2011届数学高考复习全套精品课件：第04单元第4节 定积分与微积分基本定理

1、第四单元 导数及其应用知识体系2021届高考迎考复习更多资源请点击： :/高中教学网第四节 定积分与微积分根本定理根底梳理1. 定积分的概念1定积分的定义和相关概念一般地，设函数f(x)在区间a,b上有定义，将区间a,b等分成n个小区间，每个小区间长度为xx= ，在每个小区间上取一点，依次为x1,x2,xi,xn.作和Sn=f(x1)x+f(x2)x+f(xi)x+f(xn)x,如果x无限趋近于0即n趋向于+时，Sn无限趋近于常数S,那么称该常数S为函数f(x)在区间a,b上的定积分，记为S= .在 f(x)dx中， 分别叫做积分下限与积分上限，区间 叫做积分区间.2定积分的几何意义假设f(x

2、)在区间a,b上连续且恒有f(x)0，那么定积分baf(x)dx表示由直线x=a,x=b(ab),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积. f(x)dxa,ba,b2. 微积分根本定理对于被积函数f(x),如果F(x)=f(x)，那么 f(x)dx= ,这个结论叫做微积分根本定理,又叫做牛顿莱布尼茨公式.为了方便，常把Fb-F(a)记成 ,即 f(x)dx=F(x)|=F(b)-F(a). F(x)F(b)-F(a) F(x)典例分析题型一 求定积分【例1】求以下定积分.1 ( +2x+1)dx; (sin x-cos x)dx;(3) dx.分析 根据求导数与求原函数互为逆运算，找到

3、被积函数的原函数，利用微积分根本公式求值.解 1 .(2) (3)学后反思 (1)求函数f(x)在某个区间上的定积分，关键是求函数f(x)的一个原函数，正确运用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系.2求复杂函数的定积分要依据定积分的性质.有限个函数代数和的积分，等于各个函数积分的代数和，即 f1(x)f2(x)fn(x)dx= f1(x)dx f2(x)dx fn(x)dx.常数因子提到积分符号外边，即 kf(x)dx=k f(x)dx.当积分上限、下限交换时，积分值一定要反号，即 f(x)dx=- f(x)dx.积分的可加性，假设ca,b，那么有 f(x)dx= f(x)dx+ f(x)d

4、x.举一反三1. 求以下定积分.1 x(x+1)dx; (2) dx.解析:(1)原式= ( +x)dx= dx+ xdx= .(2)原式=题型二 求分段函数的定积分 【例2】求定积分 |3-2x|dx.分析 利用定积分的可加性通过讨论x的取值范围去掉绝对值符号，再求函数的定积分 解 |3-2x|dx= |3-2x|dx+ |3-2x|dx= (3-2x)dx+ (2x-3)dx=(3x- )| +( -3x)| = .学后反思 如果被积函数是绝对值函数，可以利用定积分性质 f(x)dx= f(x)dx+ f(x)dx，根据函数的定义域，将积分区间分成假设干局部，代入相应解析式，分别求出积分值

5、，相加即可.举一反三2. 求以下定积分.(1)假设f(x)= (x0) cos x-1(x0),求 f(x)dx;(2) | -4|dx.解析：(1) f(x)dx= dx+ (cos x-1)dx= | +sin x| -x| = +1- = - .(2) | -4|dx= (4- )dx+ ( -4)dx=4x- | + -4x| = .题型三 定积分的几何意义【例3】利用定积分的性质和定义表示以下曲线围成的平面区域的面积.(1)y=0,y= ,x=2;(2)y=x-2,x= .分析 先将区域面积表示成假设干个定积分的和或差，再运用牛顿莱布尼兹公式计算.解 1曲线所围成的区域如图1所示.设

6、此面积为S,那么S= ( -0)dx= dx= = .2方法一:曲线所围成的平面区域如图2所示.S=S1+S2,S1由y= ,y=- ,x=1围成；S2由y= ,y=x-2,x=1和x=4围成.S1= -(- )dx= 2 dx,S2= -(x-2)dx= ( -x+2)dx,S= 2 dx+ ( -x+2)dx=2 dx+ dx- xdx+ 2dx= .方法二：S= (y+2- )dy= .学后反思 用定积分计算平面区域的面积，首先要确定曲线所围成的区域，由区域的形状选择积分函数，再确定积分上、下限，当计算公式S= |f(x)-g(x)|dx中的f(x)或g(x)是分段函数时，面积要分块计算

7、,或换积分变量，这样就不用分块计算求和.举一反三3. 求正弦函数y=sin x与直线x= ，直线x= 及x轴所围成图形的面积.解析： 围成图形如下图.S= 4sin xdx- sin xdx=-cos x +cos x = .题型四 定积分的物理应用【例4】列车以速度为72 km/h行驶，当制动时，列车获得加速度为a=-0.4 m/ ,问:列车应在进站前多少秒的时候，以及离车站多远处开始制动?分析 因列车停在车站时，速度为0,故应先求出速度的表达式，之后令v=0,求出t;再根据v和t应用定积分求出路程.解 72 km/h=72 0003 600 m/s=20 m/s.设列车开始制动到t秒后的速

8、度为v,那么v=v0+ adt=20- 0.4dt=20-0.4t,令v=0,得t=50(s).设该列车由开始制动到停止时所走的路程是s,那么s= vdt= (20-0.4t)dt=500(m),所以列车应在进站前50 s,以及离车站500 m处开始制动.学后反思 作匀变速运动的物体在一段时间间隔内所走过的路程，可以利用该物体运动的速度关于时间的函数在该时间段上的积分来求解.因此要求一个物体在一段时间内的位移，只要求出其运动的速度函数，再利用微积分根本定理求出该时间段上的定积分即可，即物体作变速直线运动的路程s,等于其速度函数v=v(t)v(t)0在时间区间a,b上的定积分 v(t)dt.另外

