立体的投影--截交线

1、平面平面 基本体基本体 截交线截交线平面体平面体回转体回转体截平面截平面共有线共有线截交截交体的概念体的概念平面截交体平面截交体平面体截切的基本形式平面体截切的基本形式 截交线是一个由直线组成的截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边封闭的平面多边形形，其形状取决于平面体的形状及截平面对平，其形状取决于平面体的形状及截平面对平面体的截切位置。面体的截切位置。 截交线的每条边是截交线的每条边是截平面与棱面的交线截平面与棱面的交线。求求截交线的实质是求两平面的交线截交线的实质是求两平面的交线截交线的性质：截交线的性质：平面截交体的画图平面截交体的画图 求截交线的两种方法：求截交线的两种方法： 求各棱

2、线与截平面的交点求各棱线与截平面的交点棱线法棱线法。 求各棱面与截平面的交线求各棱面与截平面的交线棱面法棱面法。关键是正确地画出截交线的投影。关键是正确地画出截交线的投影。 求截交线的步骤：求截交线的步骤： 截平面与体的相对位置截平面与体的相对位置 截平面与投影面的相对位置截平面与投影面的相对位置确定截交线确定截交线的投影特性的投影特性确定截交确定截交线的形状线的形状 空间及投影分析空间及投影分析 画出截交线的投影画出截交线的投影 分别求出截平面与棱面分别求出截平面与棱面的交线，并连接成多边形。的交线，并连接成多边形。问题的提出：问题的提出： 工程上常常遇到以上图例中平面与立体相交的问题。工程

3、上常常遇到以上图例中平面与立体相交的问题。平面与立体相交，可设想为立体被平面（平面与立体相交，可设想为立体被平面（截平面截平面）所截，）所截，截平面与立体表面的交线称为截平面与立体表面的交线称为截交线截交线。重点重点： 求截交线求截交线：截平面与立体表面共有点的集合。截交线：截平面与立体表面共有点的集合。截交线形状是由直线组成的多边形。多边形的顶点为平面立体形状是由直线组成的多边形。多边形的顶点为平面立体上有关棱线（包括底面边线）与截平面的交点。上有关棱线（包括底面边线）与截平面的交点。 求截交线的方法：求截交线的方法：可归结为求截平面和立体表面共有点的：可归结为求截平面和立体表面共有点的问题

4、。实际上是求立体参与相交的各棱线和底面边线与问题。实际上是求立体参与相交的各棱线和底面边线与截平面的交点。截平面的交点。 平面截交体的投影平面截交体的投影例：求五棱柱被截头后的三面投影。例：求五棱柱被截头后的三面投影。空间分析：空间分析：作图步骤：作图步骤：1 1、画出五棱柱未被、画出五棱柱未被截切时的侧面投影。截切时的侧面投影。2 2、求参与相交的各棱、求参与相交的各棱线与截平面交点的投影。线与截平面交点的投影。3 3、判别可见性并连线。、判别可见性并连线。a aa bbb f ff ccc d(e) d e ed4 4、补齐轮廓线。、补齐轮廓线。4 4条棱线及条棱线及2 2条底条底边参与相

5、交，因边参与相交，因此截交线为一平此截交线为一平面六边形。面六边形。例：求截头三棱锥的投影图例：求截头三棱锥的投影图sabcacbsPVsBCA2131 1、求参与相交的、求参与相交的各棱线与各棱线与P P平面交平面交点的投影。点的投影。 1 2 2、判别可见性并、判别可见性并连线连线 1 2 33 3条棱线参与相交，条棱线参与相交，因此截交线为一平因此截交线为一平面三角形。面三角形。截头截头三棱三棱锥锥2 3 PV例：求四棱锥被截切后的三面投影例：求四棱锥被截切后的三面投影。3 3 2 2 1 1 (4(4 ) )1 1 2 2 4 4 3 3 1 12 24 4交线的形状？交线的形状？3

