第5讲不确定性多属性决策方法

1、 第五讲：第五讲：决策理论与方法决策理论与方法之：之： 多属性决策方法 不确定性多属性决策方法不确定性多属性决策方法一、区间数的基本概念一、区间数的基本概念二、区间数多属性决策的线性规划方法二、区间数多属性决策的线性规划方法三、区间数多属性决策的目标规划方法三、区间数多属性决策的目标规划方法四、区间数多属性决策的四、区间数多属性决策的TOPSIS方法方法五、三端点区间数判断矩阵的排序方法五、三端点区间数判断矩阵的排序方法六、基于模糊线性规划的多属性决策方法六、基于模糊线性规划的多属性决策方法 随着社会、经济的发展，人门所考虑问题的复条性、不确定性以及人类思维的模糊性在不断增强。在实际决 决过程

2、中，决策信息有时以区间数形式来表达。本讲将介绍区间型正理想点、区间型负理想点等概念区间数 之间比较的可能度公式以及可能度公式之间的关系，并 且分别介绍基于可能度、基于投影模型、逼近正理想点 的多属性决策方法关于多属性决策决策问题关于多属性决策决策问题例1：假期旅游，是去风光绮丽的杭州，还是去迷人的北戴河，或者是去山水甲天下的桂林。确定一个旅游目的地，或把3个目的地进行排序即为决策。其中可供选择的旅游目的地“杭州”，“北戴河”，“桂林”称为方案，或备选方案。你会根据诸如景色、费用、居住、饮食、旅途条件等一些准则去反复比较哪三个候选地点。 因素因素 目的地目的地景色景色费用费用居住居住饮食饮食旅途

3、旅途杭州杭州 北戴河北戴河 桂林桂林其中，“景色”，“费用”，“居住”，“饮食”，“旅途”称为因素，也称为属性，指标等。这种决策问题称为多属性决策(multiple attribute decision making)问题或称之为有限个方案的多目标决策 。 多属性决策是现代决策科学的一个重要组成部分，它的理论和方法在工程设计、经济、管理和军事等诸多领域中有着广泛的应用，如：投资决策、项目评估、维修服务、武器系统性能评定、工厂选址、投标招标产业部门发展排序和经济效益综合评价等多属性决策的实质是利用已有的决策信息通过一定的方式对一组(有限个)备选方案进行排序或择优它主要由两部分组成： (l) 获取

4、决策信息决策信息一般包括两个方面的内容：属性权重和属性值(属性值主要有三种形式：实数、区间数和语言)其中，属性权重的确定是多数性决策中的一个重要研究内容； (2)通过一定的方式对决策信息进行集结并对方案进行排序和择优一、区间数的基本概念一、区间数的基本概念（一）区间数定义（一）区间数定义基于可能度的多属性决策方法基于可能度的多属性决策方法（二）区间数的运算法则（二）区间数的运算法则（三）区间数大小比较（三）区间数大小比较()P abp设，则记 的次序关系为, a bpab例 设 ， ， 求 。()P ab2,3a 1,6b 解1,al 5,bl 2,La 6,Ub所以，0.33.ab()max

5、1 max(,0),0ULabbaP abll62max1 max(,0),0max1 max(,0),01 5ULabball21max1,033定义定义3 当, a b至少有一个为区间数时，且记为 的可能度。ab,ULalaa,ULblbb则称max0,max(,0)()ULababllbaP abll（5）例 设 ， ， 求 。()P ab2,3a 1,6b 解1,al 5,bl 2,La 6,Ub所以，0.33abmax0,1 5max(62,0)11 53 max0,max(,0)()ULababllbaP abll定义定义4 当, a b至少有一个为区间数时，且记()minmax(

