自动控制原理第5章

1、2022-6-29第五章 频率响应1第五章第五章频率响应频率响应2022-6-29第五章 频率响应2v频率响应法是以传递函数为基础的又一图解法。能根据系统的开环频率特性曲线直观分析闭环系统的响应，而且能够判别某些环节或参数对系统性能的影响，提供改善系统性能的信息。v不同于前面的几种典型信号输入。2022-6-29第五章 频率响应3第一节 频率特性njjjnpSbjSajSajSjSAPSPSPSSUSASVSUSC12122)()()()()()()(22)(,sin)(SAsRtAtr)()()()()(sVsUsGsRsC令已知一、频率特性的基本概念njtpjtjtjjebeaaetC1)

2、(2022-6-29第五章 频率响应4jAsGa2)(jAjGjSSAsGajS2)()()(22)()()()()()(jjejGjGejGjG)()()(tSinjGAtCtjtjeaaetC)(因为所以2022-6-29第五章 频率响应5 图5-1 图5-2 例:22112)(,11)()(SAsERCSsEsE2022-6-29第五章 频率响应6)arctan(1)(222TtSinTAte221)(TAjGTtg1)( 图5-3幅频特性相频特性2022-6-29第五章 频率响应7二、由传递函数确定系统的频率响应 例5-1)32)(32() 1(10134) 1(10)(2jSjSSS

3、SSsG 试绘制系统的幅频和相频特性曲线。 解：令 ，2Sj)322)(322() 12(10)2(jjjjjjG。8 .21857. 16 .2652 .68924 .63510 图5-52022-6-29第五章 频率响应8 图5-6取不同的频率得到一系列的幅值和相角，用描点法就可以做出上面的两个图。2022-6-29第五章 频率响应9第二节第二节 对数坐标图对数坐标图 对数坐标图/)(lg20/ )(dBjGc 1. 比例因子K020 lg()20 lg()0jKKeAK 图5-7 2. 一阶因子1)1 (Tj1( )arctanarctan1T 21)(1lg20)(L一、典型因子的伯德

4、图T1,12022-6-29第五章 频率响应10dBL01lg20)(,)211略去(时,当11lg20)(, 1L略去时,当 图5-82022-6-29第五章 频率响应11则有互为倒数,由于1)1 ()1 (TjTj与)11arg()1arg(11lg201lg20TjTjTjTj 图5-10 3. 积分、微分因子j1 1)积分因子1)(j( )20lg( )20lgLA 90)(2022-6-29第五章 频率响应12j 2)微分因子( )20lgL90)( 图5-11jK90)(lg20lg20)(KL 图5-122022-6-29第五章 频率响应13 4. 二阶因子1)(21 2nnTj

5、jT2211)()12nnG jj2222( )20lg(1)(2)nnL 项和略去,当2221nnndBL01lg20)(低频渐近线2022-6-29第五章 频率响应14nn21 略去1和,当22( )20lg40lgnnL 2212arctan)(nn 图5-13 谐振峰值与谐振频率2222)2()1 (1)(nnjG高频渐近线2022-6-29第五章 频率响应152222)2()1 ()(nng令0)(ddg221n2121)(rrMjG707. 00 图5-152022-6-29第五章 频率响应16 图5-16 5. 滞后因子je1)(jejG)(2022-6-29第五章 频率响应17

6、二、开环系统的伯德图二、开环系统的伯德图 设开环传递函数)()()()(21SGSGSGSGn)(lg20)(lg20)(lg20)(21jGjGjGLn)(arg)(arg)(arg)(21jGjGjGn这样只要知道了各个因子的频率特性，相加即可得这样只要知道了各个因子的频率特性，相加即可得到整个系统开环博德图。到整个系统开环博德图。既不便捷，又费时间。既不便捷，又费时间。2022-6-29第五章 频率响应18工程上直接画伯德图工程上直接画伯德图Step1:Step1:写出开环频率特性的表达式，把转折频率在频率轴上进写出开环频率特性的表达式，把转折频率在频率轴上进行标注；行标注；Step2S

7、tep2：绘制开环对数幅频特性曲线渐近线。低频段绘制开环对数幅频特性曲线渐近线。低频段20vdB/dec20vdB/dec，w w1 1处处L(w)=20lgKL(w)=20lgK。以低频段作为分段直线的开始，每遇到。以低频段作为分段直线的开始，每遇到一个转折频率就改变一次直线的斜率。最后一段为开环对数一个转折频率就改变一次直线的斜率。最后一段为开环对数幅频特性的高频渐近线，斜率为幅频特性的高频渐近线，斜率为2020（n nm m）dB/decdB/dec；Step3Step3：作出分段直线表示的渐近线，如果需要再进行修正，作出分段直线表示的渐近线，如果需要再进行修正，就可得到对数幅频特性；就

