单摆的等效摆长、等效重力加速度、等效模型问题

1、单摆单摆摆摆线线足够长足够长足够轻足够轻不计质量不计质量不可伸长不可伸长摆摆球球足够小足够小球的球的半半径远小于线长径远小于线长球球小而重小而重（密度大密度大）一、单摆的概念一、单摆的概念单摆是对单摆是对现实摆现实摆的的抽象抽象是一种是一种理想化理想化的物理模型的物理模型理想化的条件理想化的条件2.2.单摆的运动单摆的运动mgcosmgsinL二二. 单摆的周期单摆的周期周期周期T T振幅振幅A A质量质量m m摆长摆长L L重力场（重力场（重重力加速度）力加速度）g gT T与与A A无关无关单摆的单摆的等时性等时性T T与与m m无关无关摆长摆长L L越长越长 T T越大越大g g越大越大

2、, T, T越小越小单摆周期单摆周期T T与它们的关系与它们的关系gLT 2 单摆振动中的等效问题单摆振动中的等效问题(1)摆长等效摆长等效(2)重力加速度等效重力加速度等效(3)模型等效模型等效gLT sin2 gLT 2 摆球摆球重心重心到摆动圆弧到摆动圆弧圆心圆心的距离的距离双线摆双线摆0 L 变式：三根细线交于变式：三根细线交于o处处,A、B端固定在同端固定在同一水平面上，已知一水平面上，已知OA和和OC均长均长L，让小球在，让小球在垂直纸面垂直纸面内微小振动，求其周期。内微小振动，求其周期。LLABC0可知可知:一摆长为一摆长为L的单摆的单摆,在悬点正下方在悬点正下方5L/9处有处有

3、一钉子一钉子,则这个单摆的周期是则这个单摆的周期是:LgLgLT94练习练习. 如图所示，摆长为如图所示，摆长为L的单摆，原来的周期的单摆，原来的周期为为T。现在在悬点。现在在悬点O的正下方的正下方A点固定一颗钉子，点固定一颗钉子，OA=L/3，令单摆由平衡位置向左摆动时以，令单摆由平衡位置向左摆动时以A为为悬点作简谐振动，则这个摆完成一次全振动所悬点作简谐振动，则这个摆完成一次全振动所需的时间是需的时间是 。如图中两单摆的摆长均为如图中两单摆的摆长均为L=1m，平衡时，两钢球，平衡时，两钢球刚好接触，现将摆球刚好接触，现将摆球A在两摆线所在的平面向左拉在两摆线所在的平面向左拉开一小角度释放，

4、碰撞后两球分开各自做简谐运开一小角度释放，碰撞后两球分开各自做简谐运动，以动，以mA、mB分别表示两摆球分别表示两摆球A、B的质量，的质量，g取取10m/s2，则（，则（ ）A、如果、如果mAmB,下次碰撞发生在下次碰撞发生在平衡位置的左侧平衡位置的左侧B、如果、如果mA T乙乙 T丙丙 T丁丁B、T乙乙 T甲甲=T丙丙 T丁丁C、T丙丙 T甲甲 T丁丁 T乙乙D、T丁丁T甲甲= T乙乙 T丙丙D 一单摆，摆长为一单摆，摆长为L L，摆球质量为，摆球质量为m m，悬在升降机顶部，当升降机以加速悬在升降机顶部，当升降机以加速度度a a下降时，求：单摆周期下降时，求：单摆周期T T a等效等效重力

5、加速度重力加速度g=T/m=g-a在平衡位置，且在平衡位置，且相对静止时相对静止时（相对升降机）（相对升降机）摆绳拉力摆绳拉力 T=mg-ma解：解：agLT2则则变形：若升降机以加速度变形：若升降机以加速度a a上升呢？上升呢？agLT 2单摆处于单摆处于超重超重状态状态时，等效时，等效g g=g+a=g+a，失重失重时等效时等效g g=g-a=g-a总结：求等效重力加速度的步骤总结：求等效重力加速度的步骤（1）分析分析摆球的受力，确定摆球摆球的受力，确定摆球相对静止的位置（即平衡位置）。相对静止的位置（即平衡位置）。（2）计算摆球的视重。（即平衡位）计算摆球的视重。（即平衡位置的拉力）置的