6、,0),1ULababP abll（6）为 的可能度。ab,ULalaa,ULblbb则称定义定义5 当, a b至少有一个为区间数时，且记min,max(,0)()ULababllabP abll（7）为 的可能度。ab,ULalaa,ULblbb则称可以证明，以上几个定义是等价的。可以证明，以上几个定义是等价的。例 设 ， ， 求 。()P ab2,3a 1,6b 解1,al 5,bl 3,Ua1,Lb min,max(,0)()ULababllabP abllmin1 5,max(3 1,0)11 53所以，0.33ab根据上述几种定义，可以证明下列结论均成立。定理定理1 设 ， ，则,

7、LUaaa,LUbbb0()1P ab（1）（2）()1P ab当且仅当ULba（3）()0P ab当且仅当ULab（4）（互补性）()()1P abP ba特别地，()1/2.P aa（5）()1/2P ab当且仅当.ULULaabb特别地，()1/2P ab.ULULaabb（6）（传递性）对于3 个区间数 若, , ,a b c当且仅当()1/2P bc()1/2P ab且则()1/2P ac 定义定义6 设摸糊判断矩阵 ，若有 则称矩阵B是模糊互补判断矩阵()ijn nBb1,0.5,ijjiiibbb例0.50.40.60.20.60.50.30.80.40.70.50.10.80.

8、20.90.5B为模糊互补判断矩阵。定理定理 2 设模糊互补判断矩阵 对矩阵B(),ijn nBb按行求和得1niijjbb1,2,in则可依据 的序关系对区间ib(1,2, )in,LUiiiaaa(1,2, )in进行排序。1( )0.1888,0.1972,z w 2( )0.2068,0.2198,zw 3( )0.1988,0.2070,z w 4( )0.1874,0.1970,zw 5( )0.1874,0.1962.z w 例例 比较下列比较下列5个区间大小个区间大小解：由可能度矩阵()minmax(,0),1ULababP abll0.5000.54440.569810.50

9、.99061110.00940.5110.4556000.50.52170.4302000.47830.5P对于矩阵P按行求和：51iijjpp1,2,5i 0.5000.54440.569810.50.99061110.00940.5110.4556000.50.52170.4302000.47830.5P11.6142,p 2,4.4906p 3,3.5094p 4,1.4773p 51.4085.p 231450.990610.54440.5217( )( )( )( )( )z wz wz wz wz w由11.6142,p 2,4.4906p 3,3.5094p 4,1.4773p

10、51.4085.p 得到: 区间数决策方法决策方法步骤步骤1 对于某一多属性决策问题，属性的权重完全确知(即为实数)。对于方案 ，按属性 进行测度，得到 关于 的属性值 ( 这里 )从而构成 决策矩阵 最常见的属性类型为效益型和成 本型设 分别表示效益型、成本型的下标集为 了消除不同物理量纲量纲对决策结果的影响，可用下列公 式将决策矩阵 转化为规范化矩阵 ，其中ixjuixjuija ,LUijijijaaa()ijn nAa12,I IA( )ijn nRr,.LUijijijrrr2121/()/()nLLUijijijinUULijijijiraaraa11,2, ,in jI2121(

11、1/)/(1/)(1/)/(1/)nLULijijijinULUijijijiraaraa21,2, ,in jI 注：注：属性一般有效益型、成本型、固定型、偏离型、效益型、成本型、固定型、偏离型、区间型、偏离区间型区间型、偏离区间型等，其中效益型属性是指属性值越大越好的属性，成本型属性是指属性值越小越好的属性，固定型属性是指属性值越接近某个固定值 越好的属性，偏离型属性是指属性值越偏离某个固定值 越好的属性区间型属性是指属性值越接近某个固定区间 (包括落入该区间)越好 的属性，偏离区间型属性是指属性值越偏离某个固定区间 越好的属性。 为了消除不同物理量纲对决策结果的 影响，决策时可按 下列公