8、可得到对数幅频特性；Step4Step4：作相频特性曲线。根据开环相频特性表达式，在低频、作相频特性曲线。根据开环相频特性表达式，在低频、中频、高频各选择若干个频率进行计算，然后连成曲线。中频、高频各选择若干个频率进行计算，然后连成曲线。2022-6-29第五章 频率响应19例子 例5-2)5 . 01 ()1 . 01 (10)()(SSSSHSG 绘制Bode图。)21 ()101 (10)(jjjjG （1）幅频特性 解22)10(1lg20)2(1lg20lg2010lg20)(L2022-6-29第五章 频率响应20。）为decdBdecdB2040103，斜率由 （2）相频特性将w

9、0 0.5 1 2 3 5 10 20 带入计算角度，描点法做出曲线。10arctan2arctan90)(特点：。）dBdecdB2010lg201201处，高度为，在低频段斜率为；）为decdBdecdB402022 ，斜率由2022-6-29第五章 频率响应21 图5-172022-6-29第五章 频率响应22三、最小相位系统三、最小相位系统( 开环零极点均在左半开环零极点均在左半S S平面平面)与非最小相位系统与非最小相位系统 设a和b两个系统的传递函数和频率特性分别为:211212,11)(,11)(TTjTjTjGSTSTSGaajTjTjGSTSTSGab121211)(,11)

10、( 这两个系统的幅频特性是相同的,即：2221)1(120lg)1(120lg)(TTL2022-6-29第五章 频率响应23 相频特性却不同,分别为:2121arctanarctan)(arctanarctan)(TTTTba 图5-182022-6-29第五章 频率响应24 图5-19 a a的相位变化量为的相位变化量为0 0，b b的相位变化量为的相位变化量为180180，故而称，故而称a a为最小为最小相位系统。相位系统。 结论结论: : 最小相位系统的对数幅频特性和相频特性曲线的变最小相位系统的对数幅频特性和相频特性曲线的变化趋势是相一致的，表示它们间有唯一的对应关系。知道化趋势是相

11、一致的，表示它们间有唯一的对应关系。知道了幅频特性能够估算相频特性，反之亦然。但是非最小相了幅频特性能够估算相频特性，反之亦然。但是非最小相位系统无法确定。位系统无法确定。2022-6-29第五章 频率响应25 1、0型系统2)1(1lg20lg20)(TKLTjKjG11)(令四、系统的类型与对数幅频特性曲线低频渐近线斜率的对应关系四、系统的类型与对数幅频特性曲线低频渐近线斜率的对应关系0型系统对数幅频特性低频渐近线为一条20lgKdB的水平线。2022-6-29第五章 频率响应262、I型系统)11 ()(TjjKjG2)1(1lg20lg20lg20)(TKL 低频渐近线斜率为-20db

12、/dec开环增益K在数值上等于低频渐近线（或延长线）与0dB线相交点的频率值。 低频渐近线（或延长线）在=1处的相交坐标值为20lgK。2022-6-29第五章 频率响应273、型系统)11 ()()(2TjjKjG2)1(1lg20lg40lg20)(TKL 低频渐近线的斜率为-40dB/dec。 低频渐近线（或延长线）在=1处的坐标值为20lgK。 开环增益K在数值上等于低频渐近线（或延长线）与0dB线相交点频率值的平方。2022-6-29第五章 频率响应28第三节第三节 极坐标图极坐标图)(22)()()()()(jeQpjQpjG)()(arctan)(pQ式中 当输入信号的频率当输入

13、信号的频率由由00变化时，向量变化时，向量G(j )G(j )的的端点在复平面上移动的轨迹叫极坐标图或称为乃氏图。端点在复平面上移动的轨迹叫极坐标图或称为乃氏图。2022-6-29第五章 频率响应290)()(KjG 图5-21 2、积分和微分因子211)(jejjG参考图5-21(b)2)(jejjG参考图5-21(c)一、典型因子的乃氏图 1、比例因子K2022-6-29第五章 频率响应303、一阶因子1)1 (Tj()22111)()11jG jej TT Tarctan)( 图5-2222()2)()11jG jj TTe Tarctan)(2022-6-29第五章 频率响应31()2

