毕业设计（论文）-二元函数求极限的方法与技巧

1、 二元函数求极限的方法与技巧 陕西理工学院数计学院数学与应用数学专业201级1101班，陕西 汉中 723000指导教师：摘要随着变量个数的增加,二元函数的极限比一元函数极限变得要复杂得多,但现教材参考书中关于二元函数极限求法介绍的不够详细,不便于初学者的学习与掌握.本文就此问题进行讨论,通过具体例子给出了求解二元函数极限的几种方法 .关键词 二元函数; 极限; 领域; 方法与技巧.著名的?庄子? 一书中有言: “一尺之棰,日取其半,而万世不竭.极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终,可以说数学分析中的几乎所有的概念都离不开极限.在几乎所有的高等数学著作中都是先介绍极限的思想方法,然后利用极限

2、的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分的概念.不管是一元函数，二元函数还是多元函数，研究的方法和工具都是极限.关于一元函数的极限求法各种高等数学教材中都有详细的例题和说明, 二元函数极限是在一元函数极限的根底上开展起来的,二者之间既有联系又有区别,比方：极限的四那么运算法那么是相同的,而且求极限是数学分析中一种最根本，最主要的运算.掌握好极限的数学,不仅可以提高学生分析问题,解决问题的能力,对后续课程也将产生深刻影响,并且可以增强学生的学习兴趣.二元函数的极限要比一元函数的极限复杂得多,但现教材参考书中关于二元函数极限求法介绍的不够详细

3、,不便于初学者的学习与掌握.因而在学习这局部内容时同学们都感到很困难.我在深人学习和研究的过程中,总结出了几个常用的方法,这些方法在求极限时都是行之有效的,因此我愿整理成文,以其对同学们学习这局部内容有所帮助.1二元函数极限的概念定义1 设函数在内有定义,是内的一个聚点,是一个确定的实数.假设对任给正数,总存在某正数,使得当 时即满足不等式时的一切点,都有成立,那么称为,当时的极限,记作 1 在对于不致产生误解时,也可简单地写作 2当,分别用坐标表示时, = 2 * GB2 式也常写作 3那么常数称为函数,当趋于时的极限.为区别二元函数极限与一元函数极限,称二元函数极限为二重极限. 注 该定义

4、是指以任何方式接近于时,函数都无限接近于.因此 1如果以某一种特殊方法如沿某一条直线趋于时,函数无限趋于某一确定值,由此还不能确定该函数的极限是存在的. 2如果当以不同方式趋于时,函数趋于不同的值,那么可判定此函数的极限是存在的.2二重极限的运算法那么正像一元函数的极限一样,二重极限也有类似的运算法那么,教材中并没有给出二元函数极限的求法,下面也将结合教学过程给出二重极限的求法.法那么1 假设极限与都存在,那么函数,当时极限也存在,那么 1 2假设,那么,当时极限存在,那么有 33二元函数求极限的方法和技巧二元函数极限是在一元函数极限的根底上推广得来的,两者之间既有区别又有联系.在极限的运算法

5、那么上它们是一致的,但随着变量的增加,二元函数极限的求解比一元函数复杂得多.现总结出一些常用的二元函数极限求解的方法,对后面含有更多变量的多元函数极限的求解打下根底. 直接证明方法 思路 直接证明法是根据函数的特征,用定义直接证明验证. 例1求解 当 时任意地给定一个正数,取,那么当 并且 时有 即 所以 先估值再证明法 思路 此方法的运用通常是先观察,推断出函数的极限,然后用定义证明. 例2 求函数在原点处的极限 解 分两步考虑(1)先令,考虑,当,时的极限,那么有 (2) 再用定义证明为的极限于是,取时当且时有 即 所以 利用重要极限公式求解思路 有时我们可以利用一元函数的重要极限和直接求

6、解二元函数的极限.例3 求 解 由于因此当时，所以 再利用极限四那么运算可得=例 4 求解 由于 令那么 故 例 5 求解 令，那么时从而 利用无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量的结论 思路 一元函数关于无穷小量的某些结论对于二元函数同样适用,例如无穷小量的倒数是无穷大量,等价无穷小替换,无穷小量与有界变量的乘积仍然是无穷小量.例6 求 解 由于 =而 有界又因为 是无穷小量所以 例7 求 解 当时,有 所以 利用两边加逼定理思路 迫敛性是求一元函数极限的有力方法,对于二元函数极限也有类似的性质.设函数在的邻域有定义即设和在区域上有定义,是的内点或界点,且 假设 ,那么有 使用迫敛性求二元函

