第六章 线性代数二次型

1、三三. 实二次型的分类、正定矩阵实二次型的分类、正定矩阵*四四. 二次型的应用二次型的应用一一. 二次型的基本概念二次型的基本概念二二. 二次型化为标准形的三种方法二次型化为标准形的三种方法第六章第六章 二次型二次型 一一. 二次型的基本概念二次型的基本概念1. 二次型、二次型的矩阵、二次型的秩二次型、二次型的矩阵、二次型的秩称为称为二次型。二次型。1221111212131311222223232221,111,1(,)222 22 2 nnnnnnnnnnnnf x xxa xa x xa x xa x xa xa x xa x xaxaxx 2 nnna x 含有含有n个变量个变量 的二

2、次齐次多项式的二次齐次多项式12,nx xx定义定义1：(1)（我们仅讨论（我们仅讨论实实二次型）二次型）实二次型：实二次型： 为实数为实数ija复二次型：复二次型： 为复数为复数ija例如：例如：22( , )45f x yxxyy22( , , )2f x y zxyxzyz1234122324(,)f x xxxx xx xx x 二次型二次型22( , )5f x yxy22( , )22f x yxyx 不是二次型不是二次型只含平方项只含平方项的二次型的二次型2222211nnykykykf 称为称为二次型的标准形二次型的标准形（或法式）。（或法式）。例如：例如： 312322213

3、214542,xxxxxxxxf 都是二次型；都是二次型； 23222132144,xxxxxxf 为二次型的标准形。为二次型的标准形。 323121321,xxxxxxxxxf 2211111222121122211222212 nnnnnnnnnnnfaaxaxaxaxxaxxxxxaaaxxxxx ijjiaa 取取2ijijijijjiija x xa x xa x x则则则（则（1）式可以表示为）式可以表示为11112211()nna xa xxxa21122222()nna xa xxxa 1122()nnnnnna xa xxa x,1nijiji ja x x 11112212

4、112222121122(,)nnnnnnnnnna xa xa xa xa xa xx xxa xa xa x 1111212122221212(,) nnnnnnnnxaaaaaaxx xxaaax 12 nxxXx 111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa 令令 TfX AX 则则其中其中A为对称矩阵。为对称矩阵。二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示1123231-201(,) -20 210-32xxxxxx 22123131223 (,)34f x xxxxx xx x例如：二次型例如：二次型在二次型的矩阵表示中，在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，唯一确定一个任给一个

5、二次型，唯一确定一个对称对称矩阵；矩阵；反之，任给一反之，任给一对称对称矩阵，也可唯一确定一个二次型矩阵，也可唯一确定一个二次型这样，二次型与这样，二次型与对称对称矩阵之间存在一一对应的关系矩阵之间存在一一对应的关系把对称矩阵把对称矩阵A称为称为二次型二次型 的矩阵的矩阵f也把二次型也把二次型 称为对称矩阵称为对称矩阵A的二次型的二次型f对称矩阵对称矩阵A的秩称为的秩称为二次型二次型 的秩的秩f TfX AX 二次型二次型定义定义2：22121223(1)( , , )223f x y zxxx xx x例例1：求二次型：求二次型 f 的矩阵的矩阵11031223002A 解：解：222123

6、4124122334(2)(,)27224f x x x xxxxx xx xx x 1100121001020027A 解：解：112231(3)( ,)nnnf xxx xx xxx1000021100022100002100002100002A 12323101012A 例例2：求对称矩阵：求对称矩阵A所对应的二次型所对应的二次型.1232221231213(,)22 3f xxxxxxx xx x ( )2r A 222123123121323( ,)55266f x x xxxcxx xx xx x 例例3：已知二次型：已知二次型 的秩为的秩为2，求参数，求参数c.f51315333

7、Ac 解：解：0A3.c2. 非退化线性变换（可逆线性变换）非退化线性变换（可逆线性变换）系数系数矩阵矩阵 nnnnnncccccccccC212222111211 nxxxX21 nyyyY21线性变换线性变换则线性变换（则线性变换（2）可记作：）可记作：CYX nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx22112222121212121111(2)若若C是是可逆可逆矩阵，矩阵，称线性变换（称线性变换（2）是）是非退化线性变换非退化线性变换若若C是是正交正交矩阵，称线性变换（矩阵，称线性变换（2）是）是正交线性变换正交线性变换对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求对于二次