14、222222111)()12()(1)4jnnnnG jejj 4、二阶因子12)(21nnjj2212arctan)(nn0()1 0()0180limlimG jG j 2022-6-29第五章 频率响应32 根据不同的值，作出的乃氏图如图5-23所示。 图5-232022-6-29第五章 频率响应3322222()2222)()12(1)4jnnnnG jje 2212arctan)(nn 图5-25 5、滞后因子je2651)(图jejG2022-6-29第五章 频率响应342)(! 21111jjeejj 图5-26时当1jej11 图5-272022-6-29第五章 频率响应35)

15、()()(jejGjGmnjjKjGniimii,)1 ()1 ()(11 1.0型系统二、开环系统的乃氏图二、开环系统的乃氏图 绘制系统的乃氏图时，必须写出开环系统的相位表达式和幅频特性 表达式，逐点计算幅值和相角(或实部、虚部)，描点作出乃氏图。)(90)(, 0)(;0)0(,)0(0mnjGKjG时，当时，当2022-6-29第五章 频率响应36例)(22)(1)1 . 0(110)1)(1 . 01 (10)(jejjjGarctan1 . 0arctan)( 图5-28111(1)(),(1)miiniiKjG jnmjj 2.型系统。)(900)(;90)0(0mnjGjG时，当

16、时，当2022-6-29第五章 频率响应37例)(2110)1 (10)(jejjjGarctan90)(322221011010)(jjjjjG1800)(9010)0(0jGjjG时，当时，当 图5-292022-6-29第五章 频率响应383.型系统mnjjjKjGnllmii,)1 ()()1 ()(2121。时，当时，当)(900)(;180)0(0mnjGjG2022-6-29第五章 频率响应39)(222)1 (10)1 ()(10)(jejjjGarctan180)( 图5-302022-6-29第五章 频率响应40第四节第四节 乃奎斯特稳定判据乃奎斯特稳定判据)()()()(

17、)(1)()(1)(SVSUSVSVSUSHSGSF令)()()()(2121nmpSpSpSzSzSzSK。，方程的根的零点，也是闭环特性)(21SFzzzn方程的极点。的极点，也是开环特性)(21SFpppn，niezSijii，21令nlepSljll，21一、幅角原理2022-6-29第五章 频率响应41nllniijnllniieKSF1111)( 图5-40若在S平面上任取一封闭曲线Cs,且令S以顺时针方向沿着Cs变化,则上式求得其在F(S)平面上的映射曲线CF。2022-6-29第五章 频率响应4211)F(SSS令 (一)围线Cs围绕F(S)的一个零点)02(11)(1111)

18、F(Sjjee结论: Cs按顺时针方向围绕F(S)的一个零点,则其在F(S)平面上的映射曲线CF亦按顺时针方向围绕F(S)平面的坐标原点旋转一周.如果Cs按顺时针方向围绕F(S)的z个零点,则其在F(S)平面上的映射曲线CF按同一方向围绕F(S)平面的坐标原点旋转z周。2022-6-29第五章 频率响应43211111)F(Sjjee （二）围线Cs的顺时针方向围绕F（S）的一个极点结论:围线Cs以顺时针方向围绕F(S)的一个极点,则其在F(S)平面上的映射曲线CF亦按逆时针方向围绕F(S)平面的坐标原点旋转一周.如果Cs以顺时针方向围绕F(S)的p个极点,则其在F(S)平面上的映射曲线CF按

19、同逆时针方向围绕F(S)平面的坐标原点旋转p周。2022-6-29第五章 频率响应44 幅角原理：如果S平面上的围线Cs以顺时针方向围绕F(S)的z个零点和p个极点，则其在F(S)平面上的映射曲线CF围绕F(S)平面的坐标原点旋转N周。pzN顺时针旋转,0N逆时针旋转,0N2022-6-29第五章 频率响应45 取S平面上封闭围线Cs为图4-32所示。 图5-42)()(1)(jHjGjF 若围线Cs以顺时针方向包围了F(S)的z个零点和p个极点，由幅角原理可知，在F(j)平面上的映射曲线CF将按顺时针方向围绕坐标原点旋转N周。pzN由于1)j ()j (1)j ()G(jHGH二、乃氏稳定判

20、断2022-6-29第五章 频率响应46 映射曲线CF围绕F(S)平面的坐标原点等价于G(j)H (j)对GH平面上的(-1,j0)点围绕。 图5-432022-6-29第五章 频率响应47j0)点旋转p周。1,按逆时针方向围绕(G(j)H(j)统稳定的充要条件是面的右方，则其闭环系在s平且已知有p个开环极点定,2)如果开环系统不稳j0)点1,(H(j)曲线不包围充要条件是G(j)则其闭环系统稳定0,即p定的,1)如果开环系统是稳:乃氏判据2022-6-29第五章 频率响应48例5-80)1)(1 ()()(2121TTSTSTKSHSG，44所示：图5曲线为变化时,当解,)()(jHjG由

