第一章固体物理课件U

1、主要参考书主要参考书l黄昆，韩汝琦黄昆，韩汝琦.固体物理固体物理,高教出版社高教出版社.lCharles Kittel. Introduction to solid state physics. (中中文版第文版第8版版)l方俊鑫，陆栋方俊鑫，陆栋. 固体物理学固体物理学（上）（上）, 上海科上海科学技术出版社学技术出版社.l阎守胜阎守胜.固体物理基础固体物理基础, 北京大学出版社北京大学出版社.凝聚态：凝聚态：由大量粒子组成，并且粒子间有由大量粒子组成，并且粒子间有很强相互作用的系统。很强相互作用的系统。凝聚态物理学：凝聚态物理学：是从微观角度出发，研究由大量粒子是从微观角度出发，研究由大量

2、粒子（原子、分子、离子、电子）组成的凝聚态的结构、（原子、分子、离子、电子）组成的凝聚态的结构、动力学过程及其与宏观物理性质之间的联系的一门学动力学过程及其与宏观物理性质之间的联系的一门学科。科。凝聚态物理研凝聚态物理研究对象：究对象：固体：固体： 晶体、晶体、非晶体、准晶体非晶体、准晶体液体：液体：稠密气体稠密气体介于液态和固态之间的凝聚相：液氦、液晶、介于液态和固态之间的凝聚相：液氦、液晶、熔盐、液态金属、电解液熔盐、液态金属、电解液一、固体物理学的研究对象一、固体物理学的研究对象绪绪 论论 研究固体结构及其组成粒子（原子、研究固体结构及其组成粒子（原子、离子、电子）之间的相互作用与运动离

3、子、电子）之间的相互作用与运动规律以阐明其性能与用途的学科。规律以阐明其性能与用途的学科。固体的分类固体的分类 非晶体：非晶体：短程有序性，无规则形状，无固定熔点。短程有序性，无规则形状，无固定熔点。 例如：玻例如：玻璃璃 橡胶橡胶 准晶准晶体体: 没有平移对称性，有旋转对称性（没有平移对称性，有旋转对称性（5次或次或 更高）更高） 没有缺陷和杂质的晶体叫做没有缺陷和杂质的晶体叫做理想晶体理想晶体。缺陷。缺陷: : 缺陷缺陷是指微量的不规则性。是指微量的不规则性。 晶体：晶体：长程有序，呈对称性形状，固定熔点，各向长程有序，呈对称性形状，固定熔点，各向 异性，平移和旋转对称性（异性，平移和旋转

4、对称性（2,3,4,6）。）。例如：例如： 锗、硅锗、硅 单晶单晶 规则网络规则网络无规网络无规网络晶晶体体非晶体非晶体准准 晶晶 体体Al65Co25Cu10合金合金二、学科领域二、学科领域固体物理研究固体材料中那些最基本的、有普固体物理研究固体材料中那些最基本的、有普遍意义的问题。形成许多分支学科。遍意义的问题。形成许多分支学科。固固体体物物理理晶格理晶格理论论电子理电子理论论输运理论输运理论固体物理分论固体物理分论:晶格结构晶格结构晶格动力学晶格动力学晶格热力学晶格热力学实际晶格理论实际晶格理论理想晶格理想晶格能带理论能带理论（包括电磁场中的电子运动）（包括电磁场中的电子运动）金属中的自

5、由电子气金属中的自由电子气（功（功函数、接触电函数、接触电势等）势等）：电子与晶格的相互作用：电子与晶格的相互作用半导体、磁学、超导、非线性光学半导体、磁学、超导、非线性光学本课程学习内容本课程学习内容1、描述晶体周期性的基本方法，典型的晶、描述晶体周期性的基本方法，典型的晶格结构。格结构。2、固体的结合力（四种）、固体的结合力（四种）3、晶格动力学、晶格动力学4、晶体中电子运动规律（能带理论，自由、晶体中电子运动规律（能带理论，自由电子气）电子气）5、介绍一些典型固体材料的性质、介绍一些典型固体材料的性质第一章第一章 晶体结构晶体结构 晶体的宏观性质晶体的宏观性质1.1.周期性周期性从原子排

6、列的角度来讲从原子排列的角度来讲 ( (均一性均一性从宏观理化性质的角度来讲）从宏观理化性质的角度来讲） ；2.宏观对称性；宏观对称性；3.各向异性各向异性和和解理性解理性。例如，云母的解理性；。例如，云母的解理性；4.有固定的熔点固定的熔点。几种常见的晶体结构几种常见的晶体结构1. 元素晶体元素晶体 一维一维 二维二维二维密排二维密排堆积堆积二维正方二维正方堆积堆积11 一些晶格的实例一些晶格的实例 a. 较松散的堆积较松散的堆积 体心立方（体心立方（body-centered cubic, bcc） 堆积堆积 简单立方（简单立方（simple cubic, sc）堆积）堆积典型晶体：典型晶

