概率论与数理统计概率4-1

1、概率论概率论 第一节第一节 数学期望数学期望离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望数学期望的性质数学期望的性质小结小结 布置作业布置作业概率论概率论 在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么的概率分布，那么X的的全部概率特征也就知道了全部概率特征也就知道了. 然而，在实际问题中，概率分布一般是较难然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的确定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知而在一些实

2、际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了数字特征就够了.概率论概率论 因此，在对随机变量的研究中，确定某些数因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的字特征是重要的 .在这些数字特征中，最常用的是在这些数字特征中，最常用的是数学期望数学期望、方差、协方差和相关系数方差、协方差和相关系数概率论概率论 一、离散型随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望 1、概念的引入：、概念的引入：我们来看一个引例我们来看一个引例. 例例1 某车间对工人的生产情况进行考察某车间对工人的生产情况进行考察. 车工车工小张

3、每天生产的废品数小张每天生产的废品数X是一个随机变量是一个随机变量. 如何定如何定义义X的平均值呢？的平均值呢？我们先观察小张我们先观察小张100天的生产情况天的生产情况概率论概率论 若统计若统计100天天, 32天没有出废品天没有出废品;30天每天出一件废品天每天出一件废品;17天每天出两件废品天每天出两件废品;21天每天出三件废品天每天出三件废品;27. 1100213100172100301100320可以得到这可以得到这100天中天中 每天的平均废品数为每天的平均废品数为这个数能否作为这个数能否作为X的平均值呢？的平均值呢？（假定小张每天至多出（假定小张每天至多出现三件废品现三件废品

4、）概率论概率论 可以想象，若另外统计可以想象，若另外统计100天，车工小张不出废品，天，车工小张不出废品，出一件、二件、三件废品的天数与前面的出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般天一般不会完全相同，这另外不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数也不天每天的平均废品数也不一定是一定是1.27.n0天没有出废品天没有出废品;n1天每天出一件废品天每天出一件废品;n2天每天出两件废品天每天出两件废品;n3天每天出三件废品天每天出三件废品.nnnnnnnn32103210可以得到可以得到n天中每天的平均废品数为天中每天的平均废品数为(假定小张每天至多出假定小张每天至多出三件废品三件废品

5、) 一般来说一般来说, 若统计若统计n天天 ,概率论概率论 这是这是以频率为权的加权平均以频率为权的加权平均nnnnnnnn32103210 当当N很大时，频率接近于概率，很大时，频率接近于概率，所以我们在求废品数所以我们在求废品数X的平均值时，用的平均值时，用概率代替概率代替频率频率，得平均值为，得平均值为32103210pppp这是这是以概率为权的加权平均以概率为权的加权平均这样得到一个确定的数这样得到一个确定的数. 我们就用这个数作为随机变我们就用这个数作为随机变量量X 的平均值的平均值 .概率论概率论 定义定义1 设设X是离散型随机变量，它的分布率是是离散型随机变量，它的分布率是: P

6、X=xk=pk , k=1,2,请注意请注意 :离散型随机变量的数学期望是一个绝对收离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和敛的级数的和.数学期望简称期望，又称为均值。数学期望简称期望，又称为均值。1)(kkkpxXE若级数若级数 1kkkpx绝对收敛，绝对收敛，则称级数则称级数 1kkkpx)(XE即的和为的和为随机变量随机变量X的数学期望的数学期望，记为，记为 ,概率论概率论 例例1,21XX所得分数分别记为所得分数分别记为甲、乙二人进行打靶，甲、乙二人进行打靶，它们的分布率分别为它们的分布率分别为 0 1 2 00.2 0.8 0 1 20.60.3 0.11Xkp2Xkp的的数

7、数学学期期望望，和和解解：我我们们先先来来算算21XX分）分）分）分）(5 . 01 . 023 . 016 . 00)(8 . 18 . 022 . 0100)(21 XEXE概率论概率论 ).(),(XEX求求设设 例例20, 2 , 1 , 0,! kkekXPXk的的分分布布率率为为解解 )()!1(!)(110XEeekekekXEXkkkk即即的的数数学学期期望望为为概率论概率论 到站时刻到站时刻 8:10 8:30 8:50 9:10 9:30 9:50 概率概率 1/6 3/6 2/6一旅客一旅客8:20到车站到车站,求他候车时间的数学期望求他候车时间的数学期望. 例例3 按规

8、定按规定,某车站每天某车站每天8:009:00,9:0010:00都恰有一辆客车到站都恰有一辆客车到站,但到站时刻是随机的但到站时刻是随机的,且两者且两者到站的时间相互独立。其规律为：到站的时间相互独立。其规律为： 概率论概率论 其分布率为其分布率为以分计以分计为为解：设旅客的候车时间解：设旅客的候车时间),(X X 10 30 50 70 90 kp63626161636162616361)()()(70 BPAPABPXP上表中例如上表中例如的的数数学学期期望望为为候候车车时时间间到到站站第第二二班班车车为为事事件件到到站站第第一一班班车车为为事事件件其其中中XBA.30:9,10:8分分

