数学研究性作业

1、 数学研究性作业HOMEWOYK OF MATHS RESEARCH 制作人： 目 录欧几里德4高斯5刘徽6笛卡儿7毕达哥斯拉8希尔伯特9祖冲之10杨辉11帕斯卡12华罗庚13-14歌德巴赫猜想15-17欧几里德欧几里得（约公元前330公元前275），古希腊数学家，以其所著的几何原本（简称原本）闻名于世，欧几里得将公元前7世纪以来希腊几何积累起来的既丰富又纷纭庞杂的结果整理在一个严密统一的体系中，从最原始的定义开始，列出5条公理和5条公设为基础。通过逻辑推理，演绎出一系列定理和推论，从而建立了被称为欧几里得几何的第一个公理化的数学体系。据记载，亚历山大里亚的统治者托勒密一世曾问他学习几何有无简

2、捷的方法，欧几里得回答：“在几何里，没有专为国王铺设的大道”这句话后来成为传诵千古的学习箴言他的著作除几何原本之外，还有不少，可惜大都失传，已知数和图形的分割是保存下来的著作。欧几里得几何，简称欧氏几何，是几何的一门分科，主要是以欧几里得平行公理为基础的几何学。以公元前7世纪以后几百年中古希腊人积累的几何知识，同逻辑思想相结合使几何的系统化、公理化有了基础。由欧几里得按照逻辑系统把几何命题整理起来，完成了数学史上的光辉著作几何原本这本书问世后两千年中，一直被用作教科书，世界上大多数国家有译本，中国最古的译本是明代徐光启译出的。欧氏几何主要研究平面和空间中图的形状、大小和相关位置。欧几里得从一些

3、定义、公理和公设出发，运用演绎推理的方法，从已得的命题逻辑地推出后面的命题，从而展开几何原本的全部几何内容。19世纪末期，德国数学家D·希尔伯特于1899年发表了著名的著作几何基础，书中成功地建立了欧几里得几何的完整的公理体系。这一公理体系的完成使数学公理法基本形成，促使20世纪整个数学有了较大发展，甚至这种影响也扩大到其他科学领域。高 斯高斯（17771855年）德国数学家、物理学家和天文学家。高斯在童年时代就表现出非凡的数学天才。年仅三岁，就学会了算术，八岁因发现等差数列求和公式而深得老师和同学的钦佩。大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件。

4、解决了两千年来悬而未决的难题，1799年以代数基本定理的四个漂亮证明获博士学位。高斯的数学成就遍及各个领域，在数学许多方面的贡献都有着划时代的意义。并在天文学，大地测量学和磁学的研究中都有杰出的贡献。1801年发表的算术研究是数学史上为数不多的经典著作之一，它开辟了数论研究的全新时代。非欧几里得几何是高斯的又一重大发现，他的遗稿表明，他是非欧几何的创立者之一。高斯致力于天文学研究前后约20年，在这领域内的伟大著作之一是1809年发表的天体运动理论。高斯对物理学也有杰出贡献，麦克斯韦称高斯的磁学研究改造了整个科学。高斯的一生中，还培养了不少杰出的数学家刘 徽刘徽，中国魏晋间伟大的数学家，中国古典

5、数学理论的奠基者之一。刘徽公元263年注九章算术他全面证明了九章算术的方法和公式，指出并纠正了其中的错误，在数学方法和数学理论上作出了杰出的贡献。刘徽创造性的运用极限思想证明了圆面积公式及提出了计算圆周率的方法。他用割圆术，从直径为2尺的圆内接正六边形开始割圆，依次得正12边形、正24边形，割得越细，正多边形面积和圆面积之差越小，用他的原话说是“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”他计算了3072边形面积并验证了这个值。刘徽提出的计算圆周率的科学方法，奠定了此后千余年中国圆周率计算在世界上的领先地位。刘徽在数学上的贡献极多，在开方不尽的问题中提出“求徽数”的思

6、想，这方法与后来求无理根的近似值的方法一致，它不仅是圆周率精确计算的必要条件，而且促进了十进小数的产生；在线性方程组解法中，他创造了比直除法更简便的互乘相消法，与现今解法基本一致；并在中国数学史上第一次提出了“不定方程问题”。他还建立了等差级数前n项和公式；提出并定义了许多数学概念：如幂（面积）；方程（线性方程组）；正负数等等刘徽还提出了许多公认正确的判断作为证明的前提。他的大多数推理、证明都合乎逻辑，十分严谨，从而把九章算术及他自己提出的解法、公式建立在必然性的基础之上。虽然刘徽没有写出自成体系的著作，但他注九章算术所运用的数学知识实际上已经形成了一个独具特色、包括概念和判断、并以数学证明为

