第二章 测量误差和数据处理

1、第二章第二章 测量误差和数据处理测量误差和数据处理2.1 测量误差测量误差2.2 测量误差的来源测量误差的来源2.3 误差的分类误差的分类2.4 随机误差分析随机误差分析2.5 系统误差分析系统误差分析2.6 误差的合成、间接测量误差的误差传递与分配误差的合成、间接测量误差的误差传递与分配2.7 测量数据的处理测量数据的处理 2.1 测量误差测量误差一、真值与测量值一、真值与测量值真值真值测量的物理量，客观存在的量值。测量的物理量，客观存在的量值。测量值测量值测量误差测量误差产生原因：产生原因：1. 由于测量仪表、测量方法、环境条件人的观察等都由于测量仪表、测量方法、环境条件人的观察等都不能做

2、到完美无缺的程度。不能做到完美无缺的程度。2. 要对物理量进行测量，就需要一个比较标准，而真要对物理量进行测量，就需要一个比较标准，而真正的比较标准是不存在的，仅存在于纯理论之中。正的比较标准是不存在的，仅存在于纯理论之中。相对真值相对真值人们的目的就在于采取条件手段来获取尽可接近真值人们的目的就在于采取条件手段来获取尽可接近真值的测量值。的测量值。 二、误差的表示方法二、误差的表示方法1. 绝对误差绝对误差 A0真值真值A实际值实际值2. 相对误差相对误差1）实际相对误差）实际相对误差： 2）示值相对误差）示值相对误差： 绝对误差不能表示出测量值的精确度。绝对误差不能表示出测量值的精确度。如

3、温度测量如温度测量 绝对误差绝对误差 1AXAXX0%100AxrA%100 xxrxC 115 但后者精确度明显高于前者。但后者精确度明显高于前者。3）满度相对误差）满度相对误差 xm量程内最大绝对误差量程内最大绝对误差 xm测量仪器满度值测量仪器满度值mC 150%100mmmxxr仪表准确度等级仪表准确度等级S按满度误差按满度误差 分级的分级的如如这表明这表明5 . 0s%5 . 0m 2.2 测量误差的来源测量误差的来源一、仪器误差（设备误差）一、仪器误差（设备误差）原因：原因： 由于设计、制造、装配、检定等的不完善由于设计、制造、装配、检定等的不完善 使用过程元件老化、磨损、疲劳使用

4、过程元件老化、磨损、疲劳 读数误差读数误差 内部噪声误差内部噪声误差 稳定误差稳定误差 动态误差动态误差 减少误差的途径：正确选择测量方法和使用测量仪表减少误差的途径：正确选择测量方法和使用测量仪表二、人身误差二、人身误差 由于测量值的判断有误由于测量值的判断有误误差误差三、环境误差三、环境误差 主要：环境温度、电源电压、电磁干扰等主要：环境温度、电源电压、电磁干扰等四、方法误差四、方法误差 2. 重要特点重要特点 测量条件不变，误差即为确切数值测量条件不变，误差即为确切数值 条件变化时，误差遵循某种确定的规律变化条件变化时，误差遵循某种确定的规律变化具有具有 可重复性可重复性3. 产生系统误

5、差的主要原因产生系统误差的主要原因1）设计制作上的缺陷设计制作上的缺陷2）测量环境条件变化测量环境条件变化与仪表使用要求不一致与仪表使用要求不一致3）采用近似的测量方法或计算公式采用近似的测量方法或计算公式 2.3 误差的分类误差的分类一、系统误差一、系统误差 1. 定义定义：在测量中产生的误差量值大小和符号都恒定不变：在测量中产生的误差量值大小和符号都恒定不变(恒值）恒值）或遵循一定规律变化的误差（变值或遵循一定规律变化的误差（变值累进性、周期性、复杂累进性、周期性、复杂性）性）4）测量人员的测量人员的习惯习惯读数偏差读数偏差系统误差体现了测量的正确度系统误差体现了测量的正确度二、随机误差（

6、偶然误差）二、随机误差（偶然误差）1. 定义定义：同一恒定量值进行多次等精度测量时，其绝：同一恒定量值进行多次等精度测量时，其绝对值和符号无规则变化的误差。对值和符号无规则变化的误差。用统计理论进行估算。用统计理论进行估算。2. 特点特点a. 有界性有界性b. 对称性：正负误差机会相等对称性：正负误差机会相等c. 抵偿性：算术平均值抵偿性：算术平均值0d. 单峰性：绝对值小的误差出现的概率大单峰性：绝对值小的误差出现的概率大F(x)x3. 随机误差产生的原因随机误差产生的原因1）仪表的不稳定等仪表的不稳定等2）温度、电源等温度、电源等无规则无规则波动波动3）测量人员读数测量人员读数无规则无规则

