机电系统计算机控制技术

1、第五章第五章控制系统性能控制系统性能指标描述指标描述概概 述述控制系统总是要求实际的被控对象，在给定信控制系统总是要求实际的被控对象，在给定信号的作用下达到稳定、快速和准确的性能指标。号的作用下达到稳定、快速和准确的性能指标。计算机控制系统，相对于一般控制系统而言，计算机控制系统，相对于一般控制系统而言，具有更多的功能可以实现，即系统能实现最佳具有更多的功能可以实现，即系统能实现最佳的性能指标。的性能指标。本章描述控制系统的基本性能指标，以及这些本章描述控制系统的基本性能指标，以及这些性能指标与系统的固有参数和设计参数的关系，性能指标与系统的固有参数和设计参数的关系，从而为分析和设计控制系统提

2、供了依据。从而为分析和设计控制系统提供了依据。5.1 计算机控制系统的计算机控制系统的性能及其指标性能及其指标性能性能：稳定性稳定性能控性能控性能观测性能观测性稳态特性稳态特性动态特性动态特性性能指标：性能指标：稳定裕量稳定裕量稳态指标稳态指标动态指标动态指标综合指标综合指标稳定性稳定性a)发散振荡发散振荡 系统不稳定，不允许存在，容系统不稳定，不允许存在，容易造成严重事故。易造成严重事故。 b)等幅振荡等幅振荡 系统临界稳定，在实际系统中系统临界稳定，在实际系统中也是不允许的。也是不允许的。c)衰减振荡衰减振荡 当调节器参数选择合适时，当调节器参数选择合适时，系统可以在比较短的时间内，系统可

3、以在比较短的时间内，以比较少的振荡次数，比较小以比较少的振荡次数，比较小的振荡幅度回复到给定值状态，的振荡幅度回复到给定值状态，得到比较满意的性能指标。得到比较满意的性能指标。 d)非周期衰减非周期衰减 当调节器参数选择合适时，可以当调节器参数选择合适时，可以使系统既无振荡，又比较快地使系统既无振荡，又比较快地结束过渡过程。结束过渡过程。稳定性结论稳定性结论控制系统只有稳定，才有可能谈得上控制控制系统只有稳定，才有可能谈得上控制系统性能的好坏或优劣系统性能的好坏或优劣计算机控制系统的稳定性跟连续控制系统计算机控制系统的稳定性跟连续控制系统的稳定性一样，也是一个重要的概念的稳定性一样，也是一个重

4、要的概念稳定性分析也是计算机控制理论中的一个稳定性分析也是计算机控制理论中的一个重要的内容。重要的内容。能控性和能观测性能控性和能观测性多变量最优控制中两个重要的概念。多变量最优控制中两个重要的概念。可观测性可观测性由系统的量测来确定系统状态的可由系统的量测来确定系统状态的可能性。能性。如果系统的状态在有限的时间间隔内可由输出如果系统的状态在有限的时间间隔内可由输出的观测值来确定，那么称系统在这样一个时间的观测值来确定，那么称系统在这样一个时间段内是可观测的。段内是可观测的。可控性可控性控制作用对被控系统影响的可能性。控制作用对被控系统影响的可能性。如果在一个有限的时间间隔里，可以用一个无如果

5、在一个有限的时间间隔里，可以用一个无约束的控制向量，使得系统由初始状态转移到约束的控制向量，使得系统由初始状态转移到终点状态，那么系统就称作在这样一个时间里终点状态，那么系统就称作在这样一个时间里是可控的。是可控的。如系统不能控如系统不能控最优控制不存在。最优控制不存在。关于能控性和能观测性的详细情况可参阅本书第关于能控性和能观测性的详细情况可参阅本书第7 7章。章。性能指标性能指标稳态指标稳态指标：衡量控制：衡量控制系统精度的指标系统精度的指标稳态误差稳态误差动态指标动态指标：比较直观：比较直观地反映控制系统的过渡地反映控制系统的过渡过程特性过程特性稳态误差稳态误差超调量超调量调节时间调节时

6、间峰值时间峰值时间衰减比衰减比振荡次数振荡次数稳态指标稳态指标稳态误差稳态误差ess稳态误差是输出量的稳态误差是输出量的稳态值与要求值的差稳态值与要求值的差值值表示了控制精度，越表示了控制精度，越小越好。小越好。 稳态误差与控制系稳态误差与控制系统本身的特性有关，统本身的特性有关，也与系统的输入信号也与系统的输入信号形式有关。形式有关。0sseyy ess动态指标动态指标超调量超调量p100%mpyyy 超调量：超调量：超调量通常以百分超调量通常以百分数表示数表示表示了系统过冲的表示了系统过冲的程度程度反映了系统动态过反映了系统动态过程的平稳性。程的平稳性。p动态指标动态指标调整时间调整时间t