9、22.2736290363703615062306310)( XE概率论概率论 二、连续型随机变量的数学期望二、连续型随机变量的数学期望 设设X是连续型随机变量，其密度函数为是连续型随机变量，其密度函数为f (x),在在数轴上取很密的分点数轴上取很密的分点x0 x1x2 ,则则X落在小区落在小区间间xi, xi+1)的概率是的概率是1)(iixxdxxfiixxf)(小区间小区间xi, xi+1)阴影面积近似为阴影面积近似为iixxf)()(1iiixxxf概率论概率论 由于由于xi与与xi+1很接近很接近, 所以区间所以区间xi, xi+1)中的值中的值可以用可以用xi来近似代替来近似代替.

10、iiiixxfx)(这正是这正是dxxfx)(的渐近和式的渐近和式. 近似近似,iixxf )(因此因此X与以概率与以概率取值取值xi的离散型的离散型r.v 该离散型该离散型r.v 的数学的数学期望是期望是小区间小区间xi, xi+1)阴影面积近似为阴影面积近似为iixxf)(概率论概率论 由此启发我们引进如下定义由此启发我们引进如下定义.定义定义2 设设X是连续型随机变量，其密度函数为是连续型随机变量，其密度函数为 f (x),如果积分如果积分dxxxf)(绝对收敛绝对收敛,则称此积分值为则称此积分值为X的数学期望的数学期望, 即即dxxfxXE)()(请注意请注意 : 连续型随机变量的数学

11、期望是一个绝对收敛连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分的积分.概率论概率论 ).(),(XEbaUX求求设设例例4 其它其它的概率密度为的概率密度为解解01)(bxaabxfX babadxabxdxxxfXEX2)()(的数学期望为的数学期望为.),(的中点的中点即数学期望位于区间即数学期望位于区间ba概率论概率论 例例5其其概概率率密密度度为为服服从从同同一一指指数数分分布布它它们们的的寿寿命命装装置置个个相相互互独独立立工工作作的的电电子子有有,)2 , 1(,2 kXk0, 00, 01)( xxexfx若将这两个电子装置串联连接组成整机若将这两个电子装置串联连接组成整机,求整

12、机求整机寿命寿命(以小时计以小时计) N 的数学期望的数学期望. 0001)()2 , 1(xxexFkXxk 的分布函数为的分布函数为解解概率论概率论 12min(,)NXX 0001)(11)(22minxxexFxFx 0002)(2minxxexfNx 的的概概率率密密度度为为于于是是22)()(02min dxexdxxxfNEx的分布函数为的分布函数为概率论概率论 三、随机变量函数的数学期望三、随机变量函数的数学期望 1. 问题的提出：问题的提出： 设已知随机变量设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是的期望，而是X的某个函数的期望，比如说

13、的某个函数的期望，比如说g(X)的期望的期望. 那么应该如何计算呢？那么应该如何计算呢？ 一种方法是，因为一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来的分布求出来. 一旦一旦我们知道了我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把的分布，就可以按照期望的定义把Eg(X)计算出来计算出来.概率论概率论 那么是否可以不先求那么是否可以不先求g(X)的分布而只根据的分布而只根据X的的分布求得分布求得Eg(X)呢？呢？下面的定理指出，答案是肯定的下面的定理指出，答案是肯定的. 使用这种方法必须先求出随机变量

14、函数使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的的分布，一般是比较复杂的分布，一般是比较复杂的 .概率论概率论 (1) 当当X为离散型时为离散型时,它的分布率为它的分布率为P(X= xk)=pk ;绝对收敛，则有绝对收敛，则有若若 1)(), 2 , 1(kkkpxgk 1)()()(kkkpxgXgEYE(2) 当当X为连续型时为连续型时,它它的密度函数为的密度函数为f(x).若若绝对收敛，则有绝对收敛，则有 dxxfxg)()( dxxfxgXgEYE)()()()(定理定理 设设Y是随机变量是随机变量X的函数的函数:Y=g (X) (g是连续函数是连续函数)概率论概率论 连续型离散型Xd

15、xxfxgXpxgXgEYEkkk,)()(,)()()(1 该公式的重要性在于该公式的重要性在于: 当我们求当我们求Eg(X)时时, 不必不必知道知道g(X)的分布，而只需知道的分布，而只需知道X的分布就可以了的分布就可以了. 这给求随机变量函数的期望带来很大方便这给求随机变量函数的期望带来很大方便.概率论概率论 )(,(,是连续函数是连续函数的函数的函数是随机变量是随机变量设设gYXgZYXZ 则则是一维随机变量是一维随机变量,Z则则有有概概率率密密度度为为是是二二维维连连续续型型若若),(,),()1(yxfYX dxdyyxfyxgYXgEZE),(),(),()(概率论概率论 .积分

