第7章 非正弦周期电路-2014

1、第第7 7章章 非正弦周期电路非正弦周期电路 非正弦周期电路非正弦周期电路第七章第七章 第第7 7章章 非正弦周期电路非正弦周期电路本章内容本章内容教学导航教学导航7.1 非正弦周期信号的基本概念非正弦周期信号的基本概念7.2 非正弦周期信号的分解非正弦周期信号的分解7.3 有效值、平均值和平均功率有效值、平均值和平均功率7.4 非正弦周期电路的分析非正弦周期电路的分析*7.5 滤波器滤波器【仿真训练【仿真训练】【技能训练【技能训练】本章小结本章小结 第第7 7章章 非正弦周期电路非正弦周期电路【教学导航【教学导航】【教学目标【教学目标】了解非正弦周期信号的产生，理解不同频率的正弦量叠加了解非

2、正弦周期信号的产生，理解不同频率的正弦量叠加 的结果为非正弦量；的结果为非正弦量；深刻领会傅里叶分解的基本概念，懂得任一非正弦周期函深刻领会傅里叶分解的基本概念，懂得任一非正弦周期函数可以分解一系列频率成整数倍的正弦量的叠加；数可以分解一系列频率成整数倍的正弦量的叠加；了解频谱图的概念，掌握非正弦周期信号波形的平滑性与了解频谱图的概念，掌握非正弦周期信号波形的平滑性与高次谐波分量的幅度之间的关系；高次谐波分量的幅度之间的关系；了解几种典型的非正弦波所含有的谐波分量，了解波形的了解几种典型的非正弦波所含有的谐波分量，了解波形的对称性与特点；对称性与特点；学会非正弦周期信号的有效值、平均值和平均功

3、率的计算学会非正弦周期信号的有效值、平均值和平均功率的计算方法；方法；掌握非正弦周期电路的分析方法，懂得常用的几种滤波器掌握非正弦周期电路的分析方法，懂得常用的几种滤波器的概念与功能。的概念与功能。第第7 7章章 非正弦周期电路非正弦周期电路【教学重点【教学重点】非正弦周期信号分解为傅里叶级数的概念；非正弦周期信号分解为傅里叶级数的概念；非正弦波的平滑性与高次谐波分量的幅度之间的关系；非正弦波的平滑性与高次谐波分量的幅度之间的关系；非正弦周期信号的有效值、平均值和平均功率的计算方法；非正弦周期信号的有效值、平均值和平均功率的计算方法；非正弦周期电路的分析方法，常见滤波器的功能。非正弦周期电路的

4、分析方法，常见滤波器的功能。【教学难点【教学难点】非正弦波的傅里叶级数分解；非正弦波的傅里叶级数分解；非正弦周期信号的有效值、平均值和平均功率的计算；非正弦周期信号的有效值、平均值和平均功率的计算；非正弦周期电路的分析计算。非正弦周期电路的分析计算。【参考学时】【参考学时】8学时学时第第7 7章章 非正弦周期电路非正弦周期电路1、非正弦周期电路的产生： 实际中常见到非正弦周期的产生可分两类：（1 1）激励为非正弦周期电压或电流的电路。如：数字电 子电路、控制电路、计算机电路和发电机发出电压等。（2 2）激励为多频率信号电路。如：收音机的接收电路等。7.1 非正弦周期信号的基本概念非正弦周期信号

5、的基本概念第第7 7章章 非正弦周期电路非正弦周期电路举例一：举例一：非线性电路产生的非正弦信号（半波整流电路及波形 ）第第7 7章章 非正弦周期电路非正弦周期电路举例二：举例二：二个不同频率正弦波叠加产生非正弦周期信号频率 f1 正弦信号（蓝）频率 f2正弦信号（绿）频率 f1 与 f2 叠加后的所得的非正弦信号（红）第第7 7章章 非正弦周期电路非正弦周期电路2、几种常见的非正弦电压波形 （a）矩形波 （b）锯齿波 （c）三角波 第第7 7章章 非正弦周期电路非正弦周期电路3、非正弦周期电路的分析方法： 在线性电路中非正弦周期信号激励下的电路响应分析，其分析方法可分为两步： （1）将非正弦

