第2章-稳态热传导

1、第第2 2章章 稳态热传导稳态热传导2-1 2-1 导热基本定律傅里叶定律导热基本定律傅里叶定律2-2 2-2 导热问题的数学描写导热问题的数学描写2-3 2-3 典型一维稳态导热问题的分析解典型一维稳态导热问题的分析解2-4 2-4 通过肋片的导热通过肋片的导热2-52-5具有内热源的一维导热问题具有内热源的一维导热问题2-62-6多维稳态导热的求解多维稳态导热的求解1 1 、重点内容：、重点内容： 傅立叶定律及其应用；傅立叶定律及其应用； 导热系数及其影响因素；导热系数及其影响因素； 导热问题的数学模型。导热问题的数学模型。2 2 、掌握内容：、掌握内容：一维稳态导热问题的分析解法、一维稳

2、态导热问题的分析解法、肋片的导热、一维有内热源的导热问题肋片的导热、一维有内热源的导热问题 3 3 、了解内容：、了解内容：多维导热问题多维导热问题气体气体：导热是气体：导热是气体分子不规则热运动分子不规则热运动时相互碰撞的结果，时相互碰撞的结果，温度升高，动能增温度升高，动能增大，不同能量水平大，不同能量水平的分子相互碰撞，的分子相互碰撞，使热能从高温传到使热能从高温传到低温处低温处2.1 2.1 导热基本定律傅里叶定律导热基本定律傅里叶定律2.1.1 各类物体的导热机理各类物体的导热机理 导电固体导电固体：其中有许多自由电子，它们在其中有许多自由电子，它们在晶格之间像气体分子那样运动。自由

3、电子晶格之间像气体分子那样运动。自由电子的运动在导电固体的导热中起主导作用的运动在导电固体的导热中起主导作用。 非导电固体非导电固体：导热是通过晶格结构的振导热是通过晶格结构的振动所产生的弹性波来实现的，即原子、动所产生的弹性波来实现的，即原子、分子在其平衡位置附近的振动来实现的分子在其平衡位置附近的振动来实现的。液体的导热机理液体的导热机理：存在两种不同的观点存在两种不同的观点v第一种观点类似于气体，只是复杂些，因第一种观点类似于气体，只是复杂些，因液体分子的间距较近，分子间的作用力对碰液体分子的间距较近，分子间的作用力对碰撞的影响比气体大；撞的影响比气体大；v第二种观点类似于非导电固体，主

4、要依靠第二种观点类似于非导电固体，主要依靠弹性波（晶格的振动，原子、分子在其平衡弹性波（晶格的振动，原子、分子在其平衡位置附近的振动产生的）的作用。位置附近的振动产生的）的作用。 说明：只研究导热现象的宏观规律。说明：只研究导热现象的宏观规律。 1 1 、概念、概念 温度场是指在各个时刻物体内各点温度分温度场是指在各个时刻物体内各点温度分布的总称。布的总称。 一般地讲，一般地讲，物体的温度分布是坐标和时间物体的温度分布是坐标和时间的函数的函数： ,zyxft 其中其中 为空间坐标，为空间坐标， 为时间坐标。为时间坐标。 , ,x y z2.1.2、温度场、温度场 （Temperature fi

5、eld）2 2、温度场分类、温度场分类 1 1）按照时间坐标分类）按照时间坐标分类稳态温度场（定常温度场）稳态温度场（定常温度场） （Steady-state conductionSteady-state conduction） 是指在稳态条件下物体各点的温度分布不随是指在稳态条件下物体各点的温度分布不随时间的改变而变化的温度场称稳态温度场，时间的改变而变化的温度场称稳态温度场，其表达式：其表达式：( , , )tf x y z非稳态温度场（非定常温度场）非稳态温度场（非定常温度场） （Transient conductionTransient conduction） 是指在变动工作条件下，物

6、体中各点的温是指在变动工作条件下，物体中各点的温度分布随时间而变化的温度场称非稳态温度分布随时间而变化的温度场称非稳态温度场，其表达式：度场，其表达式：( , , , )tf x y z),(zyxft ( , , )tf x y( , )tf x2 2）按照空间坐标分类）按照空间坐标分类 一维温度场一维温度场若物体温度仅一个方向有变化，这种情况若物体温度仅一个方向有变化，这种情况下的温度场称一维温度场。下的温度场称一维温度场。 二维温度场二维温度场 三维温度场三维温度场 根据温度场表达式，可分析出导热过程根据温度场表达式，可分析出导热过程是几维、稳态或非稳态的现象，温度场是几维、稳态或非稳态

7、的现象，温度场是几维的、稳态的或非稳态的。是几维的、稳态的或非稳态的。( , )tf x y( , )tf x二维，稳态二维，稳态一维，非稳态一维，非稳态0t稳态温度场稳态温度场 稳态导热稳态导热（Steady-state conduction）0t非稳态温度场非稳态温度场 非稳态导热非稳态导热（Transient conduction）三维稳态温度场：三维稳态温度场： ),(zyxft 一维稳态温度场一维稳态温度场: : )(xft 3 3、等温面与等温线、等温面与等温线等温线等温线（isotherms） 用一个平面与各等温面相交，在这个平面上用一个平面与各等温面相交，在这个平面上得到一个等

8、温线簇得到一个等温线簇等温面等温面（isothermal surface） 同一时刻、温度场中所有温度相同的点连同一时刻、温度场中所有温度相同的点连接起来所构成的面接起来所构成的面 物体的温度场通常用等温面或等温线表示物体的温度场通常用等温面或等温线表示等温面与等温线的特点等温面与等温线的特点：温度不同的等温面或等温线彼此不能相交温度不同的等温面或等温线彼此不能相交在连续的温度场中，等温面或等温线不会中在连续的温度场中，等温面或等温线不会中断，它们或者是物体中完全封闭的曲面（曲断，它们或者是物体中完全封闭的曲面（曲线），或者就终止与物体的边界上线），或者就终止与物体的边界上沿等温面（线）无热量