8、型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的可逆的线性变换，使二次型只含平方项线性变换，使二次型只含平方项.,1nTijiji jfX AXa x x 即二次型即二次型经过可逆线性变换经过可逆线性变换CYX 这种只含平方项的二次型，称为这种只含平方项的二次型，称为二次型的标准型二次型的标准型2221122 nnfk yk yk y 使得使得3. 矩阵的合同矩阵的合同经过非退化线性变换经过非退化线性变换CYX 可化为可化为)()(CYACYAXXfTT YACCYTT)( 定理定理1：TfX AX二次型二次型f则二次型则二次型 的矩阵由的矩阵由A变为变为TC AC为对称矩阵，且为对称矩阵，且TBC AC

9、( )( ).r Br C定义定义3：（合同）（合同）,TBC AC所以，通过非退化线性变换，新二次型的矩阵所以，通过非退化线性变换，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的。与原二次型的矩阵是合同的。矩阵合同的性质：矩阵合同的性质：(1) 反身性反身性(2) 对称性对称性(3) 传递性传递性两个两个n阶方阵阶方阵A、B，若存在可逆矩阵，若存在可逆矩阵C，使得，使得则称则称A合同于合同于B。注：注：“合同合同”定义中，矩阵定义中，矩阵A 、B为一般方阵，为一般方阵，但实际多针对对称矩阵考虑合同关系。但实际多针对对称矩阵考虑合同关系。二二. 化二次型为标准形化二次型为标准形1. 正交变换法正交变换

10、法2. 配方法配方法目标：目标： ()TTfYC AC Y2222211nnykykyk YYT 问题等价于：问题等价于：TfX AX二次型二次型XCY非退化线性变换非退化线性变换TC AC求可逆矩阵求可逆矩阵C，使得，使得 为对角矩阵为对角矩阵回忆：回忆：1TAT 1.TTTTT AT 此结论用于二次型此结论用于二次型所以，所以，对于任意实对称矩阵对于任意实对称矩阵A，总存在正交矩阵，总存在正交矩阵T，使得使得T为正交矩阵，为正交矩阵，对于任意实对称矩阵对于任意实对称矩阵A，总存在正交矩阵，总存在正交矩阵T，使得使得1. 正交变换法正交变换法主轴定理：主轴定理：任给二次型任给二次型,1,AX

11、XxxafTnjijiij 总有正交变换总有正交变换,CYX 使之化为标准形使之化为标准形2222211nnyyyf 定理定理2：12n， ， ，其中其中 是二次型是二次型 的对称的对称矩阵矩阵A的全部特征值。的全部特征值。f正交变换的特点之一是保持向量的长度不变。这是正交变换的特点之一是保持向量的长度不变。这是因为因为Q为正交矩阵，当为正交矩阵，当X=QY时，必有时，必有(X,X)=(QY,QY)=(QY)T(QY)=YTQTQY=YTEY=YTY=(Y,Y)即即22,.XYXY在几何中将二次曲线或曲面方程化为标准型方程时，在几何中将二次曲线或曲面方程化为标准型方程时，若要求保持图形的几何性

12、质（如保持图形形状不变）若要求保持图形的几何性质（如保持图形形状不变）,就要使用正交变换等方法。就要使用正交变换等方法。在统计等方面的应用中，也常常使用正交变换的方法在统计等方面的应用中，也常常使用正交变换的方法处理二次型，使变换保持尺度不变。处理二次型，使变换保持尺度不变。二、用配平方法求二次型的标准型二、用配平方法求二次型的标准型用正交变换能够化实二次型为标准型，这种方法是用正交变换能够化实二次型为标准型，这种方法是根据实对称矩阵的性质，求出二次型的特征值和规根据实对称矩阵的性质，求出二次型的特征值和规范正交的特征向量，条件要求较强。范正交的特征向量，条件要求较强。研究一般数域研究一般数域

13、P上的二次型（含实二次型）的标准型上的二次型（含实二次型）的标准型时，可用拉格朗日配方法，这种方法不用解矩阵特征时，可用拉格朗日配方法，这种方法不用解矩阵特征值问题，只需反复利用以下两个初等公式值问题，只需反复利用以下两个初等公式就能将二次型化为平方和。就能将二次型化为平方和。)(,2)(22222babababababa例例3：用配方法化二次型：用配方法化二次型32222121321322),(xxxxxxxxxf为标准型，并求出所用的可逆线性变换为标准型，并求出所用的可逆线性变换。解：解：32222121321322),(xxxxxxxxxf322222212132xxxxxxx22221

14、222 33399()344xxxx xxx2221223339()()24xxxxx令令1122233332yxxyxxyx(1)则则1123223333232xyyyxyyxy(2)(2)是可逆线性变换，使得是可逆线性变换，使得22291231234(,)f x xxyyy1231 21 32 3( ,)3f x x xx xx xx x例例4：化二次型：化二次型为标准型。为标准型。解：二次型中无平方项，利用平方差公式作可逆解：二次型中无平方项，利用平方差公式作可逆线性变换，使新变量的二次型含平方项，再利用线性变换，使新变量的二次型含平方项，再利用前面的方法化简。令前面的方法化简。令332