7、体：Li、Na、K 三维三维l 配位数：一个原子周围最近邻原子的数目。配位数：一个原子周围最近邻原子的数目。对于体心立方（对于体心立方（bcc）配位数）配位数为为 8 。 面心立方（面心立方（face-centered cubic, fcc）堆积）堆积 排列方式：排列方式： ABCABC (立方密堆积立方密堆积)典型晶体：典型晶体： Cu、Ag 、Au、Ca、Sr、Al、 b. 密堆积密堆积：fcc的配位数为的配位数为12；六角密排晶六角密排晶格的原胞格的原胞为为菱形柱体，菱形柱体，基矢选基矢选取取如图所示如图所示六角密排晶六角密排晶格的晶胞格的晶胞为六角柱体，为六角柱体，如图所如图所示示AB

8、A1a2a3a135246 六角密排晶格（六角密排晶格（Hexagonal close packed, hcp）堆积）堆积 排列方式：排列方式： ABAB 六角密排晶格六角密排晶格动画：密排立方晶胞动画：密排立方晶胞 六角密排的前视图六角密排的前视图ABABA123456123456典型晶体：金刚石、典型晶体：金刚石、Si、Ge c. 金刚石结构金刚石结构：金刚石金刚石的配位数为的配位数为 4； 金刚石结构金刚石结构2. 简单化合简单化合物晶体（复式晶格）物晶体（复式晶格） NaCl结构结构典型晶体：典型晶体：NaCl、LiF、KBr CsCl结构结构典型晶体：典型晶体：CsCl、CsBr、C

9、sI 闪锌矿结构闪锌矿结构 许多重要的半导体化合物都是闪锌矿结构。许多重要的半导体化合物都是闪锌矿结构。典型典型晶体：晶体：ZnSZnS、CdSCdS、GaAsGaAs、 -SiC -SiC 在晶胞顶角和面心处的原子与体内原子分别属在晶胞顶角和面心处的原子与体内原子分别属于不同的元素。于不同的元素。1.2 晶格的周期性晶格的周期性一、晶格与布拉伐格子一、晶格与布拉伐格子 1. 晶格：晶格：晶体中原子（或离子）排列的具体形式。晶体中原子（或离子）排列的具体形式。 2. 2. 布拉伐格子布拉伐格子( (空间点空间点阵）（布拉菲格子）阵）（布拉菲格子）布拉伐格子：一种数学上的布拉伐格子：一种数学上的

10、抽象抽象，是，是点点在空间中周期性的规则排列在空间中周期性的规则排列。基元：每一个格点所代表的物理实体。基元：每一个格点所代表的物理实体。格点：空间点阵中周期排列的几何点。所有点在化学、物理和几格点：空间点阵中周期排列的几何点。所有点在化学、物理和几 何何环境上完全相同。环境上完全相同。布拉伐格子一共有布拉伐格子一共有14 种。种。scbccfcc立方晶系的布拉伐格子立方晶系的布拉伐格子实际晶格实际晶格 = 布拉伐格子布拉伐格子 + 基元基元 若格点上的基元只包含一个原子，那么晶格为若格点上的基元只包含一个原子，那么晶格为简简单晶格单晶格。简单。简单晶格中晶格中所有原子在化学、物理和几何所有原

11、子在化学、物理和几何环境上都是完全等同的。环境上都是完全等同的。 若格点上的基元包含两个或两个以上的原子（或离若格点上的基元包含两个或两个以上的原子（或离子），那么晶格为子），那么晶格为复式晶格复式晶格。 简单晶格必须由同种原子组成；反之，由同简单晶格必须由同种原子组成；反之，由同种原子组成的晶格却不一定是简单晶格。如种原子组成的晶格却不一定是简单晶格。如金刚石金刚石和和hcphcp晶格都是复式晶格。晶格都是复式晶格。复式晶格复式晶格sc + 双原子基元双原子基元fcc + 双原子基元双原子基元1434143412121212由同种原子构成的金刚石晶格也是复式晶格。由同种原子构成的金刚石晶格也

12、是复式晶格。A类碳原子的共价键方向B类碳原子的共价键方向hcp也是复式晶也是复式晶格。格。 复式晶格包含多个等价原子，不同等价原子的简复式晶格包含多个等价原子，不同等价原子的简单晶格相同。复式晶格是由等价原子的简单晶格嵌单晶格相同。复式晶格是由等价原子的简单晶格嵌套而成。套而成。 在晶格中取在晶格中取一个格点为顶点，以三个不共面的方向上的周期为边长形成的平行六面体作为重复单元，这个平行六面体作为重复单元，这个平行六面体沿沿三个不同的方向进行周期性平移，就可以充满整个晶格三个不同的方向进行周期性平移，就可以充满整个晶格，形成，形成晶体，这个平行六面体即为晶体，这个平行六面体即为原胞原胞，代表原胞

13、三个边的矢量称为，代表原胞三个边的矢量称为原胞的基本平移矢量，简称，简称基矢基矢。二、基矢和原胞二、基矢和原胞Rl0 a1a2 特点：特点：格点格点只在平行六面体的顶角上，只在平行六面体的顶角上，面上和内部均无格点，平均每个，平均每个固体物理学原胞包含1个格点。它反映了晶体结构。它反映了晶体结构的的周期性周期性。 构造：取一格点为顶点，由此点向构造：取一格点为顶点，由此点向近邻的三个格点作三个的三个格点作三个不共面的矢量，以此三个矢量为边作平行六面体即为不共面的矢量，以此三个矢量为边作平行六面体即为固体物理固体物理学原学原胞。胞。（晶格晶格最小的周期性单元最小的周期性单元）(1)(1)固体物理

