弹性力学课件

1、弹性力学弹性力学弹性力学的内容弹性力学的内容弹性力学弹性力学 也称也称弹性理论弹性理论, ,固体力学学科的一个分支固体力学学科的一个分支 研究弹性体由于受外力、边界约束或温度改变等研究弹性体由于受外力、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。原因而发生的应力、形变和位移。 为解决工程结构的刚度和稳定性问题作准备。为解决工程结构的刚度和稳定性问题作准备。 研究固体的力学，有理论力学、材料力学、结构力学、弹性力学。 刚体 弹性体弹性弹性是变形固体的基本属性是变形固体的基本属性。“完全弹性完全弹性”是对弹性体变形的抽象。是对弹性体变形的抽象。完全弹性是指在一定温度条件下，材料的应力完全弹性

2、是指在一定温度条件下，材料的应力和应变之间一一对应的线性关系。和应变之间一一对应的线性关系。这种关系与时间无关，也与变形历史无关。这种关系与时间无关，也与变形历史无关。材料的应力和应变关系通常称为材料的应力和应变关系通常称为本构关系本构关系、物理关系物理关系或者或者物理方程物理方程材力材力:（内容）（内容）杆件在外力或温度作用下的应力、变杆件在外力或温度作用下的应力、变形、材料的宏观力学性质、破坏准则等。形、材料的宏观力学性质、破坏准则等。 结力结力:（内容）（内容）杆件系统（杆系结构）在外力或温杆件系统（杆系结构）在外力或温度作用下的应力、变形、位移等变化规律。度作用下的应力、变形、位移等变

3、化规律。 （任务）（任务）解决杆系的强度、刚度、稳定性问题。解决杆系的强度、刚度、稳定性问题。 （任务）（任务）解决杆件的强度、刚度、稳定性问题。解决杆件的强度、刚度、稳定性问题。 弹力弹力:（内容）（内容）弹性体在外力或温度作用下的应力、弹性体在外力或温度作用下的应力、变形、位移等分布规律。变形、位移等分布规律。 （任务）（任务）解决弹性体的强度、刚度、稳定性问题。解决弹性体的强度、刚度、稳定性问题。 2. 弹性力学与材力、结力课程的区别弹性力学与材力、结力课程的区别材力：材力：（1）研究对象）研究对象杆件（直杆、小曲率杆）杆件（直杆、小曲率杆）结力：结力：杆件系统（或结构）杆件系统（或结构

4、）弹力：弹力：一般弹性实体结构：一般弹性实体结构：三维弹性固体、板状结构、杆件等三维弹性固体、板状结构、杆件等（2）研究方法）研究方法材力：材力： 借助于直观和实验现象作一些假定，如借助于直观和实验现象作一些假定，如平面假设等，然后由静力学、几何关系、平面假设等，然后由静力学、几何关系、物理方程三方面进行分析。物理方程三方面进行分析。结力：结力：与材力类同。与材力类同。弹力：弹力：仅由静力平衡、几何方程、物理方程三仅由静力平衡、几何方程、物理方程三方面分析，方面分析，放弃了材力中的大部分假定放弃了材力中的大部分假定。材料力学主要研究弹性杆件材料力学主要研究弹性杆件( (如梁、柱、轴等）如梁、柱

5、、轴等）弹性力学主要研究弹性体。（杆、板、壳、块体）弹性力学主要研究弹性体。（杆、板、壳、块体）材料力学解zxIMy弹性力学解弹性力学解( (单位宽度单位宽度, ,矩形截面矩形截面) )534(22hyhyqIMyzx欧拉欧拉伯努力梁伯努力梁铁木辛柯梁铁木辛柯梁应力集中应力集中：材料力学和弹性力学处理的不同：材料力学和弹性力学处理的不同（3）数学理论基础）数学理论基础材力、结力材力、结力 常微分方程（一个变量）。常微分方程（一个变量）。弹力弹力 偏微分方程（二、三个变量）。偏微分方程（二、三个变量）。数值解法数值解法：能量法（变分法）、差分：能量法（变分法）、差分法、有限单元法等。法、有限单元

6、法等。3. 与其他力学课程的关系与其他力学课程的关系 弹性力学是塑性力学、断裂力学、岩石力学、弹性力学是塑性力学、断裂力学、岩石力学、振动理论、有限单元法等课程的基础。振动理论、有限单元法等课程的基础。弹性力学弹性力学数学弹性力学；数学弹性力学；应用弹性力学。应用弹性力学。弹性力学问题弹性力学问题已知外力、物体的形状和大小（边界）、材料特性（已知外力、物体的形状和大小（边界）、材料特性（E、）、约束条件等，求解应力、应变、位移分量。）、约束条件等，求解应力、应变、位移分量。需建立三个方面的关系：需建立三个方面的关系：（1）静力学关系：）静力学关系：应力应力与与体力、面力体力、面力间的关系；间的

