专题探究课四 高考中立体几何问题的热点题型

1、空间几何体的三视图及其表空间几何体的三视图及其表面积、体积面积、体积空间几何体的体积空间几何体的体积平行与垂直的综合问题平行与垂直的综合问题热点突破热点突破热点一空间几何体的三视图及其表面积、体积热点一空间几何体的三视图及其表面积、体积热点突破热点突破热点一空间几何体的三视图及其表面积、体积热点一空间几何体的三视图及其表面积、体积微题型微题型1简单几何体的三视图的识别简单几何体的三视图的识别【例【例11】如图所示，已知三棱锥的底面是直角三】如图所示，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为角形，直角边长分别为3和和4，过直角顶点的侧棱长，过直角顶点的侧棱长为为4，且垂直于底面，该三棱锥的主

2、视图是，且垂直于底面，该三棱锥的主视图是()解析解析结合三视图的画法规则可知结合三视图的画法规则可知B正确正确答案答案B热点突破热点突破热点一空间几何体的三视图及其表面积、体积热点一空间几何体的三视图及其表面积、体积微题型微题型1简单几何体的三视图的识别简单几何体的三视图的识别 解答此类问题的关键是：解答此类问题的关键是： 一要掌握各种基本几何体的三视图，注意简单组合体一要掌握各种基本几何体的三视图，注意简单组合体的构成；的构成； 二要熟悉三视图二要熟悉三视图“长对正、高平齐、宽相等长对正、高平齐、宽相等”的法则的法则热点突破热点突破热点一空间几何体的三视图及其表面积、体积热点一空间几何体的三

3、视图及其表面积、体积微题型微题型2三视图还原几何体的识别三视图还原几何体的识别【例【例12】三视图如图所示的几何体是】三视图如图所示的几何体是()A三棱锥三棱锥B四棱锥四棱锥 C四棱台四棱台 D三棱台三棱台解析解析由三视图知该几何体为一四棱锥，由三视图知该几何体为一四棱锥，其中有一侧棱垂直于底面，其中有一侧棱垂直于底面，底面为一直角梯形底面为一直角梯形答案答案B热点突破热点突破热点一空间几何体的三视图及其表面积、体积热点一空间几何体的三视图及其表面积、体积 首先通过俯视图确定几何体底面的大致形状，然后利首先通过俯视图确定几何体底面的大致形状，然后利用正视图和侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，

4、调整用正视图和侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，确定几何体的形状实线和虚线所对应的棱、面的位置，确定几何体的形状微题型微题型2三视图还原几何体的识别三视图还原几何体的识别热点突破热点突破热点一空间几何体的三视图及其表面积、体积热点一空间几何体的三视图及其表面积、体积微题型微题型3借助三视图研究几何体的表面积、体积借助三视图研究几何体的表面积、体积解析解析(1)由侧视图为半圆可知，由侧视图为半圆可知，该几何体与圆柱、圆锥、球有关，该几何体与圆柱、圆锥、球有关，结合正视图是一个直角三角形知该几何体是结合正视图是一个直角三角形知该几何体是沿中心轴线切开的半个圆锥

5、，沿中心轴线切开的半个圆锥，将剖面放置在桌面上，如图，将剖面放置在桌面上，如图，由条件知，半圆锥的母线长为由条件知，半圆锥的母线长为2a，底面半径为，底面半径为a，热点突破热点突破热点一空间几何体的三视图及其表面积、体积热点一空间几何体的三视图及其表面积、体积微题型微题型3借助三视图研究几何体的表面积、体积借助三视图研究几何体的表面积、体积(2)由三视图知，原几何体为两个四棱锥的组合体，由三视图知，原几何体为两个四棱锥的组合体，其中四棱锥的底面边长为其中四棱锥的底面边长为1，斜高为，斜高为1，答案答案(1)A(2)D热点突破热点突破热点一空间几何体的三视图及其表面积、体积热点一空间几何体的三视

