北航水力学 第四章理想流体动力学和恒定平面势流

1、理想流体理想流体-力与运动的关系力与运动的关系通常的流体粘性不为零，在所考虑的问题中，通常的流体粘性不为零，在所考虑的问题中，若粘性的作用很小可忽略时，可近似看为理想流体。若粘性的作用很小可忽略时，可近似看为理想流体。这意味着粘性带来的能量损失或阻力可忽略。这意味着粘性带来的能量损失或阻力可忽略。理想流体理想流体：粘性为零的流体。理想流体也称为：粘性为零的流体。理想流体也称为无粘流体无粘流体。本章：1、推导理想流体的欧拉运动微分方程 2、伯努利方程的推导，以及它的意义和应用 3、理想流体中的平面势流问题第四章第四章 理想流体动力学理想流体动力学理想流体的运动方程-欧拉方程第一节第一节 欧拉运动

2、微分方程欧拉运动微分方程设在运动的理想流体中，分析一微小正交六面体在某一瞬间的受力情况和运动情况，如图所示。六面体各边分别与各坐标轴平行，边长分别为 。设六面体形心M的坐标为x,y,z ,在所考虑的瞬间，M点上动压强为p,流速为u ，流体密度为 ，所受的单位质量力为,xyz(,)xyzu u u由于理想流体没有粘滞性，不存在切应力，表面力只有动压强，动压强方向总是沿着作用面的内法线方向，大小只是位置坐标和时间的函数，即(, ,)f X Y Z( , , , )pp x y z t()2pxpyzx在x轴向上所受的表面力和质量力分别为流体运动时，有加速度，根据牛顿第二定律，则有： ()2pxpy

3、 zx 和和Xx y z ()()22xdupxpxpyzpyzXxyzxyzxxdx 整理得，1xxxxxxyzduuuuupXuuuxdttxyz同理可得，1yyyyyxyzduuuuupYuuuydttxyz1zzzzzxyzduuuuupZuuuzdttxyz1()duufPuudtt以上就是理想流体的运动方程，也称为以上就是理想流体的运动方程，也称为欧拉方程欧拉方程 ijkxyz 向量形式为向量形式为其中，其中， 为哈密顿算子为哈密顿算子 当当 时，欧拉运动微分方程转变为流体静力学中的时，欧拉运动微分方程转变为流体静力学中的欧拉平衡微分方程式。也就是说欧拉平衡微分方程式是欧拉平衡微分

4、欧拉平衡微分方程式。也就是说欧拉平衡微分方程式是欧拉平衡微分方程式的特例。方程式的特例。0 xyzuuu4.2.1 4.2.1 沿流线的伯努利方程和在重力场中的伯努利方程沿流线的伯努利方程和在重力场中的伯努利方程第二节第二节 理想流体恒定元流的伯努利方程理想流体恒定元流的伯努利方程1xxxxxxyzduuuuupXuuuxdttxyz1yyyyyxyzduuuuupYuuuydttxyz1zzzzzxyzduuuuupZuuuzdttxyz由欧拉运动微分方程，由欧拉运动微分方程，第二节第二节 理想流体恒定元流的伯努利方程理想流体恒定元流的伯努利方程 流动满足以下条件流动满足以下条件: :理想流

5、体；流体不可压缩，密度为常量；恒定理想流体；流体不可压缩，密度为常量；恒定流动；质量力为有势力。流动；质量力为有势力。由上式得，由上式得，2()02pud U1()yxzxxyyzzpppXdxYdyZdzdxdydzxyzdudududxdydzdtdtdtu duu duu du 2()()02pudUdd沿流线积分沿流线积分22upUC这就是理想流体中，沿流线的这就是理想流体中，沿流线的伯努利积分伯努利积分沿不同的流线，积分常数可能不同沿不同的流线，积分常数可能不同若作用于流体上的质量力只有重力，重力是有势力，则若作用于流体上的质量力只有重力，重力是有势力，则因此：因此：0,0,XYZg

6、 22puzCgdUgdz 积分得：积分得：UgzC 22upUC代入代入得得对于同一条流线上的任意两点应用以上方程，则上式可以写为对于同一条流线上的任意两点应用以上方程，则上式可以写为2211221222pupuzzgg4.2.2 4.2.2 由动能定理推导理想流体的伯努利方程由动能定理推导理想流体的伯努利方程 推导过程同学们自学推导过程同学们自学2211221222pupuzzgg 本公式是由动能定理推导而得，它使伯努利方程有更加明确的本公式是由动能定理推导而得，它使伯努利方程有更加明确的物理意义，说明伯努利方程是一能量方程。物理意义，说明伯努利方程是一能量方程。4.3.14.3.1 沿流