7、s =0.02或或0.05调整时间反映了过调整时间反映了过渡过程时间的长短渡过程时间的长短它反映了动态过程它反映了动态过程进行的快慢，是系统进行的快慢，是系统的快速性指标。的快速性指标。ts动态指标动态指标峰值时间峰值时间tp过渡过程到达第过渡过程到达第一个峰值所需要一个峰值所需要的时间的时间它反映了系统对它反映了系统对输入信号反应的输入信号反应的快速性。快速性。tp动态指标动态指标衰减比衰减比过程过程衰减快慢过程过程衰减快慢的程度，定义为过渡的程度，定义为过渡过程第一个峰值过程第一个峰值B1B1与与第二个峰值第二个峰值B2B2的比值的比值通常希望衰减比为通常希望衰减比为4:14:1B1B21

8、2BB 动态指标动态指标振荡次数振荡次数NN=3/2=1.5反映控制系统的反映控制系统的阻尼特性，定义为阻尼特性，定义为输出量输出量y(t)进入稳进入稳态前，穿越态前，穿越y(t)的的稳态值稳态值y( )的次数的次数的一半。的一半。综合指标综合指标有三种类型：有三种类型：积分型指标积分型指标末值型指标末值型指标复合型指标复合型指标1.积分型指标积分型指标误差平方的积分误差平方的积分20( )tJet dt 这种性能指标着重权衡这种性能指标着重权衡大的误差大的误差，而且数，而且数学上易于处理，可以得到数学解，因此经学上易于处理，可以得到数学解，因此经常使用。常使用。如在宇宙飞船控制系统中按最小设

9、计，可如在宇宙飞船控制系统中按最小设计，可使使动力消耗最小动力消耗最小。1.积分型指标积分型指标时间乘误差平方的积分时间乘误差平方的积分tdttteJ02)(这种指标较少考虑大的起始误差，着重权这种指标较少考虑大的起始误差，着重权衡衡过渡特性后期出现的误差过渡特性后期出现的误差，有较好的选，有较好的选择性。该指标反映了控制系统的择性。该指标反映了控制系统的快速性和快速性和精确性精确性。1.1.积分型指标积分型指标加权二次型性能指标加权二次型性能指标022221 122112200(e Qeu Ru)()()tTTttJdtq eq edtr ur udt 式中，加权矩阵式中，加权矩阵Q和和R的

10、选择是根据对的选择是根据对e和和u的各的各个分量的要求来确定的。它不仅控制了个分量的要求来确定的。它不仅控制了动态性动态性能指标能指标，而且限制了，而且限制了控制信号的功率控制信号的功率。对于多变量控制系统，可采用对于多变量控制系统，可采用2.末值型指标末值型指标),(ffttxSJ 是末值时刻是末值时刻 tf 和末值状态和末值状态 x(tf) 的函数。的函数。 如：要求在末值时刻，系统具有最小如：要求在末值时刻，系统具有最小稳态误差，最准确的定位或最大射程稳态误差，最准确的定位或最大射程的末值控制中。的末值控制中。3.复合型指标复合型指标fttffdtttxFttxSJ0),(),(复合型指

11、标是积分型和末值型指标的复复合型指标是积分型和末值型指标的复合，是一个更普遍的性能指标形式。合，是一个更普遍的性能指标形式。典型环节的瞬态响应典型环节的瞬态响应)()(ttr( )1r t ( )r tt 典型环节：典型环节：一阶系统一阶系统二阶系统二阶系统高阶系统高阶系统瞬态输入信号：瞬态输入信号：冲击信号：冲击信号：阶跃信号：阶跃信号：斜坡信号：斜坡信号：一阶系统的瞬态响应一阶系统的瞬态响应11)(TssG惯性时间常数惯性时间常数T T越大，系统的响应越慢。越大，系统的响应越慢。二阶系统的瞬态响应二阶系统的瞬态响应2222)(nnnsssG无阻尼无阻尼 =0欠阻尼欠阻尼0 1二阶系统一般设

12、计为欠阻尼系统，且阻尼二阶系统一般设计为欠阻尼系统，且阻尼越小，超调越大，但响应速度越快。越小，超调越大，但响应速度越快。一般选一般选 =0.40.8。高阶系统高阶系统12101111112211( )( )( )()()(2)mmmmnnnnmiinnjllljlb sb sbsbB sG sA ssa sasaKszspss 零点零点多项式多项式极点极点多项式多项式增益增益系数系数零点零点实数实数极点极点共轭复共轭复数极点数极点若高阶系统是稳定的，其闭环极点分布在左半若高阶系统是稳定的，其闭环极点分布在左半s平面上。平面上。在所有闭环极点中，离虚轴最近的极点，附近又没有零点，在所有闭环极点