6、图及其表面积、体积 解决此类问题关键是通过三视图确定空间几何体中的解决此类问题关键是通过三视图确定空间几何体中的几何量的关系，其中，正视图、侧视图的高就是空间几何几何量的关系，其中，正视图、侧视图的高就是空间几何体的高，正视图、俯视图中的长就是空间几何体的最大长体的高，正视图、俯视图中的长就是空间几何体的最大长度，侧视图、俯视图中的宽就是空间几何体的最大宽度度，侧视图、俯视图中的宽就是空间几何体的最大宽度微题型微题型3借助三视图研究几何体的表面积、体积借助三视图研究几何体的表面积、体积热点突破热点突破热点一空间几何体的三视图及其表面积、体积热点一空间几何体的三视图及其表面积、体积微题型微题型3

7、借助三视图研究几何体的表面积、体积借助三视图研究几何体的表面积、体积解析解析(1)该三棱锥的直观图如图所示，该三棱锥的直观图如图所示，并且并且PB平面平面ABC，PB2，AB2，【训练【训练1】(1)(2014北京卷北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为三棱锥最长棱的棱长为_故故PA最长最长热点突破热点突破热点一空间几何体的三视图及其表面积、体积热点一空间几何体的三视图及其表面积、体积微题型微题型3借助三视图研究几何体的表面积、体积借助三视图研究几何体的表面积、体积(2)由三视图由三视图“长对正、高平齐、宽相等长对正、高平齐、宽相等”的原则可知

8、，的原则可知，该三棱锥的俯视图是以该三棱锥的俯视图是以2为底边长，为底边长，1为高的直角三角形，为高的直角三角形，【训练【训练1】(2)(2014广东东莞二模广东东莞二模)一个三棱锥的正视图和侧视一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺寸如图所示图及其尺寸如图所示(均为直角三角形均为直角三角形)，则该三棱锥的俯视图，则该三棱锥的俯视图的面积为的面积为_答案答案(1)2(2)1热点突破热点突破热点二空间几何体的体积热点二空间几何体的体积 空间几何体的体积是高考考查立体几何的考点之一，求空间几何体的体积是高考考查立体几何的考点之一，求空间几何体的体积的常用方法主要有：公式法、转化法、割空间几何体的体积的常

9、用方法主要有：公式法、转化法、割补法补法热点突破热点突破热点二空间几何体的体积热点二空间几何体的体积微题型微题型1公式法求几何体的体积公式法求几何体的体积解析解析依题意知正方体的体对角线长等于球的直径，依题意知正方体的体对角线长等于球的直径，设正方体的棱长为设正方体的棱长为a，因此正方体的表面积为因此正方体的表面积为6a224.答案答案24热点突破热点突破 对于规则几何体的体积问题，可以直接利用公式法进对于规则几何体的体积问题，可以直接利用公式法进行求解行求解热点二空间几何体的体积热点二空间几何体的体积微题型微题型1公式法求几何体的体积公式法求几何体的体积热点突破热点突破热点二空间几何体的体积

10、热点二空间几何体的体积微题型微题型2转化法求几何体的体积转化法求几何体的体积解析解析三棱锥三棱锥ADED1的体积等于三棱锥的体积等于三棱锥EDD1A的体积，的体积，即即VADED1VEDD1A热点突破热点突破 依据一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的如依据一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可以采用等果一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解等体积法也称等积转化或等积变形，它是体积法进行求解等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法

11、，多用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积热点二空间几何体的体积热点二空间几何体的体积微题型微题型2转化法求几何体的体积转化法求几何体的体积热点突破热点突破热点二空间几何体的体积热点二空间几何体的体积微题型微题型3割补法求几何体的体积割补法求几何体的体积解析解析法一法一设设AD，BC的公垂线为的公垂线为EF，如图所示，如图所示，因为因为ADBC，所以所以AD平面平面BEC，所以所以VDABCVABECVDBEC热点突破热点突破热点二空间几何体的体积热点二空间几何体的体积微题型微题型3割补法求几何体的体积割补法求几何体的体积法二法二以以AB，BC为邻边补成

