同济高数傅里叶级数学习教案

1、会计学1同济高数傅里叶级数同济高数傅里叶级数第一页，编辑于星期三：十八点 二十一分。简单的周期运动 :)sin(tAy(谐波函数)( A为振幅, 复杂的周期运动 :)sin(10nnntnAAytnAtnAnnnnsincoscossin令,200Aa,sinnnnAa,cosnnnAbxt得函数项级数)sincos(210 xnbxnaannk为角频率,为初相 )(谐波迭加)称上述形式的级数为三角级数.第1页/共37页第二页，编辑于星期三：十八点 二十一分。xxnkxnkd)cos()cos(21,1,cosx,sin x,2cos x,2sin x,cos,nx,sinnx证证:1xnxd

2、cos1xnxdsin0 xnxk coscos)(nk xxnxkdcoscos00sinsinxxnxkd同理可证 :),2, 1(nxnkxnk)(cos)(cos21上在,正交 ,上的积分等于 0 .即其中任意两个不同的函数之积在0sincosxxnxkd)(nk 第2页/共37页第三页，编辑于星期三：十八点 二十一分。上的积分不等于 0 .,2d11xxxn dsin2xxn dcos2), 2, 1(n,22cos1cos2xnxn22cos1sin2xnxn且有 但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 第3页/共37页第四页，编辑于星期三：十八点 二十一分。定理定理 2 . 设

3、 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且)sincos(2)(10nxbnxaaxfnnn右端级数可逐项积分, 则有), 1,0(dcos)(1nxnxxfan),2, 1(dsin)(1nxnxxfbn证证: 由定理条件,10dsindcosd2d)(nnnxxnbxxnaxaxxf0a,对在逐项积分, 得第4页/共37页第五页，编辑于星期三：十八点 二十一分。xxkaxxkxfdcos2dcos)(01nxxnxkandcoscosxxnxkbndsincosxxkakdcos2kaxxkxfakdcos)(1),2, 1(k(利用正交性),2, 1(dsin)(1kxxkxfbkx

4、xfad)(10类似地, 用 sin k x 乘 式两边, 再逐项积分可得第5页/共37页第六页，编辑于星期三：十八点 二十一分。叶系数为系数的三角级数 称为的傅傅里里叶系数叶系数 ;10sincos2)(nnnxnbxnaaxf), 1,0(dcos)(1nxnxxfan由公式 确定的nnba ,以)(xf)(xf),2, 1(dsin)(1nxnxxfbn的傅里里的傅傅里里叶级数叶级数 .称为函数)(xf 简介 第6页/共37页第七页，编辑于星期三：十八点 二十一分。设 f (x) 是周期为2 的周期函数,并满足狄利克雷狄利克雷( Dirichlet )条件条件:1) 在一个周期内连续或只

5、有有限个第一类间断点;2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有10sincos2nnnnxbnxaa, )(xf,2)()(xfxf x 为间断点其中nnba ,( 证明略证明略 )为 f (x) 的傅里里叶系数 . x 为连续点注意注意: 函数展成傅里叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多.简介 第7页/共37页第八页，编辑于星期三：十八点 二十一分。yx它在 上的表达式为),0,10,1)(xxxf解解: 先求傅里叶系数dcos)(1xnxxfan00dcos11dcos) 1(1xnxxnx),2,1,0(0n将 f (x) 展成傅里叶级数. O11

6、第8页/共37页第九页，编辑于星期三：十八点 二十一分。dsin)(1xnxxfbn0011( 1)sind1 sindnxxnx x01cosnxn01cosnxn21 cos nn21 ( 1)nn 4,n,0,5,3,1n当,6,4,2n当4( )sin f xxx3sin31xkk) 12sin(121(,0,2 ,)xx 第9页/共37页第十页，编辑于星期三：十八点 二十一分。yx11O),2,0,(xx77sin x99sinx1) 根据收敛定理可知,时,级数收敛于02112) 傅氏级数的部分和逼近33sinsin4)(xxxf55sin x), 2, 1, 0(kkx当f (x)

