平面向量数量积的坐标表示

1、 6平面向量数量积的坐标表示 【课程标准】： 掌握数量积的坐标表达式，会求两个向量夹角的余弦值及应用 一、教材分析：向量是数学中最重要的概念之一；向量的几何形式与代数形式的“双重身份”以及它的一套优良的运算系统使它成为“重要工具”和“桥梁”；数量积的坐标表示为解决“形”中的长度、角度等问题带来了方便；有助于理解和掌握 数形结合的思想方法；为学习物理等其他学科解决实际问题作准备；平面向量数量积的坐标表示是在学生学习了平面向量的坐标表示和平面数量积的基础上进一步学习的，这都为数量积的坐标表示奠定了知识和方法基础。二、学情分析： 知识上：学习过向量加减法坐标运算和数量积定义性质运算等； 方法上：研究

2、过向量加减法坐标运算的推理过程； 思维上：由经验型抽象思维逐渐过渡理论性严谨抽象思维； 能力上：主动迁移、主动重组整合的能力较弱.三、三维目标：知识目标：(1)掌握数量积和模的坐标； (2)掌握两向量垂直的等价条件及其夹角公式坐标表示 能力目标： (1)领悟数形结合的思想方法； (2)培养学生自主学习及提出、分析、解决问题的能力 情感目标：通过平面平面向量数量积的坐标表示，进一步加 深学生对平面向量数量积的认识，提高学生的运算速度，培养 学生的运算能力，加深学生对数学学习的习惯四、教学的重点、难点：重点：平面向量数量积坐标表示 难点：平面向量数量积坐标表示的应用五、教学方法： 运用“导学探究式

3、” 教学方法；本节课实行，自主探索、民主开放、合作交流、师生对话、以学生为主体，以教师为主导的新课改教学理念.六、学法指导：根据本节课特点及学生的认知心理，把重点放在如何让学生“会学习”一方面，学生在教师营造的“可探索”环境里，积极参与、生动活泼地获取知识、善于观察类比、掌握规律、主动发现、积极探索，从而培养学生观察能力、想象能力、探索思维能力，设计转化、分析问题及解决问题的能力.七、课时安排：1课时八、教具准备：直尺、圆规九、教学过程分析： 教学环节师 生 活 动设计意图创设问题情境，确定探究方向1、复习回顾：（1）数量积的定义：（2）数量积的性质：2、提出问题： 求a与b的夹角的余弦值 根

4、据公式：让学生去思考：怎么解决这样的题目，分子怎么解决，分母应该怎么解决，提问学生：假如你们是老师应该解决什么问题？学生紧接着必定要去思考，达到目的。我们类比两向量的和与差可以转化为它们相应的坐标来运算，那么怎么用a与b的坐标表示ab呢？已知两个非零向量怎样用和的坐标表示呢？让学生猜想一下？鼓励学生猜想并且给出两个猜想因为猜想可以培养学生的猜想能力，即使是错误的猜想，也是有利于知识点的记忆的。同时也可以提高学生的提出问题，进而分析问题，解决问题的能力。复习回顾：让学生对所学知识由各大概的解，为进一步学习做铺垫。用例题引入,让学生对新知由点好奇感，同时也为后面建立模、夹角公式做铺垫；让学生猜想：

5、能让学生对所学知识产生兴趣。教学环节师 生 活 动设计意图探索研究1、 引导思考：问题：既然有了猜想，接下来我们要干什么呀？要进行证明的。师生共同证明：已知两个非零向量怎样用和的坐标表示呢？若是两个分别与x轴、y轴方向相同的单位向量那么思考：两个向量的数量积是“向量”还是“数量”？运算过程与向量坐标有何关系？有没有可“类比”的东西？有没有用坐标表示过除“积”以外的其它运算？师生互动，可以类比向量和与差的坐标的求法。2、探索研究：问题：既然可以类比，你能不能推到出，用坐标形式表示让学生去黑板上板演：激励学生去思考，启发学生去猜想，引导学生去怀疑，鼓励学生去探究. 探 索 研 究探 索 研 究问题

6、：根据运算结果请同学们总结一下师生互动得出结论两向量数量积等于两向量对应坐标的乘积的和；问题：你能不能根据向量模公式求出向量a的模及其两个向量夹角的余弦值.师生互动得出结论问题：请根据请学生写出用坐标形式的等价关系.师生互动得出结论问题：如果想互推的话，得需要什么条件？师生互动得出结论：这两个向量a与b都为非零向量教师点评：学习数学首先我们要知道知识的来龙去脉，推导过程，才能把知识点记得更准确，长久。同时还要强调公式的记忆方法。我们学习了这些知识点关键是要灵活运用它们，下面我们可以通过实例分析，让我们的知识点得以巩固。突破关键，增加兴趣体验乐趣.层层推进让学生感受数学的严密性，培养他们的逆向思

7、维能力，提高学生分析问题，解决问题的能力教学环节师 生 活 动设计意图 应 用 举 例例1、下列各对向量是否垂直？1）2）3）突出“用数量积为零证明几何垂直”这一重要方法.要学以致用，要灵活多用并且知识要活用.拓展知识挑战一下自己：让学生感受知识的活用课时小结已知两个非零向量让学生去总结，目的是让学生对本节课有个全新的认识，增强学生的表达能力布置作业： 作业：习题2-6 A组 必做题： 2、3、4、选做题：B组 3教学实录课题引入：师： 求a与b的夹角的余弦值 生： 根据公式：师：好的，那么根据公式我们怎么求出求a与b的夹角的余弦值呢？生：不会求师：如果你是老师话，你怎么解决这个问题呢？生：我

