(辅导班专用)人教版数学九年级暑假讲义+课堂小测(提高班)02《一元二次方程实际应用》（教师版）

1、 第2讲 一元二次方程实际应用某玩具店采购人员第一次用100元去采购“企鹅牌”玩具，很快售完，第二次去采购时发现批发价每件上涨了0.5元，用去了150元，所购玩具数量比第一次多了10件，两批玩具的售价均为2.8元，问：第二次采购玩具多少件？(说明：根据销售常识，批发价应该低于销售价)解：设第二次采购玩具x件，则第一次采购玩具(x10)件，由题意得0.5.整理得x2110x3 0000，解得x150，x260，经检验x150，x260都是原方程的解当x50时，第二次采购时每件玩具的批发价为150503(元)，高于玩具的售价，不合题意，舍去；当x60时，第二次采购时每件玩具的批发价为150602.

2、5(元)，低于玩具的售价，符合题意，因此第二次采购玩具60件知识点一 一元二次方程的解题步骤列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似： “审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系； “设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元； “列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。 “解”就是求出说列方程的解； “答”就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程。注意：一元二次方程考点：定义的考察；解方程及一元二次方程的应用。知识点二：常考的一元二次方程的实际问题1.传播问题设开始数量为a,每轮感染的数量为x,经n轮感染

3、后的数量为b,则所列方程为a(1+x)n=b.2.单、双循环问题设参赛队伍有n个队,则单循环问题中总的比赛场数为n(n-1);双循环问题中总的比赛场数为n(n-1)3变化率问题规律：变化前数量(1平均变化率)变化次数变化后数量注意：有关变化率的问题，都可以根据以上规律列方程求解在实际问题的求解过程中，要注意方程的根与实际问题的合理性检验4经济销售、利润问题基本关系：(1)利润售价 ；(2)利润率100%；(3)总利润 销量5.几何图形问题用一元二次方程作为数学模型分析解决几何图形问题步骤：(1)整体地、系统地审题；(2)依据几何图形的性质，寻找问题中的等量关系；(3)设未知数，列出方程；(4)

4、正确地求解方程，并检验解的合理性；(5)写出答案传播问题1、 某种电脑病毒在网络中传播得非常快,如果有一台电脑被感染,经过两轮传播后共有144台电脑被感染(假定感染病毒的电脑没有及时得到查毒、杀毒处理).(1)求每轮感染中平均一台电脑感染几台电脑?(2)如果按照这样的感染速度,经过三轮感染后被感染的电脑总数会不会超过1 700台?解:(1)设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台电脑,依题意,得1+x+(1+x)x=144.整理,得(1+x)2=144.则x+1=12或x+1=-12.解得x1=11,x2=-13(舍去).答:每轮感染中平均一台电脑感染11台电脑.(2)由(1)得(1+x)2+x(

5、1+x)2=(1+x)3=(1+11)3=1 7281 700.答:三轮感染后,被感染的电脑会超过1 700台.【变式训练1-1】电脑病毒传播快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有81台电脑被感染.若每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑,则下面所列方程中正确的是(C )A、x(x+1)=81B、1+x+x2=81 C、(1+x)2=81D、1+(1+x)2=81单循环、双循环问题2、次会议上，每两个参加会议的人互相握了一次手，有人统计一共握了45次手，如果这次会议到会的人数为x人，根据题意可列方程为（ ）Ax（x+1）=45Bx（x-1）=45C2x（x+1）=45D【答案】D【详解】设

6、这次会议到会的人数为x人，则每人将与（x-1）人握手，依题意，得：x（x-1）=45，即x（x-1）=452故选：D【变式训练2-1】在元且庆祝活动中，参加活动的同学互赠贺卡，共送贺卡90张，则参加活动的有（）人A9B10C12D15【答案】B【详解】解：设参加此次活动的人数有x人，由题意得：x（x1）90，解得：x110，x29（不合题意，舍去）即参加此次活动的人数是10人增长率问题3、某公司今年销售一种产品，一月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，第一季度共获利42万元，已知二月份和三月份利润的月增长率相同设二、三月份利润的月增长率x，那么x满足的方程为（）A10（1+x）24