9、传递沿等温面（线）无热量传递 等温线图的物理意义：等温线图的物理意义： 若每条等温线间的温度间隔相等时，等温线若每条等温线间的温度间隔相等时，等温线的疏密可反映出不同区域导热热流密度的大的疏密可反映出不同区域导热热流密度的大小。小。t tt-tt-tt+tt+t2.1.3 导热基本定律导热基本定律在导热现象中，单位时间内通过给定截面所在导热现象中，单位时间内通过给定截面所传递的热量，正比例于垂直于该截面方向上传递的热量，正比例于垂直于该截面方向上的温度变化率，而热量传递的方的温度变化率，而热量传递的方向与温度升高的方向相反，即向与温度升高的方向相反，即 xtA数学表达式：数学表达式： xtA（

10、负号表示热量传递方向与温度升高方向相反）（负号表示热量传递方向与温度升高方向相反） xtq用热流密度表示：用热流密度表示： 其中其中 热流密度热流密度( (单位时间内通过单位单位时间内通过单位面积的热流量面积的热流量) ) 物体温度沿物体温度沿 x x 轴方向的变化率轴方向的变化率 qxt当物体的温度是三个坐标的函数时，当物体的温度是三个坐标的函数时，其形其形式为式为: :tqgradtnx 是空间某点的温度梯度；是空间某点的温度梯度； 是通过该点等温线上的是通过该点等温线上的法向单位矢量，指向温法向单位矢量，指向温度升高的方向；度升高的方向； 是该处的热流密度矢量。是该处的热流密度矢量。 g

11、radtnq t1 t2 0 x n dt dn t t+dt t1 t2 0 x n dt dn t t+dt负号是因为热流密度负号是因为热流密度与温度梯度的方向不与温度梯度的方向不一致而加上一致而加上 傅里叶定律可表述为傅里叶定律可表述为: :系统中任一点的热流系统中任一点的热流密度与该点的温度梯密度与该点的温度梯度成正比而方向相反度成正比而方向相反 注：傅里叶定律只适用于各向同性材料注：傅里叶定律只适用于各向同性材料各向同性材料：热导率在各个方向是相同的各向同性材料：热导率在各个方向是相同的tqgradtnx 傅立叶定律的一般形傅立叶定律的一般形式的数学表达式式的数学表达式 温度梯度和热

12、流密度的方向都是在等温面的温度梯度和热流密度的方向都是在等温面的法线方向。由于热流是从高温处流向低温处，法线方向。由于热流是从高温处流向低温处，因而温度梯度和热流密度的方向正好相反。因而温度梯度和热流密度的方向正好相反。 t+ttt-t.4、导热系数、导热系数1 1、定义、定义傅里叶定律给出了导热系数的定义傅里叶定律给出了导热系数的定义 : :txqnw/m 导热系数在数值上等于单位温度梯度作用下单位导热系数在数值上等于单位温度梯度作用下单位时间内单位面积的热量。时间内单位面积的热量。导热系数是物性参数，它与物质结构和状态密切导热系数是物性参数，它与物质结构和状态密切相关，例如

13、物质的种类、材料成分、温度、相关，例如物质的种类、材料成分、温度、 湿度、湿度、压力、密度等，与物质几何形状无关。压力、密度等，与物质几何形状无关。它反映了物质微观粒子传递热量的特性。它反映了物质微观粒子传递热量的特性。 不同物质的导热性能不同：不同物质的导热性能不同：非金属金属气体液体固体Cmw/398纯铜Cmw/7 . 2大理石0 0C C时：时：Cmw/22. 2冰Cmw/551. 0水Cmw/0183. 0蒸汽同一种物质的导热系数也会同一种物质的导热系数也会因其状态参数的不同而改变，因其状态参数的不同而改变，因而导热系数是物质温度和因而导热系数是物质温度和压力的函数。压力的函数。 一般

14、把导热系数仅仅视为温一般把导热系数仅仅视为温度的函数，而且在一定温度度的函数，而且在一定温度范围还可以用一种线性关系范围还可以用一种线性关系来描述来描述 )1 (0bT273K273K时物质的导热系数时物质的导热系数导热系数的确定导热系数的确定工程计算采用的各种物质的导热系数的工程计算采用的各种物质的导热系数的数值都是用专门实验测定出来的。数值都是用专门实验测定出来的。测量方法包括稳态测量方法和非稳态测测量方法包括稳态测量方法和非稳态测量方法。量方法。物质的导热系数值可以查阅相关文献物质的导热系数值可以查阅相关文献。2 2 、保温材料（隔热、绝热材料）、保温材料（隔热、绝热材料） 把导热系数小

15、的材料称保温材料。把导热系数小的材料称保温材料。我国规定：我国规定：t350t350时，时， 0.12w/0.12w/mkmk 保温材料导热系数界定值的大小反映了一个国家保保温材料导热系数界定值的大小反映了一个国家保温材料的生产及节能的水平。越小，生产及节能的温材料的生产及节能的水平。越小，生产及节能的水平越高水平越高。 我国我国5050年代年代 0.23W/0.23W/mkmk 80 80年代年代 GB4272-84 0.14w/GB4272-84 0.14w/mkmk 90 90年代年代 GB427-92 0.12w/GB427-92 0.12w/mkmk 保温材料热量转移机理保温材料热量