21、图5-44闭环系统稳定0,所以z因为, 0, 0 Np2022-6-29第五章 频率响应4995例1G(S)H(S)TSK系统稳定的K值范围。试用乃氏判据确定闭环221)(TKjG解Tarctan180)(2022-6-29第五章 频率响应50 图5-451,10,N1,()( 1, 0)pNzzGH jj 则曲线逆时针包围一周。显然统稳定。由于,若使即只要K1就能使系2022-6-29第五章 频率响应51设开环传递函数为 图5-47mnSTSSKSHSGnllmii,)1 ()1 ()()(112022-6-29第五章 频率响应52代入上式，得令部分上,在。)0(2jeSCjseKSHSG0

22、0lim)()(lim无穷大的圆。射曲线为一半径部分在GH平面上的映无穷大的半圆。射曲线为一半径部分在GH平面上的映222)21) 1CC，2022-6-29第五章 频率响应53 图5-482022-6-29第五章 频率响应54115例00)1 (TKTSSKGH，49所示：相连接后为图5j)H(j)圆，它与乃氏曲线G(曲线为一半径无穷大的射部分在GH平台上的映C47所示的乃氏途径,取图52 图5-492022-6-29第五章 频率响应55125例00)1 (2TKTSSKGH，2221)(TKjG解 图5-50Tarctan180)(闭环系统不稳定。所以因为。，220zpzNp135例) 1

23、() 1(122STSSTKGH性的影响。的相对大小对系统稳定和T分析T212022-6-29第五章 频率响应5621222)(1)(1TTKGH解12arctanarctan180)(TT00) 121zNTT，闭环系统稳定不稳定。有一对虚根，闭环系统点，说明闭环系统曲线穿过)0, 1()()()221jjHjGTT，。，稳定的右方，故闭环系统不点在S平面说明闭环系统有二个零02)321zNTT2022-6-29第五章 频率响应57 图5-512022-6-29第五章 频率响应58 图5-53pzNNQ)( 图5-52三、乃氏判据在对数坐标图上的应用145例2121) 1)(1()()(TT

24、STSTKSHSG，2022-6-29第五章 频率响应59 图5-540)00()(zqNNq闭环稳定0z0)(11 seSGseSS ) 1(1jejj)1 (1或写作四、乃氏判据在滞后系统中的应用2022-6-29第五章 频率响应60 图5-57 图5-56sradjG/75. 01)(1radej9 . 0)180(52曲线上，对应的在s2 . 19 . 075. 02022-6-29第五章 频率响应61第五节第五节 相对稳定性分析相对稳定性分析)()(1gggjHjGK一、增益裕量Kg180)(g为不稳定。系统闭环系统稳定；反之，对于最小相位系统，1gK二、相位裕量)(180c1)()

25、(ccjHjG 图5-592022-6-29第五章 频率响应62 图5-60不稳定。系统稳定；反之，系统对于最小相位系统， 02022-6-29第五章 频率响应63，已知例155)05. 01)(2 . 01 ()(SSSKSG试求。4020lg20)21) 1，相位裕量整，使系统的增益裕量要求通过对增益K的调和时的dBKKKgg解18005. 0arctan2 . 0arctan90)() 1ggg9005. 0arctan2 . 0arctangggggg05. 02 . 0105. 02 . 02022-6-29第五章 频率响应64005. 02 . 01gg10g22)2010(1lg

26、20)510(1lg2010lg201lg20)(gLdB28dBLKgg28)(lg2017.10405. 0arctan2 . 0arctan90)(11ccK， 761 . 0lg20)2010(1lg20)510(1lg2010lg20lg20)222K2022-6-29第五章 频率响应655 . 2K14005. 0arctan2 . 0arctan90)(ccc又5005. 0arctan2 . 0arctancc2 . 105. 02 . 0125. 02cc1lg20)204(1lg20)54(1lg204lg20lg20)(22KLc4c22. 5K的要求。和时，同时满足取g

27、KK5 . 22022-6-29第五章 频率响应66 图5-61三、相对稳定性与对数幅频特性中频段斜率关系2022-6-29第五章 频率响应673/40/20331cqcdecdBdecdB，且设平分斜率为平分斜率为，令decdBdecdB/40/20) 12132斜率为，斜率为当，；)1)(1 ()1 ()(312jjjjKjG则321arctanarctanarctan90)(cccc26110818072)9072(905472 2022-6-29第五章 频率响应68decdBdecdB/60/2022132斜率为，斜率为)当，；)1 ()1 ()1 ()(32122jjjjKjG321