7、2 B10+10（1+x）242C10+10（1+x）+10（1+2x）42 D10+10（1+x）+10（1+x）242 【答案】D【详解】设二、三月份利润的月增长率x，则二月份获得利润10（1+x）万元，三月份获得利润10（1+x）2万元，依题意，得：10+10（1+x）+10（1+x）242【变式训练3-1】某县从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业。据统计，该县2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元预计2019年“竹文化”旅游收入达到2.88亿元，据此估计该县2018年，2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（ ）ABCD【答案】B解：设该市2018年、2019年旅游收入的

8、年平均增长率为x，依题意，得：2（1+x）2=2.88，解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）经济销售、利润问题4.1、商场某种商品的进价为每件100元，当售价定为每件150元时，平均每天可销售30件为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件据此规律，请回答：(1)设每件商品降价x元(x为整数)，则商场日销售量增加 2x 件，每件商品盈利 (50x) 元(用含x的代数式表示)(2)在上述条件不变、销售正常的情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2 100元？解：设每件商品降价x元时，商场日盈利可达到2 10

9、0元根据题意，得(50x)(302x)2 100，化简，得x235x3000，解得x115，x220.答：在上述条件不变、销售正常的情况下，每件商品降价15元或20元时，商场日盈利可达到2 100元4.2、某青年旅社有60间客房供游客居住,在旅游旺季,当客房的定价为每天200元时,所有客房都可以住满.客房定价每提高10元,就会有1个客房空闲,对有游客入住的客房,旅社还需要对每个房间支出20元/每天的维护费用,设每间客房的定价提高了x元.(1)填表(不需化简)入住的房间数量 房间价格 总维护费用 提价前 60 200 6020提价后(2)若该青年旅社希望每天纯收入为14 000元且能吸引更多的游

10、客,则每间客房的定价应为多少元?(纯收入=总收入-维护费用)解:(1)因为增加10元,就有一个房间空闲,增加20元就有两个房间空闲,以此类推,空闲的房间为间,所以入住的房间数量为(60-)间,房间价格是(200+x)元,总维护费用是(60-)20元.(2)依题意得(200+x)(60-)-(60-)20=14 000,整理,得x2-420x+32 000=0,解得x1=320,x2=100.当x=320时,有游客居住的客房数量是60-=28(间).当x=100时,有游客居住的客房数量是60-=50(间).所以当x=100时,能吸引更多的游客,则每个房间的定价为200+100=300(元).答:

11、每间客房的定价应为300元.4.3、水果店张阿姨以2元/kg的价格购进某种水果若干千克，然后以4元/kg的价格出售，每天可售出100 kg.通过调查发现，这种水果每千克的售价每降低0.1元，每天可多售出20 kg.为保证每天至少售出260 kg，张阿姨决定降价销售(1)若将这种水果每千克的售价降低x元，则每天的销售量是 (100200x) kg(用含x的代数式表示)(2)销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每千克的售价降低多少元？解：根据题意，得(4x2)(100200x)300，解得x或x1.每天至少售出260 kg，x1.答：张阿姨需将每千克的售价降低1元【变式训练4-1】某工艺品

12、进价为100元/件,标价130元/件售出,每天平均可售出100件.根据销售统计,该工艺品每降价1元出售,则每天可多售出5件,某店为减少库存量,同时使每天平均获得的利润为3 000元,每件需降价()A.12元B.10元 C.8元 D.5元答案B设每件工艺品降价x元,则每天的销售量为(100+5x)件,根据题意得(130-100-x)(100+5x)=3 000,整理得x2-10x=0,解得x1=0,x2=10.要减少库存量,x=10.故选B.【变式训练4-2】某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次,第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件,每件利润为6元,每提高一个档次,每件利润增加2元,但

13、一天产量减少5件.若生产的产品某天的总利润为1 120元,且同一天所生产的产品为同一档次,则该天生产的产品的质量档次是()A.6B.8C.10D.12答案A设该天生产的产品的质量档次是x,则该天的产量为95-5(x-1)件,每件的利润是6+2(x-1)元,根据题意得6+2(x-1)95-5(x-1)=1 120,整理得x2-18x+72=0,解得x1=6,x2=12(不合题意,舍去).故选A.【变式训练4-3】全社会对空气污染问题越来越重视,空气净化器的销量也大增,商社电器从厂家购进了A、B两种型号的空气净化器,已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元,用7 500元购

