第3章电阻电路的一般分析2x

1、第第3 3章章 电阻电路的一般分析电阻电路的一般分析3.1电路的图电路的图3.2KCL和和KVL的独立方程数的独立方程数3.3支路电流法支路电流法3.4网孔电流法网孔电流法3.5回路电流法回路电流法3.6结点电压法结点电压法首首 页页本章重点本章重点l重点重点 熟练掌握电路方程的列写方法：熟练掌握电路方程的列写方法： 支路电流法支路电流法 回路电流法回路电流法 结点电压法结点电压法l线性电路的一般分析方法线性电路的一般分析方法 普遍性：对任何线性电路都适用。普遍性：对任何线性电路都适用。 复杂电路的一般分析法就是根据复杂电路的一般分析法就是根据KCL、KVL及及元件电压和电流关系列方程、解方程

2、。根据列方程元件电压和电流关系列方程、解方程。根据列方程时所选变量的不同可分为支路电流法、回路电流法时所选变量的不同可分为支路电流法、回路电流法和结点电压法。和结点电压法。 元件的电压、电流关系特性。元件的电压、电流关系特性。 电路的连接关系电路的连接关系KCL，KVL定律。定律。l方法的基础方法的基础 系统性：计算方法有规律可循。系统性：计算方法有规律可循。1.1.网络图论网络图论BDACDCBA哥尼斯堡七桥难题哥尼斯堡七桥难题 图论是拓扑学的一个分支，是富图论是拓扑学的一个分支，是富有趣味和应用极为广泛的一门学科。有趣味和应用极为广泛的一门学科。3.1 3.1 电路的图电路的图2.2.电路

3、的图电路的图抛开元抛开元件性质件性质一个元件作一个元件作为一条支路为一条支路 8 5bn元件的串联及并联元件的串联及并联组合作为一条支路组合作为一条支路 6 4bn543216有向图有向图65432178R4R1R3R2R6uS+_iR5图的定义图的定义(Graph)G=支路，结点支路，结点 电路的图是用以表示电路几何结构的图电路的图是用以表示电路几何结构的图形，图中的支路和结点与电路的支路和结点一一对形，图中的支路和结点与电路的支路和结点一一对应。应。 图中的结点和支路各自是一个整体。图中的结点和支路各自是一个整体。 移去图中的支路，与它所联接的结点依然移去图中的支路，与它所联接的结点依然存

4、在，因此允许有孤立结点存在。存在，因此允许有孤立结点存在。 如把结点移去，则应把与它联如把结点移去，则应把与它联接的全部支路同时移去。接的全部支路同时移去。结论从图从图G的一个结点出发沿着一些支的一个结点出发沿着一些支路连续移动到达另一结点所经过的路连续移动到达另一结点所经过的支路构成路径。支路构成路径。(2)路径路径 (3)连通图连通图图图G的任意两结点间至少有一条路的任意两结点间至少有一条路径时称为连通图，非连通图至少径时称为连通图，非连通图至少存在两个分离部分。存在两个分离部分。(4)(4)子图子图 若图若图G1中所有支路和结点都是图中所有支路和结点都是图G中的支路和结点，则称中的支路和

5、结点，则称G1是是G的子图。的子图。树树(Tree)T是连通图的一个子图且满足下是连通图的一个子图且满足下列条件：列条件： 连通连通 包含所有结点包含所有结点 不含闭合路径不含闭合路径树支：树支：构成树的支路构成树的支路连支：连支：属于属于G而不属于而不属于T的支路的支路 树支的数目是一定的树支的数目是一定的连支数：连支数：不不是是树树1 nbt) 1( nbbbbtl树树 对应一个图有很多的树对应一个图有很多的树明确明确回路回路(Loop)L是连通图的一个子图，构成一是连通图的一个子图，构成一条闭合路径，并满足：条闭合路径，并满足：(1)连通，连通，(2)每个结点关联每个结点关联2条支路。条