16、或级数都绝对收敛积分或级数都绝对收敛这里假定上两式右边的这里假定上两式右边的则则有有概概率率分分布布为为是是二二维维离离散散型型若若)2 , 1,(,),()2( jipyYxXPYXijji 11),(),()(jikjipyxgYXgEZE概率论概率论 密密度度即即具具有有概概率率上上服服从从均均匀匀分分布布在在设设风风速速,), 0(aV 其它其它001)(avavf.), 0(:2的数学期望的数学期望求求常数常数的函数的函数是是压力压力又设飞机机翼受到的正又设飞机机翼受到的正WkkVWVW 2022311)()(kadvakvdvvfkvWEa 解：由上面的公式解：由上面的公式概率论概

17、率论 其它其它）的概率密度为）的概率密度为（设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量020)sin(),(, xyxAyxfYX).(),()2(,)1(XYEXEA求求求系数求系数211)sin(),(2/02/0 AdxyxAdydxdyyxf，得，得 ）由于）由于解：（解：（1概率论概率论 其它其它）的概率密度为）的概率密度为（设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量020)sin(),(, xyxAyxfYX).(),()2(,)1(XYEXEA求求求系数求系数4)sin(2122/02/0 dxdyyxxXE）（）解解（12)sin(21),()(2/02/0 dxdyyxxydxd

18、yyxxyfXYE概率论概率论 四、数学期望的性质四、数学期望的性质 1. 设设C是常数，则是常数，则E(C)=C; 4. 设设X、Y 相互独立，则相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y); 2. 若若k是常数，则是常数，则E(kX)=kE(X); 3. E(X+Y) = E(X)+E(Y);niiniiXEXE11)(:推广niiniiXEXE11)(:推广（诸（诸Xi相互独立时）相互独立时）请注意请注意:由由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出不一定能推出X,Y 独立独立概率论概率论 。和和来证性质来证性质请同学自己证明，我们请同学自己证明，我们，性质性质4321于是有于是有概率密度

19、为概率密度为其边缘其边缘）的概率密度）的概率密度设二维随机变量（设二维随机变量（证证),(),().,(,yfxfyxfYXYX得得证证。性性质质3)()(),(),(),()()(YEXEdxdyyxyfdxdyyxxfdxdyyxfyxYXE 概率论概率论 , 相互独立相互独立又若又若YX.4)()()()(),()(得证得证性质性质YEXEdxdyyfxxyfdxdyyxxyfXYEyX 概率论概率论 五、数学期望性质的应用五、数学期望性质的应用例例8 求二项分布的数学期望求二项分布的数学期望若若 XB(n,p)，则则X表示表示n重贝努里试验中的重贝努里试验中的“成功成功” 次数次数.现

20、在我们来求现在我们来求X的数学期望的数学期望 .概率论概率论 可见，服从参数为可见，服从参数为n和和p的二项分布的随机变量的二项分布的随机变量X的数学期望是的数学期望是 n p. XB(n,p), 若设若设则则 X= X1+X2+Xn= np次试验失败如第次试验成功如第iiXi01i=1,2，n因为因为 P(Xi =1)= p,P(Xi =0)= 1-pniiXE1)(所以所以 E(X)=则则X表示表示n重贝努里试验中的重贝努里试验中的“成功成功” 次数次数.E(Xi)= )1 (01pp= p概率论概率论 例例9 把数字把数字1,2,n任意地排成一列，如果数字任意地排成一列，如果数字k恰恰好

21、出现在第好出现在第k个位置上，则称为一个巧合，求巧合个位置上，则称为一个巧合，求巧合个数的数学期望个数的数学期望.由于由于 E(Xk)=P(Xk =1) 解解: 设巧合个数为设巧合个数为X,否则，个位置上恰好出现在第数字0, 1kkXk k=1,2, ,nnkkXX1则则!)!1(nnn1nkkXEXE1)()(故故11nn引入引入概率论概率论 例例10 一民航送客车载有一民航送客车载有20位旅客自机场开出位旅客自机场开出,旅客旅客有有10个车站可以下车个车站可以下车,如到达一个车站没有旅客下车如到达一个车站没有旅客下车就不停车就不停车.以以X表示停车的次数，求表示停车的次数，求E(X).(设每位旅设每位旅客在各个车站下车是等可能的客在各个车站下车是等可能的,并设各旅客是否下车并设各旅客是否下车相互独立相互独立)10, 2 , 110 iiiXi站有人下车站有人下车在第在第站没