12、式对决策矩阵A进行规范化处理：ij12,jjqq12,jjqqmaxijijijiaraiN若属性值为效益型，则令：或：minmaxminijijiijijijiiaaraaiNiN若属性值为成本型，则令：或：maxmaxminijijiijijijiiaaraaiNminijiijijara1max |ijjijijjiara iN若属性值为固定型，则令：min |max |min |ijjiijijjijjijjiiaraaaiN若属性值为偏离型，则令：12121212max(,)1,max(min,max)1,jjijijjjijjjijijijiijjijqa aqaq qqaaqra

13、q qiN若属性值为区间型，则令：12121212max(,),max(min,max)0,jjijijjjijjjijijijiijjijqa aqaq qqaaqraq qiN若属性值为偏离区间型，则令：步骤步骤2 利用WAA (weighted averaging operator)算子对各方案 的属性值 进行集结求得其综合属性值ix(1,2, )in( )iz(1,2, )in1( )mij ijjzr步骤步骤3 ： 利用区间数比较的可能度公式(4.2)，算出各方 案综合属性值 之间的可能度 并建立可能度矩阵( )iz(1,2, )in( ( )( )ijijpp zz( ,1,2,

14、),i jn()ijn nPp步骤步骤4： 利用公式1,2,in并按 大小对方案进行排序，即得最优方案。1niijjppip(1,2, )in 实例分析实例分析 例例 考虑一个大学的学院评估问题，选择教学 ， 科研 和服务 这3个属性作为评估指标设有5个学院 (方案) 将被评估，并假定属性的权重向 量为 决策者以区间数这种不确定形 式给出了各方案的属性值，其规范化决策矩阵如表所示1u2u3uix(1,2,3,4,5)i (0.4,0.4,0.2)w 表： 规范化决策矩阵1x2x3x4x5x1u2u3u0.181,0.1900.214,0.2200.206,0.2250.195,0.2040.1

15、75,0.1840.166,0.1780.220,0.2290.192,0.1980.195,0.2050.193,0.2010.182,0.1910.184,0.1900.220,0.2310.185,0.1950.201,0.211利用公式31( )ij ijjz ww r可求出学院ix(1,2,3,4,5)i 的综合属性值分别为区间数：1( )0.1888,0.1972,z w 2( )0.2068,0.2198,zw 3( )0.1988,0.2070,z w 4( )0.1874,0.1970,zw 为了对各方案进行排序，先求出 ，两两比较的可能度矩阵：( )iz w(1,2,3,4

16、,5)i 5( )0.1874,0.1962.z w 0.5000.54440.569810.50.99061110.00940.5110.4556000.50.52170.4302000.47830.5P对于矩阵P按行求和：51iijjpp1,2,5i 0.5000.54440.569810.50.99061110.00940.5110.4556000.50.52170.4302000.47830.5P11.6142,p 2,4.4906p 3,3.5094p 4,1.4773p 51.4085.p 231450.990610.54440.5217( )( )( )( )( )z wz wz

17、 wz wz w若用符号 表示方案之间具有可能度的优序关系，则相应的5个学院 的排序为pix(1,2,3,4,5)i 231450.990610.54440.5217xxxxx从而学院 综合评估结果最好。2x由11.6142,p 2,4.4906p 3,3.5094p 4,1.4773p 51.4085.p 得到二、区间数多属性决策的线性规划方法二、区间数多属性决策的线性规划方法三、区间数多属性决策的目标规划方法三、区间数多属性决策的目标规划方法v 理想点（理想点（TopsisTopsis）法）法v理想点法又称为理想点法又称为TOPSISTOPSIS（Technique for Order P

18、reference by Similarity to Ideal Solution）法。）法。v这种方法通过构造多属性问题的理想解和负理想解，并以靠这种方法通过构造多属性问题的理想解和负理想解，并以靠近理想解和远离理想解两个基准作为评价各可行方案的依据。近理想解和远离理想解两个基准作为评价各可行方案的依据。理想解法又成为双基点法。理想解法又成为双基点法。v理想解：设想各指标属性都达到最满意的解。理想解：设想各指标属性都达到最满意的解。v负理想解：设想指标属性都达到最不满意的解。负理想解：设想指标属性都达到最不满意的解。四、区间数多属性决策的四、区间数多属性决策的TOPSISTOPSIS方法方法

