掌握求两圆内外公切线长方法

1、掌握求两圆内外公切线长方法1内公切线的概念：内公切线的概念： 在上一讲的学习中，我们已经知道：和两个圆都相切在上一讲的学习中，我们已经知道：和两个圆都相切的直线，叫做两圆的公切线，若两个圆在公切线两旁时，的直线，叫做两圆的公切线，若两个圆在公切线两旁时，这样的公切线叫做内公切线。这样的公切线叫做内公切线。 当两圆外离时，有两条内公切线，当两圆外切时有一当两圆外离时，有两条内公切线，当两圆外切时有一条内公切线，两圆相交，内切或内含时无内公切线。条内公切线，两圆相交，内切或内含时无内公切线。 掌握求两圆内外公切线长方法2内公切线的性质：内公切线的性质：3内公切线长的计算：内公切线长的计算：如图，作

2、如图，作O1EAB交交O2B的延长线于的延长线于E， 两圆外离时，有两条内公切线、由圆的对称性可知这两圆外离时，有两条内公切线、由圆的对称性可知这两条内公切线的长相等，且两公切线的交点在连心线上，两条内公切线的长相等，且两公切线的交点在连心线上，连心线平分两内公切线的夹角。如图连心线平分两内公切线的夹角。如图(1)所示：内公切线所示：内公切线 AB CD，AB与与CD的交点的交点P在连心线在连心线O1O2上，上，APO1CPO2 .ABCDPRrO2O1E22)(rRd构成构成RtO1EO2，则则O2ERr，O1O2d，ABO1E 。设设 O1和和 O2的半径分别为的半径分别为r，R，掌握求两

3、圆内外公切线长方法例例2、（教材例、（教材例2）已知：）已知： O1和和 O2的半径分别的半径分别为为4厘米和厘米和2厘米，圆心距厘米，圆心距 为为10厘米，厘米，AB是是 O1和和 O2的一条内公切线，切点分别是的一条内公切线，切点分别是A，B求：公切线的长求：公切线的长AB。解 ： 连 结解 ： 连 结 O1A 、 O2B ， 作作 O1A A B ，O2BAB过过 O1作作O1CO2B，交交O2B的延长线于的延长线于C，则则O1C= AB，O1A=BC在在RtO2CO1和和O1O2=10，O2C= O2B+ O1A=6O1C= (cm) AB=8（cm）O O1O O2ABC861022

4、掌握求两圆内外公切线长方法4范例解析：范例解析：例例1 要做一个如图那个的要做一个如图那个的V形架，将两个钢管托起，已知形架，将两个钢管托起，已知钢管的外径分别为钢管的外径分别为200mm和和80mm，求求V形角形角 的度数。的度数。O2O1CBAPDE掌握求两圆内外公切线长方法 连结连结O1O2、O1A、O2B，过过O1作作O1CAB交交O2B延长延长线于线于C，则则O1AAB，O2BAB，四边形四边形AO1CB为矩形。为矩形。例例2 已知已知 O1与与 O2的半径之和等于的半径之和等于8cm，两圆的一条两圆的一条内公切线长为内公切线长为6cm，求这两圆的圆心距。求这两圆的圆心距。(如图如图

5、)解：解：O1CAB6cm，O1ABCO2CO2BBCO2BO1A8cmO1O2 10(cm)2268 掌握求两圆内外公切线长方法可知可知 ，O O1 1Q QO O2 2Q QO O1 1B BO O2 2A A分析：分析：例例3 如图如图5，已知，已知 O1和和 O2的内公切线的内公切线CD和外公切和外公切线线AB分别与连心线分别与连心线O1O2相交于相交于P、Q， 直接证明这个比例式较困难，直接证明这个比例式较困难，为此先看比为此先看比 ，O O1 1P PO O2 2P P因此可得因此可得 ，O O1 1P PO O2 2P PO O1 1C CO O2 2D D注意注意CD为内公切线

6、，为内公切线， 连连O1C、O2D可得可得O1CO2D，O O1 1P PO O2 2P PO O1 1Q QO O2 2Q Q求证：求证： . 连连O1B、O2A可得可得O1BO2A，而而O1CO2B，O2A O2D，同样注意同样注意 和和AB为公切线，为公切线，O O1 1Q QO O2 2Q Q得得 ，故可以得证，故可以得证 .O O1 1C CO O2 2D DO O1 1B BO O2 2A AO2O1ABCDQP掌握求两圆内外公切线长方法证明：连结证明：连结O1C、O1B、O2A、O2D ，O O1 1P PO O2 2P PO O1 1C CO O2 2D DCD为为 O1和和

7、O2的内公切线的内公切线O1CCD，O2DCDO1CO2DO1BAB，O2AAB又又AQ为为 O1和和 O2的外公切线的外公切线O1BO2AO1CO1B，O2DO2A O O1 1Q QO O2 2Q QO O1 1A AO O2 2B B .O O1 1P PO O2 2P PO O1 1Q QO O2 2Q QO2O1ABCDQP掌握求两圆内外公切线长方法 本讲着重介绍了求内公切长的方法、内公切线的性质、内公本讲着重介绍了求内公切长的方法、内公切线的性质、内公切线的作法以及内公切线条数与两圆位置之间的联系，这些都是切线的作法以及内公切线条数与两圆位置之间的联系，这些都是有关内公切线的基本知

