专题4 数学思想方法

1、专题四专题四 数学思想方法数学思想方法 数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略理性认识，是解决数学问题的根本策略. .数学思想方法是把数学思想方法是把知识转化为能力的桥梁，灵活运用各种数学思想方法是提知识转化为能力的桥梁，灵活运用各种数学思想方法是提高解题能力的根本所在高解题能力的根本所在. .因此，在复习时要注意总结体会教因此，在复习时要注意总结体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识和能力培养用数学思想方法

2、解决问题的意识和能力. .一、整体思想一、整体思想 整体思想，就是研究和解决问题时，从问题的整体性整体思想，就是研究和解决问题时，从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用的整体结构特征，善于用“集成集成”的眼光，把某些式子或的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理，从而达到迅速解题的目的有意识的整体处理，从而达到迅速解题的目的. . （20152015菏泽）已知菏泽）已知m m是方程是方程x x2 2-x

3、-1=0-x-1=0的一个根，求的一个根，求 的值的值. .【分析分析】把把m m代入方程求得代入方程求得m m2 2-m=1-m=1，再把有关，再把有关m m的代数式化的代数式化简，最后整体代入求出代数式的值简，最后整体代入求出代数式的值. .22mm1m m34（）（）点击此处查看答案点击此处查看答案【解答解答】mm是方程是方程x x2 2-x-1=0 -x-1=0 的一个根，的一个根，m m2 2-m-1=0.-m-1=0.即即m m2 2-m=1.-m=1.m(m+1)m(m+1)2 2-m-m2 2(m+3)+4(m+3)+4=m=m3 3+2m+2m2 2+m-m+m-m3 3-3

4、m-3m2 2+4+4=-m=-m2 2+m+4+m+4=-(m=-(m2 2-m)+4-m)+4=-1+4=3.=-1+4=3.【点评点评】本题考查代数式的求值，解答这类问题要善于观本题考查代数式的求值，解答这类问题要善于观察代数式的整体特征，先将条件进行转化，再把代数式化察代数式的整体特征，先将条件进行转化，再把代数式化简，然后将化简结果转成与条件有关的式子进行计算简，然后将化简结果转成与条件有关的式子进行计算. .2 0062 006二、分类讨论思想二、分类讨论思想 当一个问题因为某种量或图形的情况不同而有可能引当一个问题因为某种量或图形的情况不同而有可能引起问题的结果不同时，需要对这个

5、量或图形的各种情况进起问题的结果不同时，需要对这个量或图形的各种情况进行分类讨论行分类讨论. . （20152015甘肃兰州）在同一直角坐标系中，一次函甘肃兰州）在同一直角坐标系中，一次函数数y=y=kx-kkx-k与反比例函数与反比例函数 （k0k0）的图象大致是）的图象大致是( )( )kyx【分析分析】由于不确定由于不确定k k的符号，所以应分的符号，所以应分k0k0或或k0 k0k0时，一次函数时，一次函数y=y=kx-kkx-k的图象经过第一、三、四的图象经过第一、三、四象限，反比例函数象限，反比例函数 的图象经过第一、三象限，选项的图象经过第一、三象限，选项B B，D D均不符合；

6、均不符合；当当k0k0时，一次函数时，一次函数y=y=kx-kkx-k的图象经过第一、二、四象限，反的图象经过第一、二、四象限，反比例函数比例函数 的图象经过第二、四象限，选项的图象经过第二、四象限，选项A A符合符合. .【答案答案】A Akyxkyx【点评点评】本题考查一次函数与反比例函数的图象，在函数本题考查一次函数与反比例函数的图象，在函数解析式不确定的情况下，正确分类讨论函数系数对图象的解析式不确定的情况下，正确分类讨论函数系数对图象的影响是解题的关键影响是解题的关键. .4.4.已知已知b0b-1 C.a-1 -1 C.a-1 D.aD.a-10a+10，a-1.a-1.【答案答案

7、】B B2xa1,x1【点评点评】本题考查分式方程的解，注意解答时要先把分式本题考查分式方程的解，注意解答时要先把分式方程转化为整式方程，并注意验根方程转化为整式方程，并注意验根. .6.6.如图，四边形如图，四边形ABCDABCD中，中，ADBCADBC，DEABDEAB，DE=DCDE=DC，C=80C=80. .则则A A等于等于( )( )A.80A.80 B.90 B.90 C.100 C.100 D.110 D.110四、数学建模思想四、数学建模思想 为了描述一个实际现象更具科学性，逻辑性，客观性为了描述一个实际现象更具科学性，逻辑性，客观性和可重复性，人们采用一种普遍认为比较严格