6、周期信号展开为傅氏级数（谐波分析）； （2）利用线性电路的叠加性求响应。第第7 7章章 非正弦周期电路非正弦周期电路 kTtftf,k21)sincos()(10tkbtkaatfkkk 其中a0、ak、bk为傅立叶级数的系数，它们的计算公式如下：7.2.1 非正弦周期信号的傅里叶分解非正弦周期信号的傅里叶分解任一周期函数，若满足狄里赫利条件，都可以展开为一个收敛级数。形式为：7.2 非正弦信号的分解非正弦信号的分解第第7 7章章 非正弦周期电路非正弦周期电路20021( )cosd( )cosd()Tkaf tk ttf tk ttT20021( )sind( )sind()Tkbf tk

7、t tf tk ttT,2,1k220002111( ) d( ) d( ) d()2TTTaf ttf ttf ttTT第第7 7章章 非正弦周期电路非正弦周期电路以上各量关系可用一直角三角形的边角关系表示，如图示。 00aA 22mkkkbaAkkkabtg1kkkAasinmkkkAbcosm)sin()(1m0kkktkAAtf其中：而kakkb22kkba 第第7 7章章 非正弦周期电路非正弦周期电路)sin(1mkkktkA)sin(11mtA2k)sin(mkktkA：高次谐波高次谐波)sin(2m2tA)sin(3m3tA名词介绍名词介绍：A0： 直流分量： 基波角频率基波角频

8、率： 谐波谐波k=1时称： 一次谐波（基波）一次谐波（基波）k=2,3,时称分别为二次、三次、二次、三次、谐波谐波谐波分析谐波分析：把一个周期函数展开或分解为具有一系列谐波的傅里叶级数称为谐波分析。方法有： 计算法； 查表法。第第7 7章章 非正弦周期电路非正弦周期电路7.2.2 非正弦周期信号的频谱图非正弦周期信号的频谱图频谱图：用来直观地表示非正弦信号中的各次正弦波形频谱图：用来直观地表示非正弦信号中的各次正弦波形分量的大小或相位。常见的有振幅频谱图和相位频谱图。分量的大小或相位。常见的有振幅频谱图和相位频谱图。（1）振幅频谱。是用来表示各谐波分量的振幅与频率之）振幅频谱。是用来表示各谐波

9、分量的振幅与频率之间关系的图形。它是用长度与各次谐波振幅大小相对应的线间关系的图形。它是用长度与各次谐波振幅大小相对应的线段，按频率的高低顺序把它们依次排列起来所得到的图形；段，按频率的高低顺序把它们依次排列起来所得到的图形；（2）相位频谱。是用来表示各谐波分量的初相位与频率）相位频谱。是用来表示各谐波分量的初相位与频率之间关系的图形。它是把各次谐波的初相角用相应线段按频之间关系的图形。它是把各次谐波的初相角用相应线段按频率的高低顺序把它们依次排列起来的频谱。率的高低顺序把它们依次排列起来的频谱。由于各谐波的角频率是的整数倍，所以这种频谱是离散由于各谐波的角频率是的整数倍，所以这种频谱是离散的

10、，又称为线频谱的，又称为线频谱第第7 7章章 非正弦周期电路非正弦周期电路例例7.1 给定一个周期性信号 f(t)，其波形如图7.3所示，是一个周期性的矩形波。求此信号f(t)的傅里叶级数的展开式，并作出相应的频谱图 。 解解 图示周期函数f(t)在一个周期内的表达式为 mm( ),02( ),2Tf tUtTf tUtT 第第7 7章章 非正弦周期电路非正弦周期电路20mm002111( )()0TTTTaf t dtU dtUdtTTT（a0：为恒定分量，该 f(t)在一个周期内的平均值为零。） 2k01( )cosd()af tk tt2m01cosd()cosd()Uk ttUk tt

