高考数学大一轮复习直接证明与间接证明理苏教版

1、会计学1高考数学大一轮复习直接证明与间接证高考数学大一轮复习直接证明与间接证明理苏教版明理苏教版第1页/共87页1.直接证明(1)综合法定义：从 出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法常称为综合法.已知条件思维过程：由因导果.第2页/共87页(2)分析法定义：从 出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止.这种证明方法常称为分析法.思维过程：执果索因.问题的结论第3页/共87页2.间接证明反证法定义要证明某一结论Q是正确的，但不直接证明，而是先去假设Q不成立(即Q的反面非Q是正确的)，经过正确的推理，

2、最后得出矛盾，因此说明假设非Q是错误的，从而断定结论Q是正确的，这种证明方法叫做反证法.第4页/共87页证明步骤(1)反证假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真；(2)归谬从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；(3)存真由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立.第5页/共87页适用范围(1)否定性命题；(2)命题的结论中出现“至少”“至多”“唯一”等词语的；(3)当命题成立非常明显，而要直接证明所用的理论太少，且不容易说明，而其逆否命题又是非常容易证明的；(4)要讨论的情况很复杂，而反面情况很少.第6页/共87页u 思考辨析判断下面结论是否正确(请在括号中打“

3、”或“”)(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明.( )(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件.( )(3)用反证法证明结论“ab”时，应假设“ab”.( )(4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾.( )(5)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程.( )(6)证明不等式 最合适的方法是分析法.( )第7页/共87页题号答案解析1234 pqa0，b0且ab第8页/共87页解析第9页/共87页例1对于定义域为0,1的函数f(x)，如果同时满足：对任意的x0,1，总有f(x)0；f(1)1；若x10，x20，x1x21，都有

4、f(x1x2)f(x1)f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数.(1)若函数f(x)为理想函数，证明：f(0)0；题型一综合法的应用题型一综合法的应用思维点拨解析思维升华第10页/共87页取特殊值代入计算即可证明；例1对于定义域为0,1的函数f(x)，如果同时满足：对任意的x0,1，总有f(x)0；f(1)1；若x10，x20，x1x21，都有f(x1x2)f(x1)f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数.(1)若函数f(x)为理想函数，证明：f(0)0；题型一综合法的应用题型一综合法的应用思维点拨解析思维升华第11页/共87页证明取x1x20，则x1x201，f(00)f(0)f(0

5、)，f(0)0.又对任意的x0,1，总有f(x)0，f(0)0.于是f(0)0.例1对于定义域为0,1的函数f(x)，如果同时满足：对任意的x0,1，总有f(x)0；f(1)1；若x10，x20，x1x21，都有f(x1x2)f(x1)f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数.(1)若函数f(x)为理想函数，证明：f(0)0；题型一综合法的应用题型一综合法的应用思维点拨解析思维升华第12页/共87页综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性.例1对于定义

6、域为0,1的函数f(x)，如果同时满足：对任意的x0,1，总有f(x)0；f(1)1；若x10，x20，x1x21，都有f(x1x2)f(x1)f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数.(1)若函数f(x)为理想函数，证明：f(0)0；题型一综合法的应用题型一综合法的应用思维点拨解析思维升华第13页/共87页例1(2)试判断函数f(x)2 x ( x 0 , 1 ) ， f ( x ) x2( x 0 , 1 ) ， f ( x ) (x0,1)是不是理想函数.思维点拨解析思维升华第14页/共87页对照新定义中的3个条件，逐一代入验证，只有满足所有条件，才能得出“是理想函数”的结论，否则得出

7、“不是理想函数”的结论.例1(2)试判断函数f(x)2 x ( x 0 , 1 ) ， f ( x ) x2( x 0 , 1 ) ， f ( x ) (x0,1)是不是理想函数.思维点拨解析思维升华第15页/共87页解对于f(x)2x，x0,1，f(1)2不满足新定义中的条件，f(x)2x，(x0,1)不是理想函数.对于f(x)x2，x0,1，显然f(x)0，且f(1)1.例1(2)试判断函数f(x)2 x ( x 0 , 1 ) ， f ( x ) x2( x 0 , 1 ) ， f ( x ) (x0,1)是不是理想函数.思维点拨解析思维升华第16页/共87页任意的x1，x20,1，x1

8、x21，f(x1x2)f(x1)f(x2)(x1x2)2xx2x1x20，即f(x1)f(x2)f(x1x2).f(x)x2(x0,1)是理想函数.例1(2)试判断函数f(x)2 x ( x 0 , 1 ) ， f ( x ) x2( x 0 , 1 ) ， f ( x ) (x0,1)是不是理想函数.思维点拨解析思维升华第17页/共87页对于f(x) ，x0,1，显然满足条件.对任意的x1，x20,1，x1x21，例1(2)试判断函数f(x)2 x ( x 0 , 1 ) ， f ( x ) x2( x 0 , 1 ) ， f ( x ) (x0,1)是不是理想函数.思维点拨解析思维升华第1