14、进A型空气净化器和用6 000元购进B型空气净化器的台数相同.(1)求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元;(2)在销售过程中,A型空气净化器因为净化能力强、噪音小而更受消费者的欢迎.为了增大B型空气净化器的销量,商社电器决定对B型空气净化器进行降价销售,经市场调查,当B型空气净化器的售价为1 800元/台时,每天可卖出4台,在此基础上,售价每降低50元,每天将多售出1台,如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3 200元,请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为多少元?几何图形问题5.1、如图,某中学准备在校园里利用围墙的一段,再砌三面墙,围成一个矩形花园ABCD(围墙

15、MN最长可利用25 m),现在已备足可以砌50 m长的墙的材料,试设计一种砌法,使矩形花园的面积为300 m2.解:设AB为x m,则BC为(50-2x) m,根据题意,得x(50-2x)=300.2x2-50x+300=0,解得x1=10,x2=15,当x1=10时,50-2x=3025(不合题意,舍去),当x2=15时,50-2x=2025(符合题意).答:当砌墙宽为15 m,长为20 m时,花园面积为300 m2.5.2、如图,为美化校园环境,某校计划在一块长为60米,宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃,并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道,设通道宽为a米.(1)当通道宽a为

16、10米时,花圃的面积=;(2)通道的面积与花圃的面积之比能否恰好等于35?如果可以,试求出此时通道的宽.解:(1)由题图可知,花圃的面积为(40-210)(60-210)=800(平方米).(2)根据题意得6040-(40-2a)(60-2a)=6040,解得a1=5,a2=45(舍去).答:通道的面积与花圃的面积之比能等于35,此时通道的宽为5米.5.3、如图,在RtABC中,AC=24 cm,BC=7 cm,P点在BC上,从B点到C点运动(不包括C点),点P运动的速度为2 cm/s;Q点在AC上从C点运动到A点(不包括A点),速度为5 cm/s.若点P,Q分别从B,C同时运动,且运动时间记

17、为t秒,请解答下面的问题,并写出探索的主要过程.(1)当t为何值时,P,Q两点的距离为5 cm?(2)当t为何值时,PCQ的面积为15 cm2?解:(1)经过t s后,P,Q两点的距离为5 cm,则PC=(7-2t)cm,CQ=5t cm,根据勾股定理,得PC2+CQ2=PQ2,即(7-2t)2+(5t)2=(5)2.解得t1=1,t2=-(不合题意,舍去).所以,经过1 s后,P,Q两点的距离为5 cm.(2)经过t s后,PCQ的面积为15 cm2,则PC=(7-2t)cm,CQ=5t cm,由题意,得(7-2t)5t=15.解得t1=2,t2=1.5.所以经过2 s或1.5 s后,PCQ

18、的面积为15 cm2.【变式训练5-1】如图,矩形花圃ABCD一面靠墙(墙足够长),另外三面用总长度是24 m的篱笆围成,当矩形花圃的面积是40 m2时,BC的长为.答案4 m或20 m解析设BC的长度为x m,则AB的长度为24x2m.由题意得x24x2=40,整理得x2-24x+80=0,即(x-4)(x-20)=0,解得x1=4,x2=20,即BC长为4 m或20 m.【变式训练5-2】如图,某小区规划在一个长为16 m、宽为9 m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路,使其中两条与AB平行,另一条与AD平行,其余部分种草.若草坪部分的总面积为112 m2,那么小路的宽度为_1_m.【

19、变式训练5-3】如图,在ABC中,AB=10 cm,BC=16 cm,B=90,点P从点A开始沿着AB边向点B以1 cm/s的速度移动(到B停止),点Q从点B开始沿着BC边向点C以2 cm/s的速度移动(到C停止).如果P、Q分别从A、B同时出发,经过几秒,PBQ的面积是ABC面积的310?解析设经过x秒,PBQ的面积是ABC面积的310.当0x8时,根据题意得122x(10-x)=121016310,整理得x2-10x+24=0,解得x1=4,x2=6.当8x10时,1216(10-x)=121016310,整理得16x=112,解得x=7(不合题意,舍去).答:经过4秒或6秒,PBQ的面积