13、中，离虚轴最近的极点，附近又没有零点，其它闭环极点离虚轴比较远（实部之比在其它闭环极点离虚轴比较远（实部之比在5倍以上，对系统倍以上，对系统响应的影响可以忽略不计），这些闭环极点项，衰减的比响应的影响可以忽略不计），这些闭环极点项，衰减的比较慢，在动态过程中起主要作用。称为较慢，在动态过程中起主要作用。称为闭环主导极点闭环主导极点。若主导极点是一对其轭复数极点，则原来的高阶系统，可若主导极点是一对其轭复数极点，则原来的高阶系统，可以近似为欠阻尼二阶系统。以近似为欠阻尼二阶系统。用用Matlab进行瞬态响应分析进行瞬态响应分析格式：格式：单位阶跃响应单位阶跃响应 step(sys) step(s

14、ys,t)单位冲击响应单位冲击响应 impulse(sys,t) 例：例：225( )425G sss 求求 的单位阶跃响应。的单位阶跃响应。解解： 编制编制Matlab程程序如下：序如下：num=25;den=1,4,25;g=sys(num,den);step(g)或或num=25;den=1,4,25;step(num,den) 例：例：222( )2nnnG sss 0.6,5n求求 当当 时时的单位冲击响应。的单位冲击响应。解：解： 编制编制Matlab程程序如下：序如下：wn=5;zeta=0.7;num=wn.2;den=1,2*zeta*wn, wn.2;impulse(num

15、,den)5.2 线性离散系统的稳定性分析线性离散系统的稳定性分析 在控制系统性能指标中，系统稳定是一个在控制系统性能指标中，系统稳定是一个先决条件，一个不稳定的控制系统是不能正先决条件，一个不稳定的控制系统是不能正常工作的，甚至会导致系统的破坏，所以稳常工作的，甚至会导致系统的破坏，所以稳定性是控制系统的最重要的指标。稳定性是定性是控制系统的最重要的指标。稳定性是系统的一种固有特性，这种固有的稳定性只系统的一种固有特性，这种固有的稳定性只取决于系统的结构参数，而与系统的初始条取决于系统的结构参数，而与系统的初始条件以及外作用无关。件以及外作用无关。连续系统稳定性分析方法及结论连续系统稳定性分

16、析方法及结论特征方程的根，即闭环极点应具有负实部或特征方程的根，即闭环极点应具有负实部或分布在左半分布在左半s平面上。平面上。直接判断困难。直接判断困难。劳斯（劳斯（Routh）稳定性判据：由特征方程的）稳定性判据：由特征方程的系数来判断。系数来判断。根轨迹法根轨迹法频率响应特性频率响应特性 根据根据S S平面和平面和Z Z平面之间的关系，离散系统平面之间的关系，离散系统的稳定性可以由特征方程的稳定性可以由特征方程稳定稳定区域区域的根在的根在Z平面中的位置来确定平面中的位置来确定 必须位于必须位于Z平面中单位园的内部。平面中单位园的内部。 如果有一个根恰好位于单位园上则系统处如果有一个根恰好位

17、于单位园上则系统处于临界稳定，临界稳定在实践中属于不稳定。于临界稳定，临界稳定在实践中属于不稳定。00( )( )( )1( )( )hhD z G G zH zD z G G z 01( )( )0hD z G Gz 稳定稳定区域区域不稳定不稳定区域区域临界临界稳定稳定1.1.Z平面的稳定性条件平面的稳定性条件例例5.154325540.630.5(z)zzzzzHz运行结果：运行结果：已知系统的闭环传递函数为：已知系统的闭环传递函数为： 试判断该闭环系统的稳定性。试判断该闭环系统的稳定性。解解： 根据题意，运行下列根据题意，运行下列MATLAB程序：程序：num=5 4 1 0.6 3 0

18、.5;den=1 0 0 0 0 0;z,p=tf2zp(num,den)ii=find(abs(p)1);n1=length(ii);if (n10),disp(System is Unstable);else,disp(System is Stable);endz = -0.7822 + 0.5660i -0.7822 - 0.5660i 0.4681 + 0.6367i 0.4681 - 0.6367i -0.1718 p = 0 0 0 0 0System is Stable通过通过MATLABMATLAB这样的计算工具可以很容易的求这样的计算工具可以很容易的求出系统的特征方程的根，但