14、学原胞固体物理学原胞( (简称简称原胞原胞) )基矢：固体物理学原胞基矢通常用基矢：固体物理学原胞基矢通常用 表示。表示。321,aaa 321aaa 体积为：体积为：1.原胞的分类固体物理学原胞（初基原胞）固体物理学原胞（初基原胞）结晶学原胞（晶体学原胞，晶胞，单胞）结晶学原胞（晶体学原胞，晶胞，单胞）维格纳维格纳赛茨原胞赛茨原胞(2)(2)结晶学原胞结晶学原胞（简称（简称单胞，晶胞单胞，晶胞） 构造：使三个基矢的方向尽可能地沿着空间对称轴的方向，构造：使三个基矢的方向尽可能地沿着空间对称轴的方向，它具有明显的它具有明显的对称性对称性和周期性。和周期性。除了周期性外，每种晶体还有除了周期性外

15、，每种晶体还有自己特殊的对称性。为了同时自己特殊的对称性。为了同时反映晶格的对称性，往往会取反映晶格的对称性，往往会取最小重复单元的一倍或几倍的最小重复单元的一倍或几倍的晶格单位作为原胞。结晶学中晶格单位作为原胞。结晶学中常用这种方法选取原胞，故称常用这种方法选取原胞，故称为结晶学原胞，简称为结晶学原胞，简称晶胞晶胞（也（也称为称为单胞）。单胞）。基矢：结晶学原胞的基矢一般用基矢：结晶学原胞的基矢一般用 表示。表示。cba, ncbav 特点特点：晶胞不：晶胞不仅在平行六面体顶角上有格点，面上及内部仅在平行六面体顶角上有格点，面上及内部亦可有格点。其体积是固体物理学原胞体积的整数倍。亦可有格点

16、。其体积是固体物理学原胞体积的整数倍。体积为：体积为：(3)(3)维格纳维格纳-塞茨原胞塞茨原胞 构造：以一个格点为原点，构造：以一个格点为原点，作原点与其它格点连线作原点与其它格点连线的中垂的中垂面面( (或中垂线或中垂线) )，由这些中垂面由这些中垂面( (或中垂线或中垂线) )所围成的所围成的最小最小体积体积( (或或面积面积) )即为即为W-S原胞。原胞。 特点：它是特点：它是晶体体积的最小重复单元晶体体积的最小重复单元，每个原胞只包含，每个原胞只包含1个格点。其体积与固体物理学原胞体积相同。个格点。其体积与固体物理学原胞体积相同。 Wigner-Seitz原胞（对称原胞）原胞（对称原

17、胞）引入引入Wigner-SeitzWigner-Seitz原胞的原因原胞的原因优点：优点：（1 1） Wigner-SeitzWigner-Seitz原胞本身保持了布拉伐格原胞本身保持了布拉伐格子的对称性；子的对称性；（2 2）该取法今后要用到。）该取法今后要用到。缺点缺点：（1 1） Wigner-SeitzWigner-Seitz原胞的体积等计算不方便；原胞的体积等计算不方便；（2 2）平移对称性反而不直观。）平移对称性反而不直观。(1)(1)二维二维( (a) )( (b) )8a7a6a5a4a3a1a2a固体物理学原胞固体物理学原胞维格纳维格纳-塞塞茨原胞茨原胞2.2.几种晶格的实

18、例几种晶格的实例(2)(2)三维三维立方晶系立方晶系accbba cba kac , jab, iaa 布拉伐原胞的体积布拉伐原胞的体积: :3aV 设设晶格常量晶格常量( (布拉伐原胞棱边的长度) )为为a, ,k, j,i取取 为坐标轴的单位矢量为坐标轴的单位矢量, , 即立方体边长为即立方体边长为a, ,(a)(a)简立方简立方abckaajaaiaa 321每个布拉伐原胞包含每个布拉伐原胞包含1个格点。固体物理学原胞的体积固体物理学原胞的体积3a 布拉伐晶格(简单晶格)平均每个面心立方晶胞包含平均每个面心立方晶胞包含4个个格点格点。 332141aaaa (b)(b)面心立方面心立方

19、jiaakiaakjaa 222321固体物理学原胞的体积固体物理学原胞的体积1a3a2aiajaka(c)(c)体心立方体心立方 kjiaakjiaakjiaa 222321平均每个体心立方晶胞包含平均每个体心立方晶胞包含2个个格点格点。 332121aaaa iajaka1a3a2a固体物理学原胞的体积固体物理学原胞的体积复式晶格(a)(a)金刚石结构金刚石结构金刚石结构属面心立方，每个结晶学原胞包含每个结晶学原胞包含4个个格点格点。 金刚石结构是由两个面心立方子晶格沿体对角线位移金刚石结构是由两个面心立方子晶格沿体对角线位移1/41/4的长度套构而成的长度套构而成, ,其布拉伐晶格为其布