12、平行四边形为邻边补成平行四边形ABCE，以以AD为侧棱补成平行六面体为侧棱补成平行六面体ABCEDGMF，如图所示，如图所示，则三棱锥则三棱锥DABC的体积的体积V1与与平行六面体平行六面体ABCEDGMF的体积的体积V2之间有之间有易知平行六面体左右侧面之间的距离就是易知平行六面体左右侧面之间的距离就是异面直线异面直线AD，BC之间的距离之间的距离h，因为因为ADBC，所以四边形，所以四边形BCMG为矩形，为矩形，热点突破热点突破 运用割补法处理不规则的空间几何体或不易求解的空间运用割补法处理不规则的空间几何体或不易求解的空间几何体的体积计算问题，关键是能根据几何体中的线面关系几何体的体积计

13、算问题，关键是能根据几何体中的线面关系合理选择截面进行切割或者补形，转化为可以计算体积的空合理选择截面进行切割或者补形，转化为可以计算体积的空间几何体，通过这个空间几何体的体积计算所求的空间几何间几何体，通过这个空间几何体的体积计算所求的空间几何体的体积体的体积热点二空间几何体的体积热点二空间几何体的体积微题型微题型3割补法求几何体的体积割补法求几何体的体积热点突破热点突破热点二空间几何体的体积热点二空间几何体的体积微题型微题型3割补法求几何体的体积割补法求几何体的体积解析解析法一法一如图所示，由于点如图所示，由于点G为为PB的中点，的中点，故点故点P，B到平面到平面GAC的距离相等，的距离相

14、等，故三棱锥故三棱锥PGAC的体积等于的体积等于三棱锥三棱锥BAGC的体积，的体积，根据三棱锥的特点，根据三棱锥的特点，所要解决的两个三棱锥的体积之比就等于所要解决的两个三棱锥的体积之比就等于三棱锥三棱锥GACD与三棱锥与三棱锥GABC的体积之比，的体积之比，由于这两个三棱锥的高相等，体积之比等于其底面积之比，由于这两个三棱锥的高相等，体积之比等于其底面积之比，即即ACD与与ABC的面积之比，的面积之比，这个面积之比是这个面积之比是21.热点突破热点突破热点二空间几何体的体积热点二空间几何体的体积微题型微题型3割补法求几何体的体积割补法求几何体的体积法二法二连接连接BD交交AC于于H，则点则点

15、D，B到平面到平面GAC的距离之比等于的距离之比等于DHBH，因为因为AHDCHB，故故DHBHADBC21，三棱锥三棱锥DGAC与三棱锥与三棱锥BGAC底面积相等，底面积相等，故其体积之比等于其高的比，故其体积之比等于其高的比，即所求比值是即所求比值是21.答案答案CH热点突破热点突破热点三平行与垂直的综合问题热点三平行与垂直的综合问题 直线与平面的位置关系是立体几何的核心内容，高考始直线与平面的位置关系是立体几何的核心内容，高考始终把直线与平面的平行、垂直关系作为考查的重点，以多面终把直线与平面的平行、垂直关系作为考查的重点，以多面体为载体的线面位置关系的论证是历年必考内容，其中既有体为载

16、体的线面位置关系的论证是历年必考内容，其中既有单独考查直线和平面的位置关系的试题，也有以简单几何体单独考查直线和平面的位置关系的试题，也有以简单几何体体积的计算为载体考查直线和平面的位置关系的试题体积的计算为载体考查直线和平面的位置关系的试题热点突破热点突破热点三平行与垂直的综合问题热点三平行与垂直的综合问题微题型微题型1平行与垂直关系的证明平行与垂直关系的证明证明证明(1)法一法一连接连接DG，CD，设，设CDGFM，连接，连接MH.(1分分)在三棱台在三棱台DEFABC中，中，AB2DE，G为为AC的中点，的中点，可得可得DFGC，DFGC，所以四边形所以四边形DFCG为平行四边形为平行四

