微积分数学基础

1、12一、导数的定义一、导数的定义二、导数的几何意义二、导数的几何意义四、导数公式四、导数公式五、微分五、微分三、导数的物理意义三、导数的物理意义六、积分六、积分3关于导数的说明：关于导数的说明： 导数概念是概括了各种各样的变化率而得出的一个导数概念是概括了各种各样的变化率而得出的一个更一般、更抽象的概念，它撇开了变量所代表的特殊更一般、更抽象的概念，它撇开了变量所代表的特殊意义，而纯粹从数量方面来刻画变化率的本质意义，而纯粹从数量方面来刻画变化率的本质.,0慢慢程程度度而而变变化化的的快快因因变变量量随随自自变变量量的的变变化化反反映映了了它它处处的的变变化化率率点点导导数数是是因因变变量量在

2、在点点x平平均均变变化化率率为为端端点点的的区区间间上上的的和和在在以以是是xxxyxy 004.)(,)(内可导内可导在开区间在开区间就称函数就称函数处都可导处都可导内的每点内的每点在开区间在开区间如果函数如果函数IxfIxfy .)(),(,.)(.)(,dxxdfdxdyxfyxfxfIx或或记作记作的导函数的导函数这个函数叫做原来函数这个函数叫做原来函数导数值导数值的一个确定的的一个确定的都对应着都对应着对于任一对于任一 xxfxxfyx )()(lim0即即.)()(lim)(0hxfhxfxfh 或或5由定义求导数（三步法）由定义求导数（三步法）步骤步骤:(1)()( );yf x

3、xf x 求增量()( )(2);yf xxf xxx算比值0(3)lim.xyyx 求极限例例1 1.)()(的导数的导数为常数为常数求函数求函数CCxf 解解hxfhxfxfh)()(lim)(0 hCCh 0lim. 0 . 0)( C即即6例例 1 求函数求函数 f (x) = x2 在在 x0 = 1 处的导数，即处的导数，即 f (1).解解 第一步求第一步求 y ： y = f (1+ x) - - f (1) = (1+ x)2 - - 12= 2 x +( x)2 .).0(2)(22 xxxxxxy第三步求极限：第三步求极限：. 2)2(limlim00 xxyxx所以，所

4、以， f (1) = 2.第二步求第二步求 ：xy 7例例 2求曲线求曲线 y = x2 在点在点 ( (1, 1) ) 处的切线和处的切线和法线方程法线方程.解解从例从例 1 知知 (x2) |x=1 = 2 , 即点即点 ( (1, 1) ) 处的处的切线斜率为切线斜率为 2 ， 所以所以, 切线方程为切线方程为y 1 = 2(x - - 1).即即y = 2 x - - 1.法线方程为法线方程为).1(211 xy即即.2321 xy8四、导数的物理意义四、导数的物理意义对于不同的物理量有着不同的物理意义对于不同的物理量有着不同的物理意义. 例如变速直线运动路程例如变速直线运动路程 s

5、= s(t) 的导数，就是的导数，就是速度，即速度，即 s (t0) = v(t0). 我们也常说路程函数我们也常说路程函数 s(t) 对时间的导数就是速度对时间的导数就是速度.91 1）变速直线运动中）变速直线运动中：路程对时间变化率是速路程对时间变化率是速度，即路程对时间的导数为物体的瞬时速度度，即路程对时间的导数为物体的瞬时速度.lim)(0dtdststvt vdtdxtxt，vvt，xt0lim)(则若gtvdtdytyt，ygt，yyt，0lim)(212若101. .变速直线运动的瞬时速度变速直线运动的瞬时速度如果物体作直线运动，如果物体作直线运动， 在直线上选取坐标系，在直线上

6、选取坐标系，该物体所处的位置该物体所处的位置坐标坐标 s 是时间是时间 t 的的函数，记为函数，记为 s = s(t)， 则从时刻则从时刻 t0 到到 t0 + t 的时间间隔内它的的时间间隔内它的平均速度为平均速度为一、瞬时速度一、瞬时速度 曲线的切线斜率曲线的切线斜率,)()(00ttsttsts 11在匀速运动中，在匀速运动中，这个比值是常量，这个比值是常量， 但在变速运动但在变速运动中，它不仅与中，它不仅与 t0 有关，有关，而且与而且与 t 也有关，也有关，很小时，很小时，ts 显显然然与在与在 t0 时刻的速度相近似时刻的速度相近似.如果当如果当 t 趋于趋于 0 时，时， 平均速