7、其联系纽带的理论体系。笛 卡 儿笛卡儿（1596-1650年），法国哲学家、数学家、物理学家，解析几何学奠基人之一他认为数学是其他一切科学的理论和模型，提出了以数学为基础，以演绎为核心的方法论，对后世的哲学、数学和自然科学的发展起了巨大作用。笛卡儿分析了几何学与代数学的优缺点，表示要寻求一种包含这两门科学的优点而没有它们的缺点的方法，这种方法就是用代数方法来研究几何问题解析几何，几何学确定了笛卡儿在数学史上的地位几何学提出了解析几何学的主要思想和方法，标志着解析几何学的诞生，恩格斯说“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学；有了变数，微分和积分也就成

8、为可能的了，而它们也就立刻出现。”此后人类进入变量数学阶段。笛卡儿还改进了韦达的符号记法，他用a，b，c等表示已知数，用x，y，z等表示未知数。笛卡儿在物理学、生理学和天文学方面也有许多创见。毕达哥拉斯毕达哥拉斯（约公元前580-约公元前500）古希腊哲学家、数学家、天文学家。他在意大利南部的克罗托内建立了一个政治、宗教、数学合一的秘密团体毕达哥拉斯学派，他们很重视数学，企图用数学来解释一切毕达哥拉斯本人以发现勾股定理（西方称毕达哥拉斯定理）而著名，这一定理早已为巴比伦人和中国人所知，不过最早的证明可归功于毕达哥拉斯学派。在几何原本中记载了勾股定理证明。今天人们把构成直角三角形三边的三个整数称

9、为毕达哥拉斯数组（我国称为勾股数组）。该学派将自然数分为若干类：奇数、偶数、完全数（即等于它的包括1而不包括它本身的所有因数之和的数），亲和数、三角数（1，3，6，10），平方数（1，4，9，16），五角数（1，5，12，22）等等，又发现从1起连续奇数的和必为平方数，他们还发现五种正多面体，在天文学和音乐理论上也有不少贡献，他的思想和学说，对希腊文化有巨大影响。希 尔 伯 特希尔伯特（1862-1943年），德国数学家。希尔伯特是对二十世纪数学有深刻影响的数学家之一，他的数学贡献是巨大的和多方面的。希尔伯特的数学工作可以划分为几个不同时期，每个时期他几乎都集中精力研究一类问题。在他研究的许多

10、领域中都作出了重大的或开创性的贡献。在1900年巴黎国际数学家代表大会上，希尔伯特发表了题为数学问题的著名讲演，他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势，提出了23个最重要的数学问题，这23个问题通称希尔伯特问题，对现代数学的研究和发展产生了深刻的影响，有些问题已得到圆满解决，有些至今未解决。希尔伯特的几何基础（1899年）是公理化思想的代表作。希尔伯特的著作有希尔伯特全集几何基础线性积分方程一般理论基础等，与其他人合著有数学物理方法理论逻辑基础直观几何学数学基础希尔伯特同时是一位出色的教师。他还以一位正直的学者而受到普遍的尊敬，他曾拒绝在德国政府为发动第一次世界大战辩护的宣言上签名，

11、后来又对希特勒的排犹暴行表示极大愤概。希尔伯特生前享有很高的国际声誉。1910年荣获匈牙利科学院的波尔约数学奖。并且是许多国家科学院的荣誉院士。祖 冲 之祖冲之生于公元429年，卒于公元500年，祖籍是现在的河北省涞源县，他是南北朝时代南朝宋齐之间的一位杰出的科学家，他不仅是一位数学家，同时还通晓天文历法、机械制造、音乐，并且是一位文学家。祖冲之在数学方面的主要贡献是关于圆周率的计算，他算出圆周率3.14159263.1415927，这一结果的重要意义在于指出误差的范围，准确到小数第七位，是当时世界上最先进的成就。祖冲之还和儿子祖暅圆满解决了球体积的计算问题，得到正确的球体积公式。杨 辉杨辉是

