Chapt二阶常微分方程级数解法本证值问题PPT课件

1、19.1 特殊函数常微分方程特殊函数常微分方程球坐标：体积元ddrdrdVsin2第九章第九章二阶常微分方程的级数解法二阶常微分方程的级数解法 本征值问题本征值问题xyzOr(r,)reee第1页/共68页2柱坐标：体积元xyzO(, , z)ze eze 第2页/共68页3（一）（一）Laplace 方程方程 （1）球坐标系分离变量解：代入（）得到第3页/共68页4 i）径向方程该方程的解为：)1()(llDrCrrREuler 方程第4页/共68页5 ii）单位球面上方程：可以进一步分离变量：极角方向极角方向：球函数方程第5页/共68页6该方程称为连带 Legendre 方程。第6页/共6

2、8页7当 m=0 时，称为 Legendre 方程：即：注意： 因 x=cos, 而 的变化范围是 0, , 所以 x 的变化范围是 -1，+1 。第7页/共68页8（2）柱坐标系试分离变量解: 代入方程(1) 得到: )()()(),(zZRzu第8页/共68页9 对 方向有本征值问题:本征值问题的解: 第9页/共68页10分三种情况:(i) 方向非齐次边界条件，z方向齐次边界条件， 仅当 有满足z方向齐次边界条件的解 记axy第10页/共68页11 对 方向:令(ii) 方向齐次边界条件，z方向非齐次边界条件，令：称为 m 阶 虚宗量 Bessel 方程。称为 m 阶 Bessel 方程。

3、0 ZZ第11页/共68页12(iii)第12页/共68页13（二）波动方程（二）波动方程称为亥姆霍兹(Helmholtz) 方程。第13页/共68页14（三）输运方程（三）输运方程),()(),(rvtTtru, 022vkv称为亥姆霍兹(Helmholtz) 方程。第14页/共68页15（四）（四）Helmholtz Helmholtz 方程方程（1）球坐标系分离变量解： i）单位球面上方程与上面的结果一样：0sin1sinsin1222YYY第15页/共68页16 ii）径向方程：称为球 Bessel 方程。令：上式化成 （l+1/2) 阶 Bessel 方程半奇数阶 Bessel 方程

4、：02122222ylxdxdyxdxydx第16页/共68页17（2）柱坐标系三维波动方程和扩散方程，经时间与空间分离变量后，空间部分满足的是 Helmholtz 方程。在柱坐标下： 令 i) 对 方向, 同样有本征值问题:第17页/共68页18本征值问题的解: ii) 对 z 方向： iii) 对 方向:0第18页/共68页19进一步令 第19页/共68页20分 离 变 量 结 果方程球坐标柱坐标:Helm-hotz方程Laplace 方程02 ummsincosmmsincos解有界 1|01dd1dd222xyxmxyxxR：mmsincosR：Z：:R：第20页/共68页219.2

5、常点邻域上的级数解法常点邻域上的级数解法标准形式：其中：p(z) 和 q(z) 为方程的系数，是已知的复变函数。初值问题：求一定区域内方程的解。第21页/共68页22边值问题：求实轴上x1,x2 区间方程的解。（一）方程的常点和奇点方程解的性质完全由 p(z) 和 q(z) 的解析性质决定。设p(z) 和 q(z) 在一定区域中，除若干个孤立奇点外，是 z 的单值解析函数。区域中的点可分为两类：常点： 若系数 p(z) 和 q(z) 都在某点z0 及其邻域内解析，则 z0 点称 为方程的常点；奇点：若系数 p(z) 和 q(z)中 只要有一个在 z0 点不解析，则 z0 点称为 方程的奇点；第

6、22页/共68页23(二) 常点邻域上的级数解微分方程解析理论的基本定理: 如果p(z)和q(z)在圆 内是单值解析的, 则方程 在这圆内有唯一的一个解w(z)满足初值条件 是任意常数, 并且w(z)在这圆内是单值解析的.0)()(22wzqdzdwzpdzwd1000)( ,)(czwczwz0R第23页/共68页24 在常点 z0 的邻域 |z-z0|R内，w(z) 是解析函数，故可展开成Taylor 级数：因此只要求出 系数 ak，方程的解即求得。第24页/共68页25系数递推公式利用系数递推公式可从 开始逐一将所有系数用 表示出来。 为两个任意常数，正是两个积分常数 第25页/共68页

7、26（三）Legendre 方程的级数解: 在 x=0 的邻域上求 Legendre 方程的解：因当 x=0, 有限，因此是方程的常点。注意：当 x=1, p(x), q(x) 为无限大，因此可设想 x=1是 Legendre 方程的奇点。第26页/共68页27在 x=0邻域 |x-0|1内，Taylor 级数为：代入 Legendre 方程：合并后：第27页/共68页28因此系数的递推关系为因此 Legendre 方程的通解可表示为： 第28页/共68页29级数的收敛半径：因为x=1是 离x=0 最近的奇点，因此级数的收敛半径 R=1。问题：在 x=1（即方向角为=0 和 =，亦即x-y 平

8、面上）端点，级数的收敛性如何？yOxy(,)第29页/共68页30事实上:注意到:y0(x) 和 y1(x) 在x=1是发散的级数（见附录四），而且不存在在x=1二点都收敛的无限级数 满足Legendre 方程 是分离变量过程中出现的任意常数，当 而 l 取某些数值时，无穷级数可退化成多项式！第30页/共68页31事实上, 由 多项式经适当处理称 Legendre多项式l=2n,（n=0,1,2）, y0(x) 最高幂次为x2n; 从x2n+2 项起，系数为零；无限级数退化成最高幂次为x2n的多项式，从而，在x=1 有限。而此时 另一个解 y1(x) 仍然是无限级数并且在x=1 发散。l=2n