7、变化变化随机误差体现了多次测量的精密度随机误差体现了多次测量的精密度三、粗大误差三、粗大误差：测量值明显偏离实际值所形成的误差：测量值明显偏离实际值所形成的误差产生的原因：产生的原因：1）测量方法不当测量方法不当2）测量操作失误测量操作失误3）测量条件突然变化测量条件突然变化四、误差的处理四、误差的处理1）误差划分具有相对性，可互相转化误差划分具有相对性，可互相转化2）根据误差对测量结果的影响程度不同根据误差对测量结果的影响程度不同作出不同作出不同 的具体处理的具体处理 2.4 随机误差分析随机误差分析一、测量值的数学期望和标准差一、测量值的数学期望和标准差1. 数学期望数学期望1）算术平均值

8、算术平均值 样本平均样本平均2）数学期望数学期望 总体平均总体平均3）绝对误差与随机误差绝对误差与随机误差若不含若不含系统误差和粗大误差系统误差和粗大误差,则则 绝对误差绝对误差 随机误差随机误差niixnx11niinxxnE11limAxxiiiixi4）随机误差的算术平均值随机误差的算术平均值当当 时，时，由于随机误差的抵偿性，当由于随机误差的抵偿性，当 时时即即当测量次数足够多时：当测量次数足够多时：niiniiAxnn11)(11niniiAnxn1111AX nAExn001lim1niinnAEx2. 剩余误差剩余误差Vi性质：性质：1）剩余误差的代数和等于剩余误差的代数和等于0

9、。2）剩余误差的平方和最小，剩余误差的平方和最小，最小二乘法最小二乘法3. 方差和标准差方差和标准差随机误差随机误差 测量值的分散程度（精密度），但随测量值的分散程度（精密度），但随机误差的抵偿性，不能用它的算术平均值来估算测量机误差的抵偿性，不能用它的算术平均值来估算测量 011niinAExxxxViiniiniiniiniixnnxxnxV111110MinVnii12反映值的精密度值的精密度用方差进行描述用方差进行描述1）定义：定义： 时测量值与期望值之差的平方的统计时测量值与期望值之差的平方的统计平均值平均值 2）标准误差（均方根误差）标准误差（均方根误差）反映测量的精密度反映测量的

10、精密度 nnixinExn1221limxiiEx niinn1221limniinn121lim二、随机误差的正态分析二、随机误差的正态分析1. 1. 正态分布正态分布1 1）理论与实验证明：理论与实验证明：测量值测量值x xi i ( (随机误差随机误差 i i) ) 按正态分布规律出现按正态分布规律出现对于正态分布的对于正态分布的x xi i，概率密度函数，概率密度函数对于随机误差对于随机误差 i i，则，则2 2）特征特征a. a. 222)(21)(xExex22221)(e)(EXX)(x绝对值小的随机误差出现的概率大。绝对值小的随机误差出现的概率大。 （有界性）（有界性）b. c

11、. 曲线尖锐曲线尖锐测得值集中测得值集中精密度精密度 曲线平坦曲线平坦测得值分散测得值分散精密度精密度 2. 极限误差极限误差 随机误差落在随机误差落在 区域的概率区域的概率P为为而落在而落在 区间的概率分别区间的概率分别为：为：0)()()(ii,683. 021|222dePi3,3,2 ,2123321随机误差随机误差3 的概率仅为的概率仅为0.3%定义定义= 3 若若 应予以删除应予以删除3. 贝塞尔公式贝塞尔公式 又又954. 0212|22222epi997. 0213|222323epi3|iAxExiiiAxxnEnniinxlim1lim1niinn121lim而而 ，n为有

12、限值，则为有限值，则 ，用残差，用残差可证明可证明 贝塞尔公式贝塞尔公式 标准误差的最佳估计值标准误差的最佳估计值4. 算术平均值的标准差算术平均值的标准差在相同条件下对同一被测量值分成在相同条件下对同一被测量值分成m组，每组重复组，每组重复n次次每组的平均值每组的平均值 不同不同分散性。分散性。 算术平均值的标准差算术平均值的标准差同样，同样， nxxViiiniiVn1211xxniixVnnn12) 1(1xx3测量结果表示：测量结果表示：算术平均值标准差的最佳估计值算术平均值标准差的最佳估计值实际测量中，实际测量中，n为有限值，直接写成为有限值，直接写成三、有限次测量下测量结果的表达三