17、边形则则M为为CD的中点，的中点，(3分分)又又H为为BC的中点，所以的中点，所以HMBD，(4分分)又又HM 平面平面FGH，BD 平面平面FGH，所以所以BD平面平面FGH.(6分分)M热点突破热点突破热点三平行与垂直的综合问题热点三平行与垂直的综合问题微题型微题型1平行与垂直关系的证明平行与垂直关系的证明法二法二在三棱台在三棱台DEFABC中，中，由由BC2EF，H为为BC的中点，的中点，可得可得BHEF，BHEF，所以四边形所以四边形HBEF为平行四边形，为平行四边形，可得可得BEHF.(3分分)在在ABC中，中，G为为AC的中点，的中点，H为为BC的中点，所以的中点，所以GHAB.(

18、4分分)又又GHHFH，所以平面，所以平面FGH平面平面ABED.(5分分)因为因为BD 平面平面ABED，所以，所以BD平面平面FGH.(6分分)热点突破热点突破热点三平行与垂直的综合问题热点三平行与垂直的综合问题微题型微题型1平行与垂直关系的证明平行与垂直关系的证明(2)连接连接HE，EG，因为因为G，H分别为分别为AC，BC的中点，的中点，所以所以GHAB.(7分分)由由ABBC，得，得GHBC.又又H为为BC的中点，的中点，所以所以EFHC，EFHC，因此四边形因此四边形EFCH是平行四边形，是平行四边形，所以所以CFHE.(9分分)热点突破热点突破热点三平行与垂直的综合问题热点三平行

19、与垂直的综合问题微题型微题型1平行与垂直关系的证明平行与垂直关系的证明又又CFBC，所以所以HEBC.(10分分)又又HE，GH 平面平面EGH，HEGHH，所以所以BC平面平面EGH.(11分分)又又BC 平面平面BCD，所以平面所以平面BCD平面平面EGH.(12分分)热点突破热点突破热点三平行与垂直的综合问题热点三平行与垂直的综合问题微题型微题型1平行与垂直关系的证明平行与垂直关系的证明(1)(方法一方法一)作辅助线得作辅助线得1分，证明四边形分，证明四边形DFCG为平行四为平行四边形得边形得2分，再得到分，再得到HMBD得得1分，最后根据线面平行的判分，最后根据线面平行的判定定理得结论

20、得定定理得结论得2分分(2)(方法二方法二)证明四边形证明四边形HBEF为平行四边形且为平行四边形且BEHF得得3分，再证明分，再证明GHAB得得1分，再推出平面分，再推出平面FGH平面平面ABED得得1分，最后得出分，最后得出BD平面平面FGH得得1分分(3)第第(2)问中得到问中得到GFAB得得1分，证明四边形分，证明四边形EFCH是平是平行四边形且行四边形且CHHE得得2分，再得到分，再得到BCHE得得1分，再得到分，再得到BC平面平面EGH得得1分，最后证得结论得分，最后证得结论得1分分(4)第第(1)问方法问方法(一一)中若漏写中若漏写“HM 平面平面FGH”，“BD 平面平面FGH

21、”各扣各扣1分；在第分；在第(2)问最后漏写问最后漏写“BC 平面平面BCD”扣扣1分分热点突破热点突破热点三平行与垂直的综合问题热点三平行与垂直的综合问题微题型微题型1平行与垂直关系的证明平行与垂直关系的证明第一步第一步第二步第二步第三步第三步第四步第四步证明线面平行问题证明线面平行问题(一一)找找(作作)出所证线面平行中的平面内的一条直线出所证线面平行中的平面内的一条直线证明线线平行证明线线平行根据线面平行的判定定理证明线面平行根据线面平行的判定定理证明线面平行反思回顾检查关键点及答题规范反思回顾检查关键点及答题规范热点突破热点突破热点三平行与垂直的综合问题热点三平行与垂直的综合问题微题型