19、在实际使用时也出系统的特征方程的根，但在实际使用时也经常采用间接的方法，即不用直接求解特征经常采用间接的方法，即不用直接求解特征方程的根，而是根据特征方程的根与系数的方程的根，而是根据特征方程的根与系数的对应关系去判别系统的稳定性。对应关系去判别系统的稳定性。结论结论2.2.朱利朱利(Jury)(Jury)稳定判据稳定判据 1110( )0nnnnD za zaza za 设离散控制系统的特征方程为设离散控制系统的特征方程为其中其中a0， a1， a2， an为实数，以及为实数，以及an 0。按多项式的系数，构造朱利阵列如表按多项式的系数，构造朱利阵列如表51所示。所示。表表5.1 5.1 朱

20、利阵列格式朱利阵列格式2 , 1 , 0,2, 1 , 0,1, 1 , 0,31301100irrrrsnjbbbbcnkaaaabiijnjnjknknk表的构成方法表的构成方法朱利稳定性判据朱利稳定性判据例例5.25.2请参见教材请参见教材9898页。页。特征多项式的根全部都位于单位圆内的充特征多项式的根全部都位于单位圆内的充要条件是下列不等式成立：要条件是下列不等式成立：432( )321D zzzzz 例例5.2解：解：根据题意，运行下列根据题意，运行下列MATLAB程序：程序：num=1;den=3 1 -1 -2 1;z,p=tf2zp(num,den)ii=find(abs(p

21、)1);n1=length(ii);if (n10),disp(System is Unstable);else,disp(System is Stable);endz = Empty matrix: 0-by-1 p = -0.7357 + 0.6859i -0.7357 - 0.6859i 0.5690 + 0.0753i 0.5690 - 0.0753iSystem is Unstable运行结果：运行结果：例例5.2 的直接求解结果的直接求解结果双线性变换的劳斯（双线性变换的劳斯（Routh）稳定判据）稳定判据在连续系统中应用劳斯判据判断系统的极在连续系统中应用劳斯判据判断系统的极点是

22、否分布在平面的左半平面。点是否分布在平面的左半平面。在线性离散系统中也可以在线性离散系统中也可以通过通过S平面与平面与Z平平面之间的映射关系面之间的映射关系，利用劳斯判据来判断离，利用劳斯判据来判断离散系统的稳定性。散系统的稳定性。Z-W变换变换wwz11引入引入Z-W变换变换，jz令令S平面与平面与W平面是相似的。平面是相似的。 Z-W变换是线性变换，映射是一一对应的变换是线性变换，映射是一一对应的关系。关系。2222222212112112jTzzTwz则经过经过Z-W变换，可得到代数变换，可得到代数方程方程1110( )0nnnnD zA zAzA zA 对上式施用劳斯判据便可判断系统的

23、稳定性。对上式施用劳斯判据便可判断系统的稳定性。11100nnnna wawa wa 离散系统的特征方程离散系统的特征方程Z-W变换变换劳斯判据劳斯判据11100nnnna wawa wa 特征方程特征方程（2）若劳斯行列表第一列各元素均为正，则）若劳斯行列表第一列各元素均为正，则所有特征根均分布在左半平面，系统稳定。所有特征根均分布在左半平面，系统稳定。（3）若劳斯行列表第一列出现负数，表明系）若劳斯行列表第一列出现负数，表明系统不稳定。第一列元素符号变化的次数，表示统不稳定。第一列元素符号变化的次数，表示右半平面上特征根的个数。右半平面上特征根的个数。;1;1;1;1;1;1;1;1;14

24、14113313112212111417113315112213111716115141231211ccbbcdccbbcdccbbcdbbaabcbbaabcbbaabcaaaaabaaaaabaaaaabnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn（1）若系数）若系数an， an-1 ， a1 ，a0的符号不相同，的符号不相同，则系统不稳定。若符号相同，建立劳斯行列表。则系统不稳定。若符号相同，建立劳斯行列表。例例5.35.3102( )0.3680.264( )(1)1.3680.386G szGzzZKszz 特征方程为特征方程为作作Z-WZ-W变换得变换得2(0.3681.368)0.

25、2640.3860zKzK 2(2.736 0.104 )(1.264 0.528 )0.6320K wK w 设线性离散系统如图所示，设线性离散系统如图所示，T=1sT=1s，试求系统的临，试求系统的临界放大倍数界放大倍数K K。解：解：系统的开环传递函数为系统的开环传递函数为建立劳斯行列表建立劳斯行列表例例5.3欲使系统稳定，必须使劳斯行列表的第一列中欲使系统稳定，必须使劳斯行列表的第一列中的各元素均为正。的各元素均为正。所以系统的临界放大倍数所以系统的临界放大倍数Kc=2.4可选用放大倍数可选用放大倍数0K2.4稳态误差是系统稳态性能的重要指标，它衡稳态误差是系统稳态性能的重要指标，它衡