6、3 尤其注意检查截尤其注意检查截 交线投影的类似性交线投影的类似性截平面与体的截平面与体的几个棱面相交？几个棱面相交？截交线在正面、截交线在正面、侧面上的形状？侧面上的形状？例：求四棱锥被截切后的例：求四棱锥被截切后的三面投影三面投影。我们采用我们采用的是哪种的是哪种解题方法？解题方法？例例ABC求截交线并完成截头三棱锥的三投影求截交线并完成截头三棱锥的三投影先求棱锥侧投影先求棱锥侧投影求截交线求截交线截平面截平面 棱线棱线= =交点交点 棱线法棱线法例例 求截交体的侧投影求截交体的侧投影P P为正垂面，为正垂面，p p、p p为类似图形为类似图形 p p为四边形为四边形投影分析投影分析Q Q

7、为铅垂面，为铅垂面，q q、q q为类似图形为类似图形 q q为五边形为五边形PQ按按“三等三等”关系作图关系作图ppqqpq1234143412求求p p求求q q5675(6)(7)567（2）（3）类似图形类似图形“三等三等”关系关系检查检查例：求四棱锥被截切后的三面投影例：求四棱锥被截切后的三面投影。1 12 21 1 (2(2 ) )、两点分别两点分别同时位于三个面同时位于三个面上。上。2 2 1 1 要逐个截平面分析和要逐个截平面分析和绘制截交线。当平面绘制截交线。当平面体只有局部被截切时，体只有局部被截切时，先假想为整体被截切，先假想为整体被截切，求出截交线后再取局求出截交线后再

8、取局部。部。例：求四棱锥被截切后的例：求四棱锥被截切后的三面投影三面投影。曲面截交体曲面截交体回转体截切的基本形式回转体截切的基本形式截交线的性质：截交线的性质： 截交线是截平面与回转体表面的截交线是截平面与回转体表面的共有线共有线。 截交线的形状取决于回转体表面的形状及截交线的形状取决于回转体表面的形状及 截平面与回转体轴线的相对位置截平面与回转体轴线的相对位置。截交线都是截交线都是封闭的平面图形（封闭曲线或由封闭的平面图形（封闭曲线或由直线和曲线围成）直线和曲线围成）。 空间及投影分析空间及投影分析 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线 的相对位置，

9、以便的相对位置，以便确定截交线的形状确定截交线的形状。 分析截平面与投影面的相对位置，分析截平面与投影面的相对位置，明确明确截交截交线的投影特性线的投影特性，如积聚性、类似性等。，如积聚性、类似性等。找出找出截交线的截交线的已知已知投影，投影，预见未知预见未知投影。投影。 画出截交线的投影画出截交线的投影当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为： 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可见性。可见性。 先找特殊点，补充若干中间点先找特殊点，补充若干中间点。求平面与回转体的截交线的一般步骤求平面与回转体的截交线的一般步骤

10、特殊点决定了曲线的范围，包括曲线特殊点决定了曲线的范围，包括曲线的最高、最低点，最前、最后点，的最高、最低点，最前、最后点，最左、最右点；转向轮廓线上的点最左、最右点；转向轮廓线上的点（判断曲线可见与否的分界点）；（判断曲线可见与否的分界点）；中间点决定了曲线弯曲的方向。中间点决定了曲线弯曲的方向。P 轴线轴线截交线为圆截交线为圆P/轴线轴线截交线为矩形截交线为矩形P 轴线轴线截交线为椭圆截交线为椭圆PPP 曲面截交体的投影曲面截交体的投影 同一立体被多同一立体被多个平面截切，要逐个平面截切，要逐个截平面进行截交个截平面进行截交线的分析和作图。线的分析和作图。例：求侧面投影例：求侧面投影 空间