22、微题型1平行与垂直关系的证明平行与垂直关系的证明第一步第一步第二步第二步第三步第三步第四步第四步证明线面平行问题证明线面平行问题(二二)在多面体中作出要证线面平行中的线所在的平面在多面体中作出要证线面平行中的线所在的平面利用线面平行的判定定理证明所作平面内的两条相利用线面平行的判定定理证明所作平面内的两条相交直线分别与所证平面平行；交直线分别与所证平面平行；证明所作平面与所证平面平行证明所作平面与所证平面平行转化为线面平行转化为线面平行第五步第五步反思回顾，检查答题规范反思回顾，检查答题规范热点突破热点突破热点三平行与垂直的综合问题热点三平行与垂直的综合问题微题型微题型1平行与垂直关系的证明平

23、行与垂直关系的证明第一步第一步第二步第二步第三步第三步第四步第四步证明面面垂直问题证明面面垂直问题根据已知条件确定一个平面内的一条直线垂直于另根据已知条件确定一个平面内的一条直线垂直于另一个平面内的一条直线一个平面内的一条直线结合已知条件证明确定的这条直线垂直于另一平面结合已知条件证明确定的这条直线垂直于另一平面内的两条相交直线内的两条相交直线得出确定的这条直线垂直于另一平面得出确定的这条直线垂直于另一平面转化为面面垂直转化为面面垂直第五步第五步反思回顾，检查答题规范反思回顾，检查答题规范热点突破热点突破 线线、线面关系是立体几何的核心内容之一，它在空间线线、线面关系是立体几何的核心内容之一，

24、它在空间线面位置关系的推理证明中起着承上启下的桥梁作用证明线面位置关系的推理证明中起着承上启下的桥梁作用证明线面位置关系不仅要考虑线面位置关系的判定和性质，更要线面位置关系不仅要考虑线面位置关系的判定和性质，更要注意几何体中几何特征的灵活应用证明的依据是空间线面注意几何体中几何特征的灵活应用证明的依据是空间线面位置关系的判定定理和性质定理，根据线线、线面、面面的位置关系的判定定理和性质定理，根据线线、线面、面面的平行与垂直进行相互转化另外，根据几何体的数据，通过平行与垂直进行相互转化另外，根据几何体的数据，通过计算也可得到线线垂直的关系，所以要注意几何体中数据的计算也可得到线线垂直的关系，所以

25、要注意几何体中数据的正确利用正确利用热点三平行与垂直的综合问题热点三平行与垂直的综合问题微题型微题型1平行与垂直关系的证明平行与垂直关系的证明热点突破热点突破热点三平行与垂直的综合问题热点三平行与垂直的综合问题微题型微题型1平行与垂直关系的证明平行与垂直关系的证明证明证明(1)因为因为DE平面平面ABCD，AC 平面平面ABCD，所以所以DEAC，因为因为ABCD是正方形，是正方形，所以所以ACBD，又又BDDED，从而从而AC平面平面BDE.热点突破热点突破热点三平行与垂直的综合问题热点三平行与垂直的综合问题微题型微题型1平行与垂直关系的证明平行与垂直关系的证明(2)延长延长EF、DA交于点

26、交于点G，连接，连接GB，G又又AM 平面平面BEF，GB平面平面BEF，所以所以AM平面平面BEF.热点突破热点突破热点三平行与垂直的综合问题热点三平行与垂直的综合问题微题型微题型2探索性问题中的平行与垂直关系探索性问题中的平行与垂直关系(1)解解由题设由题设AB1，AC2，BAC60，由由PA平面平面ABC，可知可知PA是三棱锥是三棱锥PABC的高，的高，又又PA1.热点突破热点突破热点三平行与垂直的综合问题热点三平行与垂直的综合问题微题型微题型2探索性问题中的平行与垂直关系探索性问题中的平行与垂直关系(2)证明证明如图，在平面如图，在平面ABC内，过点内，过点B作作BNAC，垂足为，垂足

