导数的背景 曲线在某点处的切线、瞬时速度

1、引入引入:一、切线问题：一、切线问题：（1）对于简单的曲线，如圆和圆锥曲线，它们）对于简单的曲线，如圆和圆锥曲线，它们的切线是如何定义的？的切线是如何定义的？（2）与曲线只有一个交点的直线是否一定是曲）与曲线只有一个交点的直线是否一定是曲线的切线？线的切线？（3）曲线的切线与直线是否只有一个交点？）曲线的切线与直线是否只有一个交点？二、最值问题：二、最值问题：求函数求函数y=x3-2x-1，x-1，1的最大值和最小值。的最大值和最小值。第三章第三章 导数导数3.1.1曲线的切线曲线的切线一一.曲线的切线曲线的切线y=f(x)PQMxyOxyPy=f(x)QMxyOxy 如图，曲线如图，曲线C是

2、函数是函数y=f(x)的图象，的图象，P(x0,y0)是是曲线曲线C上的任意一点，上的任意一点，Q(x0+x,y0+y)为为P邻近邻近一点，一点，PQ为为C的割线，的割线，.tan,: xyyMQxMP则则.就就是是割割线线的的斜斜率率表表明明：xy PM/x轴轴,QM/y轴，轴，为为PQ的倾斜角的倾斜角.PQoxyy=f(x)割割线线切线切线T请看当点请看当点Q沿着曲线逐渐向点沿着曲线逐渐向点P接近时，割线接近时，割线PQ绕着点绕着点P逐渐转动的情况逐渐转动的情况. 我们发现我们发现,当点当点Q沿着曲线无限接近点沿着曲线无限接近点P,即即x0时时,若割线若割线PQ有一个极限位置有一个极限位置

3、PT.则我们把直线则我们把直线PT称为曲称为曲线在点线在点P处的处的切线切线. 设切线的倾斜角为设切线的倾斜角为,那么当那么当x0时时,割线割线PQ的的斜率斜率,称为曲线在点称为曲线在点P处的处的切线的斜率切线的斜率.即即:xxfxxfxykxx )()(limlimtan0000 切切线线 这个概念这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜率的一提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法种方法;切线斜率的本质切线斜率的本质函数平均变化率的极限函数平均变化率的极限.注：（注：（1）切线是割线的极限位置，切线的斜率是一个）切线是割线的极限位置，切线的斜率是一个 极限极限 （2）若割线在）若割线在P点有极限

4、位置，则在此点有切线点有极限位置，则在此点有切线,且切线是唯一的且切线是唯一的;如不存在如不存在,则在此点处无切线则在此点处无切线; （3）曲线的切线）曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点并不一定与曲线只有一个交点,可可以有多个以有多个,甚至可以无穷多个甚至可以无穷多个.（3）曲线的切线与曲线是否只有一个交点吗？）曲线的切线与曲线是否只有一个交点吗？例例1: 求曲线求曲线y=f(x)=x2+1在点在点P(1,2)处的切线的斜率、切线方程处的切线的斜率、切线方程.QPy=x2+1xy-111OjMyx求曲线上一点的切线的斜率一般可以分为三步：求曲线上一点的切线的斜率一般可以分为三步：（1）求）

5、求y；并整理；求xy)2(；求xyx0lim)3(求曲线在某点处的切线方程：先利用切线的斜率，求曲线在某点处的切线方程：先利用切线的斜率，然后利用点斜式求切线方程然后利用点斜式求切线方程.的切线的斜率。处，在点：求曲线例) 11 (12Pxy 练习练习:如图如图,已知曲线已知曲线 , 求求: (1)点点P处的切线的斜率处的切线的斜率; (2)点点P处的切线方程处的切线方程.)38, 2(313Pxy上上一一点点 yx-2-112-2-11234OP313yx.)(33lim31)()(33lim3131)(31limlim,31)1(2220322033003xxxxxxxxxxxxxxxxy

6、yxyxxxx 解解：. 42|22 xy即即点点P处的切线的斜率等于处的切线的斜率等于4. (2)在点在点P处的切线方程是处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即即12x-3y-16=0. 一般地，设物体的运动规律是一般地，设物体的运动规律是ss(t)，则物，则物 体在体在t到到t+t这段时间内的平均速度为这段时间内的平均速度为 ttsttsts)()(二、瞬时速度：二、瞬时速度：ttsttststvtt)()(limlim)(00 平均速度反映了物体运动时的快慢程度平均速度反映了物体运动时的快慢程度,但要精确但要精确地描述非匀速直线运动地描述非匀速直线运动,就要知道物体在每一时刻运动就要

7、知道物体在每一时刻运动的快慢程度的快慢程度,也既需要通过瞬时速度来反映也既需要通过瞬时速度来反映.物体在时刻物体在时刻t的瞬时速度的瞬时速度，就是物体在，就是物体在t到到t+t这这段时间内，当段时间内，当t0时的平均速度的极限；时的平均速度的极限；例例3: 物体作自由落体运动物体作自由落体运动,运动方程为：运动方程为： g=10m/s2 ，位移单位是，位移单位是m，时间单位是，时间单位是s，.求：求：221gts (1) 物体在时间区间物体在时间区间2,2.1上的平均速度；上的平均速度； (2) 物体在时间区间物体在时间区间2,2.01上的平均速度；上的平均速度； (3) 物体在物体在t=2(

8、s)时的瞬时速度时的瞬时速度.解解:)(212_tggtsv s ss(2+t)Os(2)(1)将将 t=0.1代入上式，得代入上式，得: ./5 .2005. 2_smgv (2)将将 t=0.01代入上式，得代入上式，得: ./05.20005. 2_smgv 的的极极限限为为：从从而而平平均均速速度度当当_, 22 , 0)3(vtt ./202limlim0_0smgtsvvtt 即物体在时刻即物体在时刻t0=2(s)的的瞬时速度瞬时速度等于等于20(m/s).当时间间隔当时间间隔t 逐渐变小时逐渐变小时,平均速度就越接近平均速度就越接近t0=2(s) 时的时的瞬时速度瞬时速度v=20

9、(m/s).练习练习: 某质点沿直线运动某质点沿直线运动,运动规律是运动规律是s=5t2+6，求，求t=1时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度.求瞬时速度一般可以分为三步：求瞬时速度一般可以分为三步：（1）求）求s；并整理；求ts)2(；求tst0lim)3(（1）能从极限的角度理解曲线在点）能从极限的角度理解曲线在点P处切线处切线的定义；的定义；小结：小结：能求曲线在点能求曲线在点P处切线的斜率及方程；处切线的斜率及方程；（2）能从极限的角度理解某时刻的瞬时速度）能从极限的角度理解某时刻的瞬时速度能求某时刻的瞬时速度能求某时刻的瞬时速度白榆树 白榆树小苗http:/备用备用:已知曲线已知曲线 上一点上一点P(1,2),用斜率的定义求用斜率的定义求 过点过点P的切线的倾斜角和切线方程的切线的倾斜角和切线方程.222 xy, 22)1 ( 2) 1 ()1 (,lim:20 xfxfyxyKxP而而解解. 12212422)1 ( 24lim22)1 ( 2)( 24lim22)1 ( 2limlim20220