13、、有限次测量下测量结果的表达 ，但减小速度比，但减小速度比n增长慢得多增长慢得多 靠增加靠增加n降低均方差收益不大降低均方差收益不大xxxxx3nxniiVn1211nxxn)(n实际中：实际中：n=1020 2. 等精度测量，测量结果处理：等精度测量，测量结果处理：1）列表测量数据）列表测量数据2）计算）计算 及及 3）计算）计算 4）结果表达式）结果表达式iVx,2iVniiVn1211nxxxx3 2.5 系统误差分析系统误差分析一、系统误差的特性一、系统误差的特性若不存在粗差，则测量误差若不存在粗差，则测量误差 设系差设系差即即则则当当则：则：当测量次数足够多，各次测量绝对误差的算术平

14、均当测量次数足够多，各次测量绝对误差的算术平均 值系差值系差 iDXAXXiiii变化缓慢恒值iniiniinAXXn11110inniiXnAX111. 准确度不仅与准确度不仅与 有关，更与有关，更与 有关有关 2. 系差不易发现，更应重视系差不易发现，更应重视 3. 不具备抵偿性，取平均值无效不具备抵偿性，取平均值无效二、系统误差的判断二、系统误差的判断1. 理论分析法理论分析法用于测量方法、测量原理引起的系差用于测量方法、测量原理引起的系差2. 校对和对比法校对和对比法目的：发现和减小使用被检仪器进行测量时的系统误差目的：发现和减小使用被检仪器进行测量时的系统误差3. 改变测量条件改变测

15、量条件2、3属于实验对比法属于实验对比法一般用来发现恒值系差一般用来发现恒值系差4. 剩余误差观察法剩余误差观察法发现变值系差发现变值系差iiiiiiviviviviVi正负相同，无明显变化规律不存在系差Vi线型递增累积性系差Vi呈周期性周期性系差变化规律复杂同时存在线形递增的累进性系差和周期性系差三、消除系统误差产生的根源三、消除系统误差产生的根源（1）测量原理、方法、依据）测量原理、方法、依据正确正确（2）仪器仪表）仪器仪表正确正确（3）仪器检定、校准、零位）仪器检定、校准、零位（4）测量人员水平）测量人员水平四、削弱系统误差的典型测量技术四、削弱系统误差的典型测量技术1. 零示法零示法待

16、测量与已知标准量相比较，零示器示待测量与已知标准量相比较，零示器示值值0时，已知标准量被测量时，已知标准量被测量零示器：光电检流计零示器：光电检流计 电流表电流表 电压表电压表消除由于零示器不准带来的系统误差消除由于零示器不准带来的系统误差书书p36调节调节 则则2. 替代法：替代法： （置换法）（置换法）测量条件不变下，同一标准已知量替代待测量，通过测量条件不变下，同一标准已知量替代待测量，通过调整标准量使仪表示值不变调整标准量使仪表示值不变标准被测量标准被测量测量测量存在误差，则存在误差，则误差与误差与R1, R2,R3有关有关现用标准电阻现用标准电阻RS代替代替Rx，并保持，并保持R1,

17、 R2，R3不变不变0psIRSsxERRUU12231/ RRRRx)/()(223311RRRRRRRRxx223311RRRRRRRRxx则则 Rx仅决定于标准电阻的误差，与仅决定于标准电阻的误差，与R1, R2, R3误差无关误差无关五、削弱系统误差的其他方法五、削弱系统误差的其他方法1. 利用修正值或修正因数利用修正值或修正因数2. 随机化处理随机化处理对同一测量值，用多台仪器进行测量对同一测量值，用多台仪器进行测量取平均值取平均值3. 智能仪器中利用微处理智能仪器中利用微处理 直流零位校准直流零位校准 自动校准自动校准 )/()(223311RRRRRRRRssssxxRRRR2.