7、线的伯努利方程的水力学意义沿流线的伯努利方程的水力学意义22Ug速度水头速度水头/ /高度高度 P压强水头压强水头/ /高度高度 z位置水头位置水头/ /高度高度 22UPzg总水头总水头/ /高度高度 动能动能 压力势能压力势能 重力势能重力势能 机械能机械能 测压管测压管水头水头/ /高度高度 22PuzCg第三节第三节 元流伯努利方程的意义和应用元流伯努利方程的意义和应用水力学意义：沿流线机械能等于常数水力学意义：沿流线机械能等于常数沿流线总水头不变沿流线总水头不变理想流体恒定元流伯努利方程的物理意义：理想流体恒定元流伯努利方程的物理意义： 元流各过流断面上单位重力流体所具有的机械能（位

8、能、压能、动能之和）沿流程保持不变，同时，伯努利方程也表明了元流在不同过流断面上单位重力流体所具有的位能、压能、动能之间可以相互转化的关系。 伯努利方程是物质运动中普遍的能量既可以转化又要守伯努利方程是物质运动中普遍的能量既可以转化又要守恒的原理在流体力学中的特殊表示形式。恒的原理在流体力学中的特殊表示形式。 设设H 不变，流动定常，不考虑粘性，假设管道截面流速分布均匀不变，流动定常，不考虑粘性，假设管道截面流速分布均匀4.3.24.3.2 元流伯努利方程的几何意义元流伯努利方程的几何意义理想流体恒定元流伯努利方程的几何意义：理想流体恒定元流伯努利方程的几何意义： 元流各过流断面上总水头元流各

9、过流断面上总水头H H（位置水头、压强水头、速度水头之和）（位置水头、压强水头、速度水头之和）沿流程保持不变（守恒），同时，亦表明了元流在不同过流断面上位置沿流程保持不变（守恒），同时，亦表明了元流在不同过流断面上位置水头、压强水头、速度水头之间可以相互转化。水头、压强水头、速度水头之间可以相互转化。 流动流体中的测压管（也称为流动流体中的测压管（也称为静压管静压管）静静压（压（static pressure）相对流体相对流体静止静止P管口段垂直流动方向放置管口段垂直流动方向放置测压管或静压管静压孔测压管得到的压强水头测压管得到的压强水头4.3.34.3.3 如何测量能量如何测量能量-测压管和

10、皮托管测压管和皮托管也称为也称为静压静压毕托管毕托管 距距A点足够远点足够远(3d)B B处：处：有一个或多个小孔有一个或多个小孔，可不计速度失真，可不计速度失真位于测速管前缘点位于测速管前缘点A A处：处：开个小孔开个小孔头部球形的细长柱状物体，微弱地改变原来流速分布。头部球形的细长柱状物体，微弱地改变原来流速分布。A、B两点：两点：分别连接到压力计两端分别连接到压力计两端22 22AABBABpVpVzzggQQA、B位于同一流线上，由伯努利方程：位于同一流线上，由伯努利方程：ABzzA A：VA=B B：VB= 0，驻点，驻点V2 22ABABppVgppV由由A与与C点，点，B与与C点

11、的静压强分布规律：点的静压强分布规律：AoCBopg hhppghghABppgh 2Vgh 2Vgh若， 2 Vgh实际应用时 经实验校正的流速系数 实际应用中，由于流体具有粘性，能量转换时有损失；探头端点实际应用中，由于流体具有粘性，能量转换时有损失；探头端点处小孔有一定面积，反应的实际上是平均压强；以及毕托管放入流体处小孔有一定面积，反应的实际上是平均压强；以及毕托管放入流体时会引起流场的扰动，等等因素时会引起流场的扰动，等等因素【例题例题】 book 4-1 物体绕流如图所示，上游无穷远处流速为物体绕流如图所示，上游无穷远处流速为压强为压强为 的水流受到迎面物体的障碍后，在物体的水流受

12、到迎面物体的障碍后，在物体表面上的顶冲点表面上的顶冲点S处的流速减至零，压强升高，称处的流速减至零，压强升高，称S点为滞流点为滞流点或驻点。求滞流点点或驻点。求滞流点S处的压强。处的压强。 0p1.2/um s物体绕流物体绕流解：解：222221.2002 9.80.073sspuupggm 设滞流点设滞流点S处的压强为处的压强为 ，粘性作用可以忽略。根，粘性作用可以忽略。根据通过据通过S点的流线上伯努利方程式，有点的流线上伯努利方程式，有22 22ssspupuzzgg将将 代入上式并整理，得代入上式并整理，得 spszz故滞流点故滞流点S处的压强处的压强20.073spmH O 无旋流动无