20、拉伐晶格为面心立方面心立方。c cc cc cc c 金刚石结构每个固体物理学原胞金刚石结构每个固体物理学原胞包含包含1个格点个格点, ,基元由两个碳原子组成基元由两个碳原子组成, ,位于（位于（000）和）和 处。处。 414141(b)(b)氯化钠结构氯化钠结构 氯化钠结构由两个氯化钠结构由两个面心立方面心立方子晶格沿体对角线位移子晶格沿体对角线位移1/21/2的的长度套构而成。长度套构而成。Cl- -和和Na+ +分别组成面心立方子晶格。分别组成面心立方子晶格。其布拉维晶格为其布拉维晶格为面心立方面心立方。氯化钠结构属面心立方。 每个固体物理学原胞包含每个固体物理学原胞包含1个格点，每个

21、结晶学原胞包含个格点，每个结晶学原胞包含4个个格点格点。 氯化钠的固体物理学原胞选取方法与面心立方简单格子的氯化钠的固体物理学原胞选取方法与面心立方简单格子的选取方法相同。选取方法相同。基元由一个基元由一个Cl- -和一个和一个Na+ +组成。组成。( (000) ) 212121Cl- -的坐标为的坐标为 ，Na+ +的坐标为的坐标为 。 (c)(c)氯化铯结构氯化铯结构 Cl Cs 氯化铯结构是由两个简立方子晶格沿体对角线位移氯化铯结构是由两个简立方子晶格沿体对角线位移1/2的长的长度套构而成。度套构而成。 Cl- -和和Cs+ +分别组成简立方格子，其布拉维晶格为分别组成简立方格子，其布

22、拉维晶格为简立方简立方，氯化铯结构属简立方。 每个固体物理学原胞包含每个固体物理学原胞包含1个格点，每个结晶学原胞包含个格点，每个结晶学原胞包含1个个格点格点。基元由一个。基元由一个Cl- -和一个和一个Cs+ +组成。组成。( (000) ) 212121Cl- -的坐标为的坐标为 ， Cs+ +的坐标为的坐标为 。 l 堆积系数堆积系数 晶晶 胞胞 体体 积积晶胞中原子所占的体积晶胞中原子所占的体积fcc结构结构a42Ra每个晶胞有每个晶胞有 8 81/8+61/8+61/2=41/2=4个个原子原子33333442 24423340746.Raaa 原原子子所所占占体体积积致致密密度度晶

23、晶胞胞体体积积ABA1a2a3a135246 六角密排晶格致密度六角密排晶格致密度 金刚石晶格致密度金刚石晶格致密度边长为边长为a边长为边长为a/234. 0)83(34*8)34*83333aaar（致密度1.3 1.3 晶向、晶面和它们的标志晶向、晶面和它们的标志 1.3.1 1.3.1 晶向及晶向指数晶向及晶向指数1.1.晶向晶向 布拉伐格子的格点可以看布拉伐格子的格点可以看成是分布在一系列相互平行的成是分布在一系列相互平行的直线上，这些直线系称直线上，这些直线系称为为晶列晶列，晶列的取向称为，晶列的取向称为晶向晶向，描写，描写晶向的一组数称为晶向的一组数称为晶向指数晶向指数( (或或晶

24、列指数晶列指数) )。过一格点可以有无数过一格点可以有无数晶列。晶列。 (3)(3)晶列族中的每一晶列上，晶列族中的每一晶列上， 格点分布都是相同的；格点分布都是相同的； (4)(4)在同一平面内，相邻晶列间的在同一平面内，相邻晶列间的距离相等。距离相等。 (1)(1)平行晶列组成晶列族，晶列平行晶列组成晶列族，晶列族包含所有的格点；族包含所有的格点；(2)(2)晶列上格点分布是周期性的；晶列上格点分布是周期性的；晶列的特点晶列的特点2.晶向指数如果从晶列上一个格点沿晶向到任一格点的位矢为如果从晶列上一个格点沿晶向到任一格点的位矢为332211alalalR (1)(1) 用固体物理学原胞基矢

25、表示用固体物理学原胞基矢表示如如121121表示表示1, 2, 1321 lll321aaa, , ,为固体物理学原胞基矢为固体物理学原胞基矢如遇到负数，将该数的上面加一横线。 其中其中 为整数，将为整数，将 化为互质的整数化为互质的整数 ， 记为记为 ， 即为该晶列的即为该晶列的晶列指数晶列指数。 321,lll 321,lll321,lll 321lll321lll(2)(2)以晶胞基以晶胞基矢表示矢表示如果从晶列上一个格点沿晶向到任一格点的位矢为如果从晶列上一个格点沿晶向到任一格点的位矢为为晶胞基矢cbacpbnamR, 其中其中 为有理数为有理数, ,将将 化为化为互质的整数 m, ,

26、n, ,p, , 记为记为 mnp ， mnp 即为该即为该晶列晶列的的晶列指数晶列指数. . pnm ,pnm ,abcOABCDE 例例1 1：如图在立方体中，如图在立方体中，D是是BC的中点，求的中点，求BE, ,AD的晶列指数。的晶列指数。kcjbia , iOB ,kjiOE kjOBOEBE 解：解：晶列晶列BE的晶列指数为：的晶列指数为： 011 ,kOA , jiOD21 kjiOAODAD 21AD的晶列指数为的晶列指数为: :abcOABCDE221求求AD的晶列指数。的晶列指数。 在立方体中有，沿立方边的在立方体中有，沿立方边的晶列一共有晶列一共有6个不同的晶向，由于个不