6、支路。12345678253124578不不是是回回路路回路回路2）基本回路的数目是一定的，为连支数；基本回路的数目是一定的，为连支数；) 1( nbbll1）对应一个图有很多的回路；对应一个图有很多的回路；3）对于平面电路，网孔数等于基本回路数。对于平面电路，网孔数等于基本回路数。明明确确基本回路基本回路( (单连支回路单连支回路) )12345651231236支路数支路数树支数树支数连支数连支数结点数结点数1基本回路数基本回路数1lnb结点、支路和结点、支路和基本回路关系基本回路关系基本回路具有独占的一条连支基本回路具有独占的一条连支结论结论例例87654321图示为电路的图，画出三种可

7、能的树及其对应的基图示为电路的图，画出三种可能的树及其对应的基本回路。本回路。876586438243注意注意网孔为基本回路。网孔为基本回路。3.2 KCL和和KVL的独立方程数的独立方程数1.1.KCL的独立方程数的独立方程数0641iii654321432114320543iii0652iii0321iii4123 0 n个结点的电路个结点的电路, , 独立的独立的KCL方程为方程为n-1个。个。结论2.2.KVL的独立方程数的独立方程数0431uuu13205421uuuu0654uuu0532uuu12-6543214321对网孔列对网孔列KVL方程：方程： 可以证明通过对以上三个网孔

8、方程进可以证明通过对以上三个网孔方程进行加、减运算可以得到其他回路的行加、减运算可以得到其他回路的KVL方程：方程：注意注意 KVL的独立方程数的独立方程数= =基本回路数基本回路数=b(n1) n个结点、个结点、b条支路的电路条支路的电路, , 独立的独立的KCL和和KVL方方程数为：程数为：bnbn) 1() 1(结论3.3 3.3 支路电流法支路电流法对于有对于有n个结点、个结点、b条支路的电路，要求解支路条支路的电路，要求解支路电流电流, ,未知量共有未知量共有b个。只要列出个。只要列出b个独立的电路方个独立的电路方程，便可以求解这程，便可以求解这b个变量。个变量。1 1. 支路电流法

9、支路电流法2 2. 独立方程的列写独立方程的列写以各支路电流为未知量列写以各支路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。电路方程分析电路的方法。 从电路的从电路的n个结点中任意选择个结点中任意选择n-1个结点列写个结点列写KCL方程方程 选择基本回路列写选择基本回路列写b-(n-1)个个KVL方程。方程。例例0621iii1320654iii0432iii有有6个支路电流，需列写个支路电流，需列写6个方个方程。程。KCL方程方程: :取网孔为独立回路，沿顺时取网孔为独立回路，沿顺时针方向绕行列针方向绕行列KVL写方程写方程: :0132uuu0354uuu0651uuu回路回路1 1回路回路2

10、 2回路回路3 3123R1R2R3R4R5R6+i2i3i4i1i5i6uS1234应用欧姆定律消去支路电压得：应用欧姆定律消去支路电压得：0113322iRiRiR0335544iRiRiRSuiRiRiR665511这一步可这一步可以省去以省去0132uuu0354uuu0651uuu回路回路1 1回路回路2 2回路回路3 3R1R2R3R4R5R6+i2i3i4i1i5i6uS1234123（1）支路电流法的一般步骤：支路电流法的一般步骤： 标定各支路电流（电压）的参考方向；标定各支路电流（电压）的参考方向； 选定选定(n1)个结点个结点，列写其，列写其KCL方程；方程； 选定选定b(

11、n1)个独立回路，指定回路绕行方个独立回路，指定回路绕行方 向，结合向，结合KVL和支路方程列写；和支路方程列写； 求解上述方程，得到求解上述方程，得到b个支路电流；个支路电流； 进一步计算支路电压和进行其它分析。进一步计算支路电压和进行其它分析。kkkSuiR小结（2）支路电流法的特点：支路电流法的特点：支路法列写的是支路法列写的是 KCL和和KVL方程，方程， 所以方程列写方所以方程列写方便、直观，但方程数较多，宜于在支路数不多的情况下使便、直观，但方程数较多，宜于在支路数不多的情况下使用。用。例例1求各支路电流及各电压源发出的功率。求各支路电流及各电压源发出的功率。12解解 n1=1个个