7、关系； 静力平衡静力平衡 方程方程（2）几何学关系：）几何学关系：形变形变与与位移位移间的关系；间的关系； 几何方程几何方程 （3）物理学关系：）物理学关系：形变形变与与应力应力间的关系。间的关系。 物理方程物理方程工程问题的复杂性是诸多方面因素组成的。工程问题的复杂性是诸多方面因素组成的。如果不分主次考虑所有因素，则问题的复杂，如果不分主次考虑所有因素，则问题的复杂，数学推导的困难，将使得问题无法求解。数学推导的困难，将使得问题无法求解。根据问题性质，忽略部分暂时不必考虑的因根据问题性质，忽略部分暂时不必考虑的因素，提出一些基本假设。使问题的研究限定在素，提出一些基本假设。使问题的研究限定在

8、一个可行的范围。一个可行的范围。基本假设是学科的研究基础。基本假设是学科的研究基础。弹性力学基本假设弹性力学基本假设1. 1. 连续性假设连续性假设 假设所研究的整个弹性体内部完全由组成物体的假设所研究的整个弹性体内部完全由组成物体的介质所充满，各个质点之间不存在任何空隙。介质所充满，各个质点之间不存在任何空隙。变形后仍然保持连续性。宏观假设变形后仍然保持连续性。宏观假设物体所有物理量，例如位移、应变和应力等均为物体物体所有物理量，例如位移、应变和应力等均为物体空间坐标空间坐标X、Y、Z的连续函数。的连续函数。),(zyx),(zyxuu ),(zyxxx保证保证ssQslim0中极限的存在。

9、中极限的存在。2. 2. 均匀性假设均匀性假设 假设弹性物体是由同一类型的均匀材料假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的。因此物体各个部分的物理性质都是组成的。因此物体各个部分的物理性质都是相同的，不随坐标位置的变化而改变。相同的，不随坐标位置的变化而改变。物体的弹性性质处处都是相同的。物体的弹性性质处处都是相同的。工程材料，例如混凝土颗粒远远小于物体的工程材料，例如混凝土颗粒远远小于物体的的几何形状，并且在物体内部均匀分布，从的几何形状，并且在物体内部均匀分布，从宏观意义上讲，也可以视为均匀材料。宏观意义上讲，也可以视为均匀材料。E、等与位置 无关。),(zyx3. 3. 各向同性假设各向

10、同性假设 假定物体在各个不同的方向上具有相同假定物体在各个不同的方向上具有相同的物理性质，这就是说物体的弹性常数将不的物理性质，这就是说物体的弹性常数将不随坐标方向的改变而变化。随坐标方向的改变而变化。 宏观假设，材料性能是显示各向同性。宏观假设，材料性能是显示各向同性。E、等与方向无关。4. 4. 完全弹性假设完全弹性假设 在荷载作用下，如果应力和应变之间在荷载作用下，如果应力和应变之间存在一一对应关系，而且这个关系和时间存在一一对应关系，而且这个关系和时间无关，也和变形历史无关，称为完全弹性无关，也和变形历史无关，称为完全弹性材料。材料。完全弹性分为线性和非线性弹性，完全弹性分为线性和非线

11、性弹性，弹性力弹性力学研究限于线性的应力与应变关系。全服学研究限于线性的应力与应变关系。全服从虎克（从虎克（Hooke）定律）定律研究对象的材料弹性常数不随应力或应变研究对象的材料弹性常数不随应力或应变的变化而改变。的变化而改变。5. 5. 小变形假设小变形假设 假设在外力或者其他外界因素（如温度假设在外力或者其他外界因素（如温度等）的影响下，物体的变形与物体自身几何等）的影响下，物体的变形与物体自身几何尺寸相比属于高阶小量。尺寸相比属于高阶小量。 b. , 1.例：梁的 103 1, 1弧度（57.3）.a.位移物体尺寸, 例：梁的挠度v梁高h. 小变形假定的应用：小变形假定的应用： a.简

12、化平衡条件：简化平衡条件：考虑微分体的平衡条件时，可以用变形前的尺寸代替变形后的尺寸。 b.简化几何方程：简化几何方程：在几何方程中，由于 可略去 等项,使几何方程成为线性方程。,),(),(),(32 2),(假设物体处于自然状态，即在外界因素假设物体处于自然状态，即在外界因素作用之前，物体内部没有应力。作用之前，物体内部没有应力。弹性力学求解的应力仅仅是外力或温度改变弹性力学求解的应力仅仅是外力或温度改变而产生的。而产生的。6. 6. 无初始应力假设无初始应力假设 弹性力学的基本假设，主要包括弹性体的连续性、均匀性、各向同性、完全弹性和小变形假设等。这些假设都是关于材料变形的宏观假设。理想