19、 其基本思想是：基于归一化后的原始数据矩阵，找出有限方案中的最优方案和最劣方案（分别用最优向量和最劣向量表示），然后分别计算各评价对象与最优方案和最劣方案间的距离，获得各评价对象与最优方案的相对接近程度，以此作为评价优劣的依据。基本步骤：基本步骤：设有n个评价对象，m个评价指标，原有数据形式为：评价对象评价对象指标指标1 1指标指标2 2指标指标m m1 1x x1111x x1212x x1m1m2 2x x2121x x2222x x2m2mn nx xn1n1x xn2n2x xnmnm1.1.指标属性趋同化处理指标属性趋同化处理 可将低优指标和中性指标全转化为高优指标 xij，方法是：

20、中性指标低优指标高优指标MxMMxxxijijijij1并适当调整（扩大或缩小一定比例）转换数据2.2.趋同化数据的归一化趋同化数据的归一化）原低优指标或中性指标原高优指标）()()(1212niijijniijijijxxxxZ由此得到归一化处理后的矩阵ZnmnnmmzzzzzzzzzZ.2122221112113.3.确定最优方案和最劣方案确定最优方案和最劣方案最优方案Z+由Z中每列中的最大值构成：Z+=(maxZi1,maxZi2,maxZim)最劣方案Z-由Z中每列中的最小值构成：Z+=(minZi1,minZi2,minZim)4.计算每一个评价对象与Z+和Z-的距离D+i和D-i

21、miijijimiijijiZZDZZD1212)(min)(max5.计算各评价对象与最优方案的接近程度Ci表明评价对象越优。, 1, 10iiiiiiCCDDDC6.按Ci大小排序，给出评价结果例例2 21 1- -4 4 例例 某防疫站拟对当地19972001年公共场所卫生监督工作质量进行评价，选择的评价指标包含监督率%（x1）、体检率%（x2）、培训率%（x3）原始数据如下：19972001年公共场所卫生监督工作质量年份年份监督率监督率% % （x1x1）体检率体检率% %（x2x2）培训率培训率% %（x3x3）1997199795.095.095.395.395.095.01998

22、1998100.0100.090.090.090.290.21999199997.497.497.597.594.694.62000200098.498.498.298.290.390.320012001100.0100.097.497.492.592.5对5年的公共场所卫生监督质量进行综合评价。1.归一化处理转换指标值的Z矩阵年份年份监督率监督率% % （x1x1）体检率体检率% %（x2x2）培训率培训率% %（x3x3）199719970.43270.44520.44520.45910.4591199819980.45550.45550.42050.42050.43590.4359199

23、919990.44370.44370.45550.45550.45720.4572200020000.44820.44820.45880.45880.43640.4364200120010.45550.45550.45500.45500.44700.44704327. 00 .1004 .984 .970 .1000 .950 .952222211512ZxxZiijijij如：归一化处理原始数据：2.计算Z+、Z-Z Z+ + = =（ 0.45550.4555，0.45880.4588，0.4591 0.4591 ）Z Z- - = =（ 0.43270.4327，0.42050.4205

24、，0.4359 0.4359 ）3.3.计算距离计算距离D D+ +和和D D- -.04132. 04364. 04395. 04588. 04205. 04482. 04327. 002385. 04364. 04591. 04588. 04588. 04482. 04555. 0200022242224余类推）（）（）（）（）（）（年度：例如DD 4. D表和排序余类推年例如.56146. 003393. 002650. 003393. 019971111DDDC年份年份D D+ +D D- -C Ci i排序结果排序结果199719970.026500.026500.033930.033930.561460.561464 4199819980.044780.044780.022780.022780.337120