D格林公式白底学习教案

1、会计学1D格林公式格林公式(gngsh)白底白底第一页，共30页。1) 若D 既是 X - 型区域(qy) , 又是 Y - 型区域(qy) , 且则CBEyyxQd ),(CAEyyxQd ),(CBEyyxQd ),(EACyyxQd ),(dcyxoECBAbaD第1页/共30页第二页，共30页。即yxxQDdd同理可证、两式相加得:第2页/共30页第三页，共30页。yxoL2) 若D不满足(mnz)以上条件,则可通过(tnggu)加辅助线将其分割1DnD2D为有限个上述(shngsh)形式的区域 , 如图证毕第3页/共30页第四页，共30页。格林公式格林公式(gngsh)例如例如(lr

2、), 椭圆椭圆所围面积第4页/共30页第五页，共30页。设 L 是一条(y tio)分段光滑的闭曲线, 证明证证: 令则利用(lyng)格林公式 , 得第5页/共30页第六页，共30页。其中(qzhng)D 是以 O(0,0) , A(1,1) , B(0,1) 为顶点(dngdin)的三角形闭域 . 解解: 令, 则利用格林公式 , 有xy oyx) 1 , 1 (A) 1 , 0(BD第6页/共30页第七页，共30页。其中L为一无重点(zhngdin)且不过原点的分段光滑(gung hu)正向闭曲线.解解: 令设 L 所围区域为D,由格林公式知yxoL第7页/共30页第八页，共30页。在D

3、 内作圆周(yunzhu)取逆时针方向(fngxing), 对区域(qy)1D应用格1Dloyx记 L 和 l 所围的区域为林公式 , 得第8页/共30页第九页，共30页。定理定理(dngl)2. 设设D 是单连通域是单连通域 ,在D 内具有(jyu)一阶连续偏导数,(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分(3)(4) 在 D 内每一点都有与路径无关, 只与起止点有关. 函数则以下四个条件等价:在 D 内是某一函数的全微分,即 第9页/共30页第十页，共30页。说明说明(shumng): 积分与路径无关时积分与路径无关时, 曲线积分可记为曲线积

4、分可记为 设0AB1L2L为D 内任意两条由A 到B 的有向分段(fn dun)光滑曲线,则(根据条件(1)AByQxPdd第10页/共30页第十一页，共30页。在D内取定点(dn din)因曲线(qxin)积分则同理可证因此有和任一点B( x, y ),与路径无关,),(yxxC),(yxB),(00yxA有函数 第11页/共30页第十二页，共30页。设存在(cnzi)函数 u ( x , y ) 使得则P, Q 在 D 内具有连续(linx)的偏导数,从而在D内每一点都有第12页/共30页第十三页，共30页。设L为D中任一分段(fn dun)光滑闭曲线,(如图) ,利用(lyng)格林公式

5、 , 得DDL0所围区域为证毕第13页/共30页第十四页，共30页。yx根据(gnj)定理2 , 若在某区域内则2) 求曲线积分时, 可利用格林公式(gngsh)简化计算,3) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数:及动点或0y0 x则原函数为若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;取定点1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;第14页/共30页第十五页，共30页。yA xoL其中(qzhng)L 为上半从 O (0, 0) 到 A (4, 0).解解: 为了使用格林公式为了使用格林公式(gngsh), 添加辅助添加辅助线段线段它与L 所围原式圆周区域为D ,

6、 则第15页/共30页第十六页，共30页。是某个(mu )函数的全微分, 并求出这个(zh ge)函数. 证证: 设则由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使。)0 , 0(。),(yx)0 ,(x第16页/共30页第十七页，共30页。在右半平面(pngmin) ( x 0 ) 内存在原函数 , 并求出它. 证证: 令则由定理(dngl) 2 可知存在原函数oxy)0 ,(x)0 , 1(),(yx第17页/共30页第十八页，共30页。oxy)0 ,(x)0 , 1(),(yx或)0(arctanxxy第18页/共30页第十九页，共30页。作用(zuyng)下沿曲线 L :由移动(y

7、dng)到求力场所作的功W解解:令则有可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.LBAyox),(2xyrkFsFWLd第19页/共30页第二十页，共30页。:AB)dd(2yxxyrkWAB思考思考: 积分路径积分路径(ljng)是否可以取是否可以取取圆弧LBAyox为什么？注意, 本题(bnt)只在不含原点的单连通区域内积分与路径无关(wgun) !第20页/共30页第二十一页，共30页。解解因此因此(ync)，积分与路径，积分与路径无关。无关。则则 P，Q 在全平面在全平面(pngmin)上有上有连续的一阶偏导数，且连续的一阶偏导数，且oxy112全平面全平面(pngmin)是是单

8、连通域。单连通域。第21页/共30页第二十二页，共30页。oxy112取一简单取一简单(jindn)路径：路径：L1 + L2.1L2L因此，积分与路径无关。因此，积分与路径无关。,yeyP .yexQ . xQyP 即即全平面是单连通域。全平面是单连通域。第22页/共30页第二十三页，共30页。解解因此因此(ync)，积分与路径无，积分与路径无关。关。. xQyP 即即oxy11则则 P，Q 在全平面在全平面(pngmin)上有连上有连续的续的一阶偏导数，且一阶偏导数，且全平面全平面(pngmin)是单是单连通域。连通域。第23页/共30页第二十四页，共30页。oxy11因此，积分与路径无关

9、。因此，积分与路径无关。. xQyP 即即,2xyP .2xxQ 全平面是单连通域。全平面是单连通域。取一简单取一简单(jindn)路径：路径：L1 + L2. 10: , 0 :1 xyL1L2L第24页/共30页第二十五页，共30页。1. 格林公式(gngsh)2. 等价(dngji)条件在 D 内与路径无关.在 D 内有对 D 内任意闭曲线 L 有在 D 内有设 P, Q 在 D 内具有一阶连续偏导数, 则有第25页/共30页第二十六页，共30页。1. 设且都取正向, 问下列(xili)计算是否正确 ?Do2y1x2Ll2提示提示(tsh):第26页/共30页第二十七页，共30页。提示提示(tsh):yox),(yxxxyxd)4(34C第27页/共30页第二十八页，共30页。DyxoaaC从点依逆时针的半圆(bnyun), 计算解解: 添加添加(tin ji)辅助辅助线如图线如图 ,利用格林公式 .原式 =到点第28页/共30页第二十九页，共30页。D点B(3, 4),到原点的