7、 的情况见右图.Oyx第10页/共37页第十一页，编辑于星期三：十八点 二十一分。上的表达式为),0,00,)(xxxxf将 f (x) 展成傅里叶级数.解解: 0d)(1xxfa0dcos1xxnxdcos)(1xnxxfan0d1xx0221x202cossin1nnxnnxx21 cosnn它在 xyO2332第11页/共37页第十二页，编辑于星期三：十八点 二十一分。), 2, 1(ndsin)(1xnxxfbnnn 1) 1(),2,1(k12 knkn2, 00dsin1xnxx)(xf4 cos x2xsinx2sin21 3sin 3cos xx 32231x4sin41 5s

8、in 5cos xx52251cos12nnan,) 12(22k),2,1,0,) 12(,(kkxx说明说明: 当) 12(kx时, 级数收敛于22)(0第12页/共37页第十三页，编辑于星期三：十八点 二十一分。, )(xxf周期延拓)(xF傅里里叶展开,)(在xf上的傅里叶级数), )(xxf , )2(kxf其它第13页/共37页第十四页，编辑于星期三：十八点 二十一分。0, 0,)(xxxxxf则0d)(1xxFad)(1xxf0d2xx0222xdcos)(1xnxxFandcos)(1xnxxf0dcos2xnxx02cossin2nnxnnxx解解: 将 f (x)延拓成以

9、展成傅里叶级数.2为周期的函数 F(x) , yxO第14页/共37页第十五页，编辑于星期三：十八点 二十一分。x3cos312na)1cos(22nn12 knkn2,0),2,1(k,) 12(42kdsin)(1xnxxFbndsin)(1xnxxf0)(xf24xcosx5cos512)(x当 x = 0 时, f (0) = 0 , 得2222) 12(1513118n第15页/共37页第十六页，编辑于星期三：十八点 二十一分。42,421312242设,413121122222217151311,6141212222已知82122234131211又2121362482221224

10、8222第16页/共37页第十七页，编辑于星期三：十八点 二十一分。1. 周期为周期为2 的的奇、偶函数的傅里叶级数奇、偶函数的傅里叶级数定理定理4 . 对周期为 2 的奇函数 f (x) , 其傅里叶级数为周期为2的偶函数 f (x) , 其傅里叶级数为余弦级数 ,02( )cosd(0,1, 2,) naf xnxxn),3,2,1( 0nbn),2,1,0( 0nan02( )sind(1, 2 ,3,)nbf xnxxn它的傅里叶系数为正弦级数,它的傅里叶系数为第17页/共37页第十八页，编辑于星期三：十八点 二十一分。的表达式为 f (x) x ,将 f (x) 展成傅里里叶级数.

11、f (x) 是周期为2 的周期函数,它在上),解解: 若不计),2, 1,0() 12(kkx是则)(xf周期为 2 的奇函数, 0dsin)(2xnxxfbn),2,1,0(0nan),3,2,1(n0dsin2xnxx因此02sincos2nnxnnxxnncos21) 1(2nnyxO第18页/共37页第十九页，编辑于星期三：十八点 二十一分。n1根据收敛定理可得 f (x) 的正弦级数:)(xf,(x)3sin312sin21(sin2xxx12nnxnnsin) 1(1(21) ,0,1 ,)xkk级数的部分和 , ) 在上逼近 f (x) 的情况见右图. yxOn2n3n4n5Ox

12、y第19页/共37页第二十页，编辑于星期三：十八点 二十一分。tEtusin)(展成傅里里叶级数, 其中E 为正常数 .解解:)(tu; ),2,1(0nbn0a0dsin2ttE4Ettntuan0dcos)(202sin cosdEtntt0sin(1)sin(1)dEntntt是周期为2 的周期偶函数 , 因此0d)(2ttu 为便于计算, 将周期取为2 y2xO2第20页/共37页第二十一页，编辑于星期三：十八点 二十一分。t 2cos310sin(1)sin(1)dnEantnttkn212, 0 kn),2,1(k1a0)(tu)(t24,(41)Ek0sin2 dEtt21t 4