16、转移机理 ( ( 高效保温材料高效保温材料 ) ) 高温时：高温时：（ 1 1 ）蜂窝固体结构的导热）蜂窝固体结构的导热 （ 2 2 ）穿过微小气孔的导热）穿过微小气孔的导热 更高温度时：更高温度时：（ 1 1 ）蜂窝固体结构的导热）蜂窝固体结构的导热 （ 2 2 ）穿过微小气孔的导热和辐射）穿过微小气孔的导热和辐射 超级保温材料超级保温材料 采取的方法：采取的方法：（ 1 1 ）夹层中抽真空夹层中抽真空（减少通过导热而造成（减少通过导热而造成热损失）热损失） （ 2 2 ）采用多层间隔结构采用多层间隔结构（ 1cm 1cm 达十几层）达十几层） 特点：特点：间隔材料的反射率很高，减少辐间隔材

17、料的反射率很高，减少辐射换热，垂直于隔热板上的导热系数可达：射换热，垂直于隔热板上的导热系数可达： 1010-4-4w/mkw/mk .5、工程导热材料的一般分类、工程导热材料的一般分类 工程技术中采用的导热材料与结构可以分工程技术中采用的导热材料与结构可以分四类：（四类：（1 1）均匀、各向同性；（）均匀、各向同性；（2 2）均匀、）均匀、各向异性；（各向异性；（3 3）不均匀、各向同性；（）不均匀、各向同性；（4 4）不均匀、各向异性。不均匀、各向异性。2.2 2.2 导热问题的数学描写导热问题的数学描写2.2.1 2.2.1 导热微分方程的推导导热微分方程的推导傅里叶定律

18、：傅里叶定律：gradtq 建立导热微分方程，可以揭示连续温度场随空间坐建立导热微分方程，可以揭示连续温度场随空间坐标和时间变化的内在联系。标和时间变化的内在联系。 理论基础：傅里叶定律理论基础：傅里叶定律 + + 能量守恒定律能量守恒定律 定义：定义：根据能量守恒定律与傅立叶定律，建立根据能量守恒定律与傅立叶定律，建立导热物体中的温度场应满足的数学表达式，称导热物体中的温度场应满足的数学表达式，称为为导热微分方程导热微分方程。假设：假设：(1) (1) 所研究的物体是各向同性的连续介质所研究的物体是各向同性的连续介质(2) (2) 热导率、比热容和密度均为已知热导率、比热容和密度均为已知(3

19、)(3)体内具有均匀分布内热源；强度体内具有均匀分布内热源；强度 W/mW/m3 3; ; ：单位体积的导热体在单位时间内放出的热量：单位体积的导热体在单位时间内放出的热量根据能量守恒定律，在根据能量守恒定律，在d时间内时间内导入与导出微元体的净热量微元体内热源的发热导入与导出微元体的净热量微元体内热源的发热量微元体热力学的增加量微元体热力学的增加 ddvdE 、导入与导出微元体的净热量、导入与导出微元体的净热量 d d 时间内、沿时间内、沿 x x 轴方向、轴方向、经经 x+dx x+dx 表面表面导出导出的热量：的热量：x dxdxx dxxdddxx xd d d 时间内、沿时间内、沿

20、x x 轴方向、轴方向、经经 x x 表面表面导入导入的热量的热量：泰勒展开泰勒展开xxx dxdddxx xxqdydz d d d 时间内、沿时间内、沿 x x 轴方向导入与导出微元体净热量轴方向导入与导出微元体净热量()xx dxxxxx dxddq dydz ddxxqdddxdydzdx d d 时间内、沿时间内、沿 y y 轴方向导入与导出微元体净热量轴方向导入与导出微元体净热量yyy dyqdddxdydzdy d d 时间内、沿时间内、沿 z z 轴方向导入与导出微元体净热量轴方向导入与导出微元体净热量zzz dzqdddxdydzdz 同理同理 导入与导出净热量导入与导出净热

21、量: :()yxzdqqqddxdydzdxyz 傅里叶定律：傅里叶定律：xtqxytqyztqz()()()dtttdxdydzdxxyyzz 2 2、 d d 时间微元体内热源的发热量时间微元体内热源的发热量vdxdydz d 3 3、微元体在、微元体在d d 时间时间内焓的增加量内焓的增加量 dxdydzdtc()()()tttdxdydzddxdydzdxxyyzztcdxdydzddv 将以上各式代入热平衡关系式，并整理得：将以上各式代入热平衡关系式，并整理得： 这是笛卡尔坐标系中这是笛卡尔坐标系中三维非稳态导热微分方三维非稳态导热微分方程的一般表达式程的一般表达式。 其物理意义：其

22、物理意义：反映了物体的温度随时间和空反映了物体的温度随时间和空间的变化关系。间的变化关系。 ()()()ttttcxxyyzz非稳态项非稳态项源项源项扩散项扩散项上式化简：上式化简： 导热系数为常数导热系数为常数 cztytxtat222222)(式中，式中， ，称为热扩散率。，称为热扩散率。)/( ca导热系数为常数导热系数为常数 、无内热源、无内热源 222222()ttttaxyz()()()ttttcxxyyzz导热系数为常数导热系数为常数 、稳态、稳态 2222220tttxyz导热系数为常数导热系数为常数 、稳态、稳态 、无内热源、无内热源 2222220tttxyz()()()t

23、tttcxxyyzz综上说明：综上说明： （ 1 1 ）导热问题仍然服从能量守恒定律；）导热问题仍然服从能量守恒定律； （ 2 2 ）等号左边是单位时间内微元体热力学能的）等号左边是单位时间内微元体热力学能的增量（非稳态项）；增量（非稳态项）； （ 3 3 ）等号右边前三项之和是通过界面的导热使）等号右边前三项之和是通过界面的导热使微分元体在单位时间内增加的能量微分元体在单位时间内增加的能量 ( ( 扩散项扩散项 ) ) ； （ 4 4 ）等号右边最后项是源项；）等号右边最后项是源项；（ 5 5 ）若某坐标方向上温度不变，该方向的净导）若某坐标方向上温度不变，该方向的净导热量为零，则相应的扩散

