直线方程的几种形式(二)

1、圆直线直线圆8.2.3 直线方程的几种形式（二）直线方程的几种形式（二）1根据下列条件，写出直线的方程：根据下列条件，写出直线的方程：（1）经过点）经过点 A（8， 2），斜率是），斜率是 1； （2）截距是）截距是 2 ，斜率为，斜率为 1 ；（3）经过点）经过点 A（4，2），平行于），平行于 x 轴；轴；（4）经过点）经过点 A（4，2），平行于），平行于 y 轴轴2上述几种形式的直线方程，可以用上述几种形式的直线方程，可以用 A xB yC0来表示吗？来表示吗？y2 (x8)yx2y2x4平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个 关于关于 x、y

2、 的二元一次方程表示吗？的二元一次方程表示吗？对直线的倾斜角对直线的倾斜角 进行讨论：进行讨论： 当当 90 时，时， 直线斜率为直线斜率为 ktan ，其方程可，其方程可 写成：写成：yk xb ，可变形为：，可变形为：A xB yC0， 其中：其中：A = k，B = 1，C = b 当当 90 时，直线斜率不存在，其方程可写成时，直线斜率不存在，其方程可写成 xa 的形式，也可以变形为：的形式，也可以变形为：A xB yC0， 其中：其中：A1，B0，Ca平面直角坐标系中任何一条直线都可以用关于平面直角坐标系中任何一条直线都可以用关于 x、y 的二元一次方程的二元一次方程 A xB yC

3、0（A、B不同时不同时为零）来表示；反之，每一个关于为零）来表示；反之，每一个关于 x、y 的二元一次方的二元一次方程都表示一条直线程都表示一条直线 我们把关于我们把关于 x、y 的二元一次方程的二元一次方程 A xB yC0（ A、B 不同时为零不同时为零 ) 叫做直线的一般式方程叫做直线的一般式方程直线的一般式方程：直线的一般式方程：直线的方向向量与法向量直线的方向向量与法向量（1）如果非零向量）如果非零向量所在所在的直线与直线的直线与直线l 平行，则称平行，则称为为直线直线 l 的一个的一个方向向量；方向向量；aa（2）如果非零向量）如果非零向量所在所在的直线与直线的直线与直线l 垂直，

4、则称垂直，则称为为直线直线 l 的一个的一个法向量法向量nnanxyO （3）直线的方向向量与法向量有怎样的关系？）直线的方向向量与法向量有怎样的关系？你能找出直线你能找出直线 x2 的一个方向向量和一个法向量吗？的一个方向向量和一个法向量吗？向量向量 (x2x1，y2y1) 与向量与向量 (1，k) 是什么关系？是什么关系？向量向量 (1，k) 是直线的一个方向向量吗？是直线的一个方向向量吗？（2）令）令 x2x1 ，如果，如果 0 ，且直线，且直线 l 的斜率为的斜率为k，由，由 (x2x1，y2y1) (1，) (1，k) 1212xxyy（1）如果直线）如果直线 l 过点过点 P1 (

5、x1 ，y1) 和和 P2(x2 ，y2) ，向量向量 的坐标是多少？它是直线的坐标是多少？它是直线 l 的一个方向向量的一个方向向量吗？吗？21PP（1）设）设 l 的一般式方程为的一般式方程为A xB yC0，如果如果 P2(x2，y2) 和和 P1(x1，y1) 都在直线上，两点都在直线上，两点 P2，P1分别满足怎样的关系式？分别满足怎样的关系式？（2）把得到的两个关系式相减，你能得到怎样的）把得到的两个关系式相减，你能得到怎样的式子？式子？（3）式子）式子 A(x2x1)B(y2y1)0，能说明向量，能说明向量(A，B) 与向量垂直吗？与向量垂直吗？n（4）向量）向量(A，B) 是直

6、线是直线 l的一个法向量吗？的一个法向量吗？n 如果知道直线的斜截式方程如果知道直线的斜截式方程 yk xb ，则则 (1，k)是它的一个方向向量；是它的一个方向向量； 如果知道直线的一般式方程如果知道直线的一般式方程 A xB yC0 ，则则 (A，B) 是它的一个法向量是它的一个法向量 例例3求下列直线的一般式方程，并指出它的一个方向求下列直线的一般式方程，并指出它的一个方向向量和法向量：向量和法向量：（1）过点）过点 (3，2) ，且斜率为，且斜率为 2 ；（2）过点）过点 (5，5)，且倾斜角为，且倾斜角为 120 （1）直线的点斜式方程为）直线的点斜式方程为 y(2)(2)x(3)，

7、化简得化简得 y 2 x8 ，所以该直线的一般式方程为所以该直线的一般式方程为2 xy80由上知，由上知，(1，2) 为直线的一个方向向量，为直线的一个方向向量，(2，1) 为直线的一个法向量为直线的一个法向量解：解：解：解：（2）因为直线的斜率为）因为直线的斜率为 ktan120 ，所以直线，所以直线的点斜式方程为的点斜式方程为 y5 (x5) ，因此该直线的一，因此该直线的一般式方程为般式方程为xy550由上由上知，知，(1， ) 为直线的一个方向向量，为直线的一个方向向量，( ，1) 为为直线的一个法向量直线的一个法向量333333例例3求下列直线的一般式方程，并指出它的一个方向求下列直

8、线的一般式方程，并指出它的一个方向向量和法向量：向量和法向量：（1）过点）过点 (3，2) ，且斜率为，且斜率为 2 ；（2）过点）过点 (5，5)，且倾斜角为，且倾斜角为 120 求下列直线方程的一般式，并指出它的一个方向求下列直线方程的一般式，并指出它的一个方向 向量和法向量：向量和法向量： （1）斜率为）斜率为 ，过点（，过点（1，2）；）；（2）过点（）过点（1，1）且平行于）且平行于 x 轴轴21例例4求下列直线的一般式方程：求下列直线的一般式方程：（1）(1，4) 是直线的一个方向向量，且在是直线的一个方向向量，且在y轴上的截距为轴上的截距为5；（2）(3，4) 是直线的一个法向量

9、，且直线过点是直线的一个法向量，且直线过点(1，2)解：解： （1）由已知可得直线的斜率为）由已知可得直线的斜率为 4 ，所以直线的斜截式，所以直线的斜截式方程为方程为 y4 x5 ，因此一般式方程为，因此一般式方程为4 xy50（2）由已知可设直线方程为）由已知可设直线方程为 3 x4 yC0，其中其中 C 为待定系数代入点为待定系数代入点 (1，2)，有，有3(1)4(2)C0，解得解得 C11 因此直线的一般式方程为因此直线的一般式方程为3 x4 y110已知直线的法向量为（已知直线的法向量为（1，2）且过点（）且过点（3，0），求该求该直线的一般式方程直线的一般式方程3直线的法向量：直线的法向量： 1直线一般式方程：直线一般式方程：2直线的方向向量：直线的方向向量：A xB yC0如果非零向量如果非零向量所在的直线与直线所在的直线与直线 l 平平 行，则称行，则称为直线为直线 l 的一个方向向