11、mm02cosd()0Uk tt)sincos()(10tkbtkaatfkkk傅里叶级数的展开式为：其中：第第7 7章章 非正弦周期电路非正弦周期电路2k01( )sind()bf tk tt2mm01sind()sind()Uk ttUk ttm02sind()Uk ttm021cosUk tkm2(1cos )Ukk第第7 7章章 非正弦周期电路非正弦周期电路当k为奇数时， cos 1k mmk24(2)UUbkk当k为偶数时， cos 1k k0b 由此可求得周期性矩形波的傅里叶级数表达式为 ：m411( )sinsin3sin535Uf tttt第第7 7章章 非正弦周期电路非正弦周

12、期电路根据以上矩形波的傅里叶级展开式中各次谐波的相应参数，绘出的振幅频谱图和相位频谱图如下： 矩形波振幅频谱图 矩形波相位频谱图 第第7 7章章 非正弦周期电路非正弦周期电路7.2.2 几种典型的非正正弦周期信号几种典型的非正正弦周期信号1、正弦波、正弦波m( )sinf tAtm2Am2A(1)函数的波形(2)傅里叶级数(3)有效值(4)整流平均值一、典型周期函数波形的傅里叶级数一、典型周期函数波形的傅里叶级数第第7 7章章 非正弦周期电路非正弦周期电路2、半波整流波、半波整流波(1)函数的波形(2)傅里叶级数(3)有效值(4)整流平均值m2AmAm21( )(cos24f tAt11cos

13、2cos41335tt1cos6)57t第第7 7章章 非正弦周期电路非正弦周期电路3、全波整流波、全波整流波(1)函数的波形(2)傅里叶级数(3)有效值(4)整流平均值m2Am2A)6cos7514cos5312cos31121(4)(mtttAtf第第7 7章章 非正弦周期电路非正弦周期电路4、锯齿波、锯齿波(1)函数的波形(2)傅里叶级数(3)有效值(4)整流平均值m3Am2Am11( )(sin2f tAt11sin2sin3)23tt第第7 7章章 非正弦周期电路非正弦周期电路5、三角波、三角波(1)函数的波形(2)傅里叶级数(3)有效值(4)整流平均值m281( )(sinsin3

14、9fAttt1221( 1)sin5sin)25ktk tk（k为奇数） m3Am2A第第7 7章章 非正弦周期电路非正弦周期电路6、矩形波、矩形波(1)函数的波形(2)傅里叶级数(3)有效值(4)整流平均值mAm41( )(sinsin33Af ttt11sin5sin)5tk tk（k为奇数） mA第第7 7章章 非正弦周期电路非正弦周期电路7、梯形波、梯形波(1)函数的波形(2)傅里叶级数(3)有效值(4)整流平均值m00000241( )sinsinsin3sin3911sin5sin5sinsin)25Af ttttttttk tk tk0413t0m(1)tA（k为奇数） 第第7

15、7章章 非正弦周期电路非正弦周期电路0,mmkkAkAk因为级数收敛，所以波形的平滑性与高次谐波振幅的关系：波形越平滑，高次谐波的振幅越小；波形越跳变，高次谐波的振幅越大。工程上根据精度要求，取有限项进行计算，一般取35 项。A0为f(t)在一个周期T内的平均值，所以在一个周期内正面积=负面积时，A0=0，反之A00 。高次谐波的振幅及直流分量：高次谐波的振幅及直流分量： 2直流分量1振幅第第7 7章章 非正弦周期电路非正弦周期电路)()(tftf0)(dcos)(2ttktfak, 0kb1 1偶函数偶函数纵轴对称纵轴对称 ，即波形对称于纵轴，则傅氏级数中只含直流分量和余弦项。（含a0)偶函

16、数时二、波形的对称性二、波形的对称性（函数的对称性与系数函数的对称性与系数a0、ak、bk的关系的关系）第第7 7章章 非正弦周期电路非正弦周期电路, 00kaa0)(dsin)(2ttktfbk)()(tftf2 2奇函数奇函数原点对称原点对称 ，波形对称于原点，则傅氏级数中只含正弦项。0Fm-t)( tfFm奇函数时第第7 7章章 非正弦周期电路非正弦周期电路)2()(Ttftf3偶谐波函数偶谐波函数 镜像对称两个相差半个周期的函数值大小相等，符号相同， 偶谐波函数的傅里叶级数中只含直流分量和各偶次谐波分量，故称偶谐波函数。 0kk2,4,6,( )(cossin)kf taak tbk