9、,物体作变速直线运动的速度v等于加速度函数a=a(t)在时间区间a,b上的定积分 a(t)dt.举一反三4. 设力Fx作用在质点M上，使M沿x轴正向从x=1运动到x=10,Fx= +1且和x轴正向相同，求力F(x)对质点M所做的功.解析： 变力Fx= +1使质点M沿x轴正向从x=1运动到x=10所做的功为W= F(x)dx= ( +1)dx= =342.题型五 定积分的综合应用【例5】(14分) 如下图，曲线C1:y= 与曲线C2:y=- +2ax(a1)交于O、A，直线x=t(0t1)与曲线C1、C2分别相交于D、B，连接OD、DA、AB.1写出曲边四边形ABOD阴影局部的面积S与t的函数关

10、系式S=f(t);(2)求函数S=f(t)在区间(0,1上的最大值.分析 (1)曲边四边形分为ABD和曲边三角形ODB，求出A、B、D三点的坐标，可求面积.2可利用导数求最大值.解 1由 y= , y=- +2ax,解得 x=0, x=a, y=0 y= , 2O(0,0),A(a, ).又由得B(t,- +2at),D(t, ),3S= (- +2ax)dx-12t + (- +2at- )(a-t)= +(- +at)(a-t)= . 5S=f(t)= (0t1).(2)f(t)= -2at+ .令f(t)=0,即 -2at+ =0,解得t=(2- )a或t=(2+ )a.0t1,a1,t

11、=(2+ )a应舍去.7假设(2- )a1，即a 时，0t1,f(t)0,f(t)在区间(0,1上单调递增，f(t)的最大值是f(1)= -a+ .9假设(2- )a1,即1a 时，当0t(2- )a时,f(t)0;当(2- )at1时，f(t)0.f(t)在区间(0,(2- )a上单调递增，在区间(2- )a,1上单调递减.f(t)的最大值是f(2- )a)= .12综上所述，f(t)max= -a+ ,a , ,1a .14学后反思 应用导数与积分求面积的最值，其根本思路是：1将面积表示成某个变量的函数，假设阴影局部的边界不同，可分不同情况求解；或换用其他积分变量，不用分块求.2利用求最值

12、的方法求解，在证明两局部的面积相等时,如果用常规方法不易求出，可应用定积分求曲边梯形的面积.举一反三5. 二次函数f(x)=a +bx+c,直线l1:y=- +8t(0t2,t为常数,l2:x=2.假设直线l1,l2与函数f(x)的图象以及l1,y轴与函数f(x)的图象所围成的封闭图形如图阴影所示.1求a,b,c的值；2求阴影面积S关于t的函数S(t)的解析式；3假设g(x)=6ln x+m,问:是否存在实数m，使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有两个不同的交点？假设存在，求出m的值；假设不存在，说明理由.解析： (1)由图形知, c=0, a +b8+c=0, 解得 a=-1,

13、 =16, b=8, c=0, 函数f(x)的解析式为f(x)=- +8x.(2)由 y=- +8t, y=- +8x,得 -8x-t(t-8)=0,x1=t,x2=8-t.0t2,直线l1与f(x)的图象的左交点坐标为(t,- +8t).由定积分的几何意义,知S(t)= (- +8t)-(- +8x)dx+ (-x2+8x)-(-t2+8t)dx= (0t2).(3)令(x)=g(x)-f(x)= -8x+6ln x+m.x0,要使函数f(x)与函数g(x)有且仅有两个不同的交点，那么函数(x)= -8x+6ln x+m的图象与x轴的正半轴有且只有两个不同的交点.(x)=2x-8+ = (x

14、0).当x(0,1)时，(x)0,(x)是增函数；当x(1,3)时，(x)0,(x)是减函数；当x(3,+)时，(x)0,(x)是增函数；当x=1或x=3时，(x)=0.(x)的极大值为(1)=m-7;(x)的极小值为(3)=m+6ln 3-15.又当x无限趋近于零时，(x)0,当x无限大时，(x)0.要说明(x)=0有且仅有两个不同的正根，必须且只需 (1)=0, (3)=0, (3)0 或 (1)0, 即 m-7=0, m+6ln 3-150或 m+6ln 3-15=0, m-70, m=7或m=15-6ln 3.当m=7或m=15-6ln 3时，函数f(x)与g(x)的图象有且只有两个不

15、同的交点. 易错警示【例】求函数y=cos x与直线x=0,x= 及x轴所围成图形的面积.错解 S= cos xdx=sin x =sin -sin 0= .错解分析 求四条曲线所围成图形的面积，要数形结合，画出图形来分段求面积，特别当f(x)0时，围成的面积应是积分值的相反数.正解 如图,S= cos xdx- cos xdx=sin x -sin x= .考点演练10. (2021合肥质检改编)f(x)=x+2 f(t)dt,求f(x)的解析式.解析: 由题意可设f(x)=x+c(c是一个常数)，x+2 f(t)dt=x+2 (t+c)dt=x+1+2c,x+c=x+1+2c,c=-1,f(x)=x-1.11. (2021苏州模拟)f(x)=a +bx+c(a0)且f(1)=4,f(1)=1, f(x)dx=3 ,求函数f(x)的解析式.解析： 由题意知f(1)=a+b+c=4,f(1)=2a+b=1,又由 f(x)dx= (a +bx+c)dx=3 ,知 .、联立，解得a=-1,b=3,c=2,所以函数f(x)的解析式为f(x)=- +3x+2.12. 如图，在曲线y