高等数学北大二多元函数PPT学习教案

1、会计学1高等数学北大二多元函数高等数学北大二多元函数6-1 多元函数多元函数1.多元函数的概念 引例引例: :一定质量的理想气体的压强p是其体积V及温度T的函数:.cos222abbac,( 为常数）kVTkp 的函数：及其夹角与是另外两边三角形之一边bac在这里在这里c是三个自变量的函数，而是三个自变量的函数，而p是两个自变量的函数是两个自变量的函数. cba第1页/共30页 多元函数几何解释：我们将两个自变量形成的数组，多元函数几何解释：我们将两个自变量形成的数组， 如上面的如上面的(T,V),看作是平面上的一个点，而将三个自变量看作是平面上的一个点，而将三个自变量 形成的数组，如上面的形

2、成的数组，如上面的(a,b, ),看作是空间上的一个点看作是空间上的一个点.当当 一个二元函数的两个自变量在一定的允许范围内变化一个二元函数的两个自变量在一定的允许范围内变化 时，相应的数组则对应于平面上的某一个点集合时，相应的数组则对应于平面上的某一个点集合.在这种在这种 看法下，一个二元函数实质上就是平面上某个点集合到看法下，一个二元函数实质上就是平面上某个点集合到 实实 数域数域R 的一个映射（如图）的一个映射（如图）. 同样地，一个三元函数同样地，一个三元函数实实 质上就是三维空间中某个点集合到实数质上就是三维空间中某个点集合到实数 域域R 的一个映射的一个映射. 所组成的集合：全体有

3、序的实数组),(yx.,| ),(2RyRxyxR第2页/共30页所组成的集合：全体有序的三元实数组),(zyx.,| ),(3RzRyRxzyxR.）上的全体点具有坐标的直线（数轴R相等同相等同.2点具有坐标的平面的全体R相等同相等同.3的全体点具有坐标的三维空间中R相等同相等同., 2 , 1,| ),(21njRxxxxRjnn 所组成的集合：个实数组全体有序的),(21nxxxn .),(21的一个点称作每一个实数组nnRxxx 第3页/共30页f 设有一个集合设有一个集合 , 如果对于中每一点如果对于中每一点, 按照一定的规则按照一定的规则, 都有一个唯一确定的实都有一个唯一确定的实

4、数数 与之相对应，则称是一个定义在上的与之相对应，则称是一个定义在上的n元元函数函数nDRD1,nxxu RfD定义定义记作记作),(21nxxxfu点集 D 称为函数f的定义域定义域 ;DxxxxxxfuuDfnn ),( | ),()(2121全体函数值的集合：全体函数值的集合：称为函数f的值域值域 .称作通常把),(21nxxx自变量自变量，而把而把u称作称作因变量因变量.),(21的函数是有时我们也称nxxxu第4页/共30页特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数2R),(),(Dyxyxfz当 n = 3 时, 有三元函数3R),(),(Dzyxzyxfu例1, 二元函数222

5、yxrz定义域为222),(ryxyx圆域图形为中心在原点的上半球面.xzyro多元函数的定义域及图形多元函数的定义域及图形.第5页/共30页 函数zln(xy)的定义域为 (x y)|xy0 函数zarcsin(x2y2)的定义域为 (x y)|x2y21 例2 补例补例 三元函数 )arcsin(222zyxu定义域为1),(222zyxzyx图形为4R空间中的超曲面.单位闭球说明说明: 二元函数 z = f (x, y), (x, y) D的图形一般为空间曲面 .第6页/共30页2. 中的集合到中的集合到 的映射的映射nRmR.R的一个映射中的一个集合到元函数实质上就是nRn一般化就是一

6、般化就是.Rm的映射中的一个集合到nR例例3 平面曲线的参数方程),()(),(ttytx.上的连续函数，是在与其中: R2的映射到，集合中的这实质上是1R.R :2，f但是,与函数不同，对于每一个不再是一个值，f(t), t而应是第7页/共30页应由两个坐标刻画，因此，中一个点)(.2tfR即).(),()(tttf例例4 平面上的坐标变换,cossin,sincosyxvyxu映射，一个到是映射为一固定常数其中22RR),(),(.vuyx.vu是两个二元函数与这里第8页/共30页.RD.RDmn的一个映射是又设中的一个集合为设f),(xD21nxx 中的每一个点那么，对于惟一确定的点中都

7、有在mR与之相对应，),(y21myy jy这里每一个.),(xm),1,(j21所决定的都是由nxx 是故jy的一个函数，),(x21nxx )., 1)(,(xf21jmjxxn 设它为:mfDR 1111,nmmnyfxxyfxx = = 于是，映射第9页/共30页.元函数表示nmRn个的一个映射可用有序的中的集合到因此，mR称作映射的元函数个其中第jfnj第第j个分量个分量.第10页/共30页中的点到中的点到 的的距离距离1,nP xx001,nQ xxnR,d P Q201.njjjxx定义为它满足下列条件：它满足下列条件： 1,0,d P Q 当且仅当时等号成立；当且仅当时等号成立

8、；PQ 2,;nd P Qd Q PP QR 在数轴在数轴 上上200dxxxxR在平面在平面 中中2R2200dxxyy在空间在空间 中中3R222000dxxyyzz2200dxxyy 3,;nd P Qd P Rd R QP Q RR 三角不等式三角不等式注3. 中距离、邻域及开集中距离、邻域及开集 nR第11页/共30页 回忆一维空间中点的邻域概念 利用利用 “点点” 将邻域概念推广到高维空间将邻域概念推广到高维空间 ),U( 00：邻域邻域的的点点xx | | 0 xxx ),d( | ),U(00 xxxx()0 x0 x0 x.第12页/共30页定义定义00|,.nrUPPRd