13、旋流动与与有势流动有势流动- -流速存在势函数，在数学上是等价的。流速存在势函数，在数学上是等价的。引入势流的意义：使问题简化。引入势流的意义：使问题简化。 波浪运动，无分离的波浪运动，无分离的边界层边界层外部的流动，多孔介质的流动（渗流）外部的流动，多孔介质的流动（渗流）等等可以看为势流。等等可以看为势流。第四节第四节 恒定平面势流的流速势函数和流函数恒定平面势流的流速势函数和流函数 理想流体中才可能存在有势流动，具有粘性的实际流体不会是有势理想流体中才可能存在有势流动，具有粘性的实际流体不会是有势流动。但粘滞性对流动流动。但粘滞性对流动 的影响很微小时，影响可以忽略。的影响很微小时，影响可

14、以忽略。 - -机械能守恒机械能守恒以二维流动为例，根据流体运动学，它与无旋流动等价以二维流动为例，根据流体运动学，它与无旋流动等价 由由 无旋流的条件无旋流的条件涡量涡量 0z 或转动角速度或转动角速度 0z即即 0yxuuxy 4.4.14.4.1 流速势函数流速势函数yxuuxy也即也即 0 xu 称为势函数，称为势函数，也也称为称为速度势函数速度势函数 因为，则可引入一个标量函数因为，则可引入一个标量函数 ，满足满足 ,xuxyuy即即 xyu dxu dyddxdyxy物理意义：物理意义：无旋无旋任意回路做功为零任意回路做功为零yxSSdl考虑平面流场中的连续方程，即考虑平面流场中的

15、连续方程，即0 ,yxuuxy上式化为：上式化为：22220 xy即即20或或02222,xy 叫拉普拉斯算子叫拉普拉斯算子25在平面势流中，除流速势以外，还有一个标量函数在平面势流中，除流速势以外，还有一个标量函数-流函数流函数二元流动的流线方程为： yxuudxdy4.4.24.4.2 流函数流函数即不可压缩流体平面流动的连续性方程为： 0 xyu dyu dx0yxuuxy上式为使 能成为某函数 的全微分的充分和必要条件xyu dyu dx26xydu dyu dx函数 的全微分为积分为( , )()xyx yu dyu dx函数 称为流函数。它的全微分可写成 ( , )x yddxdy

16、xy所以，,xyuuyx 流函数的重要性质流函数的重要性质1 1、等流函数线为流线、等流函数线为流线0 xydu dyu dx即即( , )x yc可见，在同一流线上各点的流函数为一常数，故可见，在同一流线上各点的流函数为一常数，故等流函数线就是流线。等流函数线就是流线。2 2、平面内任意两点流函数值的差等于通过这两点连线的流量。、平面内任意两点流函数值的差等于通过这两点连线的流量。cossindrdxidy jdydxnijijdrdrVuiv j dydxdqV ndruvdrdrdrudyvdxdydxdyx dqdBBAAdqd ABAByxndr3 3、平面势流中，流函数与流速势函数

17、一样，也满足拉普拉斯方程、平面势流中，流函数与流速势函数一样，也满足拉普拉斯方程1()02yyzuuxy得，得，22220 xy满足满足拉普拉斯方程拉普拉斯方程可以得到可以得到xuxyxuxy流流 网网4.4.34.4.3 流网及其特性流网及其特性 二维不可压缩势流中存在两族曲线，即二维不可压缩势流中存在两族曲线，即等等 线和等线和等线，这两族曲线互相垂直，构线，这两族曲线互相垂直，构成成流网流网。两族曲线所构成的正交网络，称为两族曲线所构成的正交网络，称为流网流网等等 线和速度矢量垂直，或者说，线和速度矢量垂直，或者说， 等等 线与等线与等线（流线）垂直，线（流线）垂直，流网的特征：流网的特征：xy【例题例题】 (0,0,0)xyukxkxyuky 求求：（：（1 1）判断该流场是否存在速度势函数，）判断该流场是否存在速度势函数， 若存在请给出并画出等势线；若存在请给出并画出等势线； （2 2）判断该流场是否存在流函数，）判断该流场是否存在流函数， 若存在请给出并画出流线图。若存在请给出并画出流线图。 已知已知9090度角域内无粘流动，速度分布度角域内无粘流动，速度分布 均匀流均匀流00U xU y uxyuxy1221