20、是ABC面积的310.1.如图所示,点阵M的层数用n表示,点数总和用S表示,当S=66时,n的值为()A.10B.11C.12D.13答案B规律总结得S=12n(n+1).S=66,12n(n+1)=66,解得n1=11,n2=-12(不合题意,舍去).故选B.2.商场将进价为2 000元/台的冰箱以2 400元/台售出,平均每天能售出8台.为了促销,商场决定采取适当的降价措施,调查表明:这种冰箱的售价每台每降低50元,平均每天就能多售出4台,商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4 800元,同时又要使消费者得到更多实惠,每台冰箱应降价()A.100元B.200元C.300元D.400元答案B设每

21、台冰箱应降价x元,每台冰箱的利润是(2 400-2 000-x)元,每天卖8+x504台,列方程得(2 400-2 000-x)8+x504=4 800,整理得x2-300x+20 000=0,解得x1=200,x2=100.因为要使消费者得到更多实惠,所以x=200.故选B.3.如图,在长为33米、宽为20米的矩形空地上修建同样宽的道路(阴影部分),余下的部分为草坪,要使草坪的面积为510平方米,则道路的宽为()A.1米B.2米C.3米D.4米答案C设道路的宽为x米,根据题意得20x+33x-x2=2033-510,整理得x2-53x+150=0,解得x=50(舍去)或x=3,所以道路宽为3

22、米.故选C.4.中国民歌不仅脍炙人口,而且许多还有教育意义,有一首牧童王小良的民歌还包含着一个数学问题:牧童王小良,放牧一群羊.问他羊几只,请你仔细想.头数加只数,只数减头数.只数乘头数,只数除头数.四数连加起,正好一百数.如果设羊的只数为x,那么根据民歌的大意,你能列出的方程是.答案x2+2x+1=100解析羊的只数为x,头数加只数为2x,只数减头数为0,只数乘头数为x2,只数除头数为1,可列方程为x2+2x+1=100.5.如图,在边长为6 cm的正方形ABCD中,点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC和CD边向D点以2 cm/s的速度移动,如果点P、Q

23、分别从A、B同时出发,其中一点到终点,另一点也随之停止.过了秒钟后,PBQ的面积等于8 cm2.答案2或103解析设经过x秒,PBQ的面积等于8 cm2,当0x3时,Q点在BC上运动,P在AB上运动,PB=(6-x)cm,BQ=2x cm,所以SPBQ=12PBBQ=12(6-x)2x=8,解得x=2或4.又0x3,故x=2;当3x6秒时,Q点在CD上运动,P在AB上运动,SPBQ=12(6-x)6=8,解得x=103.综上,x的值为2或103.6.如图,A、B、C、D为矩形的四个顶点,AB=16 cm,AD=8 cm,动点P、Q分别从点A、C同时出发,点P以3 cm/s的速度向B移动,一直到

24、达点B为止;点Q以2 cm/s的速度向D移动.当P、Q两点从出发开始到秒时,点P和点Q的距离是10 cm.答案2或225解析设当P、Q两点从出发开始到x秒时,点P和点Q的距离是10 cm,此时AP=3x cm,DQ=(16-2x)cm,根据题意得(16-2x-3x)2+82=102,解得x1=2,x2=225,即当P、Q两点从出发开始到2秒或225秒时,点P和点Q的距离是10 cm.7.如图,某旅游景点要在长、宽分别为20米、12米的矩形水池的正中央建一个各边与矩形的边互相平行的正方形观赏亭,观赏亭的四边连接四条与矩形的边互相平行且宽度相等的道路,已知道路的宽为正方形边长的14.若道路与观赏亭