9、8页/共87页即f2(x1x2)f(x1)f(x2)2.f(x1x2)f(x1)f(x2)，不满足条件.f(x) (x0,1)不是理想函数.例1(2)试判断函数f(x)2 x ( x 0 , 1 ) ， f ( x ) x2( x 0 , 1 ) ， f ( x ) (x0,1)是不是理想函数.思维点拨解析思维升华第19页/共87页综上，f(x)x2(x0,1)是理想函数，f(x)2x(x0,1)与f(x) (x0,1)不是理想函数.例1(2)试判断函数f(x)2 x ( x 0 , 1 ) ， f ( x ) x2( x 0 , 1 ) ， f ( x ) (x0,1)是不是理想函数.思维点

10、拨解析思维升华第20页/共87页综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理.例1(2)试判断函数f(x)2 x ( x 0 , 1 ) ， f ( x ) x2( x 0 , 1 ) ， f ( x ) (x0,1)是不是理想函数.思维点拨解析思维升华第21页/共87页跟踪训练1(2013课标全国)设a、b、c均为正数，且abc1，证明：(1)abbcac ；证明由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac得a2b2c2abbcca.由题设得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即abbcca .第22页/共87页跟踪训练1(2013课标全国)设a、b、c

11、均为正数，且abc1，证明：(2) 1.第23页/共87页思维点拨解析思维升华题型二分析法的应用题型二分析法的应用第24页/共87页用分析法，移项，平方，化简.题型二分析法的应用题型二分析法的应用思维点拨解析思维升华第25页/共87页题型二分析法的应用题型二分析法的应用思维点拨解析思维升华第26页/共87页题型二分析法的应用题型二分析法的应用思维点拨解析思维升华第27页/共87页题型二分析法的应用题型二分析法的应用思维点拨解析思维升华第28页/共87页题型二分析法的应用题型二分析法的应用思维点拨解析思维升华第29页/共87页(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的

12、充分条件.正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键.题型二分析法的应用题型二分析法的应用思维点拨解析思维升华第30页/共87页(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证.题型二分析法的应用题型二分析法的应用思维点拨解析思维升华第31页/共87页证明因为a，b(0，)，所以要证原不等式成立，即证(a3b3)2(a2b2)3，即证a62a3b3b6a63a4b23a2b4b6，只需证2a3b33a4b23a2b4.第32页/共87页因为a，b(0，)，所以即证2ab2ab成立，第33页/共87页

13、例3已知数列an的前n项和为Sn，且满足anSn2.(1)求数列an的通项公式；题型三反证法的应用题型三反证法的应用解当n1时，a1S12a12，则a11.又anSn2，所以an1Sn12，两式相减得an1 an，第34页/共87页思维点拨解析思维升华例3已知数列an的前n项和为Sn，且满足anSn2.(2)求证：数列an中不存在三项按原来顺序成等差数列.第35页/共87页证明(2)用反证法，假设存在三项，符合条件推出矛盾.例3已知数列an的前n项和为Sn，且满足anSn2.(2)求证：数列an中不存在三项按原来顺序成等差数列.思维点拨解析思维升华第36页/共87页证明反证法：假设存在三项按原

14、来顺序成等差数列，记为ap1，aq1，ar1(pqr，且p，q，rN*)，又因为pqr，所以rq，rpN*.例3已知数列an的前n项和为Sn，且满足anSn2.(2)求证：数列an中不存在三项按原来顺序成等差数列.思维点拨解析思维升华第37页/共87页所以(*)式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立.所以假设不成立，原命题得证.例3已知数列an的前n项和为Sn，且满足anSn2.(2)求证：数列an中不存在三项按原来顺序成等差数列.思维点拨解析思维升华第38页/共87页(1)当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时，可用反证法来证，反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可

15、以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等例3已知数列an的前n项和为Sn，且满足anSn2.(2)求证：数列an中不存在三项按原来顺序成等差数列.思维点拨解析思维升华第39页/共87页(2)用反证法证明不等式要把握三点：必须否定结论；必须从否定结论进行推理；推导出的矛盾必须是明显的.例3已知数列an的前n项和为Sn，且满足anSn2.(2)求证：数列an中不存在三项按原来顺序成等差数列.思维点拨解析思维升华第40页/共87页跟踪训练3等差数列an的前n项和为Sn，a11 ，S393 .(1)求数列an的通项an与前n项和Sn；第41页/共87页(2)设bn (nN*