24、项即从导热微分方程中消热量为零，则相应的扩散项即从导热微分方程中消失。失。 其他坐标下的导热微分方程其他坐标下的导热微分方程对于圆柱坐标系对于圆柱坐标系 211()()()ttttcrrrrrzz对于球坐标系对于球坐标系 22222111()()( sin)sinsinttttcrrrrrr2.2.2 2.2.2 定解条件定解条件导热微分方程式的理论基础：傅里叶定律导热微分方程式的理论基础：傅里叶定律+ +能能量守恒。它描写物体的温度随时间和空间变化量守恒。它描写物体的温度随时间和空间变化的关系；没有涉及具体、特定的导热过程。通的关系；没有涉及具体、特定的导热过程。通用表达式。用表达式。定解条

25、件：确定唯一解的附加补充说明条件，包定解条件：确定唯一解的附加补充说明条件，包括四项：几何、物理、初始、边界括四项：几何、物理、初始、边界完整数学描述：导热微分方程完整数学描述：导热微分方程 + + 定解条件定解条件1 1、几何条件：、几何条件：说明导热体的几何形说明导热体的几何形状和大小，如：平壁或圆筒壁；厚状和大小，如：平壁或圆筒壁；厚度、直径等度、直径等2 2、物理条件：、物理条件：说明导热体的物理说明导热体的物理特征如：物性参数特征如：物性参数 、c c 和和 的数的数值，是否随温度变化；有无内热源、值，是否随温度变化；有无内热源、大小和分布；大小和分布；3 3、初始条件：、初始条件：

26、又称时间条件，反映导热系统的又称时间条件，反映导热系统的初始状态初始状态 )0 ,(zyxft 、边界条件、边界条件: :反映导热系统在界面上的特征，也可反映导热系统在界面上的特征，也可理解为系统与外界环境之间的关系。理解为系统与外界环境之间的关系。 说明：说明： 非稳态导热定解条件有两个非稳态导热定解条件有两个初始条件；边界条件初始条件；边界条件稳态导热定解条件稳态导热定解条件只有边界条件，无初始条件。只有边界条件，无初始条件。边界条件常见的有三类边界条件常见的有三类 （）第一类边界条件（）第一类边界条件: :该条件该条件是给定系统边界上的温度分布，是给定系统边界上的温度分布，它可以是时间和

27、空间的函数，也它可以是时间和空间的函数，也可以为给定不变的常数值。可以为给定不变的常数值。 t=f(y,z,) 0 x1 x （2 2）第二类边界条件）第二类边界条件: :该条件是该条件是给定系统边界上的温度梯度，即给定系统边界上的温度梯度，即相当于给定边界上的热流密度，相当于给定边界上的热流密度，它可以是时间和空间的函数，也它可以是时间和空间的函数，也可以为给定不变的常数值可以为给定不变的常数值0 x1 x ),(zyfxt 0wtf时20()( )wtfn时（3 3）第三类边界条件）第三类边界条件: :该条件该条件是第一类和第二类边界条件的是第一类和第二类边界条件的线性组合，常为给定系统边

28、界线性组合，常为给定系统边界面与流体间的换热系数和流体面与流体间的换热系数和流体的温度，这两个量可以是时间的温度，这两个量可以是时间和空间的函数，也可以为给定和空间的函数，也可以为给定不变的常数值不变的常数值 0 x1 x )th ttx（()()wwfth ttn辐射边界条件辐射边界条件导热物体表面与温度为导热物体表面与温度为TeTe的外界环境只发生辐射的外界环境只发生辐射换热换热导热微分方程定解条件求解方法导热微分方程定解条件求解方法 温度场温度场44()()wwetTTn界面连续条件界面连续条件不均匀材料中的导热，常采用分区计算的方法。不均匀材料中的导热，常采用分区计算的方法。, ()(

29、)ttttnn由热扩散率的定义可知：由热扩散率的定义可知： 1 1 ） 分子是物体的导热系数，其数值越大，在相同分子是物体的导热系数，其数值越大，在相同温度梯度下，可以传导更多的热量。温度梯度下，可以传导更多的热量。 2 2 ）分母是单位体积的物体温度升高）分母是单位体积的物体温度升高 1 1 所需的热所需的热量。其数值越小，温度升高量。其数值越小，温度升高11所吸收的热量越少，所吸收的热量越少，可以剩下更多的热量向物体内部传递，使物体内温可以剩下更多的热量向物体内部传递，使物体内温度更快的随界面温度升高而升高。度更快的随界面温度升高而升高。a a 反映了导热过程中材料的导热能力（反映了导热过

30、程中材料的导热能力（ ）与沿途）与沿途物质储热能力（物质储热能力（ c c ）之间的关系）之间的关系. .()ac2.2.3 2.2.3 热扩散率的物理意义热扩散率的物理意义由此可见由此可见物理意义物理意义： 值大，即值大，即 值大或值大或 c c 值小，说明物体的某一值小，说明物体的某一部分一旦获得热量，该热量能在整个物体中很快扩部分一旦获得热量，该热量能在整个物体中很快扩散，其内部各点温度扯平的能力越大。散，其内部各点温度扯平的能力越大。 越大，表示物体中温度变化传播的越快。所以，越大，表示物体中温度变化传播的越快。所以，也是材料传播温度变化能力大小的指标，亦称导也是材料传播温度变化能力大