12、中国南宋末年数学家，数学教育家，大约在13世纪中叶活动于苏杭一带。杨辉的数学著作甚多，他编著的数学书共五种二十一卷，著有详解九章算法十二卷（1261年）、日用算法二卷（1262年）、乘除通变本末三卷（1274年）、田亩比类乘除算法二卷（1275年）、续古摘奇算法二卷（1275年）。在他的著作中收录了不少现已失传的古代数学著作中的算题和算法。杨辉的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面。杨辉对筹算乘除捷算法进行了总结和发展，有的还编成了歌诀，如九归口诀。杨辉创“纵横图”之名，在续古摘奇算法中介绍了各种形式的纵横图及有关的构造方法。垛积术，是杨辉继沈括“隙积术”之后，关于高阶等差级数的研究。杨辉

13、的“纂类”中，是将九章算术246个题目按解题方法由浅入深的顺序，重新分为乘除、分率、合率、互换、二衰分、叠积、盈不足、方程、勾股等九类。杨辉是一位杰出的数学教育家，重视数学的普及，在算法通变本末中，杨辉为初学者制订的“习算纲目”是中国数学教育史上的一项重要文献。帕 斯 卡帕斯卡（16231662年）是法国数学家、物理学家和哲学家16岁的时候就发现了著名的“帕斯卡定理”，即“圆锥曲线内接六边形的三组对边的交点共线”，对射影几何学作出了重要贡献。19岁时，发明了一种能做加法和减法运算的计算器，这是世界上第一台机械式的计算机。他对连续不可分量、微分三角形、面积和重心等问题的深入研究，对微积分学的建立

14、起到了积极的作用。帕斯卡对数学的最大贡献是创立概率论，为了解决概率论和组合分析方面的问题，帕斯卡广泛应用了算术三角形（即二项式定理系数表，西方称帕斯卡三角，我国称贾宪三角或杨辉三角），并深入研究了二项展开式的系数规律以及这个三角形的构造及其许多有趣的性质。帕斯卡在物理学方面提出了重要的“帕斯卡定律”。他所著思想录和致乡人书对法国散文的发展产生了重要的影响。华 罗 庚华罗庚，中国现代数学家1910年11月12日生于江苏省金坛县，1985年6月12日在日本东京逝世。华罗庚1924年初中毕业后，在上海中华职业学校学习不到一年，因家贫辍学，他刻苦自修数学，1930年在科学上发表了关于代数方程式解法的文

15、章，受到了数学家熊庆来的重视，被邀到清华大学工作，开始了数论的研究。1934年成为中华教育文化基金会研究员。1936年作为访问学者去英国剑桥大学工作。1938年回国，受聘为西南联合大学教授。1946年应苏联科学院邀请去苏联访问同年，应美国普林斯顿高等研究所邀请任研究员，并在普林斯顿大学执教。1948年开始，他为伊利诺伊大学教授。1950年回国，先后任清华大学教授，中国科技大学数学系主任、副校长，中国科学院数学研究所所长，中国科学院应用数学研究所所长，中国科学院副院长等。华罗庚还是第一、二、三、四、五届全国人民代表大会常务委员会委员和政协第六届全国委员会副主席。华罗庚是在国际上享有盛誉的数学家。

16、他在解析数论、矩阵几何学、多复变函数论、偏微分方程等广泛数学领域中都作出卓越贡献。由于他的贡献，有许多定理、引理、不等式与方法等都用他的名字命名。为了推广优选法，华罗庚亲自带领小分队去二十七个省市普及应用数学方法达二十年之久，取得了明显的经济效益和社会效益，为我国经济建设作出了重大贡献。华罗庚的退步解题方法少年时期的华罗庚就特别爱好数学，但数学成绩并不突出。19岁那年，一篇出色的文章惊动了当时著名的数学家熊庆来。从此在熊庆来先生的引导下，走上了研究数学的道路。晚年为了国家经济建设，把纯粹数学推广应用到工农业生产中，为祖国建设事业奋斗终生！华罗庚悉心栽培年轻一代，让青年数学家茁壮成儿使他们脱颖而

17、出，工作之余还不忘给青多年朋友写一些科普读物。下面就是华罗庚曾经介绍给同学们的一个有趣的数学游戏：有位老师，想辨别他的3个学生谁更聪明。他采用如下的方法：事先准备好3顶白帽子，2顶黑帽子，让他们看到，然后，叫他们闭上眼睛，分别给戴上帽子，藏起剩下的2顶帽子，最后，叫他们睁开眼，看着别人的帽子，说出自己所戴帽子的颜色。3个学生互相看了看，都踌躇了一会，并异口同声地说出自己戴的是白帽子。为了解决上面的伺题，我们先考虑“2人1顶黑帽，2顶白帽”问题。因为，黑帽只有1顶，我戴了，对方立刻会说自己戴的是白帽。但他踌躇了一会，可见我戴的是白帽。这样，“3人2顶黑帽，3顶白帽”的问题也就容易解决了。假设我戴