12、KCL方程：方程：结点结点a： I1I2+I3=0 b( n1)=2个个KVL方程：方程：11I2+7I3= 67I111I2=70-6=64U=US70V6V7ba+I1I3I2711203711001171111218711601164110140676006471012A620312181IA22034062IA426213IIIW42070670PW12626P70V6V7ba+I1I3I271121例例2结点结点a： I1I2+I3=0(1) n1=1个个KCL方程：方程：列写支路电流方程列写支路电流方程.(.(电路中含有理想电流源）电路中含有理想电流源）解解1(2) b( n1)=

13、2个个KVL方程：方程：11I2+7I3= U7I111I2=70-U增补方程增补方程：I2=6A设电流设电流源电压源电压+ +U_ _a70V7b+I1I3I2711216A1解解2由于由于I2已知，故只列写两个方程已知，故只列写两个方程结点结点a： I1+I3=6避开电流源支路取回路：避开电流源支路取回路：7I17I3=7070V7ba+I1I3I27116A例例3I1I2+I3=0列写支路电流方程列写支路电流方程.(.(电路中含有受控源）电路中含有受控源）解解11I2+7I3= 5U7I111I2=70-5U增补方程增补方程：U=7I3有受控源的电路，方程列写分两步：有受控源的电路，方程

14、列写分两步： 先将受控源看作独立源列方程；先将受控源看作独立源列方程； 将控制量用未知量表示，并代入中所列的方将控制量用未知量表示，并代入中所列的方程，消去中间变量。程，消去中间变量。注意5U+U_70V7ba+I1I3I271121+_结点结点a：3.4 3.4 网孔电流法网孔电流法 l基本思想基本思想 为减少未知量为减少未知量( (方程方程) )的个数，假想每个回的个数，假想每个回路中有一个回路电流。各支路电流可用回路电路中有一个回路电流。各支路电流可用回路电流的线性组合表示，来求得电路的解。流的线性组合表示，来求得电路的解。1.1.网孔电流法网孔电流法 以沿网孔连续流动的假想电流为未知量

15、列以沿网孔连续流动的假想电流为未知量列写电路方程分析电路的方法称网孔电流法。它仅写电路方程分析电路的方法称网孔电流法。它仅适用于平面电路。适用于平面电路。 独立回路数为独立回路数为2 2。选。选图示的两个独立回路，支图示的两个独立回路，支路电流可表示为：路电流可表示为：1222311 lllliiiiiii网孔电流在网孔中是闭合的，对每个相关结网孔电流在网孔中是闭合的，对每个相关结点均流进一次，流出一次，所以点均流进一次，流出一次，所以KCL自动满足。自动满足。因此网孔电流法是对网孔回路列写因此网孔电流法是对网孔回路列写KVL方程，方方程，方程数为网孔数。程数为网孔数。l列写的方程列写的方程b

16、il1il2+i1i3i2uS1uS2R1R2R3网孔网孔1： R1 il1+R2(il1- il2)-uS1+uS2=0网孔网孔2： R2(il2- il1)+ R3 il2 -uS2=0整理得：整理得：(R1+ R2) il1-R2il2=uS1-uS2- R2il1+ (R2 +R3) il2 =uS22 2. 方程的列写方程的列写观察可以看出如下规律：观察可以看出如下规律： R11=R1+R2 网孔网孔1中所有电阻之和，中所有电阻之和，称网孔称网孔1的自电阻。的自电阻。il1il2b+i1i3i2uS1uS2R1R2R3 R22=R2+R3 网孔网孔2中所有电阻之和，称中所有电阻之和，