31、小的指标，亦称导温系数。温系数。热扩散率表征物体被加热或冷却时，物体内各部分热扩散率表征物体被加热或冷却时，物体内各部分温度趋向于均匀一致的能力，所以温度趋向于均匀一致的能力，所以反映导热过程反映导热过程动态特性，研究不稳态导热重要物理量。动态特性，研究不稳态导热重要物理量。2.2.4 2.2.4 傅里叶定律及导热微分方程的适用范围傅里叶定律及导热微分方程的适用范围 适用于适用于 q q 不很高，而作用时间长，同时傅立叶定律不很高，而作用时间长，同时傅立叶定律也适用该条件。也适用该条件。 1 1 ）若属极底温度（）若属极底温度（ -273 -273 ）时的导热不适用。）时的导热不适用。2 2

32、）若时间极短，而且热流密度极大时，则不适用。）若时间极短，而且热流密度极大时，则不适用。3 3 ）过程发生的空间尺度与微观粒子的平均自由行）过程发生的空间尺度与微观粒子的平均自由行程相接近时，不适用。程相接近时，不适用。 导热理论分析方法的基本思路导热理论分析方法的基本思路 导热理论的任务就是要找出任何时刻物体中各处导热理论的任务就是要找出任何时刻物体中各处的温度，进而确定热量传递规律。的温度，进而确定热量传递规律。 、简化分析导热现象。根据几何条件、物理条、简化分析导热现象。根据几何条件、物理条件简化导热微分方程式。件简化导热微分方程式。 、确定初始条件及各物体各边界处的边界条件。、确定初始

33、条件及各物体各边界处的边界条件。每一维导热至少有两个边界条件。每一维导热至少有两个边界条件。 、分析求解，得出导热物体的温度场。、分析求解，得出导热物体的温度场。 、利用傅立叶定律和已有的温度场最终确定热、利用傅立叶定律和已有的温度场最终确定热流量或热流密度。流量或热流密度。22220ttxy导热微分方程导热微分方程单值性条件单值性条件0 ()0 y owy by bfxx bwttth ttyttqxx；【例例】某一矩形薄板，具有均匀内热源某一矩形薄板，具有均匀内热源q qv vW/mW/m3 3，导，导热系数热系数为常数，边界条件如图所示，试写出该物为常数，边界条件如图所示，试写出该物体稳

34、态导热现象完整的数学描述。体稳态导热现象完整的数学描述。2.3 2.3 典型一维稳态导热问题的分析解典型一维稳态导热问题的分析解本节将针对本节将针对一维一维、稳态、常物性、无内热源、稳态、常物性、无内热源情况，考察平板和圆柱内的导热。情况，考察平板和圆柱内的导热。直角坐标系：直角坐标系：ztzytyxtxtc)()()(2.3.1、通过平壁的导热、通过平壁的导热 平壁的长度和宽度都远大于其厚度，因而平板平壁的长度和宽度都远大于其厚度，因而平板两侧保持均匀边界条件的稳态导热就可以归纳两侧保持均匀边界条件的稳态导热就可以归纳为一维稳态导热问题。为一维稳态导热问题。 平板可分为单层壁，多层壁和复合壁

35、等类型平板可分为单层壁，多层壁和复合壁等类型 。 a. a.单层壁导热单层壁导热 b.b.多层壁导热多层壁导热 c. c. 复合壁导热复合壁导热1 1 单层平壁的导热单层平壁的导热a a 几何条件：单层平板；几何条件：单层平板； b b 物理条件：物理条件： 、c c、 已知；已知；无内热源无内热源 c c 时间条件：时间条件：: 0 t 稳态导热 d d 边界条件：第一类边界条件：第一类ot1tt2xot1tt2120, , xttxtt根据上面的条件可得：根据上面的条件可得：第一类边界条件：第一类边界条件：0dd22xt0()txx控制控制方程方程边界边界条件条件ztzytyxtxtc)(

36、)()(直接积分，得：直接积分，得：211 cxctcdxdt带入边界条件：带入边界条件：12121tcttc2212d0d0, , txxttxtt完整的数学描写完整的数学描写211tttxt)(dd1212112Attttqttxttxttt带入带入Fourier 定律定律rRA热阻分析法适用于一维、热阻分析法适用于一维、稳态、无内热源的情况稳态、无内热源的情况线性线性分布分布热阻的含义热阻的含义 热量传递是自然界的一种转换过程热量传递是自然界的一种转换过程,与自然界与自然界的其他转换过程类同的其他转换过程类同,如如:电量的转换电量的转换,动量、质量等动量、质量等的转换。的转换。其共同规律

37、可表示为其共同规律可表示为:过程中的转换量过程中的转换量 = = 过程中的动力过程中的动力 / / 过程中的阻力。过程中的阻力。在电学中，这种规律性就是欧姆定律，即在电学中，这种规律性就是欧姆定律，即RUI 平板导热中，与之相对应的表达式可改写为平板导热中，与之相对应的表达式可改写为/tA 这种形式有助于更清楚地理解式中各项的物理意这种形式有助于更清楚地理解式中各项的物理意义。义。式中：式中：热流量热流量为导热过程的转移量；为导热过程的转移量； 温压温压 为转移过程的动力；为转移过程的动力； 分母分母 为转移过程的阻力。为转移过程的阻力。 t/A 由此引出热阻的概念：由此引出热阻的概念： 1

