第6章.静定结构的位移计算

1、1静定结构的位移计算第六章6-1 概述6-2 变形体虚功原理及位移计算一般公式6-3 支座移动和温度变化时的位移计算6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算6-5 图乘法6-6 互等定理6-7 结构位移计算公式的另一种推导26-1 概述一、静定结构的位移 静定结构在荷载、温度变化、支座移动以及制造误差等因素作用下，结构的某个截面通常会产生水平线位移、竖向线位移以及角位移。1. 截面位移桁架受荷载作用刚架受荷载作用BuAPFBVBCABCPFcvcuc32. 广义位移 通常把两个截面的相对水平位移、相对竖向位移以及相对转角叫做广义位移。AVBVAVBVPFAVBVAB 竖向位移之和 相对竖向位移a

2、)支座B下沉cvcABCC温度变化c1t2tABCC12ttcucv4ABAHBH ABAVBV qABAHBHABPFAVBVb)c) 相对竖向位移 相对水平位移5 A左、右截面相对转角e)d)AVBVABlAlBAVBV AB杆转角PF A6次梁跨中挠度主梁跨中挠度楼盖跨中挠度吊车梁跨中挠度二、位移计算的目的1）验算结构的刚度11()200300l1400l11()200300l11()500600l72）为超静定结构的内力和位移计算准备条件 求解超静定结构时，只利用平衡条件不能求得内力或位移的唯一解，还要补充位移条件。12kN7.5kN.m9kN.m2m2mABkNFyB75. 3 如右

3、图示单跨梁，若只满足平衡条件，内力可以由无穷多组解答，例如 可以取任意值yBF。8三、实功和虚功：1. 实功 力 在由该力引起的位移 上所作的功称为实功。即PF 右图中，外力是从零开始线性增大至 ，位移也从零线性增大至 。 也称为静力实功。 1PF11112PWFFP111121PFW92. 虚功 力FP在由非该力引起的位移上所作的功叫作虚功。右图简支梁，先加上 ，则两截面1PF1、2之位移分别为 、 。然后加 122PF，则1、2截面产生新的位移 。12和FP1FP2121210实功：虚功：11221122PPFF11PF虚功强调作功的力与位移无关。FP1FP21212116-2 变形体虚功

4、原理及位移计算一般公式一、 变形体虚功原理 定义：设变形体在力系作用下处于平衡状态，又设该变形体由于其它原因产生符合约束条件的微小连续变形，则外力在位移上做的外虚功W恒等于各微段应力的合力在变形上作的内虚功Wi ，即W=Wi 。12下面讨论W及Wi 的具体表达式。条件：1）存在两种状态： 第一状态为作用有平衡力系； 第二状态为给定位移及变形。 以上两种状态彼此无关。 2）力系是平衡的，给定的变形是符合 约束条件的微小连续变形。 3）上述虚功原理适用于弹性和非弹性 结构。13ds1C2C( )w s123第二状态（给定位移和变形）dsddsds0dds0ddsddsMMQFQFNFNFsd1RF

5、2RF1PF2PF3PFq(s)q(s)dsds第一状态（给定平衡力系）141122331122( ) ( )( ) ( )PPPRRPiiRKKiKWq s w s dsFFFF CF CWq s w s dsFF C 外力虚功：微段ds的内虚功dWi：00()iQNQNQNdWMdF dF dM dsFdsF dsMFFds整根杆件的内虚功为：0()iiQNWdWMFFds15根据虚功方程W=Wi，所以有：0( ) ( ) ()PiiRKKiKQNq s w s dsFFCMFFds 结构通常有若干根杆件，则对全部杆件求总和得：0( ) ( ) ()PiiRKKiKQNq s w s ds

6、FF CMFFds 16小结： 只要求两个条件：力系是平衡的，给定的变形是符合约束条件的微小连续变形。 上述虚功原理适用于各类结构（静定、超静定、杆系及非杆系结构），适用于弹性或非弹性结构。 考虑了杆件的弯曲、剪切及轴向变形。1)2)3)17变形体虚功原理有两种应用形式，即虚力原理和虚位移原理。虚力原理：虚设平衡力系求位移; 虚位移原理：虚设位移求未知力。 用变形体虚力原理求静定结构的位移，是将求位移这一几何问题转化为静力平衡问题。 二、位移计算的一般公式10()PRKKQNKFF CMFFds所以01()QNRKKKMFFdsF C1=1PF 在变形体虚功方程中，若外力只是一个单位荷载 ，则