26、量了一个控制系统的量了一个控制系统的控制精度控制精度。稳态误差定义：当给定信号作用后，在时间稳态误差定义：当给定信号作用后，在时间 t t 趋于无穷大（实际上是一定时间）时被控对趋于无穷大（实际上是一定时间）时被控对象的要求值象的要求值r(t)r(t)与输出信号与输出信号y(t)y(t)之差，即之差，即5.3 离散系统的稳态误差分析离散系统的稳态误差分析lim ( )lim ( )( )ssttetr ty t ess稳态误差的传递函数计算表达式稳态误差的传递函数计算表达式1( )lim ( )lim(1) ( )lim(1)1( ) ( )sstnzR zee nzE zzD z G z 由

27、此可见，离散控制系统的稳态误差与连续控由此可见，离散控制系统的稳态误差与连续控制系统的一样，制系统的一样，与输入信号及系统结构有关与输入信号及系统结构有关。由由Z变换的终值定理知，在图变换的终值定理知，在图5.6所示的单位反馈所示的单位反馈离散系统中，系统在输入信号的作用下误差的变离散系统中，系统在输入信号的作用下误差的变换式为换式为不同的输入信号不同的输入信号( )1zR zz 2) 1()(zTzzR23(1)( )2(1)T z zR zz 1( )R ss 21( )R ss 31( )R ss 1)(tr( )r tt 2( )2tr t 单位斜坡单位斜坡( (速度速度) )信号信号

28、单位抛物线单位抛物线( (加速度加速度) )输入输入单位阶跃单位阶跃( (位置位置) )输入输入不同的系统结构不同的系统结构 由于积分环节的由于积分环节的Z传递函数为传递函数为所以上述定义也可理解为所以上述定义也可理解为 z = 1 z = 1 的极点的个数。的极点的个数。1111zzz 111lim1zz 按系统按系统开环开环脉冲传递函数脉冲传递函数D(z)G(z)中含有的中含有的积分环节的个数分为积分环节的个数分为0型、型、型、型、型等系统。型等系统。（1 1）单位阶跃）单位阶跃( (位置位置) )输入输入时时( )1zR zz 式中式中 称为静态位置误差系数。称为静态位置误差系数。111

29、11lim (1)lim1( ) ( )11( ) ( )1sszzpzezD z G z zD z G zK )()(lim1zGzDKzp 0 0型系统型系统 (1) (1)pKDG 11(1) (1)sseDG pK 0sse pK 0sse （有限值）（有限值） I I型系统型系统 II II型系统型系统单位阶跃单位阶跃( (位置位置) )输入时输入时稳态误差为：稳态误差为：（2）.单位斜坡单位斜坡(速度速度)信号信号稳态误差为稳态误差为式中式中 称为速度位置误差系数。称为速度位置误差系数。0型系统型系统 0sse I型系统型系统 II型系统型系统2( )(1)TzR zz 21111

30、1lim (1)lim1( ) ( ) (1)(1) ( ) ( )sszzvTzezTD z G zzzD z G zK 11lim(1) ( ) ( )vzKzD z G zT 0vK sse 1(1) (1)vKDGT （有限值）（有限值） (1) (1)ssDGeT vK 单位斜坡单位斜坡(速度速度)信号信号（3）.单位抛物线单位抛物线(加速度加速度)输入输入稳态误差为稳态误差为 称为静态位置误差系数。称为静态位置误差系数。0型系统型系统 I型系统型系统 II型系统型系统23(1)( )2(1)T z zR zz 2232111(1)11limlim1( ) ( ) 2(1)(1)(

31、) ( )sszzaT z zeTD z G zzzD z G zK 2211lim (1)( ) ( )azKzDz GzT 0aK sse 0aK 2(1) (1)aDGKT 2(1) (1)ssTeDG （有限值）（有限值）sse 单位斜坡单位斜坡(速度速度)信号信号表表5-2 5-2 不同输入时各类系统稳态误差不同输入时各类系统稳态误差从表中可以看出，在离散控制系统中，当典型从表中可以看出，在离散控制系统中，当典型输入信号和系统结构不同时关于稳态误差的结论输入信号和系统结构不同时关于稳态误差的结论和连续系统中的相应结论是相同的，和连续系统中的相应结论是相同的，但线性离散但线性离散时间系

32、统的稳态误差还和采样周期时间系统的稳态误差还和采样周期T T的大小有关，的大小有关，缩短采样周期缩短采样周期T T可以减小稳态误差可以减小稳态误差。已知采样离散控制系统的结构如图所示，采样周已知采样离散控制系统的结构如图所示，采样周期期T=0.2s，输入信号，输入信号 ，试用静态误差，试用静态误差系数法，求该系统的稳态误差。系数法，求该系统的稳态误差。思考：系统是否稳定？思考：系统是否稳定？例例5.521( )12r ttt 0332110(0.51)1105( )zszGzZZzszss 将将T=0.2s代入上式并整理得代入上式并整理得021.20.8( )(1)zG zz 这是一个二阶系统