38、1 ）热阻定义：）热阻定义：热转移过程的阻力称为热阻。热转移过程的阻力称为热阻。 2 2 ）热阻分类：）热阻分类：不同的热量转移有不同的热阻，其分类较多，如：不同的热量转移有不同的热阻，其分类较多，如：导热阻、辐射热阻、对流热阻等。导热阻、辐射热阻、对流热阻等。对平板导热而言又分：对平板导热而言又分： 面积热阻面积热阻R RA A ：单位面积的导热热阻称面积热阻。单位面积的导热热阻称面积热阻。 热阻热阻R R：整个平板导热热阻称热阻。整个平板导热热阻称热阻。3 3 ）热阻的特点：）热阻的特点： 串联热阻叠加原则：在一个串联的热量串联热阻叠加原则：在一个串联的热量传递过程中，若通过各串联环节的热

39、流量传递过程中，若通过各串联环节的热流量相同，则串联过程的总热阻等于各串联环相同，则串联过程的总热阻等于各串联环节的分热阻之和。节的分热阻之和。 2 2、通过多层平壁的导热、通过多层平壁的导热 多层平壁：由几层不同材料组成多层平壁：由几层不同材料组成例：房屋的墙壁例：房屋的墙壁 白灰内层、水泥沙浆层、红白灰内层、水泥沙浆层、红砖（青砖）主体层等组成砖（青砖）主体层等组成假设各层之间接触良好，假设各层之间接触良好，可以近似地认为接合面上可以近似地认为接合面上各处的温度相等各处的温度相等t2t3t4t1 qt2t3t4t1 q334322321121ttttttq由和分比关系由和分比关系 3322

40、1141ttqt1 r1 t2 r2 t3 r3 t4推广到推广到n n层壁的情况层壁的情况: : niiinttq111层间分界面温度层间分界面温度 12113343ttqttqt2t3t4t1 q2322ttq334322321121ttttttq导热系数与温度有依变关系时导热系数与温度有依变关系时当导热系数是温度的线性函数时，只要当导热系数是温度的线性函数时，只要取计算区域的平均温度下的导热系数值取计算区域的平均温度下的导热系数值带入按带入按等于常数时的计算公式，即可获等于常数时的计算公式，即可获得正确结果。得正确结果。P P5050例例2-12-1【例例】有一砖砌墙壁，厚为有一砖砌墙壁

41、，厚为0.25m0.25m。已知内外壁面。已知内外壁面的温度分别为的温度分别为2525和和3030。试计算墙壁内的温度。试计算墙壁内的温度分布和通过的热流密度。分布和通过的热流密度。解：由平壁导热的温度分布解：由平壁导热的温度分布 代入已知数据可以得出墙壁内代入已知数据可以得出墙壁内t=25+20 xt=25+20 x的温度分布表达式的温度分布表达式。 从附录查得红砖的从附录查得红砖的=0.87W/(m),=0.87W/(m),于是可以于是可以计算出通过墙壁的热流密度计算出通过墙壁的热流密度 221/4 .17)(mWttq211tttxt2212d0d0m, =25=0.25m, =30tx

42、xttxtttaxbxtq【例例】由三层材料组成的加热炉炉墙。第一层为耐火由三层材料组成的加热炉炉墙。第一层为耐火砖。第二层为硅藻土绝热层，第三层为红砖，各层的砖。第二层为硅藻土绝热层，第三层为红砖，各层的厚 度 及 导 热 系 数 分 别 为厚 度 及 导 热 系 数 分 别 为 1 1 2 4 0 m m 2 4 0 m m ， 1 1=1.04W/(m=1.04W/(m )， 2 250mm, 50mm, 2 2=0.15W/(m=0.15W/(m )， 3 3115mm, 115mm, 3 3=0.63W/(m=0.63W/(m )。炉墙内侧耐火砖的。炉墙内侧耐火砖的表面温度为表面温度

43、为10001000。炉墙外侧红砖的表面温度为。炉墙外侧红砖的表面温度为6060。试计算硅藻土层的平均温度及通过炉墙的导热。试计算硅藻土层的平均温度及通过炉墙的导热热流密度。热流密度。解：解： 已知已知 1 10.24m, 0.24m, 1 1=1.04W/(m=1.04W/(m ) ) 2 20.05m, 0.05m, 2 2=0.15W/(m=0.15W/(m ) ) 3 30.115m, 0.115m, 3 3=0.63W/(m=0.63W/(m ) ) t t1 1=1000=1000 t t2 2=60=60 t2t3t4t1 qt1 r1 t2 r2 t3 r3 t421431212

44、3121123221259/700289ttqW mttqttq硅藻土层的平均温度为硅藻土层的平均温度为 499232 tt 【例例】一维无内热源、平壁稳态导热的温度场如一维无内热源、平壁稳态导热的温度场如图所示。试说明它的导热系数图所示。试说明它的导热系数是随温度增加而是随温度增加而增加，还是随温度增加而减小增加，还是随温度增加而减小? ? 解解 由博里叶定律，由博里叶定律，( )dt xqconstdx 图中图中dt/dxdt/dx随着随着x x的增加而减小，因而的增加而减小，因而随随x x增加增加而增加而增加；而温度；而温度t t随随x x增加而降低增加而降低，所以导热系数所以导热系数随

45、温度增加而减小。随温度增加而减小。稳态导热稳态导热0t 圆筒壁就是圆管的壁面。当管子的壁面相对于管圆筒壁就是圆管的壁面。当管子的壁面相对于管长而言非常小，且管子的内外壁面又保持均匀的温度长而言非常小，且管子的内外壁面又保持均匀的温度时，通过管壁的导热就是圆柱坐标系上的一维导热问时，通过管壁的导热就是圆柱坐标系上的一维导热问题。题。 2.3.2 2.3.2 通过圆筒壁的导热通过圆筒壁的导热1 1、通过单层圆筒壁的导热、通过单层圆筒壁的导热211()()()ttttcrrrrrzz柱坐标柱坐标一维、稳态、无内热源、常物性：一维、稳态、无内热源、常物性：第一类边界条件：第一类边界条件：1122rrt