7、虚功方程为 ：18 下面以图示刚架为例对位移计算的一般公式加以具体说明。给定位移、变形虚设平衡力系ABC1PF MMdsNFNFQFQF1RF2RFCV1. 欲求 ，则在C截面加上竖向单位载荷 ，则该静定刚架就产生了一组平衡力系。11PFABCPFcvcuc192. 位移计算一般公式 外力虚功 内虚功 所求位移1CVRKkkWF C 0()iQNWMFFds01()CVQNRKKKMFFdsF CCV给定的位移和变形。力和位移无关。11PF3. 小结1） 单位载荷 在结构中产生的内力和支座反力， 012dsdsdsCC、及QNRKM FFF、 、 、20=1CVW，则 与 同向；若求得的 ，

8、0CVCV1PF3）外力虚功 这一项前取正号。若求得的0CV则 与 反向。CV1PFMdds2）正负号规则： 若 及 使杆件同侧纤维伸长，则乘积为正，反之为负； 乘积 及 的正负号分别由力与应变的正负号确定。 使隔离体产生顺时针转动为正，反之为负， 以顺时针方向为正，反之为负； 以拉力为正，压力为负， 以拉应变为正，压应变为负； 若 与 同向，则乘积 为正，反之为负。0QFdsNFdsQF0NFRKFKCRKKF C214）根据所求位移的性质虚设相应的单位载荷。图示单位荷载分别求位移CHCVC、ABC1115）求位移步骤如下：沿拟求位移方向虚设性质相应的单位载荷；求结构在单位载荷作用下的内力和

9、支座反力；利用位移计算一般公式求位移。 22例6-2-1 已知杆AB和BC在B处有折角 (见图a)，求B点下垂距离 。虚设平衡力系1/3c)ABCl/32l/32/312l/9给定位移b)a)1）将制造误差明确为刚体位移，即在B截面加铰，见图b)。解：ABCl/32l/3ABCl/32l/3230)9292(1ll0)(921l l922）虚设平衡力系如图c)所示。运用虚功方程W=0得：0)9292(1ll1/3虚设平衡力系c)ABCl/32l/32/312l/9ABCl/32l/3给定位移b)24例6-2-2 已知杆AB在B左、右截面有竖向相对错动 见图a) ，求 。ABCl/32l/3Ba

10、)ABCl/32l/312b)12给定位移25解：1）将制造误差明确为刚体位移，将截面B变为滑动联结，见上页图 b)。2）虚设平衡力系如图c）所示 。运用虚功方程W=0得：12121111()01()0llll 12()1/lc) 虚设平衡力系ABCl/32l/311/l1/l1/l26例6-2-3 已知一直杆弯曲成圆弧状，求杆中挠度 。解：虚设平衡力系如图所示，运用变形体虚功方程 得：iWWRlllRdxMRdxRMdMCACACA842111112给定位移虚设平衡力系ABCRl/2l/2ABCl/2l/2l/41/21/2127三、广义位移的计算求图a）结构A、B截面相对水平位移 。ABA

11、HBH +a) 给定位移qABAHBH,0 , AB1c) 虚设单位荷载1111,NQFFMAB1b)NQFFM,1AB1d) 虚设单位荷载2222,NQFFM=28虚设单位载荷如上图c) ，d)所示。11011AHQNMdsFdsFds22021BHQNMdsFdsFds1212012 =+=()()()ABAHBHQQNNMMdsFFdsFFds由上图b)可得：121212QQQNNNMMMFFFFFF所以得：0ABQNM dsFdsFds29 所以，为了求两个截面的相对位移，只需要在该两个截面同时加一对大小相等，方向相反，性质与所求位移相应的单位荷载即可。下面给出几种情况的广义单位荷载：

12、q求11单位荷载1)30AB1/l1/l单位荷载ABlAVBV求AB+)/l=(AVBVAB2)ABFP1AB求AV -BV1AB11求AV+BVAVBV(A，B截面竖向位移之和）(A，B截面相对竖向位移）原结构3)31例6-2-4 因温度变化底板AB弯曲成半径R=10m之圆弧状，求截面C、D的相对水平位移 。CD给定位移虚设平衡力系CR=10mD0.7mABCD0.7AB110.72mM 在截面C、D上加一对大小相等 、方向相反、 沿水平方向的单位荷载如图所示。解：321111=0.72=0.14 ()1010CDBAMdMdxRMdxm注意，AC、BD杆无弯曲变形。336-3 支座移动和温