33、，可以证明该采样控制系统这是一个二阶系统，可以证明该采样控制系统是稳定的。是稳定的。解：解：系统的开环脉冲传递函数为系统的开环脉冲传递函数为在输入信号在输入信号 的作用下，系统的的作用下，系统的稳态误差为稳态误差为21( )12r ttt 对二型系统，对二型系统，1111sspvaeKKK pK vK 10.1ssaeK 因此，系统的稳态误差为因此，系统的稳态误差为22022211111.20.8lim (1)( )lim (1)100.2(1)azzzKzG zzTz 例例5.5由表由表5.3可知，只有三型系统在加速度信号的可知，只有三型系统在加速度信号的作用下其稳态误差才能为零。作用下其稳

34、态误差才能为零。故需在原系统上串联一比例加积分补偿装置故需在原系统上串联一比例加积分补偿装置思考：怎样才能使系统的稳态误差为零？思考：怎样才能使系统的稳态误差为零？1( )1pK TzD zKz 串联数字补偿装置后，加速度误差系数为串联数字补偿装置后，加速度误差系数为2122111.20.8lim (1)0.2(1)1apzK TzzKzKzz 10ssaeK 因此，系统的稳态误差为因此，系统的稳态误差为控制器控制器例：例：已知一单位负反馈系统，其开环零极点增已知一单位负反馈系统，其开环零极点增益模型为益模型为试分析在单位阶跃及斜坡信号作用下系统的稳试分析在单位阶跃及斜坡信号作用下系统的稳态误

35、差。态误差。利用利用Matlab进行稳态误差分析进行稳态误差分析3(21)( )(2)(1)sG ss ss 单位阶跃信号单位阶跃信号t=0.1;k=6;z=-0.5;p=-2 1 0;n1,d1=zp2tf(z,p,k);s=tf(n1,d1);sys=feedback(s,1);roots(sys.den1)ans = -0.1084 + 1.9541i -0.1084 - 1.9541i -0.7832 系统稳定系统稳定（a）系统稳定性判断）系统稳定性判断sysd=c2d(sys,t)step(sys);t1=0:t:300;y=step(sysd,t1);subplot(121),pl

36、ot(t1,y),grid;subplot(122),ess=1-y;plot(t1,ess),gridess(length(ess)阶跃响应及稳态误差阶跃响应及稳态误差0100200300-0.500.511.522.5ty(t)0100200300-1.5-1-0.500.511.5tess0102030-1.5-1-0.500.511.5tess0102030-0.500.511.522.5ty(t)ans = -8.5931e-014系统为一型系统，系统为一型系统，其其Kp= ，即，即ess=0。t=0.1;k=6;z=-0.5;p=-2 1 0;n1,d1=zp2tf(z,p,k);

37、s=tf(n1,d1);sys=feedback(s,1);num=sys.num1;den=sys.den1,0;sys=tf(num,den);sysd=c2d(sys,t)step(sys);t1=0:t:50;y=step(sysd,t1);subplot(121),plot(t1,t1,y),grid;subplot(122),ess=t1-y;plot(t1,ess),gridess(length(ess)斜坡响应及稳态误差斜坡响应及稳态误差02040600102030405060ty(t)0204060-1.2-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.6tess051

38、01520-1.2-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.6tess051015200510152025ty(t)系统为一型系统，其系统为一型系统，其Kv=C，即，即ess=C。ans = -0.6678离散系统的增益离散系统的增益1( )( )Y sH ss 增益定义为增益定义为0)(sdcsHK阶跃输入幅值稳态输出值在线性离散系统中，在幅值为在线性离散系统中，在幅值为R的阶跃信号的阶跃信号的作用下，系统的输出为的作用下，系统的输出为( )( )1RzY zH zz 增益定义为增益定义为11)()(zzdczHRRzHK阶跃输入幅值稳态输出值 11( )lim1( )( )1z

39、zRzyzH zH zRz 0lim( )lim( )tsf tsF s 在线性连续系统中，在阶跃信号的作用下，在线性连续系统中，在阶跃信号的作用下，系统的输出为系统的输出为5.4 线性离散系统的动态响应分析线性离散系统的动态响应分析( )( )( )Y zH zR z ( )( ) ( )Y zH z R z 1()( ) ( )y kTZH z R z 实际上利用实际上利用Matlab时域响应函数很容易获时域响应函数很容易获得系统的输出响应，并可得到其性能参数。得系统的输出响应，并可得到其性能参数。例5.510(1)(1)( )( )(1)(1)()aTaTaTaTKeaTzeaTeG s

40、G zzZszze 2( )0.3680.264( )1( )0.632G zzH zG zzz 设线性离散系统如图所示，且a=1，K=1，T=1s，输入为单位阶跃序列。试分析系统的过渡过程。解：被控对象Z传递函数编制编制Matlab程序如下：程序如下：num=0.368 0.264;den=1 -1 0.632;t=0:1:25;dstep(num,den,t)或或y,x=dstep(num,den,t)232123456789101112131415160.3680.264( )( ) ( )21.6320.6320.3681.41.41.1470.8950.8020.8680.9931.