7、度平均速度 的极限存在，的极限存在，ts 则将这个极限值记作则将这个极限值记作 v (t0)， 叫做物体在叫做物体在 t0 时刻时刻的瞬时速度，简称速度，的瞬时速度，简称速度，即即.)()(lim)(0000ttsttstvt 当当 t122. .曲线切线的斜率曲线切线的斜率定义定义设点设点 P0 是曲线是曲线 L 上的一个定点上的一个定点， 点点 P 是是曲线曲线 L 上的动点上的动点，T P P0 0P Px0 0 x0 0+ + xyOx N 当点当点 P 沿沿曲线曲线 L 趋向于点趋向于点 P0 时时，如果割线如果割线 PP0 的极限位置的极限位置 P0 T 存在存在， 则则称直线称直

8、线 P0 T 为曲线为曲线 L 在点在点 P0 处的切线处的切线. . 设曲线方程为设曲线方程为 y = f (x). . 在点在点 P0(x0, y0) 处的附近取处的附近取一点一点 P(x0 + x , y0 + y ) .那么割线那么割线 P0 P 的斜率为的斜率为.)()(tan00 xxfxxfxy L x yy = f (x)13如果当点如果当点 P 沿曲线趋向于点沿曲线趋向于点 P0 时，割线时，割线 P0P 的极限位置存在，的极限位置存在， 即点即点 P0 处的切线存在，处的切线存在，此刻此刻 x 0， ， 割线斜率割线斜率 tan 趋向切趋向切线线 P0 T 的斜率的斜率 t

9、an ，即即.)()(limtan000 xxfxxfx T P P0 0P Px0 0 x0 0+ + xyOx N L x yy = f (x)14速度速度对时间的导数为物体的瞬时加速度对时间的导数为物体的瞬时加速度.dtdvtvtat0lim)(0lim)(00dtdvtvtv，a，v，vt，则若gdtdvtvtv，agt，vt，0lim)(则若15二、二、 微分与导数的关系微分与导数的关系定理定理1 函数函数y=f(x)在点在点x0可微的充要条件是可微的充要条件是f(x)在点在点x0可导可导,且有且有dy=f (x0) x证证 设设y=f(x)在点在点x0可微可微,即即 y=A x+o

10、( x)AxxoAxyxx )(limlim00于于是是所以所以,f(x)在点在点x0可导可导,且有且有A=f (x0)16定理定理1 函数函数y=f(x)在点在点x0可微的充要条件是可微的充要条件是f(x)在点在点x0可导可导,且有且有dy=f (x0) x证证 反之反之, f(x)在点在点x0可导可导,)(lim00 xfxyx 于是于是 y= f (x0) x+ x由极限与无穷小的关系由极限与无穷小的关系,得得0lim,)(00 xxfxy其其中中显然显然, x0时时, x=o( x),且且f (x0)与与 x无关无关,由微分定由微分定义可知义可知,y=f(x)在点在点x0可微可微,且有

11、且有dy=f (x0) x17 通常把自变量通常把自变量x的增量的增量 x称为称为自变量的微分自变量的微分,记作记作dx,即即dx= x 于是函数于是函数y=f(x)在点在点x0的微分可以写成的微分可以写成dy=(x0)dx 当函数当函数y=f(x)在区间在区间(a,b)内的每一点处都可微时内的每一点处都可微时,则称函数则称函数y=f(x)在区间在区间(a,b)内可微内可微,此时微分表达式写此时微分表达式写为为dy=f (x)dx 也可写成也可写成 于是于是,函数函数y=f(x)的导数等于该函数的微分的导数等于该函数的微分dy与自变与自变量的微分量的微分dx之商之商.因此因此,导数也叫导数也叫

12、微商微商 )(ddxfxy 18例例.1 . 0d,4sin时时的的微微分分当当求求 xxxy 0707. 021 . 01 . 04cosd,1 . 0d,4.dcosd)(sind yxxxxxxy有有时时当当解解19三、三、 微分的几何意义微分的几何意义函数函数f(x)在点在点x0的微分的微分dy就是曲线就是曲线y=f(x)在点在点(x0,f(x0)处处的切线的纵坐标的增量的切线的纵坐标的增量 20函数y = f (x)在点 x 处的微分在几何上表示为: 相应于自变量 x 的改变量 x, 曲线 y = f (x)在点P(x, y)的切线上纵坐标的改变量.21)0()(dd)()(d)3(

