曲线的凹凸与拐点

1、开课人：彭良 开课时间：2009年4月 前面我们介绍了函数的单调性和极值，这对于了解函数的性态很有前面我们介绍了函数的单调性和极值，这对于了解函数的性态很有帮助，但仅知道单调性还不能比较全面地反映出曲线的性状，还须要考帮助，但仅知道单调性还不能比较全面地反映出曲线的性状，还须要考虑弯曲方向。虑弯曲方向。oyxL3L2L1AB 如右图所示如右图所示L1 ，L2 ，L3 虽然都是虽然都是从从A点单调上升到点单调上升到B点，但它们的弯曲点，但它们的弯曲方向却不一样。方向却不一样。 L1 是是“凸凸”弧，弧，L2是是“凹凹”弧弧 ，L3既有既有凸弧凸弧，也有凹弧，这和我们日常习惯对凹凸，也有凹弧，这和

2、我们日常习惯对凹凸的称呼是一致的。的称呼是一致的。一、曲线凹凸的定义一、曲线凹凸的定义问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?xyoxyo1x2x)(xfy 图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方xyo)(xfy 1x2x图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的下方于所张弦的下方ABC二、曲线凹凸的判定二、曲线凹凸的判定xyo)(xfy xyo)(xfy abAB递增递增)(xf abBA0 y递减递减)(xf 0 y定理定理1 1.如如 果果 f f ( ( x x ) ) 在在 a a , ,b b 上上 连连 续续 , ,在在 ( ( a a ,

3、,b b ) )内内 具具 有有二二 阶阶 导导 数数, ,若若 在在 ( ( a a , ,b b ) )内内( ( 1 1 ) ) f f ( ( x x ) ) 0 0 , ,则则 f f ( ( x x ) ) 在在 a a , ,b b 上上 的的 图图 形形 是是 凹凹 的的 ; ;( ( 2 2 ) ) f f ( ( x x ) ) 0 0 时时，,0 y.点点( (0 0, ,0 0) )是是曲曲线线由由凸凸变变凹凹的的分分界界点点为为凹凹的的；在在曲曲线线),0 注意到注意到,三、曲线的拐点及其求法三、曲线的拐点及其求法1.1.定义定义注意注意: :拐点处的切线必在拐点处穿

4、过曲线拐点处的切线必在拐点处穿过曲线. .连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点.确定曲线的拐点的步骤： (1)确定函数yf(x)的定义域； (2)求出在函数二阶导数f (x)； (3)求使二阶导数为零的实根 (4)列表判断，对于解出的每一个实根x0，考察f (x) 在x0左右近旁的符号：如果f (x)的符号相反，那么点（x0,f(x0)）就是拐点；如果f (x)的符号相同，那么点（x0,f(x0)）就不是拐点。例例2 24 43 3求求 曲曲 线线 y y = = 3 3 x x- - 4 4 x x+ + 1 1 的的 拐拐 点点 及及凹凹 、 凸凸 的的 区区 间间 . .解解),(:D,

5、121223xxy ).32(36 xxy令令 y y = = 0 0, ,.32, 021 xx得得x)0 ,( ),32( )32,0(032)( xf )( xf 00凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点拐点拐点)1 , 0()2711,32().,32,32,0,0,( 凹凹凸凸区区间间为为v例3：判断曲线 是否有拐点？v 解（1）已知函数的定义域为R.v （2） v （3）令y=0，解得x=0.5v （4）当x0和x0，因此点v （0.5，1）不是曲线v 的拐点。v 整个曲线在R上都是凹的，所以他没有拐点。23) 12(48.) 12(8xyxy1) 12(4xy1) 12(4xy练习的凹凸区间和拐点。233xxyv求曲线思考题思考题设设)( xf在在),(ba内内 二二 阶阶可可 导导， 且且0)(0 xf，其其 中中),(0bax ， 则则,(0 x)(0 xf是是 否否 一一定定 为为曲曲 线线)( xf的的 拐拐 点点？ 举举例例 说说明明 .思考题解答思考题解答故故,(0 x)(0 xf不不 一一 定定 是是 拐拐 点点 .例例4)(xxf ),( x0)0( f但但)0,0(并并 不不是是 曲曲线线)( xf的的 拐拐 点点 .四、小结四、小结1、曲线的弯曲方向、曲线的弯曲方向凹凸性