28、arctan2arctan2arctan290)(cccc44108118144)180144(903672 decdBdecdB6040212为，斜率，斜率为3)当；2022-6-29第五章 频率响应69212)1 ()1 ()(jjjKjG21arctan2arctan290)(ccc1981621827)180144(901818 2022-6-29第五章 频率响应70第六节第六节 频域性能指标与时域性能频域性能指标与时域性能指标间的关系指标间的关系)()()(1)()(jeMjGjGj一、闭环频率特性及其特征量1)(lim)()(000SGSSKGSGs，且令频值1.闭环幅频特性的零1

29、M(0)0)21K1KM(0)0) 1，)()()()(00SKGSSKGSRSC 图5-622022-6-29第五章 频率响应712.频带宽度dBjRjCjRjCbb300频带宽度。称为系统的的频率范围闭环幅频值不低于，bdB03165例 1111SSRSC 13122SSRSC 图5-632022-6-29第五章 频率响应72 图5-64 2222nnnSSSRSCjnnMejjRjC2)1 (122二、二阶系统时域响应与频域响应的关系2022-6-29第五章 频率响应732222221arctan)2()1 (1nnnnM，时，有当21021111212122MMn2022-6-29第五

30、章 频率响应7411exp22MMMMMp 图5-652221211pnptt22211ln21111ln1snstt2022-6-29第五章 频率响应75时，当b21)2()(22222nbbnn42244221nb2422144221pbt2422211ln442211sbt2022-6-29第五章 频率响应76，时，当1)(ccjG1422242nccn24214nc2241arctan902arctan90)(24ncc242412arctan6 . 060 图5-662022-6-29第五章 频率响应77第七节第七节 用频域响应辨识系统的数用频域响应辨识系统的数学模型学模型 图5-6

31、22022-6-29第五章 频率响应782)50()506 . 01 ()101 ()101 (5)(jjjjjjG2)02. 0()02. 06 . 01 ()5 . 01 ()1 . 01 (5)(SSSSSSG) 14(90270)(时，当2022-6-29第五章 频率响应79第八节第八节 MATLAB在频率响应法在频率响应法中的应用中的应用一、用MATLAB绘制伯德图例5-5SSSSSSSHSG25 . 010) 15 . 0() 11 . 0(10)()(功能指令：bode(num,den) num=0 1 10； den=0.5 1 0 ；若要具体给出bode图的频率范围，需用以下

32、指令: logspace和bode(num,den,w)% MATLAB程序5-1 num=0 1 10;2022-6-29第五章 频率响应80 图5-33title(Bode Diagram of G(S)=10(1+0.1S)/S(1+0.5S)ylabel(0)L(w)/dB) xlabel(w/s-1-1); bode(num,den,w); %绘制0.01S-11000S-1的bode图。den=0.5 1 10; w=logspace(-2,3,100); %给出w值的范围。2022-6-29第五章 频率响应81若需要幅值和相位角的范围时，需用下面的功能指令： mag,phase,

33、w=bode(num,den,w)。，图间做出在要求例BodeSSSSSSSSSG32232101010016306)10016()2 . 01 (30)(%MATLAB程序5-2 num0 0 6 30; den1 16 100 0; w=logspace(-2,3,100) mag,phase,w=bode(num,den,w); subplot(2,11) semilgx(w,20*lg10(mag);2022-6-29第五章 频率响应82 grid on xlabel(w/s-1-1); ylabel(0)L(w)/dB) title(Bode Diagram of G(S)=30(1

34、+0.1S)/S(S2+16S+100) subplot(2,11) semilgx(w,phase); grid on xlabel(w/s-1-1); ylabel(0)L(w)/dB)2022-6-29第五章 频率响应83 图5-342022-6-29第五章 频率响应84二、用MATLAB绘制乃氏图18 . 18 . 11)()(23SSSSHSG2022-6-29第五章 频率响应85 图5-342022-6-29第五章 频率响应86 Re,Im,w=nyquist(num,den)或Re,im,w= nyquist(num,den,w) plot(Re,Im) v=(-x x y y)例5-7%MATLAB5-4 num=0 0 20 10; den=1 11 10 0; w1=0.1:0.1:10; w2=10:2:100; 图5-352022-6-29第五章 频率响应87 w3=100:5:500; W=w1 w2 w3; Re,Im=nyquist(num,den,w) plot(Re(:,:),Im(:,:),Te(:,:),-Im(:,:) v=-3 3 3 3;axis(v) grid