17、称网孔网孔2的自电阻。的自电阻。 自电阻总为正。自电阻总为正。 R12= R21= R2 网孔网孔1、网孔、网孔2之间的互电阻。之间的互电阻。 当两个网孔电流流过相关支路方向相同当两个网孔电流流过相关支路方向相同时，互电阻取正号；否则为负号。时，互电阻取正号；否则为负号。uSl1= uS1-uS2 网孔网孔1中所有电压源电压的代数和。中所有电压源电压的代数和。uSl2= uS2 网孔网孔2中所有电压源电压的代数和。中所有电压源电压的代数和。注意il1il2b+i1i3i2uS1uS2R1R2R3 当电压源电压方向与该网孔电流方向一致时，取当电压源电压方向与该网孔电流方向一致时，取负号；反之取正

18、号。负号；反之取正号。方程的标准形式：方程的标准形式：对于具有对于具有 l 个网孔的电路，有个网孔的电路，有: : slllll lllllsllllllslllllluiRiRiRuiRiRiRuiRiRiR2211222221211121211122221211212111slllsllluiRiRuiRiRil1il2b+i1i3i2uS1uS2R1R2R3Rjk: 互电阻互电阻+ + : : 流过互阻的两个网孔电流方向相同；流过互阻的两个网孔电流方向相同；- - : : 流过互阻的两个网孔电流方向相反；流过互阻的两个网孔电流方向相反；0 : : 无关。无关。Rkk: 自电阻自电阻( (

19、总为正总为正) )slll22l11l2222212111212111ulllllsllllllslllllliRiRiRuiRiRiRuiRiRiR注意例例1用网孔电流法求解电流用网孔电流法求解电流 i解解选网孔为独立回路：选网孔为独立回路：i1i3i2SSUiRiRiRRR3421141)(0)(35252111iRiRRRiR0)(35432514iRRRiRiR 无受控源的线性网络无受控源的线性网络Rjk=Rkj , , 系数矩阵为对称阵。系数矩阵为对称阵。 当网孔电流均取顺（或逆）当网孔电流均取顺（或逆）时针方向时，时针方向时，Rjk均为负。均为负。32iiiRSR5R4R3R1R2

20、US+_i表明（1）网孔电流法的一般步骤：网孔电流法的一般步骤： 选网孔为独立回路，并确定其绕行方向；选网孔为独立回路，并确定其绕行方向； 以网孔电流为未知量，列写其以网孔电流为未知量，列写其KVL方程；方程； 求解上述方程，得到求解上述方程，得到 l 个网孔电流；个网孔电流； 其它分析。其它分析。 求各支路电流；求各支路电流；小结（2）网孔电流法的特点：网孔电流法的特点：仅适用于平面电路。仅适用于平面电路。3.5 3.5 回路电流法回路电流法 1.1.回路电流法回路电流法 以基本回路中沿回路连续流动的假想电流为未以基本回路中沿回路连续流动的假想电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。它适用于

21、平面知量列写电路方程分析电路的方法。它适用于平面和非平面电路。和非平面电路。回路电流法是对独立回路列写回路电流法是对独立回路列写KVL方程，方方程，方程数为：程数为：l列写的方程列写的方程)1(nb与支路电流法相比，方程数减少与支路电流法相比，方程数减少n-1个。个。注意2 2. 方程的列写方程的列写例例用回路电流法求解电流用回路电流法求解电流 i.RSR5R4R3R1R2US+_i解解 只让一个回路电只让一个回路电流经过流经过R5支路。支路。SSUiRRiRiRRR34121141)()(0)()(321252111iRRiRRRiR0)()()(34321221141iRRRRiRRiRR

22、2ii i1i3i2方程的标准形式：方程的标准形式：对于具有对于具有 l=b-(n-1) 个回路的电路，有个回路的电路，有: : slllll lllllsllllllslllllluiRiRiRuiRiRiRuiRiRiR22112222212111212111 Rjk: 互电阻互电阻+ + : : 流过互阻的两个回路电流方向相同；流过互阻的两个回路电流方向相同；- - : : 流过互阻的两个回路电流方向相反；流过互阻的两个回路电流方向相反；0 : : 无关。无关。Rkk: 自电阻自电阻( (总为正总为正) )注意（1）回路法的一般步骤：回路法的一般步骤： 选定选定l=b-(n-1)个独立回