46、trrtt时时0)dd(ddrtrr(a)(a) t1 r1 t2 r r2对上述方程对上述方程(a)(a)积分两次积分两次: :211ln crctcdrdtr11122122ln; lntcrctcrc211121212121ln; ()ln()ln()ttrcctttr rr r第一次积分第一次积分第二次积分第二次积分应用边界条件应用边界条件获得两个系数获得两个系数 t1 r1 t2 r r2)ln()ln( 112121rrrrtttt将系数带入第二次积分结果将系数带入第二次积分结果显然，温度呈对数曲线分布显然，温度呈对数曲线分布下面来看一下圆筒壁内部的热流密度和热流分布情况下面来看一

47、下圆筒壁内部的热流密度和热流分布情况21221dW mdln()tttqrrr r 12212()2 Wln()l ttrlqr r111221ln()()ln()r rttttr r12211ln()ttdtdrrrr 虽然是稳态情况，但虽然是稳态情况，但热流密度热流密度 q q 与半径与半径 r r 成反比！成反比！求导求导根据热阻的定义，通过整个圆筒壁的导热热阻为：根据热阻的定义，通过整个圆筒壁的导热热阻为：lddtR2)/ln(12单位长度圆筒壁的热流量：单位长度圆筒壁的热流量：mW ln21211221lwwwwlRttrrttqlWCm ln2112热阻单位长度圆筒壁的导热rrRl

48、2 2、通过多层圆筒壁的导热通过多层圆筒壁的导热 由不同材料构成的多层圆筒壁由不同材料构成的多层圆筒壁带有保温层的热力管道、嵌套的金属管道和结垢、带有保温层的热力管道、嵌套的金属管道和结垢、积灰的输送管道等积灰的输送管道等 由不同材料制作的圆筒同心紧密结合而构成多层圆由不同材料制作的圆筒同心紧密结合而构成多层圆筒壁筒壁 ，如果管子的壁厚远小于管子的长度，且管，如果管子的壁厚远小于管子的长度，且管壁内外边界条件均匀一致，那么在管子的径向方向壁内外边界条件均匀一致，那么在管子的径向方向构成一维稳态导热问题。构成一维稳态导热问题。 233412234113322111222ttttttdddnnnl

49、dldld)1112iiiiiiiittl ttddlnlnldd 【例例】某管道外经为某管道外经为2r2r，外壁温度为，外壁温度为t t1 1，如外包两层，如外包两层厚度均为厚度均为r r（即（即 2 2 3 3r r）、导热系数分别为）、导热系数分别为 2 2和和 3 3（ 2 2 / / 3 3=2=2）的保温材料，外层外表面温度为）的保温材料，外层外表面温度为t t2 2。如将两层保温材料的位置对调，其他条件不变，保如将两层保温材料的位置对调，其他条件不变，保温情况变化如何？由此能得出什么结论？温情况变化如何？由此能得出什么结论？解：解： 设两层保温层直径分别

50、为设两层保温层直径分别为d d2 2、d d3 3和和d d4 4，则，则d d3 3/d/d2 2=2=2，d d4 4/d/d3 3=3/2=3/2。导热系数大的在里面：。导热系数大的在里面： 31234332233;113110.11969ln2lnlnln222222Lttttqdddd导热系数大的在外面：导热系数大的在外面： 1426. 023ln2212ln2133321tttqL两种情况散热量之比为：两种情况散热量之比为： 84. 019. 111969. 01426. 01LLLqqqq或结论：导热系数大的材料在外面，导热系数小结论：导热系数大的材料在外面，导热系数小的材料放在

51、里层对保温更有利。的材料放在里层对保温更有利。 1234223311lnln22Lttqdddd对于内、外表面维持均匀衡定温度的空心球壁的对于内、外表面维持均匀衡定温度的空心球壁的导热，再球坐标系中也是一个一维导热问题。相导热，再球坐标系中也是一个一维导热问题。相应计算公式为：应计算公式为：温度分布：温度分布：热流量：热流量：热阻：热阻：2.3.3 2.3.3 通过球壳的导热通过球壳的导热22121211()11rrttttrr12124()11ttrr121114Rrr2.3.4 2.3.4 带有第二类、第三类边界条件的一维带有第二类、第三类边界条件的一维导热问题导热问题在求解过程中，与第一

52、类边界条件求解的区别在求解过程中，与第一类边界条件求解的区别在于确定任意常熟在于确定任意常熟C1、C2所利用的条件不同。所利用的条件不同。见见P552.3.5 2.3.5 变截面或变导热系数的一维问题变截面或变导热系数的一维问题变导热系数变导热系数根据傅立叶定律求解而导热系数为变数根据傅立叶定律求解而导热系数为变数或沿导热热流密度矢量方向导热截面积或沿导热热流密度矢量方向导热截面积为变量时，此方法有效。为变量时，此方法有效。导热系数为温度的函数导热系数为温度的函数(t) 根据傅立根据傅立叶定律得：叶定律得：= -A(t)(dt/dx)分离变数积分，而分离变数积分，而与与X无关系，则得：无关系，

53、则得： 方程右边乘以方程右边乘以 (t2-t1)/( t2-t1) 得：得： 显然显然 式中式中 项是在项是在t1 至至t2范围内，由范围内，由(t)积分平均值，可用积分平均值，可用 表示表示则：则： 2211( )xtxtdxt dtA 22112121( )()()txtxt dtdxttAtt2121( )()ttt dttt2112()1()xxttdxA 代替代替 不受到不受到A与与X关系的制约关系的制约 适于任何的适于任何的A,X在方程中若在方程中若=(t)，则：，则： =0(1+bt) 或或 =0+at由此可见：由此可见： 是算术平均温度下是算术平均温度下t=(t1+t2)/2的