8、识，应当认真体会，确实掌握好。有关内公切线的基本知识，应当认真体会，确实掌握好。 内公切线是圆的切线，因此具有圆的切线的性质，例如内公内公切线是圆的切线，因此具有圆的切线的性质，例如内公切线垂直过切点的半径。在解答有关内公切的问题时，常常要连切线垂直过切点的半径。在解答有关内公切的问题时，常常要连结圆心和切点，得出垂直关系，并且据此可以推出两圆外切时，结圆心和切点，得出垂直关系，并且据此可以推出两圆外切时，内公切线垂直连心线。内公切线垂直连心线。 如果两圆外切或内切时，过切点作两圆的公切线是解题时常如果两圆外切或内切时，过切点作两圆的公切线是解题时常用的辅助线，因为这条切线是两圆公共的切线，其

9、作用是可以构用的辅助线，因为这条切线是两圆公共的切线，其作用是可以构成两个图中的有关角的关系，从而为利用弦切角、圆周角、圆心成两个图中的有关角的关系，从而为利用弦切角、圆周角、圆心角等的性质创造了条件。由此达到计算和论证的目的。角等的性质创造了条件。由此达到计算和论证的目的。掌握求两圆内外公切线长方法1两圆半径分别为两圆半径分别为8和和5，若两圆共有三条公切线，那么圆心距，若两圆共有三条公切线，那么圆心距d为为( )Ad3B3d13Cd13Dd13 A两圆有两条外公切线，有且只有一条内公切线。两圆有两条外公切线，有且只有一条内公切线。 B两圆既有两条外公切线，又有两条内公切线。两圆既有两条外公

10、切线，又有两条内公切线。 C两圆只有两条外公切线，没有内公切线。两圆只有两条外公切线，没有内公切线。 D两圆既无外公切线，又无内公切线。两圆既无外公切线，又无内公切线。3若若 O1和和 O2的半径分别为的半径分别为3cm和和1cm，其内公切线长为其内公切线长为4cm，则则O1O2 长为长为 _ 。4两圆外离，圆心距为两圆外离，圆心距为25cm，两圆的周长为两圆的周长为15cm和和10cm，则内公切则内公切 线与连心线的夹角（锐角）等于线与连心线的夹角（锐角）等于 _ 。2 O1与与 O2的半径分别为的半径分别为 cm和和 cm，O1O22 cm，则则( )756掌握求两圆内外公切线长方法5已知

11、：如图已知：如图(6)， O1与与 O2外切于点外切于点T，外公切线外公切线AB与连心线与连心线O1O2交于交于P，A、B是切点，是切点，求证：求证：(1)ATB90； (2)PT2PBPA .掌握求两圆内外公切线长方法6若两圆内切时，圆心距为若两圆内切时，圆心距为14cm，外切时，圆心距为外切时，圆心距为40cm，则两圆圆心则两圆圆心 距为距为50cm时，内公切线的长为时，内公切线的长为_cm。8如图所示，已知两圆的内公切线互相垂直，若两圆的如图所示，已知两圆的内公切线互相垂直，若两圆的半径分别为半径分别为5和和4厘米，则两圆圆心距为厘米，则两圆圆心距为( )7若外离两圆的半径是若外离两圆的

12、半径是5cm和和3cm，内公切线与连心线所夹锐内公切线与连心线所夹锐角的正弦为角的正弦为 ，则内公切线长，则内公切线长_ cm，圆心距为圆心距为_cm。45A . 9cm B . 9 cm C . cm D . cm292241掌握求两圆内外公切线长方法9若若 O1与与 O2外离，外离，A、B是一条内公切线与两条外公切是一条内公切线与两条外公切线的交点，则线的交点，则 AB的长的长( )( )A等于一条外公切的长。等于一条外公切的长。B等于内公切线长与外公切线长的平均数。等于内公切线长与外公切线长的平均数。 C等于内公切线长与外公切线长的比例中项。等于内公切线长与外公切线长的比例中项。 D当且

13、仅当两圆为等圆时等于一条外公切线的长。当且仅当两圆为等圆时等于一条外公切线的长。掌握求两圆内外公切线长方法 10已知：如图，两圆外切于已知：如图，两圆外切于P，直线直线MN与两圆分别切于与两圆分别切于M、N，过过P作一直作一直 线交两圆于线交两圆于A、B，求证：求证：AMBN . .掌握求两圆内外公切线长方法课外作业课外作业2两圆的半径分别为两圆的半径分别为2.5和和1.5，圆心距为，圆心距为5，则两圆的内公切线，则两圆的内公切线长为长为_ 。3两圆共有四条公切线，如果两圆圆心距为两圆共有四条公切线，如果两圆圆心距为12，大圆半径为，大圆半径为7，则小圆半径的所有可能的正整数值是则小圆半径的所

14、有可能的正整数值是_ 。1 如果两圆半径分别为如果两圆半径分别为4cm和和6cm，其圆心距为其圆心距为20cm，则则两圆的两条内公切线所成的角是两圆的两条内公切线所成的角是_度。度。掌握求两圆内外公切线长方法4已知：如图已知：如图(7)， O1与与 O2外切于点外切于点A，BC是是 O1和和 O2的外公切线，的外公切线，B、C为切点，过为切点，过A作直线作直线EF交交 O1于于E，交交 O2于于F，连结连结EB、FC并延长交于并延长交于G，(7)求证：求证：GB2GC2BC2。掌握求两圆内外公切线长方法5如图如图(8)， O1与与 O2外切于外切于E点，点，AF是外公切线，直线是外公切线，直线AB、CD过点过点E，分别与分别与 O1、 O2交于点交于点A、C、B、D，若若AF2AE，3AE2CE， AF4，求求DE的长。的长。掌握求两圆内外公切线长方法6若两圆外离且外公切线长若两圆外离且外公切线长m与内公切线长与内公切线长n的大小关系的大小关系是是( )7如果两圆的半径和它们的圆心距分别等于一个三角如果两圆的半径和它们的圆心距分别等于一个三角形的三条边，那么形的三条边，那么 这两圆的公切线的条数是这两圆的公切线的条数是(