17、t第第7 7章章 非正弦周期电路非正弦周期电路)2()(tftf, 06420aaaa4奇谐波函数奇谐波函数横轴对称横轴对称 时，将f(t)波形移动半个周期后，与原波形 对称于横轴。则傅氏级数中无直流分量和偶次谐波分量，只含奇次谐波分量。kk1,3,5,( )(cossin)kf tak tbk t第第7 7章章 非正弦周期电路非正弦周期电路01-1t)( tfttf)(t)( tf00kaa例例7-27-2 求图示正弦周期函数的傅里叶级数 。解：为奇函数，)( tf的表达式为：第第7 7章章 非正弦周期电路非正弦周期电路（其中k 为奇数时为+，偶数时为） kkkkktkttkkttktbk2

18、cossin)(2cossin11)(dsin1222)4sin413sin312sin21(sin2)(tttttf第第7 7章章 非正弦周期电路非正弦周期电路TdtiTI021221012m02)sin(iiItkIIikkk2222120kiiiI7.3 7.3 有效值、平均值和平均功率有效值、平均值和平均功率7.3.1 7.3.1 有效值有效值：定义：分析：i2 结果分三部分： kiIiIiI02010222 qkiiiii i2223221qk 第第7 7章章 非正弦周期电路非正弦周期电路20020d1ItITT2202md)(sin1kkTkIttkIT0d)sin(210m0tt

19、kIITkTk0d)sin()sin(21m0mttqtkIITqkqTkqk 对于对于对于（由三角函数的正交性可得）第第7 7章章 非正弦周期电路非正弦周期电路222120IIII222120UUUU结论：同理有即：非正弦周期电流或电压的有效值，等于直流分量和各次谐波分量电流或电压有效值平方和的平方根。 第第7 7章章 非正弦周期电路非正弦周期电路7.3.2 平均值平均值定义 ：av01TIi dtT即：非正弦周期电流的平均值等于此电流绝对值的平均值 正弦量的平均值为 avm02m01sin2sinTTIItdtTItdtTmm2022cosTIItTm0.6370898II第第7 7章章

20、非正弦周期电路非正弦周期电路 另外，根据正弦电流平均值的定义，它相当于正弦电流经全波整流后的平均值。 对于同一非正弦周期电流，当我们用不同类型的仪表进行测量时，会得到不同的结果： 例如：用直流仪表测量，所测结果是直流分量； 用电磁系或电动系仪表测量，所测结果为有效值； 用全波整流磁电系仪表测量时，所得结果将是电流的平均值。 第第7 7章章 非正弦周期电路非正弦周期电路TpdtTP01iup2101m0)cos(uuUtkUUukukk同上可得：2101m0)cos(iiItkIIikikkkkkkIUPPPIUUIPcoscos1010111007.3.3 平均功率平均功率定义：平均功率P，是

21、瞬时功率在一个周期内取平均值，即 第第7 7章章 非正弦周期电路非正弦周期电路A2cos07. 7cos14.145ttiRIRIIIRIRIRIP2222120222120)(A1505105)207. 7()214. 4(5222222IW75051502RIP例例7-37-3 流过5电阻的电流为，计算电阻的平均功率。解：第第7 7章章 非正弦周期电路非正弦周期电路10KkPPPRIP2注：注：（1）多次谐波的有功功率之和为非正弦电路的总的平均功率，即：（2）非正弦周期电流流过电阻时。第第7 7章章 非正弦周期电路非正弦周期电路归纳：归纳： 1.1.电工技术中常见到的非正弦周期信号函数均能