16、)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列.第42页/共87页p，q，rN*，pr，与pr矛盾.假设不成立，即数列bn中任意不同的三项都不可能成等比数列.第43页/共87页典例：(14分)已知数列xn满足x1 ，xn1 ，求证：0 xn1xn .思想与方法系列思想与方法系列20 放缩有放缩有“度度”，巧证不等式，巧证不等式温 馨 提 醒规 范 解 答思 维 点 拨第44页/共87页思 维 点 拨温 馨 提 醒先证0 xn1，再求xn1xn的表达式，利用不等式放缩得出结论.规 范 解 答第45页/共87页证明由条件可知数列xn的各项均为正数，故由基本不等式，得xn1 1，2分 若xn

17、11，则xn1，这与已知条件x1 矛盾.所以0 xn1，6分 思 维 点 拨温 馨 提 醒规 范 解 答第46页/共87页12分 思 维 点 拨温 馨 提 醒规 范 解 答第47页/共87页14分 因上述两个不等式中等号不可能同时成立，思 维 点 拨温 馨 提 醒规 范 解 答第48页/共87页(1)所谓放缩法就是利用不等式的传递性，根据证题目标进行合情合理的放大或缩小，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤.思 维 点 拨温 馨 提 醒规 范 解 答第49页/共87页(2)本题技巧性较强，经过了两次放缩

18、，关键是放缩后的式子要尽可能地接近原式，减小放缩度，以避免运算上的麻烦.第一次是利用基本不等式，将xn1xn转化为常数，根据已知验证可判定出0 xn1；第二次放缩法是证明不等式经常利用的方法，多采用添项或去项，分子、分母扩大或缩小，应用基本不等式进行放缩，放缩时要注意放缩的方向保持一致.在此步骤中，因两个等式中的等号不可能同时成立，所以两式相乘后不取等号，这是易错之处，必须加以警惕.思 维 点 拨温 馨 提 醒规 范 解 答第50页/共87页方 法 与 技 巧1.分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知.3.分析法和综合法各有优缺点.分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思

19、路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考.实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来.2.综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知.第51页/共87页失 误 与 防 范1.用分析法证明时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)”“即证”“只需证”等，逐步分析，直至一个明显成立的结论.2.利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设的命题进行推理，如果没有用假设的命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的.第52页/共87页23456789101第53页/共87页23456789101即ab.答案ab第54页/共87页3456

20、7891012P2Q2，PQ.P0；ab0，b0；a0，b0.其中能使 2成立的条件的个数是_.234578910163第61页/共87页7.已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，则第60个“整数对”是_.23456891017解析依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知每组中每个“整数对”的和为n1，且每组共有n个“整数对”，这样的前n组一共有 个“整数对”，第62页/共87页注意到 60 ，因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置

21、，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各数对依次为(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，因此第60个“整数对”是(5,7).23456891017答案(5,7)第63页/共87页23456791018第64页/共87页解析f(x)sin x在区间(0，)上是凸函数，且A、B、C(0，).23456791018第65页/共87页23456781019证明ab，ab0.平方得：|a|2|b|22|a|b|2(|a|2|b|22ab)，只需证：|a|2|b|22|a|b|0，即(|a|b|)20，显然成立.故原不等式得证.第66页/共87页10.已知四棱锥SABCD

22、中，底面是边长为1的正方形，又SBSD ，SA1.(1)求证：SA平面ABCD；23456789110证明由已知得SA2AD2SD2，SAAD.同理SAAB.又ABADA，SA平面ABCD.第67页/共87页23456789110(2)在棱SC上是否存在异于S，C的点F，使得BF平面SAD？若存在，确定F点的位置；若不存在，请说明理由.解假设在棱SC上存在异于S，C的点F，使得BF平面SAD.BCAD，BC 平面SAD.BC平面SAD.而BCBFB，平面FBC平面SAD.这与平面SBC和平面SAD有公共点S矛盾，假设不成立.故不存在这样的点F，使得BF平面SAD.第68页/共87页23451A

23、BC第69页/共87页2.(2013广东)设整数n4，集合X1,2,3，n，令集合S(x，y，z)|x，y，zX，且三条件xyz，yzx，zx0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)0，且0 x0.(1)证明： 是函数f(x)的一个零点；23514证明f(x)图象与x轴有两个不同的交点，f(x)0有两个不等实根x1，x2，f(c)0，x1c是f(x)0的根，第73页/共87页23514第74页/共87页(2)试用反证法证明 c.23514第75页/共87页23415第76页/共87页23415第77页/共87页23415第78页/共87页(2)证明：数列bn中的任意三项不可能成等差数列.证明用反证法证明.假设数列bn存在三项br，bs，bt(rsbsbt，则只能有2bsbrbt成立.23415第79页/共87页两边同乘以3t121r，化简得3tr2tr22sr3ts.由于