13、度变化时的位移计算一、支座移动时的位移计算说明：1）等号右边的负号是公式推导而得出，不能去 掉。RKFKC2）若 与 方向相同，则乘积 为正，RKKF C反之为负。1RKKKFC 若静定结构只有支座移动而无其他因素作用，则结构只产生刚体位移而无变形，故对于杆件的任意微段，应变 均为零。所以支座移动时的位移计算公式为：,o34例6-3-1 已知刚架支座B向右移动a,求 。CVDHc、解：CABhd/2d/2aCAB1d/4hd/4h0.50.51）求CV1()( )44CVddaahh 求CV35CADB10.50.5h/dh/d求DHd/2d/2hCADB1/h1/h00求Cd/2d/2112

14、）求DH)(2)21(1aaDH3）求C)()1(1haahC36二、温度变化时的位移计算 静定结构在温度变化作用下各杆能自由变形，所以结构不产生内力。1. 是温度改变值，而非某时刻的温度。12tt、某时刻温度另一时刻温度t1,t2是温度改变值C10C10C25C35Ct1510251Ct251035237 2. 温度沿杆件截面厚度方向成线性变化。截面上、下边缘温差：21()tt令21-ttt 101121(- )httdtttth11 21 11 211-(-)=hth th th tthhhh1 22 1=h th th对于矩形截面杆件， ， 。12/2hhh012()/2ttthb杆轴线

15、处温度改变值 ：0th1h2ht1t2dsdst1dst2h1h2ht1t2t2 - t1dtdst0383. 微段ds的应变拉应变弯曲应变剪应变00=t dstds21-1t dst dsdtdsdshh021ttt 4. 位移计算公式1NMdsFd 0=NtMdsFt dsh0( )NtMdstF dsh39小结：1） 正负号规则： 及温度变化使杆件同一侧纤M维伸长（弯曲方向相同），则乘积tM dsh为正，反之为负。0t以温度升高为正，降低为负， 以拉力为正，NF压力为负。2）21|- |ttt 40例6-3-2 求图示刚架C截面水平位移 。已知杆件线 CH膨胀系数为 ，矩形截面高为h。1

16、20=52otttCo=10-0=10tC解：CABdd1CAB ddCABCt01Ct102图M图NF1NF1NF4102105210(1)()CHNtMdstF dshdddahh 22122Mdsdd2 12NF dsdd 426-4 静定结构在荷载作用下的位移计算一、 基本公式CABD虚设平衡力系NQFFM,FP=1给定位移、变形FPCABqD,0 , DH,DV,D(MP,FQP,FNP )D 求下图示结构在荷载作用下的位移 。4301()QNMdsFFds 若结构只有荷载作用，则位移计算一般公式为：PMEI0QPkFGANPFEA 上式适用的条件是：小变形，材料服从虎克定律，即体系

17、是线性弹性体。1QPNPPQNkFFMMdsFdsFdsEIGAEA 1QQPNNPPkF FF FM MdsdsdsEIGAEA 在荷载作用下，应变 与内力0、 、PQPMF、 的关系式如下：NPF44正负号规则：1） 不规定 和 的正负号，只规定乘积MPMPMM的正负号。若 和 使杆件同一侧纤维受MPM拉伸长，则乘积为正，反之为负；正MMP正MMP负MMP45 若结构除荷载外，还有支座移动和温度变化，则位移计算公式为：2） 和 以拉力为正，压力为负；NFNPF3） 和 的正负号见下图。QFQPF1QQPNNPPkF FF FMMdsdsdsEIGAEA 0( )RKKNKtFCM dstF

18、 dshQFQFQFQF46二、各类结构的位移计算公式1. 梁和刚架 在梁和刚架中，由于轴向变形及剪切变形产生的位移可以忽略，故位移计算公式为：=PMMdsEI 在高层建筑中，柱的轴力很大，故轴向变形对位移的影响不容忽略。 对于深梁，即h/l 较大的梁，剪切变形的影响不容忽略。472. 桁架 桁架各杆只有轴力，所以位移计算公式为：=NNPF FdsEANNPNNPF FF F ldsEAEA4. 拱NNPPF FMMdsdsEIEA 拱轴截面轴向变形的影响通常不能忽略：3. 组合结构NNPPF F lMMdsEIEA 用于弯曲杆 用于二力杆48例6-4-1 求简支梁中点竖向位移 ，并讨论剪切变