13、)( ;d)(d;dd)d()2(;dd)(d)1(2 vxvvuuvxvxuCuCxCuuvvuuvvuvu为为常常数数2) 微分运算法则微分运算法则22例例2. 求y=x3在x=2处的微分, 以及当x=0.1时在x=2处的微分.解解:xxxxyd3d)(d231 . 0221 . 02d3dxxxxxxy)d( 2 . 11 . 0232xx 故xxxyxxd12d3d22223小结小结微分学所要解决的两类问题微分学所要解决的两类问题:函数的变化率问题函数的变化率问题导数的概念导数的概念函数的增量问题函数的增量问题微分的概念微分的概念求导数与微分的方法求导数与微分的方法,叫做叫做微分法微分

14、法.研究微分法与导数理论及其应用的科学研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做叫做微分学微分学.导数与微分的联系导数与微分的联系:.可微可微可导可导 24积积 分分25不定积分不定积分引言：引言： 已知质点的运动规律s=s(t),则速度v(t)=s(t); 反之若已知质点各时刻的运动速度v=v(t) 如何求其运动规律s=s(t)? 从数学角度看：找一函数s=s(t)，使s(t) =v(t) .1. 原函数定义：原函数定义：.)()()()()()()(上的原函数在或为称或恒有上，若在某区间IdxxfxfxFdxxfxdFxfxFIxI一、原函数与不定积分26两点说明：两点说明： 2、f(x)

15、的任意两个原函数之间只差一个常数，即如果 (x) 和 F(x) 都是 f(x) 的原函数，则(x)F(x)C (C为某个常数)。 1、如果F(x)是 f(x)的原函数 ，那么F(x)C 都是 f(x) 的原函数，其中 C 是任意常数。 定义1 如果在区间 I 上，可导函数 F(x) 的导数为 f(x)，即对任一 xI ，都有F (x)f(x) 或 dF(x)f(x)dx，则称函数 F(x) 是函数 f(x) 在区间 I 上的原函数。 原函数概念27这里叫做积分号积分号，f(x)叫做被积函数被积函数，f(x)dx叫做被积被积表达式表达式，x叫做积分变量积分变量.CxFdxxfdxxf)()(,)

16、(即2. 不定积分定义：不定积分定义： 若F(x)为f(x)在I上的一个原函数，则表达式F(x)+C称为f(x)在上I的不定积分，记作Cxdxxsincos例如：被积表达式积分常数28abxyo? A曲边梯形由连续曲线曲边梯形由连续曲线实例实例1 1 曲边梯形的面积曲边梯形的面积)(xfy )0)( xf、x轴轴与与两两条条直直线线ax 、bx 所所围围成成.一、引例)(xfy 29abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积曲边梯形面积（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）

17、（九个小矩形）30曲边梯形如图所示，曲边梯形如图所示，,1210bxxxxxabann 个分点，个分点，内插入若干内插入若干在区间在区间abxyoi ix1x1 ix1 nx;,11 iiiiixxxxxnba长度为长度为，个小区间个小区间分成分成把区间把区间，上任取一点上任取一点在每个小区间在每个小区间iiixx ,1 iiixfA )( 为为高高的的小小矩矩形形面面积积为为为为底底，以以)(,1iiifxx 31iniixfA )(1 曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积的近似值为iniixfA )(lim10 时，时，趋近于零趋近于零即小区间的最大长度即小区间的最大长度当分割无限加细当分割

18、无限加细)0(,max,21 nxxx曲边梯形面积为曲边梯形面积为32小结定积分的实质定积分的实质：特殊和式的极限：特殊和式的极限定积分的思想和方法：定积分的思想和方法：分割分割化整为零化整为零求和求和积零为整积零为整取极限取极限精确值精确值定积分定积分求近似以直（不变）代曲（变）求近似以直（不变）代曲（变）取极限取极限 2轴与坐标轴计算抛物线xxy Oxy12xy S 10 间所围成的面积。在 xOxy2x2xy hh2y1xhyhyS21*1yOxy3x2xy h3yhh1x2xhyhyhyS321*1y2yOxynx2xy hnyhyhyhyhySnn121*ixiy 如何求此面积的精确值？37vtt，x，v，