27、同的晶向，由于晶格的对称性，这晶格的对称性，这6个晶向并没有个晶向并没有什么区别，晶体在这些方向上的什么区别，晶体在这些方向上的性质是完全相同的，统称这些方性质是完全相同的，统称这些方向为向为等效晶向等效晶向，写成写成 。 100 001 010 100 010 001 1.3.2 晶面及密勒指数 在晶格中，通过任意三个不在同一直线上的格点作一平面，在晶格中，通过任意三个不在同一直线上的格点作一平面，称为晶面称为晶面，描写晶面方位的一组数称为，描写晶面方位的一组数称为晶面指数晶面指数。1.晶面 (1)(1)平行的晶面组成晶面族，晶面族包含所有格点；平行的晶面组成晶面族，晶面族包含所有格点；(3

28、)(3)同一晶面族中的每一晶面上，格点分布同一晶面族中的每一晶面上，格点分布( (情况情况) )相同；相同；(4)(4)同一晶面族中相邻晶面间距相等。同一晶面族中相邻晶面间距相等。(2)(2)晶面上格点分布具有周期性；晶面上格点分布具有周期性；2.晶面指数晶面方位晶面方位晶面的法线方向晶面的法线方向( (法线方向与三个坐标轴夹角法线方向与三个坐标轴夹角) )晶面在三个坐标轴上的截距晶面在三个坐标轴上的截距(1)(1)以固体物理学原胞基矢表示以固体物理学原胞基矢表示 如图如图取一格点为顶点，原胞的三，原胞的三个基矢个基矢 为坐标系的三个轴，为坐标系的三个轴，设某一晶面与三个坐标轴分别交于设某一晶

29、面与三个坐标轴分别交于A1, ,A2, ,A3, ,设晶面的法线设晶面的法线ON交晶面交晶面A1A2A3于于N，ON长度为长度为 d，d为该晶为该晶面族相邻晶面间的距离，面族相邻晶面间的距离， 为整数，为整数，该晶面法线方向的单位矢量用该晶面法线方向的单位矢量用 表表示，则晶面示，则晶面A1A2A3的方程为：的方程为：n321,aaadnX A2A3O O2a3a1aA1N dn dn,aatdn,aasdn,aar 332211coscoscos取取 为天然长度单位，则得：为天然长度单位，则得：321a,a,a332211atOA,asOA,arOA 设设dnX dnatdnasdnar 3

30、21 tsrnanana1:1:1,cos:,cos:,cos321 晶面的法线方向与三个坐标轴晶面的法线方向与三个坐标轴( (基矢基矢) )的夹角的余弦之比，的夹角的余弦之比，等于晶面在三个轴上的截距的倒数之比。等于晶面在三个轴上的截距的倒数之比。A2 2A3 3O2a3a1aA1 1N dn可以证明：可以证明：r,s,t必是一组有理数-阿羽依的有理数定理。阿羽依的有理数定理。 tsrnanana1:1:1,cos:,cos:,cos321 设设 的末端上的格点分别在离原点距离的末端上的格点分别在离原点距离h1d、h2d、h3d的晶面上，这里的晶面上，这里 h1、h2、h3为整数为整数 。3

31、21,aaa (2)(2)同一晶面族中的晶面平行且相邻晶面间距相等, ,故在原故在原点与基矢的末端间一定只有整数个晶面。点与基矢的末端间一定只有整数个晶面。 (1(1) )所有格点都包容在一族晶面上；因此给定晶面族中必；因此给定晶面族中必有一个晶面通过坐标系的原点；在基矢有一个晶面通过坐标系的原点；在基矢 末端上的格点末端上的格点也一定落在该晶面族的晶面上；也一定落在该晶面族的晶面上； 321,aaadhnadhnadhna332211 取取 为天然长度单位得：为天然长度单位得：321a,a,a dhnaadhnaadhnaa333222111,cos,cos,cos 321321:,cos:

32、,cos:,coshhhnanana tsrnanana1:1:1,cos:,cos:,cos321 又又晶面的法线与三个基矢的夹角余弦之比等于三个整数之比。晶面的法线与三个基矢的夹角余弦之比等于三个整数之比。dnX A2A3O2a3a1aA1N dntsrhhh1:1:1:321 tsrhhh1:1:1:321 h1，h2，h3一定是互质的，称它们为该晶面族的面指数，记为一定是互质的，称它们为该晶面族的面指数，记为( (h1h2h3 ) ) 。任一晶面在坐标轴上的截距任一晶面在坐标轴上的截距r，s，t必是一组有理数。必是一组有理数。因为因为h1、h2、h3为整数，所以为整数，所以r、s、t必