19、CV形对位移的影响。qxAMPFQPql/2xAMQF0.5ABCl/2l/2FP=1ABqCl/2l/249解：CVCQCM /2/223004341112()()222115( )( ) ( )23242384llCMqxqx lx dxlxx dxEIEIqllqllEIEI )0(21)0()(21lxqxqlFlxxlqxMQPP)20(2121lxFxMQ/2/200221112()()2221( )( ) ( )22228llCQkkqqlqx dxlx dxGAGAkqlllkqlGAGA50 若杆截面为矩形，则k=1.2；又=1/3，则E/G=2(1+ )=8/3，I/A=h

20、2/12。222242)(56. 21123852.111408 .460538482 . 1lhlhlAIGEqlEIGAqlCMCQ若h/l=1/10，则 h/l=1/2， 则%56. 2CMCQ%64CMCQ可见，剪切变形的影响不能忽略。516-5 图乘法 图乘法是一种求积分的简化计算方法，它把求积分的运算转化为求几何图形的面积与竖标的乘积的运算。一、图乘法基本公式为方便讨论起见，把积分 改写成dsEIMMPdsEIMMki。520011111( )BikABikABiABABAM MdsEIM M dxEIM dxtgdEItgxdEIxtgEIyEI ()EIconst()KM dx

21、d()iMxtg()BoAxdx()oox tgyMi图yxMk图d=MkdxMk(x)xx0dxAByxMi(x)=xtgxx0ABy053说明：1）条件：AB杆为棱柱形直杆，即EI等于常数；Mi与Mk图形中有一个是直线图形。2）y0与的取值： y0一定取自直线图形， 则取自另一个图形，且取的图形的形心位置是已知的，不必另行求解。3）若y0与在杆轴或基线的同一侧，则乘积y0取正号；若y0与不在杆轴或基线的同一侧，则乘积y0取负号。54二、 常见图形的几何性质l/2l/2二次抛物线h23lhl二次抛物线h二次抛物线3l/4l/4hlh315l/83l/8二次抛物线hlh3255三 、 图乘法举

22、例 运用图乘法进行计算时,关键是对弯矩图进行分段和分块,尤其是正确的进行分块。1203132MMy1203132MMyM1M2y02l/3l/3M1M2y02l/3l/356 分段 图均应分为对应的若干段，然后进行计算。PMM、DBCDPPPPAABCMMMMMMMMdsdsdsdsEIEIEIEIABCDABCDMPM57分块只对 或 中的一个图形进行 分块，另一个图形不分块。PMM1212()BBBBPPPPPAAAAMMM MMMMMMdsdsdsdsEIEIEIEIABABMMP1MP258例6-5-1 求 。AV解：作 图 图，如上图所示。MPM分段： ， 分为AC、CB两段，分块：

23、 图的CB段分为两块。MPMPM1122331211()AVyyyEIEIMPMACBEI1EI21231FPCBy1y2y3EI1EI2A59 此题还可以这样处理：先认为整个AB杆的刚度是 ，再加上刚度为 的AC段，再减去刚度为 的AC段即可。2EI1EI2EI112222212111AVyyyEIEIEICBACACA122MPEI2EI2EI1EI2+-FPACBACACMEI2EI2EI1EI2y2y2+-y1160例6-5-2 求 , EI等于常数。CV解：作 图 图，如右图所示。MPM分段： ， 分为AC、CB两段。分块： 图的AC段分为两块。MPMPM1242 133 212 2

24、 22 11y 12336) 4311632(2y EIEIyyEICV167.22)122134(1)(12211ACB2m2m2kN/m16A4CBA1CB21MPM2y2y161 如果将AC段的 图如下图那样分块，就比较麻烦。 PM16A4C84PM图例6-5-3 求 , EI等于常数。B作 图 图，如下页图所示。MPM4kN5kN2kN/m12kN.m4kN.m7kN4m4mACB解：4kN.m4kN2kN/m2mAC621116 8642218 14211/2y 22120(412)333y 32324433313(1 1/2)24y 1122331112 03 23()(6 44)

25、233418 01 3 .3 3(3 28)()3ByyyE IE IE IE I1/21My12y381244MP图13y2图1ACBBAC（kN.m)63例6-5-4 求 , EI等于常数。B解： 作 图及 图，如右所示。MPM分段： ， 分为AB、BC两段。分块： 图的BC段分为两块。MPMPM6kN/m7kN6kN.m17kN2m4mABC1/61/62/31/312y3y2M图2yPM图1412613（kN.m)64112212122 1414233912421224(146)233333yy 1122331()124221( 1432)933315617.33()9ByyyEIEI