8、的语言来描和可重复性，人们采用一种普遍认为比较严格的语言来描述各种现象，这种语言就是数学述各种现象，这种语言就是数学. .使用数学语言描述的事物使用数学语言描述的事物就称为数学模型就称为数学模型. .数学建模，其实就是把数学问题转化为用数学建模，其实就是把数学问题转化为用方程、不等式、函数等来解决的数学方法方程、不等式、函数等来解决的数学方法. . （20152015浙江宁波）宁波火车站北广场将于浙江宁波）宁波火车站北广场将于20152015年底年底投入使用，计划在广场内种植投入使用，计划在广场内种植A A，B B两种花木共两种花木共6 6006 600棵，若棵，若A A花木数量是花木数量是B

9、 B花木数量的花木数量的2 2倍少倍少600600棵棵. .（1 1）A A，B B两种花木的数量分别是多少棵；两种花木的数量分别是多少棵；（2 2）如果园林处安排）如果园林处安排2626人同时种植这两种花木，每人每天人同时种植这两种花木，每人每天种植种植A A花木花木6060棵或棵或B B花木花木4040棵，应分别安排多少人种植棵，应分别安排多少人种植A A花木花木和和B B花木，才能确保同时完成各自的任务？花木，才能确保同时完成各自的任务？【分析分析】（1 1）首先设）首先设B B种花木的数量为种花木的数量为x x棵，则棵，则A A种花木的数种花木的数量为（量为（2x-6002x-600）

10、棵，由两种花木的总数量是）棵，由两种花木的总数量是6 6006 600棵，列出棵，列出方程，求解即可方程，求解即可. .（2 2）首先设安排）首先设安排k k人种植人种植A A种花木，则安排（种花木，则安排（26-k26-k）人种植）人种植B B种花木，由种植两种花木所用的时间相等，列出方程，求解种花木，由种植两种花木所用的时间相等，列出方程，求解即可即可. .【解答解答】（1 1）设）设B B种花木的数量为种花木的数量为x x棵，则棵，则A A种花木的数量种花木的数量为（为（2x-6002x-600）棵，）棵，由题意得由题意得x+x+（2x-6002x-600）=6 600.=6 600.解

11、得解得x=2 400.x=2 400.2x-600=4 200.2x-600=4 200.答：答：B B种花木的数量是种花木的数量是2 4002 400棵，棵，A A种花木的数量为种花木的数量为4 2004 200棵棵. .（2 2）设安排）设安排k k人种植人种植A A种花木，则安排（种花木，则安排（26-k26-k）人种植）人种植B B种种花木，花木，由题意得由题意得解得解得k=14.k=14.经检验，经检验，k=14k=14是分式方程的解是分式方程的解. .26-k=12.26-k=12.答：安排答：安排1414人种植人种植A A种花木，种花木，1212人种植人种植B B种花木种花木.

12、.4 2002 400.60k40 26k（）【点评点评】本题考查了一元一次方程和分式方程的应用，找本题考查了一元一次方程和分式方程的应用，找出问题中的等量关系，列出正确的方程是解题的关键出问题中的等量关系，列出正确的方程是解题的关键. .7.7.为培养学生养成良好的为培养学生养成良好的“爱读书，读好书爱读书，读好书”的习惯，我市某中学的习惯，我市某中学举办了举办了“汉字听写大赛汉字听写大赛”，准备为获奖同学颁奖，准备为获奖同学颁奖. .在购买奖品时发在购买奖品时发现，一个书包和一本词典会花去现，一个书包和一本词典会花去4848元，用元，用124124元恰好可以购买元恰好可以购买3 3个书个书