22、分解为傅立叶级数，它们是一系列不同频率的正弦信号的和。求得傅立叶级数的方法一是查表法，二是计算法(先用公式计算出傅氏级数的系数后，再写出该级数）。 2.2.非正弦周期函数分解为傅立叶级数时，利用波形的对称性可使计算简化。 3.3.在非正弦周期电流电路的分析中常用到有效值和平均功率。第第7 7章章 非正弦周期电路非正弦周期电路教学目的：教学目的： 1.1.熟练掌握非正弦周期电流电路的计算方法。 2.2.理解滤波器的工作原理。 教学内容概述：教学内容概述： 本讲介绍了非正弦周期电流电路的计算方法和滤波器的 工作原理。教学重点和难点：教学重点和难点： 重点：非正弦周期电流电路的计算方法。 难点：含串

23、联谐振和并联谐振的非正弦周期电流电路的 计算。7.4 7.4 非正弦周期电路的分析非正弦周期电路的分析第第7 7章章 非正弦周期电路非正弦周期电路LXLCXC1计算原则：各次谐波分开计算，按时域内对各次谐波计算结果进行叠加。计算步骤计算步骤：1处理信号-非正弦分解为傅里叶级数。2分别计算-直流分量与各次谐波分别单独计算。3最后叠加-将步骤2各结果的瞬时值进行叠加。注意事项注意事项：（1）电路的阻抗与频率有关。如：7.4.1非正弦周期电路的分析方法非正弦周期电路的分析方法基波时7.4 7.4 非正弦周期电路的分析非正弦周期电路的分析第第7 7章章 非正弦周期电路非正弦周期电路21IIIkfZZk

24、k即各次谐波下，电路的阻抗需要重新进行计算。（2）对于直流分量，计算时，C开路，L短接。（3）对某次谐波来说，可用求解交流电路的方法求。即可 用复数计算，也可画相量图。但没有一个总的相量图。（4）叠加时，用瞬时值式子叠加。而（5）有效值用公式求。LkXLkCkXCk1k次谐波时第第7 7章章 非正弦周期电路非正弦周期电路51R102R例例7-2 7-2 电路如图所示，已知非正弦电源电压为 求：（1）各支路电流的表达式；（2）电源发出的平均功率；（3）R1支路吸收的平均功率。( )10141.4sin70.7sin(330Vu tttL2 XLC115XC第第7 7章章 非正弦周期电路非正弦周期

25、电路 解：（1）直流分量单独作用：V10)0(U0)0(2IA21) 0() 0( 1RUIA2) 0( 2) 0( 1) 0(IIIL短路，C开路。第第7 7章章 非正弦周期电路非正弦周期电路Vsin1002)()1(ttuV01000)1(U2 jjj) 1 (LXL15j1jj)1 (CXC（2）基波分量单独作用下：(1)1(1)1(1)100 0Aj5j2LUIRX 100 0A18.621.8 A5.38 21.8 (1)2(1)2C(1)100 0j10j15UIRX 100 0A5.55 56.3 A18.0356.3 第第7 7章章 非正弦周期电路非正弦周期电路(1)1(1)2

26、(1)(18.621.85.55 56.3 )AIII(17.3j6.913.08j4.62)A(20.38j2.29)A20.56.41 A （3）三次谐波分量单独作用： 370.7sin(330 )Vut370.730 V50 30 V2U 第第7 7章章 非正弦周期电路非正弦周期电路L(3)L(1)36XXC(3)C(1)153XX31(3)1L(3)50 30A6.420.19 Aj5j6UIRX(3)2(3)2C(3)50 30A 4.47 56.57 Aj10 j5UIRX (3)1(3)2(3)8.62 10.17 AIII 第第7 7章章 非正弦周期电路非正弦周期电路（4）直流

27、与各谐波分量的瞬时值叠加：（5）电源发出的平均功率：12218.6sin(21.8 )it2 6.4sin(320.19 )t22 5.55sin(56.3 )it2 4.47sin(356.57 )t22 20.5sin(6.41 )it2 8.62sin(310.17 )tP= U（0）I（0）+U（1）I（1）cos1+U（3）I（3）cos3 =102+10020.5cos6.41+508.62cos(30-10.17)W =2443 W第第7 7章章 非正弦周期电路非正弦周期电路11(0) 1(0)1(1) 1(1)11(3) 1(3)3coscosPUIUIUI（6）R1支路吸收的