41、0771.0811.0320.9810.9610.9730.997.zzY zH z R zzzzzzzzzzzzzzzzzzzz 程序运行结果：y = 0 0.3680 1.0000 1.3994 1.3994 1.1470 0.8946 0.8017 0.8683 0.9937 1.0769 1.0809 1.0323 0.9812 0.9608 0.9727 0.9975 1.0147 1.0163 1.0070 0.9967 0.9923 0.9943 0.9992 1.0028 1.0033x = 调整时间调整时间ts=12s（12个采样周期），超调量个采样周期），超调量 p=40，

42、峰值时间，峰值时间tp=3s ，振荡次数，振荡次数N=1.5次，衰减比次，衰减比 =5:1 ，稳态误差，稳态误差ess=0。例例5.5在连续控制系统中，系统的瞬态响应由闭在连续控制系统中，系统的瞬态响应由闭环系统的零、极点来决定。环系统的零、极点来决定。离散系统的瞬态响应离散系统的瞬态响应12101111112211( )( )( )()()(2)mmmmnnnnmiinnjllljlb sb sbsbB sG sA ssa sasaKszspss 离散系统的瞬态响应离散系统的瞬态响应1212()()()( )( )( ) ( )( )1()()()1mnzzzzzzB zzzY zH z R

43、 zKA z zzpzpzpz01( )( )(1) ( )1niiiAAY zB zzzA zzzp 0(1)(1)BAA () ( )(1) ( )iiizpzp B zAzA z 10011( )1( )()1nnkiiiiiiA zAzy kZAkA pzzp 零点零点多项多项式式极点极点多项多项式式零点零点极点极点式中稳态稳态输出输出瞬态瞬态响应响应不同极点分布时的瞬态响应不同极点分布时的瞬态响应ipziizAzzBpzA)() 1()()(nikiipAky1)()()sin(cosiiijiijrerpi)sin(cos)(iikiikiikjkrApA其瞬态响应为其瞬态响应为对

44、应于极点对应于极点分析：分析：(cossin)ijiiiiipr erj ()(cossin)kkiii iiiA pArkjkki iAr当当ri1时，为发散序列。时，为发散序列。krAkiicos当当ri1时，为发散振荡。时，为发散振荡。T当当pi为负实数极点时，为负实数极点时， i =180 ，瞬态响应为，瞬态响应为是振荡的，振荡频率最高，可以证明为是振荡的，振荡频率最高，可以证明为当当pi为正实数极点时，为正实数极点时， i =0，瞬态响，瞬态响应为应为3. 当当pi为复数极点时，必为一对共扼复数极点，为复数极点时，必为一对共扼复数极点， 瞬态响应为瞬态响应为其中其中 和和 也是共轭的

45、，因此瞬态响应是振荡的。也是共轭的，因此瞬态响应是振荡的。ijiipre ijiipre iijkjkkkiiiiA r eA r e 1800iAiA2cos()iiiijjkjjkkkkiiiiiiiiA er eA er eA rk当当ri1 时，振荡是发散的。时，振荡是发散的。当当ri=1时时，等幅振荡。等幅振荡。当当ri1时，振荡的衰减速率取决于时，振荡的衰减速率取决于ri的大小，的大小， ri越小，衰减越快；振荡频率与越小，衰减越快；振荡频率与i有关，有关， i越大，越大，振荡频率越高，可以证明为振荡频率越高，可以证明为iT 分析：分析：结论：结论：闭环极点分布对系统瞬态响应的影响

46、：闭环极点分布对系统瞬态响应的影响：当极点分布在当极点分布在Z平面的单位圆上或单位圆外时，对平面的单位圆上或单位圆外时，对应的输出分量是等幅的或发散的序列，系统不稳定。应的输出分量是等幅的或发散的序列，系统不稳定。当极点分布在当极点分布在Z平面的单位圆内时，对应的输出分平面的单位圆内时，对应的输出分量是衰减序列，而且极点越接近量是衰减序列，而且极点越接近Z平面的原点，输出平面的原点，输出衰减越快，系统的动态响应越快。反之，极点越接衰减越快，系统的动态响应越快。反之，极点越接近于单位圆周，输出衰减越慢，系统过渡过程时间近于单位圆周，输出衰减越慢，系统过渡过程时间越长。越长。当极点分布在单位圆内左