11、及投影分析空间及投影分析解题步骤：解题步骤： 分析圆柱体轮廓素线的投影分析圆柱体轮廓素线的投影截平面与体的相对位置截平面与体的相对位置截平面与投影面的相对位置截平面与投影面的相对位置 求截交线求截交线圆柱体穿一圆孔，求侧面投影圆柱体穿一圆孔，求侧面投影空间分析空间分析例：求侧面投影例：求侧面投影例：求侧面投影例：求侧面投影截交线的已知投影？截交线的已知投影？例：求侧面投影例：求侧面投影找特殊点找特殊点补充中间点补充中间点光滑连接各点光滑连接各点分析轮廓素线的投影分析轮廓素线的投影截交线的侧面截交线的侧面投影是什么形投影是什么形状？状？截交线截交线的空间的空间形状？形状？ 椭圆的长、椭圆的长、短

12、轴随截平面短轴随截平面与圆柱轴线夹与圆柱轴线夹角的变化而改角的变化而改变。变。4545截平面与圆柱截平面与圆柱轴线成轴线成4545时时例例 求圆柱体被平面求圆柱体被平面P P、Q Q截切后的投影截切后的投影PQP/P/圆柱体圆柱体轴线，轴线，P P 圆柱面交线为直线圆柱面交线为直线Q Q 圆柱体圆柱体轴线，轴线，Q Q 圆柱面交线为椭圆曲线圆柱面交线为椭圆曲线非圆曲线画法非圆曲线画法找特殊点找特殊点中间点中间点光滑连接曲线光滑连接曲线外形轮廓线投影外形轮廓线投影pq若增加圆柱孔若增加圆柱孔结果将如何？结果将如何？内、外交线分别求解内、外交线分别求解 孔的外形轮廓线投影孔的外形轮廓线投影 截平面

13、与孔的交线截平面与孔的交线无线无线!PP P 轴线轴线交线为圆交线为圆 PP P 轴线轴线 交线为椭圆交线为椭圆平面平面P P与圆锥面的交线与圆锥面的交线 P P 轴线轴线 = = 交线为抛物线交线为抛物线PP P P 轴线轴线 0 0 P P 轴线轴线 = = P P 轴线轴线 0 0 交线为抛物线交线为抛物线交线为双曲线交线为双曲线P P过锥顶过锥顶交线为直线交线为直线交线为圆交线为圆 截交线为椭圆截交线为椭圆椭圆画法椭圆画法是什么点？是什么点？椭圆短轴的投影椭圆短轴的投影特殊点特殊点中间中间点点光滑连接曲线光滑连接曲线交线可见性交线可见性PP截交线投影仍为椭圆截交线投影仍为椭圆外形轮廓线

14、投影外形轮廓线投影外形轮廓线外形轮廓线终止点终止点截交线投影截交线投影虚实分界点虚实分界点单个平面截切圆锥体单个平面截切圆锥体例例1 1：多个平面截切圆锥体多个平面截切圆锥体平面与圆球体相交其截交线均为圆平面与圆球体相交其截交线均为圆例例PQP P面交线的面交线的H H投影投影为圆弧曲线为圆弧曲线Q Q面交线的面交线的W W投影投影为圆弧曲线为圆弧曲线fPV切切 点点 切切点点oacbdobcaddbcaofeeef111例：求球体截切后的投影图。例：求球体截切后的投影图。综合举例综合举例:复合回转体的截切复合回转体的截切求作水平投影求作水平投影pqpq双曲线双曲线PQ求与大圆柱的交线求与大圆柱的交线求与小圆柱的交线求与小圆柱的交线求与圆锥的交线求与圆锥的交线加深加深求求截交线的本质截交线的本质立体的形状立体的形状截平面相对于截平面相对于立体的位置立体的位置截交线的形状截交线的形状取决于取决于截交线投影的形状截交线投影的形状取决于取决于截平面相对于截平面相对于投影面的位置投影面的位置截平面与立体的截平面与立体的相交形式相交形式单体单面单体单面单体多面单体多面多体多面多体多面分别分析单面分别分析单面与单体交线与单体交线截平面与截平面截平面与截平面之间的