18、6 误差的合成、间接测量误差的误差的合成、间接测量误差的 误差传递与分配误差传递与分配一、随机误差合成一、随机误差合成测量结果中有测量结果中有K个彼此独立的随机误差，各单次测量个彼此独立的随机误差，各单次测量误差标准方差为误差标准方差为 则则 综合后的标准差综合后的标准差 为为极限误差极限误差li：合成的极限误差合成的极限误差 k21,kii12iil3kiill12二、系统误差的合成二、系统误差的合成确定系统误差的合成确定系统误差的合成代数合成法：已知各系统误差分量的代数合成法：已知各系统误差分量的大小及符号大小及符号绝对值合成法：只知绝对值合成法：只知 大小，不能确定大小，不能确定符号符号

19、方和根合成法：同（方和根合成法：同（2）例题：例题：P47 例例2.7.1 m.,21mjjm121m21,mjjm1321|)|.|(|mjjm1222221.2. 不确定系统误差的合成不确定系统误差的合成不确度线性相加不确度线性相加总的不确定度总的不确定度q10时，误差估计偏大时，误差估计偏大q10时，使用时，使用方和根合成法方和根合成法由不确定度算出标准差，再取方和根合成。由不确定度算出标准差，再取方和根合成。 kp置信系数置信系数3. 系统误差的表示系统误差的表示qpPee112ppeeqpPPqpPke1212)/(e三、间接测量的误差传递三、间接测量的误差传递例：导线电阻率例：导线

20、电阻率 需测需测l、R、d直接测量直接测量 间接测量间接测量1. 间接测量的误差传递间接测量的误差传递设设 直接测量量为直接测量量为 间接量间接量y则则泰勒级数展开：泰勒级数展开： RdL24mxxxx.,321).,(21nxxxfy ),.,(2211nnxxxxxxfyynnnxxfxxfxxfxxxfyy.).,(221121略去高阶项略去高阶项 相对误差形式表示：相对误差形式表示： 相对误差传递公式相对误差传递公式 L2222222221212)(21.)(21)(21nnxxfxxfxxfnnxxfxxfxxfyyy.2211nnxxfxxfxxfy.2211niiiiniixxy

21、xxf11yxxfyxxyyxxyyyrnny.2211yxxfinii12. 常用函数的误差传递常用函数的误差传递和差函数的误差传递和差函数的误差传递注意：对于差函数，当注意：对于差函数，当x1, x2较接近时较接近时造成较大误差。造成较大误差。积函数的误差传递积函数的误差传递设设21xxy|)|(|21xxy2121xxxxyyry212122112212212111)()(xxrxxxrxxxxxxxxxxxxx21xxy商函数的误差传递商函数的误差传递设设则绝对误差则绝对误差相对误差相对误差 故故 211221xxxxxxyynii21212112xxyrrxxxxxxyyr|)|(|

22、21xxyrrr21xxy 22211121xxxxxxxxy222121xxxxx212211xxyrrxxxxyyr|21xxyrrr幂函数的误差传递幂函数的误差传递设设 故故3. 如果对各直接测量量各进行了如果对各直接测量量各进行了m次等精度测量，则次等精度测量，则标准误差：标准误差：相对误差形式：相对误差形式： nnxKxy2121xxynrmrr|)|(|21xxynrmrr2222222121.nnyxfxfxf2222222121.yxfyxfyxfynny四、间接测量的误差分配四、间接测量的误差分配设设 则间接测量的标准误差为则间接测量的标准误差为现假定现假定 已给定已给定方法

23、：等作用原则分配误差方法：等作用原则分配误差令令 ),(21nxxxfy22221221.21nxnxxyxfxfxfynxxx,21nxxnxxfxfxf.1121),.,2 , 1( nixfnixiyiyxxfni1调整：调整： 测量中难以保证的误差测量中难以保证的误差扩大允许的误差值。扩大允许的误差值。 易保证的误差易保证的误差减小误差值。减小误差值。 例例9 P44nlxflyixi1 2.7 测量数据的处理测量数据的处理测量数据处理测量数据处理从测量所得到的原始数据中求出被从测量所得到的原始数据中求出被测量的最佳估计值，并计算其精确程度。测量的最佳估计值，并计算其精确程度。一、有效数字处理一、有效数字处理1. 有效数字有效数字：左边起第一个不为零的数字式，到右面：左边起第一个不为零的数字式，到右面最后一个数字（包括零）为止：最后一个数字（包括零）为止：20.80最大绝对误差最大绝对误差 0.005，准确到百分位。，准确到百分位。20.8最大绝对误差最大绝对误差 0.05，准