18、的是黑帽子，则他们2人就变成“2人1顶黑帽，2顶白帽”问题，他们可以立刻回答出来，但他们都踌躇了一会，这就说明，我戴的是白帽子，3人经过同样的思考，于是，都推出自己戴的是白帽子。看到这里。同学们可能会拍手称妙吧。后来，华罗庚还将原来的问题复杂化，“n个人，n-1顶黑帽子，若干（不少于n）顶白帽子”的问题怎样解决呢？运用同样的方法，便可迎刃而解。他并告诫我们：复杂的问题要善于“退”，足够地“退”，“退”到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窃。哥德巴赫猜想哥德巴赫（Goldbach C.，1690.3.181764.11.20）是德国数学家；出生于格奥尼格斯别尔格（现名加里宁城）；曾在

19、英国牛津大学学习；原学法学，由于在欧洲各国访问期间结识了贝努利家族,所以对数学研究产生了兴趣；曾担任中学教师。1725年到俄国，同年被选为彼得堡科学院院士；1725年1740年担任彼得堡科学院会议秘书；1742年移居莫斯科，并在俄国外交部任职。1729年1764年，哥德巴赫与欧拉保持了长达三十五年的书信往来。在1742年6月7日给欧拉的信中，哥德巴赫提出了一个命题。他写道："我的问题是这样的： 随便取某一个奇数，比如77，可以把它写成三个素数之和：77=53+17+7；再任取一个奇数，比如461，461=449+7+5，也是三个素数之和，461还可以写成257+199+5，仍然是三个

20、素数之和。这样，我发现：任何大于5的奇数都是三个素数之和。但这怎样证明呢？虽然做过的每一次试验都得到了上述结果，但是不可能把所有的奇数都拿来检验，需要的是一般的证明，而不是个别的检验。欧拉回信说，这个命题看来是正确的，但是他也给不出严格的证明。同时欧拉又提出了另一个命题：任何一个大于2的偶数都是两个素数之和。但是这个命题他也没能给予证明。不难看出，哥德巴赫的命题是欧拉命题的推论。事实上，任何一个大于5的奇数都可以写成如下形式：2N+1=3+2(N-1)，其中2(N-1)4.若欧拉的命题成立，则偶数2(N-1)可以写成两个素数之和，于是奇数2N+1可以写成三个素数之和，从而，对于大于5的奇数，哥

21、德巴赫的猜想成立。但是哥德巴赫的命题成立并不能保证欧拉命题的成立。因而欧拉的命题比哥德巴赫的命题要求更高。现在通常把这两个命题统称为哥德巴赫猜想。二百多年来，尽管许许多多的数学家为解决这个猜想付出了艰辛的劳动，迄今为止它仍然是一个既没有得到正面证明也没有被推翻的命题。十九世纪数学家康托（Cantor G.F.L.P.,1845.3.31918.1.6）耐心地试验了1000以内所有的偶数，奥培利又试验了10002000的全部偶数，他们都肯定了在所试验的范围内猜想是正确的。1911年梅利指出，从4到9000000之间绝大多数偶数都是两个素数之和，仅有14个数情况不明。后来甚至有人一直验算到三亿三千

22、万这个数，都肯定了猜想是正确的。1900年，德国数学家希尔伯特（Hilbert D.,1862.1.231943.2.14）在巴黎国际数学家大会上提出了二十三个最重要的问题供二十世纪的数学家来研究。其中第八问题为素数问题；在提到哥德巴赫猜想时，希尔伯特说这是以往遗留的最重要的问题之一。1921年，英国数学家哈代（Hardy G.H.,1877.2.71947.12.1）在哥本哈根召开的数学会议上说过，哥德巴赫猜想的困难程度可以和任何没有解决的数学问题相比。近一百年来，哥德巴赫猜想吸引着世界上许多著名的数学家，并在证明上取得了很大的进展。在对一切偶数的研究方面，苏联人什尼列尔曼(19051938)第一个取得了成果，他指出任何整数都可以用一些素数的和来表示，而加数的个数不超过800000。1937年，苏联数学家维诺格拉夫（1891.9.141983.3.20）取得了进一步的成果，他证明了任何一个相当大的奇数都可以用三个素数的和来表示。中国数学家陈景润（1933 ）于1966年取得了更大的进展，他证明了每一