26、EIEI3324 1232313y 1/61/62/31/312y3y2M图2yPM图1412613（kN.m)65例6-5-5 求CH，EI等于常数。解：ABC2kN/mEIEI2kN/m4m2m作MP图和 图见下页图。分块：MP图的AB段分为两块。M661122331832 421.53342324 423312 48(124)42yyy 1122331()1832(1.528 4)3316.67( 25.3332)()CHyyyEIEIEIEI 42y3=4121MP图(kN.m)2m2y22y1M图13ABC4676-6 互等定理 互等定理适用于线性变形体系，即体系产生的是小变形，且杆

27、件材料服从虎克定律。一、 功的互等定理功的互等本质上是虚功互等。下图给出状态I和状态II。PbFPaFQFMNF状态IIAB12ab21PaFPbFAB2PF1PF12abba2PF1PFQFMNF状态I68120PQNQQNNWFMdsFdsFdskF FF FM MdsdsdsEIGAEA MdsdsEI0QkFdsdsGANFdsdsEAMdsdsEI0QkFdsdsGANFdsdsEA令状态I的平衡力系在状态II的位移上做虚功，得到：PbFPaFQFMNF状态IIAB12ab21PaFPbFAB2PF1PF12abba2PF1PFQFMNF状态I69 同样，令状态II的平衡力系在状态I

28、的位移上做虚功，得到：210PQNQQNNWFMdsFdsFdskF FF FM MdsdsdsEIGAEA 所以PPFF 即1122PPPaaPbbFFFF 70定理 在任一线性变形体系中，第一状态的外力在第二状态的位移上所做的虚功W12等于第二状态的外力在第一状态的位移上所做的虚功W21。二、 位移互等定理定理 在任一线性变形体系中，由荷载FP1引起的与荷载FP2相应的位移影响系数21等于由荷载FP2引起的与荷载FP1相应的位移影响系数12。即 12= 211221WW即71212121PPFF由功的互等定理可得： 在线性变形体系中，位移ij与力FPj的比值是一个常数，记作ij，即：i j

29、i jP jF或2112112212PPijPjijFFF于是21121221PPPPFFFF所以2112状态II2PF122212状态I1PF1221117211PF12211121PF122212说明：1） ij也称为柔度系数，即单位力产生的位移。 i 产生位移的方位； j 产生位移的原因。2） FP1和FP2可以是集中力也可以是集中力偶，则相应的12和21就是线位移影响系数或角位移影响系数。即荷载可以是广义荷载，而位移则是广义位移。两个广义位移的量纲可能不等，但它们的影响系数在数值和量纲 上仍然保持相等。12()PPW F F73例6-6-1 验证位移互等定理。a/2a/21EIFP1=

30、F212a/2a/21EIFP2=M122FFa/4M11a/4解：EIMaMaaEIEIFaFaaEI16214121116214121121222174EIaMEIaF16/16/2121222121所以2112例6-6-2 验证位移互等定理。4m1m1EIFP1=5kN.m2124m1m1EIFP2=3kN21275解：EIEIEIEIEIEI323/213143211325/31013145211121212212121所以211215311176三、反力互等定理 反力互等定理只适用于超静定结构，因为静定结构在支座移动时只产生刚体位移，其内力和支座反力均等于零。12C1FR21FR11

31、状态I12C2FR22FR12状态II根据功的互等定理有：002211222111RRRRFCFCFF112221CFCFRR77 在线性变形体系中，反力FRij与Cj的比值为一常数，记作rij，即R ijijjFrC或2121112122RijijjRRFr CFr CFr C所以21121221r C Cr C C得1221rr说明： rij 也称为刚度系数，即产生单位位移所需施加的力。其量纲为 。 i 产生支座反力的方位； j 产生支座移动的支座。1 2()W c c78例6-6-3 验证反力互等定理。可见：r12=r2112EI lC2=112EI lC1=1r21r12r21=3EI

32、/l23EI/l3EI/l3r12=3EI/l2定理 在任一线性变形体系中，由位移C1引起的与位移C2相应的反力影响系数r21等于由位移C2引起的与位移C1相应的反力影响系数r12。79四、位移反力互等定理根据功的互等定理有：1122121122120PRPRFFCFFC 令1221122121RPFrCF状态I1FP12FR21状态II1122C2 上述支座可以是其它种类的支座，则支座位移、支座反力应与支座种类相应。80位移反力互等定理在混合法中得到应用。所以11221 212PPFCFr C 由此得到1221r 即1212221211RPCFr F 上式中力可以是广义力，位移可以是广义位移。符号相反表