8、首先解决分子，两个向量的数量积用坐标怎么表示出来师：为什么呢？生：因为知道数量积的坐标形式了，那么向量的模与数量积有一定的关系师：什么关系呢？生：师：很好师生：鼓掌教学过程师：请根据向量的加法与减法的坐标的形式猜想：已知两个非零向量怎样用和的坐标表示呢生：猜想师生：鼓掌师：天才（说明学生预习了，鼓励一下）再请其他同学猜想一下？生：猜想师生：鼓掌师：又一个天才，再请第三位同学猜想一下，看看是不是天才了？生：都笑（课堂气氛提高了.）师：谁回答一下生：（举手）猜想师生：鼓掌师：又出来一个天才，都是天才。生：（小声说）老师你的猜想呢师：我的猜想是生：数量积是个实数老师你的第一个猜想本身就错了师生：鼓掌

9、师：那么我的第二个猜想还可以吧生：老师你的不正确师：那谁的正确呢？生：当然天才的正确了师：那老师的就错了，看样子老师不是天才生：笑师：既然你们的猜想是正确的接下来我们要对你们的结果进行什么呀？生：证明师：那么怎么证明你们的结论呢？生：上黑板板书（这位学生没有证明出来）师：没有关系，可能这个天才一时太紧张了，不紧张的时候我相信他一定会推导的（我们鼓励鼓励他，好不好）师生：鼓掌师：有没有推导出来的我给你演示演示生：举手(选取几个学生的证明进行了演示)（通过投影仪）师生：热烈鼓掌（课堂气氛非常的活跃）师：请同学们总结一下数量积的文字叙述生：两向量数量积等于两向量对应坐标的乘积的和师：你能不能根据向量

10、模公式求出向量a的模及其两个向量夹角的余弦值.生：师：请根据写出用坐标形式的等价关系.生：师：如果想互推的话，得需要什么条件？生：不知道师：再想一想a与b需要什么条件生：需要a与b不共线师：可有其它答案吗？生:有，我认为是这两个向量a与b都为非零向量师：为什么呢？生：如果两个向量之一或者都为零向量的话，从后推不出前面，因为零向量的方向是任意的。师：他讲的对吗？生：全体回答对师：很好。数学这门学科需要很强的严密性，不能有半点虚假。看样子老师不是天才，你们是真正的天才。（只要经过三年的努力，你们的前途无量呀，清华北大你们一定能考上的，相信自己，加油）生：兴高采烈，（鼓掌）学生思考,踊跃参加（课堂气

11、氛融洽）教后反思 本节课的知识目标非常明确,即关于平面向量数量积的坐标表示以及用坐标法来研究向量的夹角,模以及两个向量垂直的问题。为了实现此目标,首先和同学们一起回顾了平面向量基本定理,向量运算的一些性质，还有向量的数量积的定义与它的一些重要的性质,这为数量积坐标表示的推导作好了铺垫，同时还采用了多媒体的教学手段，以向量坐标为主线。在教学中，从设计问题入手，引导学生去思考、去疑问、去探索，同时以向量为载体，通过对问题的探索，得出数量积坐标运算的猜想，然后让学生通过逻辑论证，证明猜想的正确性，进而得到结论及性质；接着，通过例题让学生运用知识点去解决例题，在解决例题的过程中通过多媒体教学手段，有目

12、的的把学生的思维引导到用数量积坐标运算结论及性质解决问题上来，在这过程中，通过师生合作讨论研究，充分让学生表述自己的观点，共同分析解答，找到解决问题的方法。并通过问题的变式延伸，并且给以适当的引导，让学生通过化归，紧紧抓住数量积的坐标这条主线将建构知识、能力、情感与价值观；并有目的的指导学生学法，创设使每个学生都能发挥逻辑、创新思维，引导式的教学方法与师生共同讨论法，能够让学生都参与到教学中来，品尝学习的乐趣。 我们都知道，三维目标中的知识、能力的教学是显性的教学，而情感态度、价值观的培养与教育是蕴涵在内、潜移默化的隐性教学。对学生的可持续发展来讲，能力、情感态度与价值观，其适用性更广，持久性

13、更长。许多知识都随着时间的推移而淡忘，更何况当今知识更新的速度极快。只要具备获取知识的能力，就可以通过许多渠道获取知识。所以，情感、态度、价值观必须有机地融入到课程教学内容中去，使其成为课程教学内容的血肉，成为教学过程的灵魂。成功之处：教学过程中采用启发引导式与讲练相结合，并借助多媒体教学手段. 在教学过程中,让学生用文字语言总结公式特征,实现数学语言与文字语言间的相互转化,这有助于学生记忆的长久性。充分体现三维目标，以老师为主导，以学生为主体，并且表扬与激励学生,肯定学生通过等价转化思想的渗透,让学生明白了事物是辨证的,培养了学生的辨证唯物主义意识.不足之处：时间的把握还不是那么恰到好处，没有做到首尾呼应，开始的那个问题没有解决，提问学生的方式还要改变，还要改进我的语言表达能力，课件制作能力，同时给学生的自主探究