23、路，并确定其绕行方向；个独立回路，并确定其绕行方向； 对对l 个独立回路，以回路电流为未知量，列写个独立回路，以回路电流为未知量，列写其其KVL方程；方程； 求解上述方程，得到求解上述方程，得到 l 个回路电流；个回路电流； 其它分析。其它分析。 求各支路电流；求各支路电流；小结（2）回路法的特点：回路法的特点： 通过灵活的选取回路可以减少计算量；通过灵活的选取回路可以减少计算量； 互有电阻的识别难度加大，易遗漏互有电阻。互有电阻的识别难度加大，易遗漏互有电阻。3.3.理想电流源支路的处理理想电流源支路的处理l 引入电流源电压，增加回路电流和电流源电流引入电流源电压，增加回路电流和电流源电流的

24、关系方程。的关系方程。例例U_+i1i3i2SSUiRiRiRRR3421141)(UiRRiR22111)(UiRRiR34314)(32SiiI方程中应包括方程中应包括电流源电压电流源电压增补方程：增补方程：ISRSR4R3R1R2US+_l选取独立回路，使理想电流源支路仅仅属于一个选取独立回路，使理想电流源支路仅仅属于一个回路回路, ,该回路电流即该回路电流即 IS 。S34121141S)()(UiRRiRiRRR例例0)()()(34321221141iRRRRiRRiRRS2Ii 已知电流，实际减少了一方程已知电流，实际减少了一方程ISRSR4R3R1R2US+_i1i3i24.4

25、.受控电源支路的处理受控电源支路的处理 对含有受控电源支路的电路，可先把受控对含有受控电源支路的电路，可先把受控源看作独立电源按上述方法列方程，再将控制源看作独立电源按上述方法列方程，再将控制量用回路电流表示。量用回路电流表示。例例1i1i3i2SSUiRiRiRRR3421141)(UiRRiR5)(22111UiRRiR5)(34314受控源看受控源看作独立源作独立源列方程列方程33iRU 增补方程：增补方程：5URSR4R3R1R2US+_+_UR1R4R5gU1R3R2U1_+_U1iS例例2列回路电流方程列回路电流方程解解1选网孔为独立回路选网孔为独立回路1432_+_+U2U323

26、3131)(UiRiRR3222UUiR0)(45354313iRiRRRiR134535 UUiRiR111iRU增补方程：增补方程：Siii21124gUiiR1R4R5gU1R3R2U1_+_U1iS解解2回路回路2选大回路选大回路Sii 114gUi 134242111 )(UiRiRRRiR0)(4525432413iRiRRRiRiR)(2111iiRU增补方程：增补方程：1432例例3求电路中电压求电路中电压U，电流，电流I和电压源产生的功率和电压源产生的功率i1i4i2i3A21iA33iA22i44363214iiii解解A26/ )41226(4iA3232IV8424iU

27、）吸吸收收(W844iP4V3A2+IU312A2A3.6 3.6 结点电压法结点电压法 选结点电压为未知量，则选结点电压为未知量，则KVL自动满足，自动满足，无需列写无需列写KVL 方程。各支路电流、电压可视为方程。各支路电流、电压可视为结点电压的线性组合，求出结点电压后，便可方结点电压的线性组合，求出结点电压后，便可方便地得到各支路电压、电流。便地得到各支路电压、电流。l基本思想：基本思想：1.1.结点电压法结点电压法 以结点电压为未知量列写电路方程分析电路的以结点电压为未知量列写电路方程分析电路的方法。适用于结点较少的电路。方法。适用于结点较少的电路。l列写的方程列写的方程 结点电压法列

28、写的是结点上结点电压法列写的是结点上的的KCL方程，独立方程数为：方程，独立方程数为：)1(nuA-uBuAuB(uA-uB)+uB-uA=0KVL自动满足自动满足注意 与支路电流法相比，方程数减少与支路电流法相比，方程数减少b-(n-1)个。个。 任意选择参考点：其它结点与参考点的电位差即为任意选择参考点：其它结点与参考点的电位差即为结点电压结点电压(位位)，方向为从独立结点指向参考结点。，方向为从独立结点指向参考结点。2 2. 方程的列写方程的列写 选定参考结点，标明其余选定参考结点，标明其余n-1个独立结点的电压；个独立结点的电压；132 列列KCL方程：方程：i1+i2=iS1+iS2