13、cos151t6cos3512E4E 2141cos241kEkxk第21页/共37页第二十二页，编辑于星期三：十八点 二十一分。( ),0,f xx)(xF周期延拓 F (x)(xF f (x) 在 0, 上展成周期延拓 F (x)余弦级数奇延拓偶延拓xOy正弦级数 f (x) 在 0, 上展成Oxy( ),(0, f xx0, 0 x(),(, 0)fxx ( ),0, f xx(),(, 0)fxx 第22页/共37页第二十三页，编辑于星期三：十八点 二十一分。xyO1)0(1)(xxxf分别展成正弦级数与余弦级数 . 解解: 先求正弦级数.去掉端点, 将 f (x) 作奇周期延拓,0d

14、sin)(xnxxf2nb 0dsin) 1(2xnxx202cossincosxnxnxnxnnn21coscosnnn12 knkn2),2, 1(k22,21k,1k第23页/共37页第二十四页，编辑于星期三：十八点 二十一分。nb12,1222knkknk2,1),2, 1(k21xxsin)2( x2sin2x3sin32x4sin4)0( x注意注意:在端点 x = 0, , 级数的和为0 ,与给定函数因此得 f (x) = x + 1 的值不同 . xyO1第24页/共37页第二十五页，编辑于星期三：十八点 二十一分。xy将)(xf则有O0a02(1)dxxna02(1)cosd

15、xnxx2022xx2202sincossinxnxnxnxnnn22cos1nn24,21(21) nkkkn2,0),2, 1(k作偶周期延拓 ,1第25页/共37页第二十六页，编辑于星期三：十八点 二十一分。na12,) 12(42knkkn2,0),2, 1(k112x xcosx3cos312(0)xx5cos512说明说明: 令 x = 0 可得2221113582211(21)8nk即4122141(21)kkxk) 12cos(xyO1第26页/共37页第二十七页，编辑于星期三：十八点 二十一分。1. 周期为 2 的函数的傅里里叶级数及收敛定理 )sincos(2)(10 xn

16、bxnaaxfnnn)(间断点x其中1( )cosdnaf xnx x1( )sindnbf xnx x),2, 1 ,0(n),2, 1(n注意注意: 若0 x为间断点,则级数收敛于2)()(00 xfxf第27页/共37页第二十八页，编辑于星期三：十八点 二十一分。2. 周期为 2 的奇、偶函数的傅里叶级数 奇函数正弦级数 偶函数余弦级数3. 在 0, 上函数的傅里叶展开法 作奇周期延拓 ,展开为正弦级数 作偶周期延拓 ,展开为余弦级数1. 在 0 , 上的函数的傅里里叶展开法唯一吗 ?答答: 不唯一 , 延拓方式不同级数就不同 .第28页/共37页第二十九页，编辑于星期三：十八点 二十一

17、分。 ,处收敛于)(xf0 x ,10 x,12x则它的傅里里叶级数在x在4x处收敛于 .提示提示:()()2ff()2 f()f222(4)(4)2ff2)0()0( ff21102设周期函数在一个周期内的表达式为xyO11第29页/共37页第三十页，编辑于星期三：十八点 二十一分。xO,0,)(2xxxxf又设)(xS求当( ,2 )( ) xS x的表达式 .解解: 由题设可知应对)(xf作奇延拓:)(xFxxx0,20 x,00 x,2xx(, ), 在上; )()(xFxS由周期性:( ,2 ),在上( )(2 )S xS x2(,0)x 2(2 )(2 )xx2232xx)(xf是

18、(0, )2 以为周期的正弦级数展开式的和函数, 在2x f (x)的定义域 内时第30页/共37页第三十一页，编辑于星期三：十八点 二十一分。xyO11)(xf)(xf0, 1x x0, 1上在,傅氏级数的和函数 .)(xS0, 1x x0, 10 x,0 x,0答案:定理3 第31页/共37页第三十二页，编辑于星期三：十八点 二十一分。P313 1(1) , (3) ; 2 (1) , (2) ; 5 ; 6 ; 7 (2)第八节 第32页/共37页第三十三页，编辑于星期三：十八点 二十一分。2( )f xxx()x 叶级数展式为, )sincos(210nnnnxbnxaa则其中系数. 3b提示提示:13( )sin3 dbf xxx21()sin3 dxxxxxx3sin0 x3cos31x3sin912(cos3sin3 )39xxx02323利用“偶倍奇零”(1993 考研)的傅里 函数第33页/共37页第三十四页，编辑于星期三：十八点 二十一分。)(xf