27、为N，在平面在平面PAC内，过点内，过点N作作MNPA交交PC于点于点M，连接，连接BM.由由PA平面平面ABC知知PAAC，所以，所以MNAC.由于由于BNMNN，故，故AC平面平面MBN，又又BM 平面平面MBN，所以，所以ACBM.NM热点突破热点突破 (1)对命题条件的探索常采用以下三种方法：对命题条件的探索常采用以下三种方法：先猜后先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；证，即先观察与尝试给出条件再证明；先通过命题成立的先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性；必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性；把几把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件何问题转化

28、为代数问题，探索命题成立的条件 (2)对命题结论的探索常采用以下方法：首先假设结论对命题结论的探索常采用以下方法：首先假设结论成立，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到成立，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾的结果就否定假了合理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾的结果就否定假设设热点三平行与垂直的综合问题热点三平行与垂直的综合问题微题型微题型2探索性问题中的平行与垂直关系探索性问题中的平行与垂直关系热点突破热点突破热点三平行与垂直的综合问题热点三平行与垂直的综合问题微题型微题型2探索性问题中的平行与垂直关系探索性问题中的平行与垂直关系(

29、1)证明证明AA1平面平面ABC，BC平面平面ABC，BCAA1.又又BCAC，AA1ACA，BC平面平面AA1C1C，又又AC1平面平面AA1C1C，BCAC1.热点突破热点突破热点三平行与垂直的综合问题热点三平行与垂直的综合问题微题型微题型2探索性问题中的平行与垂直关系探索性问题中的平行与垂直关系(2)解解法一法一当当AF3FC时，时，EF平面平面A1ABB1.证明如下：如图证明如下：如图1，在平面，在平面A1B1C1内过点内过点E作作EGA1C1交交A1B1于点于点G，连接，连接AG.B1E3EC1，GAFEG且且AFEG，四边形四边形AFEG为平行四边形，为平行四边形，EFAG，又，又

30、EF 平面平面A1ABB1，AG平面平面A1ABB1，EF平面平面A1ABB1.F热点突破热点突破热点三平行与垂直的综合问题热点三平行与垂直的综合问题微题型微题型2探索性问题中的平行与垂直关系探索性问题中的平行与垂直关系法二法二当当AF3FC时，时，FE平面平面A1ABB1.证明如下：证明如下：如图如图2，在平面，在平面BCC1B1内过点内过点E作作EGBB1交交BC于点于点G，连接，连接FG.EGBB1,EG 平面平面A1ABB1,BB1 平面平面A1ABB1，EG平面平面A1ABB1.B1E3EC1，BG3GC，GF热点突破热点突破热点三平行与垂直的综合问题热点三平行与垂直的综合问题微题型

31、微题型2探索性问题中的平行与垂直关系探索性问题中的平行与垂直关系FGAB，又又AB 平面平面A1ABB1，FG 平面平面A1ABB1，FG平面平面A1ABB1.又又EG 平面平面EFG，FG 平面平面EFG，EGFGG，平面平面EFG平面平面A1ABB1.EF 平面平面EFG，EF平面平面A1ABB1.GF热点突破热点突破热点三平行与垂直的综合问题热点三平行与垂直的综合问题微题型微题型3折叠问题中的平行与垂直关系折叠问题中的平行与垂直关系 解题方法解题方法(1)线线垂直线线垂直 线面垂直；线面垂直；(2)等积转化法等积转化法VADEFVDAEF.热点突破热点突破热点三平行与垂直的综合问题热点三平行与垂直的综合问题(1)证明证明因为四边形因为四边形ABCD为菱形，为菱形，所以所以ACBD.因为因为BE平面平面ABCD，所以所以ACBE.BEBDB，故故AC平面平面BED.又又AC 平面平面AEC，所以平面所以平面AEC平面平面BED.微题型微题型3折叠问题中的平行与垂直关系折叠问题中的平行与垂直关系热点突破热点突破热点三平行与垂直的综合问题热点三平行与垂直的综合问题(2)解解设设ABx，在菱形，在菱形ABCD中，中，由由ABC120，微题型微题型3折叠问题中的平行与垂直关系折叠问题中的平行与垂直关系因为因为AEEC，由由BE平面平面ABCD.热点突破热点突破热点