9、+1, (n=0,1,2) , y1(x) 最高幂次为x2n+1; 从x2n+3项起，系数为零；无限级数退化成最高幂次为x2n+1的多项式，从而，在x=1 有限。而此时 另一个解 y0(x)仍然是无限级数并且在x=1 发散。第31页/共68页32 “自然边界”条件:(1)二阶方程的另一个特解, 可用其它方法得到(2)如果问题不包含=0 和 =，这一特解应该包括。如果要求物理问题在 =0 和 = 有限，那么分离变量过程出现的常数 l 只能取零 和正整数。“解在x=1 保持有限”这一条件使 l 只能取零 和正整数。Legendre 方程“自然边界”条件本征值问题第32页/共68页339.3 正则奇

10、点邻域上的级数解法正则奇点邻域上的级数解法（一）奇点邻域上的级数解: 系数 p(z) 和 q(z)中 只要有一个在 z0 点不解析，则 z0 点称为方程的奇点。方程的奇点则可能同时也是解的奇点. 因此，在 z0 点邻域的级数解应该是 Laurent 展开。第33页/共68页34 定理 1 若点z0 为方程（）的奇点，则在p(z)和q(z)都 解析的环形区域0|z- z0 |R内, 这方程的两个线性无关解是其中 是常数. 第34页/共68页35一般情况下, 级数的系数是无限联立的代数方程，得不到系数的递推公式；但在一定的条件下，方程的二个线性独立解的级数中没有负幂项，这样的解称为正则解。在这种情

11、况下,可得到系数递推公式.定理定理 2：方程(9.3.1)在他的奇点 z0 的邻域0|z- z0 |1, 或n2, 则第二项或第三项为最低次幂项第37页/共68页38令其系数为零, 只能有若 则最低次幂项为第一项，或加上第二、第三项。令其系数为零。（当m=1, n=2） 判定方程第38页/共68页39 （三）Bessel 方程的级数解在 x=0 的邻域上求 阶 Bessel 方程的解注意： 是任意实数。 x=0 是 p(x) 的一阶极点，q(x)的二阶极点。因此 x=0 是Bessel 方程的正则奇点。221)( ,1)(xxqxxp第39页/共68页40级数形式解：代入方程（1），得到即第4

12、0页/共68页41x0 的系数方程判定方程：（I） i) 求 , 0)(22022kkkkkkxaxaks第41页/共68页42 递推公式由于 故级数所有奇数项系数为零：第42页/共68页43得到一个无穷级数解令任意常数阶 Bessel 函数后面将详细讨论 Bessel 函数的特性。 第43页/共68页44收敛半径第44页/共68页45ii) 求 ( s=s2= -) 只要在 中 -得到另一个无限级数解 -阶 Bessel 函数第45页/共68页46收敛半径： 的收敛范围：应用中，用 和 的 线性组合构成 Bessel 方程第二个特解：一般解： 阶 Neumann 函数。一般解：第46页/共6

13、8页47（II） i） 2 =2m, 即 =m, (m=1,2,3,.)第一个解仍然是 Jm(x)。对第二个解： a)若用 自k=2m起失效! 第47页/共68页48除非当递推公式成为此时可为任意常数，继续可用递推公式算出后面的系数，将解写作：由于v(x)之递推公式同 最多相差一常数因子，即：此时令 得 第48页/共68页49b) 若在 Jm(x)中m -m第49页/共68页50亦取用结果m 阶 Neumann 函数第50页/共68页51第51页/共68页52ii) 2 =2l+1 (l=0,1,2,3,.) = l+1/2, 半奇数： l=0第52页/共68页53第53页/共68页54但 A

14、=0第54页/共68页55一般, 常数 A=0, 因此线性独立解为：半奇数 阶 Bessel 函数可用初等函数表示：klkklklkklxlkkxxlkkx2021)(2021212121212)1(!1) 1()(J2)1(!1) 1()(J第55页/共68页56可以证明公式： iii) 2 =2m=0,第56页/共68页57小结:(I) 第57页/共68页58(II) i） 2 =2m (m=1,2,3,.) ii) 2 =2l+1 (l=0,1,2,3,.) iii) 2 =2m=0,整数221ss第58页/共68页599.4 施图姆施图姆-刘维尔刘维尔(Sturm-Livouville

15、) 本征值问题本征值问题 -Sturm-Livouville 本征问题本征问题以乘上式得:-Sturm-Livouville 方程方程第59页/共68页60 Legendre 方程的本征值问题 本征函数： 本征值：第60页/共68页61 Bessel 方程的本征值问题作变换 方程成为标准Bessel 方程第61页/共68页62 i) 若k(x)0, q(x)0, 正则斯刘本征问题ii) 如果端点 x=a and/or x=b是 k(x) 的零点, 则 x=a and/or x=b 是方程 的奇点，在 x=a and/or x=b 处一定存在自然边界条件！自然边界条件0)()()(yxyxqdx

16、dyxkdxd奇异斯刘本征问题iii)周期斯刘本征问题第62页/共68页63 Sturm-Livouville 本征值问题的基本性质：（1）、如果 p(x), q(x) 连续或者至多端点为一阶极点，则存在无限个本征值：相应的本征函数为： 当本征值按上述次序排列时，则在 上相应本征函数的零点个数按从少到多的次序排列。在量子力学中，y1(x) 和1 称为基态波函数和基态本征值（一般为能量）。),.(),(),(221xyxyxy.321第63页/共68页64例：第64页/共68页65 （2）所有本征值 （3）对应于不同本征值 m, n 的本征函数 ym(x), yn(x) 带权 (x) 正交：（4）本征函数 y1(x), y2(x),. 是完备的。a, b 上平方可积的函数 f(x) 可