54、值只需把前述公式的的值只需把前述公式的取平取平均温度下的值即可。均温度下的值即可。综上所述四种情况的共同特点：通过热量综上所述四种情况的共同特点：通过热量传递的方向上传递的方向上保持不变。保持不变。2121( )()ttt dttt2112()1()xxttdxA 由前可知：由前可知： 导热分析的首要任务就是确定物体内部的温度导热分析的首要任务就是确定物体内部的温度场。场。 根据能量守恒定律与傅立叶定律，建立了导热根据能量守恒定律与傅立叶定律，建立了导热物体中的温度场应满足的数学表达式，称为物体中的温度场应满足的数学表达式，称为导导热微分方程热微分方程。()()()ttttcxxyyzz非稳态

55、项非稳态项源项源项扩散项扩散项2-4 2-4 通过肋片的导热通过肋片的导热v 基本概念基本概念 1 1 、肋片、肋片：指依附于基础表面上的扩展指依附于基础表面上的扩展表面。表面。工程上和自然界常见到一些带有突出表工程上和自然界常见到一些带有突出表面的物体。面的物体。其作用是其作用是增大对流换热面积，以强化换热。增大对流换热面积，以强化换热。、肋片的作用、肋片的作用 肋高肋高H 肋宽肋宽l 肋厚肋厚 截面积截面积A Ac c 肋基肋基 肋端肋端肋片的基本尺寸和术语肋片的基本尺寸和术语lAcAl3、常见肋片的结构：、常见肋片的结构：直肋直肋 环肋针肋环肋针肋 直肋直肋环肋环肋针肋针肋2.4.1 2

56、.4.1 通过等截面直肋的导热通过等截面直肋的导热已知：已知：(1)(1)矩形直肋，矩形直肋，A Ac c均保持不变均保持不变(2)(2)肋基温度为肋基温度为t t0 0，且，且t t0 0 (3)(3)肋片与环境的表面传热系肋片与环境的表面传热系数为常量数为常量h h. .(4)(4)导热系数导热系数 ，保持不变，保持不变求：求：温度场温度场 t t 和散热量和散热量 0 xdxxx+dxcHlttt分析：分析：肋宽方向：肋片宽度远大肋宽方向：肋片宽度远大于肋片的厚度，不考虑温于肋片的厚度，不考虑温度沿该方向的变化；度沿该方向的变化； 于是我们可以把通过肋片的导热问题于是我们可以把通过肋片的

57、导热问题视为沿肋片方向上的视为沿肋片方向上的一维导热一维导热问题。问题。 肋厚（）方向：沿肋肋厚（）方向：沿肋厚方向的导热热阻一般厚方向的导热热阻一般远小于它与环境的换热远小于它与环境的换热热阻。热阻。把沿方向的散热视为负的内热源。把沿方向的散热视为负的内热源。0 xdxxx+dxcHl1/h/1/htt2t1t假设假设1 1 ）导热系数）导热系数 及表面传热系数及表面传热系数 h h 均为常均为常数；数； 2 2 ）肋片宽度远大于肋片的厚度，不考虑温）肋片宽度远大于肋片的厚度，不考虑温度沿该方向的变化；度沿该方向的变化；3 3 ）表面上的换热热阻）表面上的换热热阻 1/h 1/h ，远大于肋

58、片的，远大于肋片的导热热阻导热热阻 / / ，即肋片上沿肋厚方向上的温度，即肋片上沿肋厚方向上的温度均匀不变；均匀不变； 220d tdx在上述假设条件下，把在上述假设条件下，把复杂的肋片导热问题转化为复杂的肋片导热问题转化为一维稳态导热一维稳态导热, ,并将沿程散并将沿程散热量热量q q视为负的内热源，则视为负的内热源，则导热微分方程式导热微分方程式简化为简化为4 4 ）肋端视为绝热，即）肋端视为绝热，即 dt/dx=0 dt/dx=0 ；0 xdxxx+dxcHl-sccch ttPdxhP ttA dxA dxA 内热源强度内热源强度单位时间肋片单位体积的对单位时间肋片单位体积的对流散热

59、量流散热量如图，在距肋基处取一长如图，在距肋基处取一长度为度为dxdx的微元段，该段的对的微元段，该段的对流换热量为：流换热量为：h ttPdx因此该微元段的内热源强度为：因此该微元段的内热源强度为：0 xdxxx+dxcHl22d()0dcthPttxA导热微分方程：导热微分方程：引入过余温度引入过余温度 。并令。并令tt constchPmA边界条件：边界条件：000d0dxttxHx时 ，时 ，222ddmx导热微分方程：导热微分方程：0 xdxxx+dxcHl二阶齐次线性常微分方程二阶齐次线性常微分方程特征方程特征方程mm 0 0mm- - 2 22 2方程的通解为：方程的通解为：mx

60、mxecec21应用边界条件可得：应用边界条件可得：12012;0mHmHccc mec memHmHmHmHmHmHeeeceeec0201得：得：00mHmxmHmxmHmHmHmHeeeeeeee带入：带入：2002211mxmHmxmHmHeeeee00mHmxmHmxmHmHmHmHeeeeeeee2021mxmHmxmHeeee分子分母同乘以分子分母同乘以mHe()()000+ ()22=()+22m x Hm x HmHmxmHmxmHmHmHmHeeeeeech m xHeeeech mH0ch ()ch()m xHmH肋片内的肋片内的温度分布温度分布xxxxxxxxeeeex