33、为有理数。必为有理数。综上所述，晶面指数(h1h2h3 )表示的意义是；(3)(3)晶面的法线与基矢夹角的方向余弦的比值。晶面的法线与基矢夹角的方向余弦的比值。 (2)(2)以以 为各轴的长度单位所求得的晶面在坐标轴为各轴的长度单位所求得的晶面在坐标轴上的截距倒数的互质比；上的截距倒数的互质比；321a,a,a (1)(1)基矢基矢 被平行的晶面等间距的分割成被平行的晶面等间距的分割成h1、h2、h3 等份；等份；321,aaa例：立方晶系的几个晶面1.4 倒格子倒格子 为了以后计算上的方便，我们引入一个新的为了以后计算上的方便，我们引入一个新的概念概念倒格子。倒格子。 倒格子并非物理上的格子

34、，只是一种数学处倒格子并非物理上的格子，只是一种数学处理方法，它在分析与晶体周期性有关的各种问题理方法，它在分析与晶体周期性有关的各种问题中起着重要作用。中起着重要作用。1.4.1 倒格子定义倒倒格子基格子基矢定义为：矢定义为： 213132321222aabaabaab 其中其中 是正格基矢，是正格基矢，321,aaa 332211bhbhbhKn ),(321为为整整数数hhh 与与 所联系的各点所联系的各点的列阵即为的列阵即为倒格子倒格子。 321aaa 是固体物理学原胞体积是固体物理学原胞体积倒格子基矢的方向和长度如何呢？倒格子基矢的方向和长度如何呢？132122daab 222db

35、3b1b2b332db 一个倒格子基矢是和正格子原胞中一组晶面相对应的，它一个倒格子基矢是和正格子原胞中一组晶面相对应的，它的方向是该晶面的法线方向，它的大小则为该晶面族面间距倒的方向是该晶面的法线方向，它的大小则为该晶面族面间距倒数的数的2 倍。倍。 213132321222aabaabaab 1a2a3a1. ijjiba 2)ji( 2 ji 0 aaaba321112 2 aaaba131212 0 1.4.2 倒格子与正格子的关系332211alalalRl 332211bhbhbhKh 其中其中 分别为分别为正格点位矢正格点位矢和和倒格点位矢倒格点位矢。hlKR 和2. 2 hlK

36、R( ( 为整数为整数) ) hlKR )(332211alalal)(332211bhbhbh )hlhlhl (3322112 2 3.3. *32 (其中其中 和和 *分别为正、倒分别为正、倒格子原格子原胞体积胞体积) 321bbb* 21133232aaaaaa CBABCACBA 2113aaaa 1a 13232aaa * 23 21131213aaaaaaaa 4.4.倒格矢倒格矢 与正格中晶面族与正格中晶面族( (h1h2h3) )正交，且其长度为正交，且其长度为 。332211hbhbhbhK 3212hhhd(1)(1)证明证明332211bhbhbhKh 与晶面族与晶面族

37、( (h1h2h3) )正交。正交。 CBABCACBA BCO2a3a1aAhK 设设ABC为晶面族为晶面族(h1h2h3)中离原点最近的晶面，中离原点最近的晶面， ABC在基矢在基矢 上的上的 截距分别为截距分别为 。321,aaa332211,hahaha由图可知：由图可知：3311hahaOCOACA 3322hahaOCOBCB CAKh 2211332211)(hahabhbhbh0 CBKh 3322332211)(hahabhbhbh0 所以所以332211bhbhbhKh 与晶面族与晶面族(h1h2h3)正交。正交。3212hhhd(2)证明证明 的长度等于的长度等于 。33

38、2211hbhbhbhK dnX 由平面方程：由平面方程： 得：得：hhhhhKKhad 11321hKbhbhbhha33221111 hK2 bacacbcba 222在晶胞坐标系在晶胞坐标系 中，中，cba,c)ba( clbkahKlkh复数形复数形式傅里叶式傅里叶级数：级数：1.4.3 倒格与傅里叶变换dkekCxfikx)(21)(dxexfkCikx)(21)( hrKihheKr rRrl lR是正格矢。是正格矢。 hRKirKihllhheeKRr)( 21为整数为整数 lhRKiRKelh 2 lhRKhK一定是倒格矢。一定是倒格矢。 2 lhRKhK一定是倒格矢。一定是倒

39、格矢。晶体结构晶体结构 正正格子格子 倒倒格子格子332211anananRn 1.1.332211bhbhbhKn 1.2.与晶体中原子位置与晶体中原子位置 相对应；相对应；2.与晶体中一族晶面相与晶体中一族晶面相对应；对应；3.是与真实空间相联系的是与真实空间相联系的傅里叶空间中点的周期性傅里叶空间中点的周期性排列；排列；3.是真实空间中点的周是真实空间中点的周期性排列；期性排列；4.线度量纲为线度量纲为长度长度4.线度量纲为线度量纲为长度长度-1已知晶体结构如何求其倒格呢？已知晶体结构如何求其倒格呢？晶体晶体结构结构正正格子格子332211bhbhbhKh 正正格子格子基基矢矢321,a

40、aa倒倒格子格子基基矢矢321,bbb倒倒格格子子 213132321aabaabaab 222 ijjiba 2)ji ( 2 ji 0aaaaiaa 1jaa 2jaaiaa 21 ijjiba 2)ji ( 2)(0ji 例例1 1：下图是一个二维晶体结构图，试画出其倒格点的排列。：下图是一个二维晶体结构图，试画出其倒格点的排列。022111 baba202212 babajabiab2221 ijjiba 2)ji ( 2)(0ji jaaiaa 21a2a22211bhbhKh 倒格是边长为的正方形格子。倒格是边长为的正方形格子。a2例例2 2：证明体心立方的倒格子是面心立方。：证明