13、包和包和2 2本词典本词典. .（1 1）每个书包和每本词典的价格各是多少元？）每个书包和每本词典的价格各是多少元？（2 2）学校计划用总费用不超过）学校计划用总费用不超过900900元的钱数，为获奖的元的钱数，为获奖的4040名同学颁名同学颁发奖品（每人一个书包或一本词典）求最多可以购买多少个书包？发奖品（每人一个书包或一本词典）求最多可以购买多少个书包？解：解：（1 1）设每个书包的价格是）设每个书包的价格是x x元，每个词典的价格是元，每个词典的价格是y y元元. .由题意，得由题意，得解得解得答：每个书包的价格是答：每个书包的价格是2828元，每个词典的价格是元，每个词典的价格是202

14、0元元. .xy483x2y124，x28y20.，（2 2）设购买书包）设购买书包x x个，则购买个词典（个，则购买个词典（40-x40-x）个）个. .由题意，得由题意，得28x+2028x+20（40-x40-x）900.900.解得解得x12.5.x12.5.又又x x是正整数，是正整数，x x最大为最大为12.12.即最多可以买即最多可以买1212个书包个书包. .8.8.（20152015贵州黔西南）某地为了鼓励居民节约用水，决定实贵州黔西南）某地为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制，即每月用水量不超过行两级收费制，即每月用水量不超过12 12 吨（含吨（含12 12 吨）时，

15、每吨）时，每吨按政府补贴优惠价收费，每月超过吨按政府补贴优惠价收费，每月超过1212吨，超过部分每吨按市吨，超过部分每吨按市场调节价收费，小黄家场调节价收费，小黄家1 1月份用水月份用水24 24 吨，交水费吨，交水费4242元，元，2 2月份用月份用水水20 20 吨，交水费吨，交水费3232元元. .（1 1）求每吨水的政府补贴优惠价和市场调节价分别是多少元；）求每吨水的政府补贴优惠价和市场调节价分别是多少元；（2 2）设每月用水量为）设每月用水量为x x 吨，应交水费为吨，应交水费为y y 元，写出元，写出y y与与x x之间的之间的函数关系式；函数关系式；（3 3）小黄家）小黄家3 3

16、月份用水月份用水26 26 吨，他家应交水费多少元吨，他家应交水费多少元. .解：解：(1)(1)设每吨水的政府优惠价是设每吨水的政府优惠价是x x元，市场调节价是元，市场调节价是y y元元. .由题意，得由题意，得解得解得答：每吨水的政府优惠价是答：每吨水的政府优惠价是1 1元，市场调节价是元，市场调节价是2.52.5元元. .12x24 12 y4212x20 12 y32，x1,y2.5.(2)(2)当当x12x12时，时，y=xy=x；当当x12x12时，时，y=12+2.5(x-12)=2.5x-18.y=12+2.5(x-12)=2.5x-18.yy随随x x的函数关系式为的函数关

17、系式为(3)(3)当当x=26x=26时，时，y=2.5y=2.526-18=47(26-18=47(元元).). 即小黄家应交水费即小黄家应交水费4747元元. .x,(x12)y2.5x18,(x12)五、数形结合思想五、数形结合思想 所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，利用过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，利用“数形数形结合结合”可使所要研究的问题化难为易，化繁为简可使所要研究的问题化难为易，化繁为简. . （20152015江苏宿迁）在平面直角坐标系中，若直线江苏宿迁）在平面直角坐标系

18、中，若直线y=y=kx+bkx+b 经过第一、三、四象限，则直线经过第一、三、四象限，则直线y=y=bx+kbx+k 不经过的不经过的象限是象限是 ( )( )A.A.第一象限第一象限 B.B.第二象限第二象限C.C.第三象限第三象限 D.D.第四象限第四象限【分析分析】直接判断直接判断k k，b b的符号不易判断，根据条件的符号不易判断，根据条件y=y=kx+bkx+b经过第一、三、四象限画大致函数图象，再判断经过第一、三、四象限画大致函数图象，再判断k k，b b 的符的符号，然后画出号，然后画出 y=y=bx+kbx+k 的大致图象再判断的大致图象再判断. .【解答解答】直线直线y=y=

19、kx+bkx+b经过第一、三、四象限，经过第一、三、四象限，画出简图画出简图1 1： 由图象易知由图象易知k0k0，b0.bkx+4 kx+4 的解集是的解集是( )( )A.xA.x-2 -2 B.xB.x0 0 C.xC.x1 1 D.xD.x11六、类比思想六、类比思想 类比思想是数学创造型思维中很重要的一种思想方法，类比思想是数学创造型思维中很重要的一种思想方法，它可以帮助学习者建立新旧知识联系的桥梁，实现知识的正它可以帮助学习者建立新旧知识联系的桥梁，实现知识的正迁移，将已学过的知识或已掌握的解题方法迁移到陌生的问迁移，将已学过的知识或已掌握的解题方法迁移到陌生的问题中，进而使问题得