47、半平面时，虽然输出分当极点分布在单位圆内左半平面时，虽然输出分量是衰减的，但是由于交替变号，过渡特性不好。量是衰减的，但是由于交替变号，过渡特性不好。因此设计线性离散系统时，应该尽量选择极点在因此设计线性离散系统时，应该尽量选择极点在Z平面上右半圆内，而且尽量靠近原点，与实轴的夹平面上右半圆内，而且尽量靠近原点，与实轴的夹角要适中。角要适中。连续系统和离散系统瞬态响应的比较连续系统和离散系统瞬态响应的比较离散控制系统的其它分析法离散控制系统的其它分析法在离散控制系统中，也能像连续控制系统那在离散控制系统中，也能像连续控制系统那样采用以传递函数为基础的频率法和根轨迹法，样采用以传递函数为基础的频

48、率法和根轨迹法，根据开环系统的信息来判断闭环系统的稳定性根据开环系统的信息来判断闭环系统的稳定性以及动态性能。以及动态性能。经过经过双线性变换双线性变换以后，凡是适用于连续系统以后，凡是适用于连续系统的稳定性分析，都可以用于离散控制系统。的稳定性分析，都可以用于离散控制系统。5.5 线性离散系统的根轨迹分析法线性离散系统的根轨迹分析法 根轨迹法：从已知系统的开环极、零点的根轨迹法：从已知系统的开环极、零点的位置，以开环系统的根轨迹增益或其它参数位置，以开环系统的根轨迹增益或其它参数为变量，来求取闭环极点分布的方法。为变量，来求取闭环极点分布的方法。根轨迹图：根的映像（轨迹）。根轨迹图：根的映像

49、（轨迹）。当开环轨迹增益或其他参数改变时，对应当开环轨迹增益或其他参数改变时，对应的闭环极点，可在根轨迹图上一一确定。的闭环极点，可在根轨迹图上一一确定。 根轨迹定义根轨迹定义0( )( )( )1( ) ( )1( )G sG sH sG s F sG s 其中，其中， 为开环传递函数。为开环传递函数。0( )( )( )GsG s F s 10001()( )( )( )()miiggnjjszNsGsKKD ssp 根轨迹增益根轨迹增益00000( )1( )1( )( )0( )ggNsG sKD sK NsD s特征特征方程方程根轨迹的定义根轨迹的定义：当：当Kg =(0 )变化时，

50、特征方程根变化时，特征方程根的轨迹。的轨迹。系统的闭环传递函数系统的闭环传递函数为：为：试绘制试绘制 的根轨迹图。的根轨迹图。num=1 3;den1=1 6 5;den=conv(den1,den1);rlocus(num,den)title(root locus)k,p=rlocfind(num,den)例：例：022(3)( )(65)gKsGsss root locusReal AxisImag Axis-15-10-505-10-50510 Select a point in the graphics windowselected_point = -0.0508 + 4.2363ik

51、 = 154.9620p = -8.8375 -0.0299 + 4.2267i -0.0299 - 4.2267i -3.1027 0200400600800100012001400160018002000-3-2-101234impulse response0200400600800100012001400160018002000-150-100-50050100150impulse responseKg-2Kg+2例：例：线性离散系统的根轨迹分析法线性离散系统的根轨迹分析法系统的闭环传递函数为系统的闭环传递函数为0( )( )( )1( )( )1( )G zG zH zG z F zG

52、z 其中，其中， 为开环传递函数。为开环传递函数。0( )( ) ( )G zG z F z 10001()( )( )( )()miinjjzzNzGzKKD zzp 根轨迹增益根轨迹增益00000( )1( )1( )( )0( )NzGzKD zKNzD z 特征特征方程方程根轨迹的定义：当根轨迹的定义：当 K =(0 )变化时，特征方程根变化时，特征方程根的轨迹。的轨迹。根轨迹的绘制根轨迹的绘制Matlab提供了一些相关函数绘制线性离散系统或连续提供了一些相关函数绘制线性离散系统或连续系统的根轨迹图。系统的根轨迹图。绘制系统的零极点图函数绘制系统的零极点图函数pzmap(sys)绘制系统的函数绘制系统的函数rlocus(sys)或或rlocus(num,den)函数函数k,p=rlofind( )给出选定点的增益和极点表达式。给出选定点的增益和极点表达式。由根轨迹与由根轨迹与平面上单位圆的焦点，可以确定系统的平面上单位圆的焦点，可以确定系统的临界增益。临界增益。解解：系统的开环：系统的开环传递函数传递函数试求例试求例5.3所示离