9、P Pr 2中：在 R r)()( | ),()(U 20200yyxxyxPr开圆盘开圆盘 设设 为给定的一点为给定的一点, 是给定是给定的正数的正数, 定义定义 点的点的 邻域邻域是集合是集合0nPR0Prrxy.),(P000yxor第13页/共30页 3中：在 R开球体开球体Oxyz.),(0000zyxP )()()( | ),()(U 2020200rzzyyxxzyxPr下面我们来定义开集及区域的概念第14页/共30页边界点内点外点设设 是一个给定的集合，点：是一个给定的集合，点：nPRnER(1)若存在一个正数使得则称是的若存在一个正数使得则称是的内点内点E rU PEPr(2

10、)若存在一个正数使得r ,rUPE 则称 是 的外点PE(3)既不是内点又不是外点的点E称为的边界点点点 是的是的边界点边界点对于任意的正数对于任意的正数, 点点的邻域中既有中的点又有非中的点的邻域中既有中的点又有非中的点EnPRrPr rUPEE用用 表示集合表示集合E 的全体边界点的集合的全体边界点的集合.E, (2RE ) 2RP第15页/共30页,| ),(bybaxayxR例例5 设集合R是平面 中的一个矩形的内部：2R例例5 设集合R是平面 中的一个矩形的内部：2R其中其中a0,b0是常数，则原点（是常数，则原点（0,0)是是R 的一个内点，点的一个内点，点（a,b)是边界点，是边

11、界点， 点（点（2a,2b)是一外点是一外点.更一般地说更一般地说,集合集合R内的每一点都是其内点内的每一点都是其内点,而它四条边上的每一点都是边而它四条边上的每一点都是边界点，而矩形之外界点，而矩形之外(不含边不含边)任意一点都是外点任意一点都是外点.,| ),(1bybaxayxR例例 6 设设 是带边的矩形是带边的矩形1R其中其中a0,b0是常数是常数.第16页/共30页显然，在显然，在 中中 与例与例5中中R有相同的内点、外点及边有相同的内点、外点及边界界点点. 区别于区别于R 的地方是的地方是 包含全部边界点包含全部边界点. 1R1R1R2R 根据定义很容易看出，一个集合根据定义很容

12、易看出，一个集合E 的全部内点都包含的全部内点都包含 于于E 的内部，而的内部，而 E 的全部外点都不含于的全部外点都不含于E 之中之中. 对于对于E 的的 一个边界点则有两种可能，或者包含于一个边界点则有两种可能，或者包含于E ，或者不包含，或者不包含 于于E .第17页/共30页补例补例 设平面点集.21 | ),(22yxyxE的内点；都是的一切点满足E),(2122yxyx；于的边界点，它们都不属都是一切点EE),(yx满足的满足222 yx的边界点，它们都也都是一切点E),(yx的122 yx.E属于第18页/共30页开集：开集：闭集：集合集合 的每一点都是内点的每一点都是内点EE是

13、开集是开集集合包含着它的全部边界点E中没有边界点中没有边界点E 显然，平面上不带边的任意矩形内部，不带边的任意显然，平面上不带边的任意矩形内部，不带边的任意一个圆内部都是一个圆内部都是 中的开集中的开集.2R例例6中的中的 就是就是1R一个闭集一个闭集.,| ),(2bybaxayxR在在 中这样的集合则既非开集，也非闭集中这样的集合则既非开集，也非闭集.2R是开集；（又例如，集合21 | ),E221yxyx是闭集；（集合21 | ),E222yxyx.21 | ),E223既非开集，也非闭集（集合yxyx第19页/共30页 连通集连通集：如果点集E内任何两点，都可用折线连接 起来，且该折线

14、上的点都属于E,则称E为连通集连通集. 区域（或开区域）：区域（或开区域）：连通的开集称为区域或开区域区域或开区域.RR52中一个区域是中矩形例0),( yxyx41),(22yxyx开区域xyo又例如，在 上2R,| ),(bybaxayxR例例5 设集合R是平面 中的一个矩形的内部：2R例例5 设集合R是平面 中的一个矩形的内部：2Rxyo第20页/共30页 闭区域闭区域: 设是一个区域，表示的全部边界点组成的集设是一个区域，表示的全部边界点组成的集合合, 则则 是一个闭集是一个闭集, 记为记为, 并称之为并称之为闭区域闭区域.GGGGGG.21| ),(E22221是开集，但非区域或集合

15、yxyxyx,| ),(1bybaxayxR例例 6 设设 是带边的矩形是带边的矩形1R.RR621中一个闭区域是中的带边矩形例 集合R= 1),(xyx但非区域 .是开集，是否是区域？11oxy第21页/共30页0),( yxyx41),(22yxyx闭区域xyo又例如，在 上2Rxyo第22页/共30页 对于集合对于集合 , 如果存在一个正数如果存在一个正数, 使得包含使得包含于以原点为心，以为半径的球内于以原点为心，以为半径的球内, 则称为则称为有界集合有界集合；如果不存在这样的正数，则称为如果不存在这样的正数，则称为无界集合无界集合nEREEE中的带形区域例如2R10| ),(yyxS

16、及相应的闭区域10| ),(yyxS都是无界的.第23页/共30页点的邻域点的邻域),(0 PU |0PPP .)()(| ),(2020 yyxxyx0P EP 例平面点集 连通的连通的小结小结第24页/共30页连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo开开区区域域连连同同它它的的边边界界一一起起称称为为闭闭区区域域.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo第25页/共30页222222yxazyxaz和 zaxbyc二元函数的图形 点集(x y z)|zf(x y) (x y)D称为二元函数zf(x y)的图形 二元函数的图形是一张曲面 zaxbyc表示一张平面 例 方程x2y2z2a2确定两个二元函数分别表示上