41、体心立方的倒格子是面心立方。解：解： 体心立方的原胞基矢：体心立方的原胞基矢： kjiaakjiaakjiaa 222321 332121aaaa 22222232aaaaaakjiaa 222222222222aaaakaaaajaaaai kaja2222 213132321222aabaabaab 3212aabkajaaa222232 332121aaaa kjakjaa 222223 jiab 23 kiab 22倒格矢：倒格矢： jiab 23 kjab 21 kiab 22同理得：同理得：体心立方的倒格是边长为体心立方的倒格是边长为4 4 / /a的的面心立方面心立方 。例例3

42、3：证明简立方晶面：证明简立方晶面( (h1 1h2 2h3 3) )的面间距为的面间距为232221321hhhadhhh 证明：证明：3212hhhhdK 由由得：得：3213212hhhhhhKd 简立方：简立方：,321kaajaaiaa iaaab22321 jaaab22132 kaaab22213 法一：法一：iab21 jab22 kab23 232221hhha 3213212hhhhhhKd 2322212321hhhaKhhh 332211321bhbhbhKhhh khjhiha3212 iab21 jab22 kab23 法二：法二：设设ABC为晶面族为晶面族(h1h

43、2h3)中离原点最近的晶面，中离原点最近的晶面，ABC在基矢在基矢 上的截距分别为上的截距分别为 ，321,aaa332211,hahahadnX 由平面方程由平面方程 得：得： dnhadnhadnha332211 dhnaadhnaadhnaa333222111,cos,cos,cos dahnadahnadahna333222111,cos,cos,cos 对于立方晶系：对于立方晶系：aaaa 321321aaa 且：且： dhnaadhnaadhnaa333222111,cos,cos,cos 1,cos,cos,cos322212 nanana12122122122 hahahad2

44、32221321hhhadhhh 1- -5 晶体的宏观对称性晶体的宏观对称性晶体的几何外形往往表现出明显的对称, 这种对称还反映在晶体的宏观物理性质中介电常数，二阶张量( , , )x y z DED 电位移矢量E 电场强度可以证明具有立方对称的晶体, 介电常数是一个标量六角对称的晶体, 平行和垂直六角轴有不同取值1. 宏观对称性晶体具有各种宏观对称性, 原因在于原子的规则排列 平面内密排的原子球自然地形成一个具有明显六角对称的晶格 将密排层堆积成三维密排结构可以形成两种不同的对称：立方对称（面心立方晶格）和六角对称（六角密排晶格） 周期排列（Bravais格子）是所有晶体的共同性质，正是在

45、原子周期排列的基础上产生了不同晶体所特有的各式各样的宏观对称性 圆形对于任何绕中心的旋转都是不变的； 正方形只在旋转 /2, , 3/2 的情况下不变； 等腰梯形和不规则四边形在除 2 以外的任何旋转下都不能能够保持不变考查图形在旋转中的变化可以显示(a)(b)(c)的差别2. 宏观对称性的描写 正交变换不同程度的对称性可从图形的旋转中来分析进一步考查图形按一条直线作左右反射后发生的变化 圆形对任意的直径做反射都不改变； 正方形只有对于对边中心的连线以及对角线作反射才保持不变； 等腰梯形只有对两底中心连线反射不变； 不规则四边形则不存在任何左右对称的线分析宏观对称就是考查在一定几何变换下物体的

46、不变性概括宏观对称性的系统方法就是考查考查在正交变换下的不变性在正交变换下的不变性前面考虑的几何变换都是正交变换(保持两点距离不变)111213212223313233xxaaaxyyaaayzzaaaz其中 A=aij 是正交矩阵 (i,j =1、2、3)222xxyzxyzyzTxxyz A A yz222xxyzyxyzz所以 ，行列式 ,TA AI|1A 即 A 为正交矩阵由于所考虑的变换是一种刚性操作, 变换前后, 晶体中任意两点距离不变),(321xxxX),(321xxxX Ox1 1x3 3x2 2绕 z 轴转 角cossin0sincos0 , | 1001AA中心反演100

47、010 , |1001AA物体在某正交变换下不变，称该变换为一个对称操作一个物体的对称操作越多，表明它的对称性越高3. 实例 立方体（或称为立方对称）绕立方轴旋转/2, , 3/2 9个对称操作绕面对角线旋转 6个对称操作绕体对角线旋转2/3, 4/38个对称操作111晶向垂直于(111)晶面正交变换100010001A即不动, 也算一个对称操作加起来有24个对称操作中心反演可以使立方体保持不变，以上每一个转动加上中心反演仍是对称操作立方体共有48个对称操作 正四面体 正四面体的对称操作都包含于正立方体的对称操作之中绕立方轴旋转/2, 3/2不再是对称操作，保留了转的对称操作，共3个绕面对角线