25、的面积之和是矩形水池面积的16,求道路的宽.解析设道路的宽为x米,则可列方程x(12-4x)+x(20-4x)+(4x)2=162012,即x2+4x-5=0,解得x1=1,x2=-5(舍去).答:道路的宽为1米.8.在水果销售旺季,某水果店购进一批优质水果,进价为20元/千克,售价不低于20元/千克,且不超过32元/千克,根据销售情况,发现该水果一天的销售量y(千克)与该天的售价x(元/千克)满足如下表所示的一次函数关系.销售量y(千克)34.83229.628售价x(元/千克)22.62425.226(1)某天这种水果的售价为23.5元/千克,求当天该水果的销售量;(2)如果某天销售这种水

26、果获利150元,那么该天水果的售价为多少元?解析(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k0),将(22.6,34.8)、(24,32)代入y=kx+b中,得22.6k+b=34.8,24k+b=32,解得k=2,b=80,y与x之间的函数关系式为y=-2x+80.当x=23.5时,y=-2x+80=33.答:当天该水果的销售量为33千克.(2)根据题意得(x-20)(-2x+80)=150,解得x1=35,x2=25.20x32,x=25.答:如果某天销售这种水果获利150元,那么该天水果的售价为25元.1、某班一物理科代表在老师的培训后学会了某个物理实验操作，回到班上后第一节课教会了

27、若干名同学，第二节课会做该实验的同学又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这个实验；若设1人每次都能教会x名同学，则可列方程为( )Ax+(x+1)x36B1+x+(1+x)x36C1+x+x236Dx+(x+1)236【答案】B【详解】设1人每次都能教会x名同学，根据题意得：1+x+(x+1)x362、宾馆有50间房供游客居住.当每间房每天定价为180元时,宾馆会住满;当每间房每天的定价每增加10元时,就会空闲一间房.如果有游客居住,宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用.当房价定为多少元时,宾馆当天的利润为10 890元?设房价定为x元,则有()A.(180+x-20)50x10=

28、10 890 B.(x-20)50x-18010=10 890C.x50x-18010-5020=10 890 D.(x+180)50x10-5020=10 890答案B因为房价定为x元,所以根据“利润=房价的净利润入住的房间数”得(x-20)50x-18010=10 890.故选B.3.一个矩形的长比宽多3 cm,面积是25 cm2,求这个矩形的长和宽.设矩形的宽为x cm,则下面所列方程正确的是()A.x2-3x+25=0B.x2-3x-25=0C.x2+3x-25=0D.x2+3x-50=0答案C由题意知该矩形的长为(x+3)cm,x(x+3)=25,整理得x2+3x-25=0,故选C.

29、4.某公司2018年10月份的生产成本是400万元,由于改进技术,生产成本逐月下降,12月份的生产成本是361万元.若该公司这两月每个月生产成本的下降率都相同,则每个月生产成本的下降率是()A.12%B.9%C.6%D.5%答案D设每个月生产成本的下降率为x,根据题意得400(1-x)2=361,解得x1=0.05=5%,x2=1.95(舍去).故选D.5.某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件,市场调查反映:每降价1元,每星期可多卖出20件,已知商品的进价为每件40元,在顾客获得实惠的前提下,商家还想获得6 080元利润,应将销售单价定为()A.56元B.57元C.59元D.57

30、元或59元答案A设将销售单价定为x元,则每星期可卖出20(60-x)+300件,根据题意得(x-40)20(60-x)+300=6 080,整理得x2-115x+3 304=0,解得x1=56,x2=59.要使顾客获得实惠,x=56.故选A.6.如图,在一块长为30 m,宽为24 m的矩形空地上,修建同样宽的两条互相垂直的小路,其余部分建成花园,已知小路的占地面积为53 m2,那么小路的宽为()A.1 mB.1.5 mC.2 mD.2.5 m答案A设小路的宽为x m,由题意得(30-x)(24-x)=3024-53,解得x=53(舍去)或x=1,即修建的小路的宽为1 m.故选A.7.有一人患了流感,经过两轮传染后共有64人患了流感,那么每轮传染中平均一个人传染给个人.答案7解析设每轮传染中平均一个人传染给x个人,根据题意得1+x+x(1+x)=64,解得x1=7,x2=-9(不合题意,舍去),即每轮传染中平均一个人传染给7个人.8.如图