20、到解决题中，进而使问题得到解决. . （20152015菏泽）如图，已知菏泽）如图，已知ABC=90ABC=90，D D是直线是直线ABAB上的上的点，点，AD=BC.AD=BC.（1 1）如图，过点）如图，过点A A作作AFABAFAB，并截取并截取AF=BDAF=BD，连接，连接DCDC，DFDF，CFCF，判断判断CDFCDF的形状并证明；的形状并证明；（2 2）如图，）如图，E E是直线是直线BCBC上一点，且上一点，且CE=BDCE=BD，直线，直线AEAE，CDCD相交于相交于点点P P，APDAPD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的角的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的

21、角度，若不是，请说明理由度，若不是，请说明理由. .【分析分析】（1 1）根据题意，在）根据题意，在FADFAD和和DBCDBC中，分别有两边及夹中，分别有两边及夹角相等，即可证明两三角形全等，从而证明角相等，即可证明两三角形全等，从而证明FD=CDFD=CD，则，则CDFCDF是是等腰直角三角形等腰直角三角形. .（2 2）类比（）类比（1 1）中的作图方法，在（）中的作图方法，在（2 2）图中做辅助线）图中做辅助线AFABAFAB，且且AF=BDAF=BD，连接，连接FCFC，由（，由（1 1）知）知FDCFDC是等腰直角三角形，则是等腰直角三角形，则DCF=45DCF=45. .再根据再

22、根据CE=BD=AF,CE=BD=AF,且且CEAFCEAF，得出四边形，得出四边形AECFAECF是平是平行四边形，则行四边形，则AECF,AECF,则则E=FCBE=FCB，然后再利用对顶角及三角，然后再利用对顶角及三角形外角和的性质即可求得形外角和的性质即可求得APD=45APD=45为定值为定值. .【解答解答】(1)(1)CDFCDF是等腰直角三角形是等腰直角三角形. .证明如下：证明如下：AFABAFAB，FAD=90FAD=90. .又又ABC=90ABC=90，DBC=90DBC=90. .在在FADFAD和和DBCDBC中，中， FADBFADDBCADBC ，FADFADD

23、BC.DBC.ADF=BCDADF=BCD，FD=CD.FD=CD.BCD+CDB=90BCD+CDB=90，ADF+CDB=90ADF+CDB=90. .即即CDF=90CDF=90. .CDFCDF是等腰直角三角形是等腰直角三角形. .（2 2）APDAPD的度数是定值的度数是定值. .过点过点A A作作AFAF，AFABAFAB，且，且AF=BDAF=BD，连接，连接FC.FC.由（由（1 1）知）知CDFCDF是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，FCD=45FCD=45. .ABC=90ABC=90，ABBEABBE，BEAF.BEAF.即即CEAF.CEAF.又又CE=BD,AF=B

24、D.CE=BD,AF=BD.CE=AFCE=AF，四边形四边形AECFAECF是平行四边形，是平行四边形，AEFCAEFC，E=FCB.E=FCB.又又PCE=BCD,PCE=BCD,由三角形外角和定理知，由三角形外角和定理知，APD=E+PCEAPD=E+PCE=FCB+BCD=FCB+BCD=FCD=45=FCD=45. .APDAPD的度数是定值的度数是定值. .【点评点评】本题考查了三角形全等的判定、平行四边形的判本题考查了三角形全等的判定、平行四边形的判定及三角形外角和定理定及三角形外角和定理. .解答本题第（解答本题第（2 2）题的关键在于类）题的关键在于类比第（比第（1 1）题的方法建立辅助线，利用第（）题的方法建立辅助线，利用第（1 1）题的结论进）题的结论进行后续解答行后续解答. .11.11.（20142014济南）如图济南）如图1 1，有一组平行线，有一组平行线l1 1l2 2l3 3l4 4，正方，正方形形ABCDABCD的四个顶点分别在的四个顶点分别在l1 1，l2 2，l4 4，l3 3上，上，EGEG过点且垂直于过点且垂