6、拉力） （3）利用，求出）利用，求出等效重力加等效重力加速度速度。 0例例. 如图，一小球用长为如图，一小球用长为L的细线系于与水平面的细线系于与水平面成成 角的光滑斜面内，小球呈平衡状态。若使细角的光滑斜面内，小球呈平衡状态。若使细线偏离平衡位置，其偏角小于线偏离平衡位置，其偏角小于5o，然后将小球由，然后将小球由静止释放，则小球到达最低点所需的时间为多少？静止释放，则小球到达最低点所需的时间为多少？ sin2gLT +一单摆的悬点处有一带正电一单摆的悬点处有一带正电q q小球，悬挂的小球，悬挂的小球也带正电小球也带正电q q，摆长为，摆长为L L，小球半径可忽略，小球半径可忽略，求单摆做小

7、角度摆动时的周期求单摆做小角度摆动时的周期分析：此时小球除去绳子拉力受重力和库仑分析：此时小球除去绳子拉力受重力和库仑力，而库仑力方向不断变化！故不能应用所力，而库仑力方向不断变化！故不能应用所述结论解题。应当考虑此时回复力的变化，述结论解题。应当考虑此时回复力的变化，看系统的看系统的K的变化！的变化！gLT 2 +如图，如图，o o点正下方有一半径为点正下方有一半径为R R的光滑圆弧轨道，的光滑圆弧轨道，圆心位置恰好为圆心位置恰好为o o点，在弧形轨道上接近点，在弧形轨道上接近oo（o o点正下方）处有一小球点正下方）处有一小球A A，令小球，令小球A A无初速释放，无初速释放，求小球运动到

8、求小球运动到oo的时间的时间oAo模型等效模型等效模型等效模型等效讨论：要使两球在讨论：要使两球在A点相遇，可使点相遇，可使B球上球上移，问此时移，问此时B球高度球高度h为多少？为多少？ 如图所示，光滑圆弧槽半径为如图所示，光滑圆弧槽半径为R，A为最低点，为最低点，C到到A距离远小于距离远小于R，两质点，两质点B和和C都由静止开始都由静止开始释放，问哪一个小球先到释放，问哪一个小球先到A点？点？ 不论悬点如何运动或还是受别的作用力，等效重力加速度的取不论悬点如何运动或还是受别的作用力，等效重力加速度的取值总是单摆不振动时，摆线的拉力与摆球质量的比值值总是单摆不振动时，摆线的拉力与摆球质量的比值

9、(g=T/m)(g=T/m)。 不论悬点如何运动或还是受别的作用力，等效重力加不论悬点如何运动或还是受别的作用力，等效重力加速度的取值总是单摆不振动时，摆线的拉力与摆球质量速度的取值总是单摆不振动时，摆线的拉力与摆球质量的比值的比值(g=T/m)(g=T/m)。 不论悬点如何运动或还是受别的作用力，等效重力加速度的取不论悬点如何运动或还是受别的作用力，等效重力加速度的取值总是单摆不振动时，摆线的拉力与摆球质量的比值值总是单摆不振动时，摆线的拉力与摆球质量的比值(g=T/m)(g=T/m)。注意：此结论在除去绳子拉力或者等效拉力外，其它力是恒力的注意：此结论在除去绳子拉力或者等效拉力外，其它力是

10、恒力的情况下普遍适用，否则要由单摆周期的本质来考虑！情况下普遍适用，否则要由单摆周期的本质来考虑！小结常见的等效单摆模型很多，上述各图中常见的等效单摆模型很多，上述各图中的模型就是典型的例子。从近几年高考试的模型就是典型的例子。从近几年高考试题看，命题人的指导思想很明确，那就是题看，命题人的指导思想很明确，那就是力求所命题目的创意新、背景新、过程新。力求所命题目的创意新、背景新、过程新。但从题目所对应的物理模型来看，其本质但从题目所对应的物理模型来看，其本质上讲还是万变不离其宗。等效法是科学思上讲还是万变不离其宗。等效法是科学思维的基本方法之一，要提高解决综合问题维的基本方法之一，要提高解决综合问题的能力，从根本上讲还是提高构建物理模的能力，从根本上讲还是提高构建物理模型的能力，要学会透过现象看本质，进而型的能力，要学会透过现象看本质，进而对物理模型进行等效转化。对物理模型进行等效转化。 3. 两个相同的弹性小球，分别挂在不能伸长两个相同的弹性小球，分别挂在不能伸长的细线上，两线互相平行两小球的重心位于的细线上，两线互相平行两小球的重心位于同一