48、旋转不再是对称操作,保留了绕体对角线旋转2/3, 4/3 , 8个不动在正立方体的24个纯转动对称操作中，正四面体保留了其中12个中心反演不再是正四面体的对称操作 去掉的12个转动操作, 即绕立方轴转/2, 3/2; 绕面对角线转，加上中心反演后是正四面体的对称操作正四面体共有24个对称操作 正六角柱绕中心轴线转/3, 2/3，,4/3，5/3, 5个对称操作；绕相对面中心的连线转, 3个对称操作；加上不动，共12个对称操作以上每一操作加上中心反演仍是对称操作正六角柱共有24个对称操作绕对棱中点的联线转, 3个对称操作；一个物体的旋转轴和旋转-反演轴统称为对称素列举一个物体的对称素更为简便若一

49、个物体绕某一个旋转轴转 2/n 以及它的倍数不变,这个轴称为物体的 n 重旋转轴, 记作 n若一个物体对绕某一转轴转2/n 加上中心反演的联合操作以及其联合操作的倍数不变时, 这个轴称为物体的 n 重旋转-反演轴, 记作 n二重旋转-反演实际表明存在一个对称面,这个对称素一般称为镜面，记为 m 立方轴：4 同时也是 面对角线：2 同时也是 体对角线：3 同时也是423 立方轴： 而不是 4 面对角线： 而不是 2 体对角线：3 而不是432 晶体中允许有几度旋转对称轴呢晶体中允许有几度旋转对称轴呢? 设设B1ABA1是晶体中某一晶是晶体中某一晶面上的一个晶列，面上的一个晶列，AB为这一晶为这一

50、晶列上相邻的两个格点。列上相邻的两个格点。A1ABB1 AB 若晶体绕通过格点若晶体绕通过格点A并垂直于纸面的并垂直于纸面的u轴顺时针转轴顺时针转 角角后能使后能使B点转到点转到B点，则由于晶体的周期性，点，则由于晶体的周期性，B和和A完全完全等价，通过格点等价，通过格点B旋转旋转- 也能使也能使A转至途中转至途中A 点。点。A1 1ABB1 1 A B 有有BA =nABBA =nAB根据几何关系有：根据几何关系有： BA =ABBA =AB（1-2cos 1-2cos ）所以643212, , , , ,n,n晶体中允许的旋转对称轴只能是晶体中允许的旋转对称轴只能是1，2，3，4，6度轴。

51、度轴。12346 正五边形沿竖直轴每旋转正五边形沿竖直轴每旋转720恢恢复原状，但它不能重复排列充满一个复原状，但它不能重复排列充满一个平面而不出现空隙。因此晶体的旋转平面而不出现空隙。因此晶体的旋转对称轴中不存在五次轴，只有对称轴中不存在五次轴，只有1，2，3，4，6度度旋转对称轴旋转对称轴。(2)(2)中心反映中心反映( (i，对称素为点，对称素为点) ) 取中心为原点，经过中心反映后，图形中任一点取中心为原点，经过中心反映后，图形中任一点),(321xxx),(321xxx 变为变为 321321xxxxxx 100010001A1 A(3)镜象镜象(m，对称素为面，对称素为面)如以如以

52、x3= =0面作为对称面，镜象是将图形的任何一点面作为对称面，镜象是将图形的任何一点),(321xxx),(321xxx 变为变为 100010001A1 A 321321xxxxxx(4)(4)旋转旋转-反演对称反演对称 若晶体绕某一固定轴转若晶体绕某一固定轴转 以后，以后，再经过中心反演, ,晶体自晶体自身重合，则此轴称为身重合，则此轴称为n次(度)旋转-反演对称轴。n2 旋转-反演对称轴只能有1，2，3，4，6度轴。6, 4, 3, 2, 1旋转旋转-反演对称轴用反演对称轴用 表示。表示。旋转旋转-反演对称轴并反演对称轴并不都是独立的基本对称素。如：独立的基本对称素。如：12i11234

53、56i 3312m21 ABDCEFGH正四面体既无四正四面体既无四度轴也无对称心度轴也无对称心6=3+m12345661 2 3 4 5 123443 1 4 2 CADGFHEB1 1，2 2，3 3，4 4，6 6 度旋转对称操作。度旋转对称操作。 1 1，2 2，3 3，4 4，6 6度旋转反演对称操作。度旋转反演对称操作。(3)(3)中心反映：中心反映：i。(4)(4)镜象反映：镜象反映：m。 C1，C2，C3，C4，C6 （用熊夫利符号表示）（用熊夫利符号表示）S1，S2，S3，S4，S6（用熊夫利符号表示）（用熊夫利符号表示）点对称操作：点对称操作：(2)(2)旋转反演对称操作：旋转反演对称操作：(1)(1)旋转对称操作：旋转对称操作： 独立的对称操作有8种, ,即即1 1，2 2，3 3，4 4，6 6，i i，m m， 。 或或C1，C2，C3，C4，C6 ，Ci，Cs，S4。 4立方体对称性立方体对称性(1)(1)立方轴立方轴C4：3 3个立方轴；个立方轴；4个个3度轴；度轴；(2)体对角线体对角线C3：(3)面对角线面对角线C2：6个个2度轴；度轴；与与4 4度轴正交的对称面度轴正交的对称面与与