7、数的极限,关键是经过适当放缩,构造出同时满足上述两个条件的.例8 求 解 因为 =而 故 例9 求解 由 可得 而 所以 利用二元函数的连续性思路 由二元函数连续定义可知,假设函数在原点处连续,那么在处有极限,而极限值就等于在该点的函数值.既 例10求函数在点的极限 解 因为在点处连续所以 例11 求 解 因为 在处连续所以 利用极坐标变换求二元函数的极限 思路 当二元函数中含有项时,考虑用极坐标变换 通过综合运用恒等变换,不等式放缩等方法将二元函数转化为只含有参数的函数,进而求二元函数的极限. 例 12 求 分析 极限中的二元函数含有,考虑二元函数的极坐标变换 解 因为使得由于函数的左端不含

8、未知数而右端只含有一个未知数对经过放缩后的函数利用迫敛性有 即所以 例 13 设 证明 证 对函数的自变量作极坐标变换 这时等价于对任何都有由于 因此对任何,取当时不管取什么值,都有 即 用对数变形求二元函数的极限 思路 一般地,对于二元幂指函数,通常采用对数恒等变形的方法求二元函数的极限.例13 求二元函数的极限解 因为 =又因为 令 那么 且 所以 =14小结 从上述中的几个例题中可以看出,总结出二元函数极限的计算方法是很有必要的.至于三元以至更多元的函数,其极限理论一般地都可由二元函数类推而出.二元函数理论是一元函数理论的开展,但从一元函数转到二元函数,会出现某些原那么上新的东西.比方,

9、二元函数会出现累次极限和重极限的问题.在这里就不一一表达了. 二元函数的极限在高等数学中非常重要，但由于二元函数的自变量多,因此对于判断其极限存在与否及其求法，比起一元函数的极限就显得比拟困难.求极限和证明极限的方法很多，一般我们常用定义法，初等变形法，两边夹准那么，阶的估计等.在这几种方法中，定义法是根底，但是比拟繁琐,其他方法有的较易，有的较难，让人不知道从何下手.因此，我们有必要总结探讨出比拟容易好的方法去求二元函数的极限.二元函数极限在现在的生活中也有很大的用处，比方工程计算方面.从以上来看,研究归纳总结二元函数极限的求法问题是有意义和必要的.本文通过比照一元函数极限的性质和求法,总结

10、出二元函数极限计算的一些常用方法,并给出了相应的例题加以说明.求极限的方法有很多,通过总结出常用的计算方法,让我们做题时知道如何下手. 参考文献:(1)华东师范大学数学系编.数学分析(第三版) M.北京:高等教育出版社. 2002.93-98(2)黄玉民,李成章.数学分析M.北京:科学出版社.1999.5.134-145(3)刘玉琏.数学分析讲义学习辅导书(第二版)M.北京:高等教育出版社. 2003.152-162(4)吉林大学.数学分析M.北京:人民教育出版社.1978.121-134(5)同济大学应用数学系.高等数学M.北京:高等教育出版社. 2002.54-59(6)同济大学数学教研室

11、.高等数学第五版M.北京：高等教育出版社.2002.23-45(7)宋国栋，庞学，毛羽辉，胡善文等，数学分析上下册第三版M.高等教育出版社.1999.03.(8)任春丽,张海琴.从多元函数极限定义引出的问题J.2006.12-17(9)冯英杰，李丽霞.二元函数极限的求法J.2003.32-43(10)费定晖,周学圣.数学分析习题集题解M.山东：山东(11)Zhang S N. Boundedness of finite delay difference system J. Ann of Diff Eqs, 1993, 9(1).107-115.(12)CALLON R, VISWANATHAN

12、 A, ROSEN E,et al. Multiprotocol Label Switching ArchitectureC/OL.123-147 Bivar function limits methods and techniquesTie NingGrade11, Class1, Major Mathematics and applied mathematics, Mathematics Dept., Shaanxi University of Technology, Hanzhong 723000, ShaanxiTutor: Liu YanjunAbstract: With the increase of the number of variables and the limit of binary function than the limit of one variable function becomes much more complex, but now reference materials about the limit of binary function method for solving the detailed enough, not easy to beginners to learn and master. Thi