13、弹性体的小变形问题。理想弹性体的小变形问题。 应力、位移及应变的概念应力、位移及应变的概念 作用于弹性体的作用于弹性体的外力外力(或称荷载或称荷载)可能有两种：可能有两种： 表面力表面力，是分布于物体表面的力，如静水是分布于物体表面的力，如静水压力，一物体与另一物体之间的接触压力等。单位压力，一物体与另一物体之间的接触压力等。单位面积上的表面力通常分解为平行于座标轴的三个成面积上的表面力通常分解为平行于座标轴的三个成分，用记号分，用记号 来表示。来表示。 体力体力，是分布于物体体积内的外力，如重力、是分布于物体体积内的外力，如重力、磁力、惯性力等。单位体积内的体力亦可分解为三磁力、惯性力等。单

14、位体积内的体力亦可分解为三个成分，用记号个成分，用记号X、Y、Z表示。表示。弹性体受外力以后，其内部将产生弹性体受外力以后，其内部将产生应力应力。、弹性力学中的几个基本概念弹性力学中的几个基本概念基本概念：基本概念： 外力、应力、形变、位移。外力、应力、形变、位移。1. 外力外力体力、面力体力、面力（材力：集中力、分布力。）（材力：集中力、分布力。）(1) 体力体力VQ 弹性体内弹性体内单位体积单位体积上所受的外力上所受的外力VVQFlim0 体力分布集度体力分布集度（矢量）（矢量）xyzOijkXYZkjiFZYXX、Y、Z为体力矢量在坐标轴上的投影为体力矢量在坐标轴上的投影单位：单位： N

15、/m3kN/m3说明：说明：(1) F 是坐标的连续分布函数是坐标的连续分布函数；(2) F 的加载方式是任意的的加载方式是任意的 (如：重力，磁场力、惯性力等如：重力，磁场力、惯性力等)(3) X、Y、Z 的正负号由坐标方向确定。的正负号由坐标方向确定。(2) 面力面力 作用于物体表面作用于物体表面单位面积单位面积上的外力上的外力SQSSQFlim0 面力分布集度（矢量）面力分布集度（矢量）xyzOijkXYZkjiFZYXX YZ 面力矢量在坐标轴上投影面力矢量在坐标轴上投影单位：单位： 1N/m2 =1Pa (帕)1MN/m2 = 106Pa = 1MPa (兆帕)说明：说明：(1) F

16、 是坐标的连续分布函数是坐标的连续分布函数；(2) F 的加载方式是任意的的加载方式是任意的;(3) 的正负号由坐标方向确定。的正负号由坐标方向确定。X YZyfxfyfxfxfyfyfxfx)(zOy例：表示出下图中正的体力和面力x)(zOy2. 应力应力(1) 一点应力的概念一点应力的概念AQ内力内力(1) 物体内部分子或原子间的相互物体内部分子或原子间的相互作用力作用力;(2) 由于外力作用引起的相互作用力由于外力作用引起的相互作用力.(不考虑不考虑)PAAQslim0(1) P点的内力面分布集度点的内力面分布集度(2) 应力矢量应力矢量.-P点的应力点的应力的极限方向的极限方向Q由外力

17、引起的在由外力引起的在 P点的某一面上内力分布集度点的某一面上内力分布集度应力分量应力分量n(法线法线)应力的法向分量应力的法向分量 正应力正应力应力的切向分量应力的切向分量 剪应力剪应力单位单位:与面力相同与面力相同MPa (兆帕)应力关于坐标连续分布的应力关于坐标连续分布的),(zyx),(zyx(2) 一点的应力状态一点的应力状态通过一点通过一点P 的各个面上应力状况的集合的各个面上应力状况的集合 称为一点的应力状态称为一点的应力状态x面的应力：面的应力：xzxyx,y面的应力：面的应力：yzyxy,z面的应力：面的应力：zyzxz,应力的概念应力的概念弹性体内微小的平行六面体弹性体内微

18、小的平行六面体PABC，称为体素称为体素PA=dx,PB=dy,PC=dz正应力正应力剪应力剪应力图 1-4每一个面上的应力每一个面上的应力分解为一个正应力分解为一个正应力和两个剪应力，分和两个剪应力，分别与三个坐标轴平别与三个坐标轴平行行当微小的平行六面当微小的平行六面体趋于无穷小时，体趋于无穷小时，六面体上的应力就六面体上的应力就代表代表P点处的应力。点处的应力。用矩阵表示：用矩阵表示：zzyzxyzyyxxzxyx 其中，只有其中，只有6个量独立。个量独立。xyyxxyzyyz剪应力互等定理剪应力互等定理应力符号的意义：应力符号的意义：xzzx第第1个下标个下标 x 表示表示所在面的法线

