独立源看列方程；(2) 用节点电压表示控制量。用节点电压表示控制量。例例1. 列写下图含列写下图含VCCS电路的节点电压方程。电路的节点电压方程。 uR2= un1iS1R1R3R2gmuR2+ uR2_12S12n11n2n1iRuRuu 2n2n1n21m13sRuuuig uRR 解解：- -支路法、回路法（网孔法）和节

27、点法支路法、回路法（网孔法）和节点法支路法支路法回路法回路法节点法节点法KCL方程方程KVL方程方程n- -1b- -(n- -1)00n- -1方程总数方程总数b- -(n- -1)n- -1b- -(n- -1)b方程数的比较方程数的比较2. 4 含运算放大器的电阻电路含运算放大器的电阻电路一一. . 运算放大器运算放大器(operational amplifier)是一种有着十分广泛用途的电子器件。最早开始应是一种有着十分广泛用途的电子器件。最早开始应用于用于1940年，主要用于模拟计算机，可模拟加、减、积年，主要用于模拟计算机，可模拟加、减、积分等运算，对电路进行模拟分析。分等运算，对

28、电路进行模拟分析。1960年后，随着集成年后，随着集成电路技术的发展，运算放大器逐步电路技术的发展，运算放大器逐步集成化集成化，大大降低了，大大降低了成本，获得了越来越广泛的应用。成本，获得了越来越广泛的应用。运算放大器是高放大倍数的直接耦合的放大器运算放大器是高放大倍数的直接耦合的放大器(一一般内部由般内部由20个左右的晶体管组成个左右的晶体管组成)，可用来放大直流和，可用来放大直流和频率不太高的交流信号。频率不太高的交流信号。1. 电路符号电路符号a： 反向输入端，输入电压反向输入端，输入电压 u-b：同向同向输入端，输入电压输入端，输入电压 u+o： 输出端输出端, 输出电压输出电压 u

29、o+U,-U:实际运放均有直流电源端，实际运放均有直流电源端，在电路符号图中一般在电路符号图中一般不画出不画出，而，而只有只有a,b,o三端和接地端。三端和接地端。(其中参考方向如图所示，每一其中参考方向如图所示，每一点均为点均为对地对地的电压的电压 ，在接地端未，在接地端未画出时尤须注意。画出时尤须注意。)A：开环电压放大倍数，开环电压放大倍数，可达十几万倍可达十几万倍aob: 公共端公共端(接地端接地端)-U+Uuu+ uouo =A(u+- -u- -)=Aud2. 电路模型电路模型Ri ：运算放大器两输入端间的输入电阻。运算放大器两输入端间的输入电阻。Ro：运算放大器的输出电阻。运算放

30、大器的输出电阻。 +_A(u+- -u- -)RoRiu+u- -U+Uuu+ uo在线性放大区，将运放电路作如下的在线性放大区，将运放电路作如下的理想化理想化处理：处理： A uo为有限值为有限值 ，则则ud=0 ,即即u+ +=u- -，两个输入端，两个输入端之间相当于短路之间相当于短路(虚短路虚短路)； Ri 、RO0, i+=0 , i- -=0。 即从输入端看进即从输入端看进去，元件相当于开路去，元件相当于开路(虚开路虚开路)。3. 理想运算放大器特点理想运算放大器特点二二. .含运算放大器电路的分析含运算放大器电路的分析例例1. 同相比例器同相比例器iiou)RR(uRRRu212

31、211 “虚断虚断”： u+ = uii+ +_+ +RiuiR1R2u+u- -i- -+_uo+_0212uRRRu “虚短虚短”： u- - = u+ = ui例例2. 加法器加法器ui1/R1+ ui2 /R2+ ui3 /R3 =- -uo /Rfuo= - -(Rf /R1 ui1 +Rf /R2 ui2+Rf /R3 ui3)u- -= u+=0i- -=0二二. .含运算放大器电路的分析含运算放大器电路的分析+_uo_+R2Rfi- -u+u- -R1R3ui1ui2ui34. 电压跟随器电压跟随器特点：特点： 输入阻抗无穷大输入阻抗无穷大(虚断虚断)； 输出阻抗为零；输出阻抗

32、为零；应用：在电路中起隔离前后两级电路的作用。应用：在电路中起隔离前后两级电路的作用。 uo= ui。_+_uo+_ui例例312122uRRRu 12122uRRRu 可见，加入跟随器后，隔离了前后两级电路的相互影响。可见，加入跟随器后，隔离了前后两级电路的相互影响。R2RLR1+_u2+_u1+_uiR1R2RL+_u2uu+ uo+_+ +_uiR6+_uo_+ +R3R1R2R5R4例例4 设设R5=R6，试求试求u0 /ui 。u0解：解：“虚断虚断”，列结点，列结点 和结点和结点的结点电压方程视的结点电压方程视 为电为电源源u0040611641111111uRuRuRu)RRR(in 030522532111111uRuRuRu)RRR(in “虚短虚短”，un1=un2=0011104061 uRuRuRi011103052 uRuRuRi4