15、12211yxyyxyyx写成矩阵式子写成矩阵式子 X=CY，110110 ,001C则则22213233()(2 )3yyyyy令令333223112yzyyzyyz即即333223112zyzzyzzy2212312123123( ,)()3()f x x xyyyy yyy y2211 322324yy yyy y222132323()4yyyyy y于是，将于是，将 f 化为标准型所用的可逆线性变换为化为标准型所用的可逆线性变换为Y=PZ，其中，其中101012 ,001P222123123(,)3f x xxzzz则则()() ,XCYC PZCP Z113111001CP其中其中为

16、可逆矩阵为可逆矩阵.定理定理3：对于任一：对于任一n元二次型元二次型),(),(21TTnAAAXXxxxf都存在非退化的线性变换都存在非退化的线性变换X=CY，使之成为，使之成为.),(222221121nnnydydydxxxf证明：对变量个数进行归纳。证明：对变量个数进行归纳。21211 111222( , , )2nnnnjjij ijjijf x xxa xxa xa xx情形情形1：平方项的系数不全为零，不妨设：平方项的系数不全为零，不妨设110,a 211 11(),fxaxn=1时，时， 结论成立。结论成立。设设n-1时结论成立，则时结论成立，则n时，时，22111112222

17、111111,nnnnjjjjijijjjijaxa xa xa xxaa2231222111(,)nnnnjjijijjijg y yya ya y ya111222111,njjnnjyxa x yxyxa令令211 123( ,),nfa yg y yy则则是是n-1元二次型或零多项式。元二次型或零多项式。由归纳假设，存在非退化线性变换由归纳假设，存在非退化线性变换22223223 3(,).nnng yyyd zd zd zQ为为n-1阶可逆矩阵，使得阶可逆矩阵，使得22,nnyzQyz则非退化线性变换为则非退化线性变换为2221211 122( ,).nnnf x xxa zd zd

18、 z111100nnnxyzPPQxyz1111112111311110100,00100001naaaaaaP令令是非退化的线性变换，使得是非退化的线性变换，使得),(),(212221njijiijnyyyhyayayyygf情形情形2：),(21nxxxf0,ijaij不含平方项，必有不含平方项，必有12(,)nh yyy其中其中 为不含平方项的二次型或零。为不含平方项的二次型或零。),(21nyyyg含有平方项，这归结为情形含有平方项，这归结为情形1。故故,1,iijjijkkxyyxyyxykn ki j令令右端标准型的矩阵为右端标准型的矩阵为,21ndddB新旧变量二次型的矩阵新旧

19、变量二次型的矩阵A与与B满足满足CTAC=B，即即A与对角矩阵与对角矩阵B合同。合同。推论推论：任意：任意n阶对称矩阵阶对称矩阵A都与对角形矩阵合同。都与对角形矩阵合同。证明：由定理证明：由定理4，存在非退化线性变换，存在非退化线性变换X=CY，使得，使得2222211nnTydydydAXX三三. 实二次型的分类、正定矩阵实二次型的分类、正定矩阵1. 惯性定理惯性定理定义定义4：设有：设有n元二次型元二次型12(,),nf xxx如果对任意一组不全为零的实数如果对任意一组不全为零的实数12, , , ,nc cc1212121212121212121( ,)0,(,);(2) ( ,)0,(

20、,);(3) ( ,)0,(,);(4) ( ,)0,(,);(5)(,).nnnnnnnnnf c ccf x xxf c ccf x xxf c ccf x xxf c ccf x xxff x xx（）称正定称半正定称负定称半负定既取得正值又取得负值,称不定推论推论：任意：任意n元实二次型元实二次型),(21nxxxf总可经满秩线性变换化为以下形式的标准型：总可经满秩线性变换化为以下形式的标准型：.22122221rppCYXyyyyyf 称为称为),(21nxxxf的规范形，且规范形唯一。的规范形，且规范形唯一。惯性定理惯性定理：n元实二次型元实二次型),(21nxxxf=XTAX经过任意满秩线性变换化为标准型，正平方项的经过任意满秩线性变换化为标准型，正平方项的项数项数p及负平方项的项数及负平方项的项数q都是唯一确定的。都是唯一确定的。定义定义5：在秩为：在秩为r的实二次型的实二次型),(21nxxxf所化成的标准形或规范形中，所化成的标准形或规范形中，正平方项的项数正平方项的项数p称为称为