28、平均功率：2 1018.6 100cos21.86.450cos50.19=20+1727+204.8=1952 W第第7 7章章 非正弦周期电路非正弦周期电路例例7-3 图（a）所示为一全波整流器及滤波电路，滤波器由电感L=5H和电容C=10F所组成。负载电阻R=2k。设加在滤波电路上的电压波形如图（b）所示，其中Um=157V。求负载R两端电压的各谐波分量；设314rad s（a） （b） 第第7 7章章 非正弦周期电路非正弦周期电路解：解：（1） 查全波整流信号的傅里叶级数分解表，得m4111(cos2cos4)2315uUtt取到4次谐波。代入Um=157V，有 10066.7cos2

29、13.33cos4Vutt（2）对直流分量，电感作短路，电容作开路处理，故负载两端电压的直流分量为UR（0）=100 V；第第7 7章章 非正弦周期电路非正弦周期电路（3）对二次谐波和四次谐波来说，可以用图示电路来计算。1(k)jZkL（k=2，4） 2(k)1()j1jRk CZRk C（k=2，4） 第第7 7章章 非正弦周期电路非正弦周期电路所以，负载两端的k次谐波电压为 2(k)2(k)(k)1(k)2(k)ZUUZZ(k)U为表示外施 k 次谐波电压的相量。代入数据，有 2(2)15885.4Z 1(2)2(2)2983 89.8ZZ2(4)79.587.7Z 1(4)2(4)620

30、0 89.9ZZ第第7 7章章 非正弦周期电路非正弦周期电路故得负载两端谐波电压： 2(2)m15866.73.53V2983U2(4)m79.513.330.171V6200U（二次谐波的幅值） （四次谐波的幅值） 从本例电路计算结果可见：负载端电压四次谐波分量很小，仅为直流分量的0.17，可以略去不计；二次谐波分量也只有直流分量的3.53；u（t）经过该滤波电路后，高频分量受到抑制，获得较平稳的输出电压uR（t）。第第7 7章章 非正弦周期电路非正弦周期电路的特性)(fZ 1CLX,X7.4.2 滤波器简介滤波器简介让某些频率的分量通过而抑制另一些频率的分量的电路称为滤波器 。原理：原理：

31、利用电路阻抗如：。串联谐振(Z最小），并联谐振（Z最大），达到滤波的目的。1、低通滤波器、低通滤波器：利用了1CLX,X第第7 7章章 非正弦周期电路非正弦周期电路2、高通滤波器：、高通滤波器：3、带通滤波器：、带通滤波器：利用了1CLX,X的特性利用了并联谐振Z，串联谐振Z 0的特点第第7 7章章 非正弦周期电路非正弦周期电路4、带阻滤波器：、带阻滤波器：利用了并联谐振Z，串联谐振Z 0的特点第第7 7章章 非正弦周期电路非正弦周期电路【仿真训练【仿真训练】仿真训练仿真训练1：非正弦周期信号的谐波合成仿真：非正弦周期信号的谐波合成仿真举例：三角波信号合成电路的仿真 第第7 7章章 非正弦周期

32、电路非正弦周期电路傅里叶级数分解式： 01m12m2m( )sin()sin(2)sin()kku tUUtUtUk t举例：举例： 测量矩形脉冲波各次谐波频率和幅值（占空比为50%的矩形脉冲波的幅度为10V、频率为1kHz。）仿真训练仿真训练2：非正弦周期信号的傅里叶分解仿真：非正弦周期信号的傅里叶分解仿真第第7 7章章 非正弦周期电路非正弦周期电路（1）经理论分析，该矩形脉冲信号的傅里叶展开式为： m411( )sinsin3sin535Uu tttt12.73sin4.24sin32.55sin5ttt（2）用频谱分析仪测量该信号的各次谐波频率和幅值。 函数信号发生器的输出 ：脉冲方波，频率为1kHz，占空比为50%，幅度为10V，直流偏置电压为0V。 频谱分析仪测量： 第第7 7章章 非正弦周期电路非正弦周期电路测量所得的各次谐波的频率和幅度为：谐波分量的频率分别为：1kHz、3kHz、5kHz、7