19、方向所在面的法线方向第第2个下标个下标 y 表示表示的方向的方向.xyzO Tzxyzxyzyx材力：以材力：以拉拉为正为正材力：材力：顺时针顺时针向为正向为正xxxxyy)(zO)(zO弹力弹力与材力材力 相比，正应力符号，相同 切应力符号，不同应力应力正负号正负号的规定：的规定：正应力正应力 拉为正，压为负。拉为正，压为负。剪应力剪应力 坐标坐标正面正面上，与坐标正向一致时为正；上，与坐标正向一致时为正；坐标坐标负面负面上，与坐标正向相反时为正。上，与坐标正向相反时为正。 - 形状的改变。以通过一点的沿坐坐 标正向微分线段标正向微分线段的正应变 和切 应变 来表示。形变形变正应变 ，以伸长

20、为正。切应变 , 以直角减小为正,用弧度表示。yx ,xy3. 形变形变形变形变 物体的形状改变物体的形状改变xyzO（1）线段长度的改变）线段长度的改变（2）两线段间夹角的改变。）两线段间夹角的改变。PBCAzxy用线（正）应变用线（正）应变度量度量用剪应变用剪应变度量度量（剪应变（剪应变两垂直线段夹角两垂直线段夹角（直角）（直角）的改变量）的改变量）三个方向的线应变：三个方向的线应变：三个平面内的剪应变：三个平面内的剪应变：zyx,zxyzxy,(1) 一点形变的度量一点形变的度量应变的正负：应变的正负：线应变：线应变： 伸长伸长时为时为正正，缩短缩短时为时为负负；剪应变：剪应变： 以直角

21、以直角变小时为正变小时为正，变大时为负变大时为负；(2) 一点应变状态一点应变状态 代表一点代表一点 P 的的邻域内邻域内线段与线段间夹角的改变线段与线段间夹角的改变xyzOPBCAzxyzzyzxyzyyxxzxyx其中其中xzzxyxxyzyyz应变无量纲；应变无量纲；4. 位移位移 注：注：一点的位移一点的位移 矢量矢量S应变分量均为位置坐标的函数，即应变分量均为位置坐标的函数，即;),(zyxxx),(zyxxyxy位移分量：位移分量：u x方向的位移方向的位移 分量；分量；v y方向的位移方向的位移 分量；分量；w z方向的位移方向的位移 分量。分量。量纲：量纲：m 或 mmxyzO

22、SwuvPP变形前 变形后uv,p x y.,vyuxp位移位移 - 一点位置的移动，用 , 表示, 量纲为 L。以坐标正向为正。16601660年胡克定律的发现。年胡克定律的发现。近代弹性力学的研究是从近代弹性力学的研究是从1919世纪开始的。世纪开始的。柯西柯西18281828年提出应力、年提出应力、应变概念，建立了平衡微应变概念，建立了平衡微分方程，几何方程和广义分方程，几何方程和广义胡克定律。胡克定律。柯西的工作是近代弹性柯西的工作是近代弹性力学的一个起点，使得弹力学的一个起点，使得弹性力学成为一门独立的固性力学成为一门独立的固体力学分支学科。体力学分支学科。 柯西（柯西（A.L.Ca

23、uchyA.L.Cauchy）弹性力学发展史弹性力学发展史而后，世界各国的一批而后，世界各国的一批学者相继进入弹性力学学者相继进入弹性力学研究领域，使弹性力学研究领域，使弹性力学进入发展阶段。进入发展阶段。18561856年，圣维南年，圣维南（A.J.Saint-VenantA.J.Saint-Venant）建立了柱体扭转和弯曲建立了柱体扭转和弯曲的基本理论；的基本理论；圣维南圣维南（A.J.Saint-VenantA.J.Saint-Venant）18621862年，艾瑞（年，艾瑞（G.B.AiryG.B.Airy）发表了关于弹性力学的平面发表了关于弹性力学的平面理论；理论；18811881

24、年，赫兹建立了接触年，赫兹建立了接触应力理论；应力理论；赫兹（赫兹（H.HertzH.Hertz）18981898年，基尔霍夫建立年，基尔霍夫建立了平板理论，发现了应了平板理论，发现了应力集中现象力集中现象; ;1824年生於德国，1887年逝世。曾在海登堡大学和柏林大学任物理学教授，他发现了电学中的“基尔霍夫定理”，同时也对弹性力学，特别是薄板理论的研究作出重要贡献。基尔霍夫基尔霍夫(G.R.Kirchoff)(G.R.Kirchoff)19301930年，年，发展了应用复变发展了应用复变函数理论求解弹性力学问题的方法等。函数理论求解弹性力学问题的方法等。另一个重要理论成果是建立种能量原理；另一个重要理论成果是建立种能量原理；提出一系列基于能量原理的近似计算方法。提出一系列基于能