29、-i2+i4+i3=0-i3+i5=iS2 SR入出iiiS1uSiS2R1i1i2i3i4i5R2R5R3R4+_ 把支路电流用结点把支路电流用结点电压表示：电压表示：S2S12n2n11n1iiRuuRu04n23n3n22n2n1RuRuuRuu25n33n3n2SSiRuuRuui1+i2=iS1+iS2-i2+i4+i3=0-i3+i5=-iS2132iS1uSiS2R1i1i2i3i4i5R2R5R3R4+_整理得：整理得：S2S1n22n121)1( )11(iiuRuRR01 )111(1332n432n12nuRuRRRuR令令 Gk=1/Rk，k=1, 2, 3, 4, 5

30、上式简记为：上式简记为：G11un1+G12un2 G13un3 = iSn15S2n353n23 )11()1(RuiuRRuRSG21un1+G22un2 G23un3 = iSn2G31un1+G32un2 G33un3 = iSn3标准形式的结点标准形式的结点电压方程电压方程等效电等效电流源流源G11=G1+G2 结结点点1的自电导的自电导G22=G2+G3+G4 结结点点2的自电导的自电导G12= G21 =-G2 结结点点1与与结结点点2之间的互电导之间的互电导G33=G3+G5 结结点点3的自电导的自电导G23= G32 =-G3 结结点点2与与结结点点3之间的互电导之间的互电导

31、 小结结结点的自电导等于接在该点的自电导等于接在该结结点上所有支路的电导之和。点上所有支路的电导之和。 互电导为接在互电导为接在结结点与点与结结点之间所有支路的电点之间所有支路的电导之和，总导之和，总为负值为负值。iSn3=-iS2uS/R5 流入流入结结点点3的电流源电流的代数的电流源电流的代数和。和。iSn1=iS1+iS2 流入结点流入结点1的电流源电流的代数和。的电流源电流的代数和。流入结点取正号，流出取负号。流入结点取正号，流出取负号。1n11Rui 4n24Rui 3n3n23Ruui2n2n12Ruui5S35Ruuin由结点电压方程求得各结点电压后即可求得由结点电压方程求得各结

32、点电压后即可求得各支路电压，各支路电流可用结点电压表示：各支路电压，各支路电流可用结点电压表示：G11un1+G12un2+G1,n-1un,n-1=iSn1G21un1+G22un2+G2,n-1un,n-1=iSn2 Gn-1,1un1+Gn-1,2un2+Gn-1,nun,n-1=iSn,n-1Gii 自电导，总为正。自电导，总为正。 iSni 流入结点流入结点i的所有电流源电流的代数和。的所有电流源电流的代数和。Gij = Gji互电导，结互电导，结点点i与与结结点点j之间所有支路电之间所有支路电 导之和，导之和，总为总为负。负。结点法标准形式的方程：结点法标准形式的方程：注意 电路不

33、含受控源时，系数矩阵为对称阵。电路不含受控源时，系数矩阵为对称阵。结点法的一般步骤：结点法的一般步骤：(1)选定参考结点，标定选定参考结点，标定n-1个独立结点；个独立结点；(2)对对n-1个独立结点，以结点电压为未知量，列个独立结点，以结点电压为未知量，列写其写其KCL方程；方程；(3)求解上述方程，得到求解上述方程，得到n-1个结点电压；个结点电压；(5)其它分析。其它分析。(4)通过通过结点电压求各支路电流；结点电压求各支路电流；总结试列写电路的结点电压方程试列写电路的结点电压方程(G1+G2+GS)U1-G1U2GsU3=GSUS-G1U1+(G1 +G3 + G4)U2-G4U3 =0GSU1-G4U2+(G4+G5+GS)U3 =USGS例例UsG3G1G4G5G2+_GS3123 3. 无伴电压源支路的处理无伴电压源支路