第三节 二阶微分方程

1、1一、可直接积分求解的微分方程一、可直接积分求解的微分方程 解解例例2. ecos xyx求的通解211esin2xyxC2121ecos4xyxC xC通解为通解为第三节第三节 二阶微分方程二阶微分方程2一阶微分方程一阶微分方程求求方方程程0)21( yyx的的通通解解. . 解解令令 yp , ,则则方方程程化化为为 积积分分得得 1ln)12ln(21lnCxp , , 再再积积分分, ,得得原原方方程程的的通通解解为为 2211)12(CxCy . . 例例,dd)21(pxpx 3原原方方程程化化为为 ),(ddpyfypp . . 则则 xpydd xyypdddd ，yppdd

2、4求求方方程程02 yyy的的通通解解. . 解解令令 xypdd , , 代代入入原原方方程程, ,得得 即即 0)dd( pypyp. . 解解得得yCp , , 即即 yCxy dd, , 分离变量分离变量, ,xCyydd , , 积积分分得得通通解解为为 则则yppydd 例例1717，0dd2 pypyp.212CxCy 若若0dd pypy, , 50 y 也也是是方方程程的的解解, ,不不过过已已包包含含在在上上述述通通解解中中； 若若0 p, ,可可得得Cy , ,这这也也包包含含在在上上述述通通解解中中. . 本本题题还还可可用用下下面面的的简简单单解解法法: : 原原方方

3、程程可可化化为为 0)( yy, , 即即 xCyydd , , 于于是是得得到到原原方方程程的的通通解解 212CxCy . . 即即 0)dd( pypyp. . 积积分分得得通通解解为为 .212CxCy 若若0dd pypy, , 求求方方程程02 yyy的的通通解解. . 解解例例17176求求方方程程yyy 3的的通通解解. . 解解方方程程不不显显含含x, , 令令 yp , , 则则 yppydd , , 原原方方程程化化为为 ppypp 3dd, , 即即 01dd2 pypp, , 由由0 p, ,得得Cy , , 由由1dd2 pyp, , 得得 1arctanCyp ,

4、 , 或或 )tan(1Cyp , , 例例1818这是原方程的一个解这是原方程的一个解( (非通解非通解).). 7或或 xCCye)sin(21 , , 因因此此 12)earcsin(CCyx 为为原原方方程程的的通通解解. . ( (显显然然Cy 包包含含在在其其中中) ). . 即即 )tan(dd1Cyxy , , 或或 xCyyd)tan(d1 , , 积积分分得得 21ln)sin(lnCxCy , , 求求方方程程yyy 3的的通通解解. . 解解例例1818或或 )tan(1Cyp , , 8四、二阶常系数线性微分方程解的性质与通解的结构四、二阶常系数线性微分方程解的性质与

5、通解的结构二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程的标准形式的标准形式其中其中a, ,b是常数是常数. .(1)(xfbyyay 0 byyay(2)若若0)( xf, ,则则称称为为二二阶阶常常系系数数非非齐齐次次线线性性微微分分方方程程, , 若若0)( xf, ,即即方方程程 称为称为二阶常系数二阶常系数齐次齐次线性微分方程。线性微分方程。 91、 二阶常系数二阶常系数齐次齐次线性方程解的性质线性方程解的性质回顾回顾一阶齐次线性一阶齐次线性方程方程0)( yxPy ( (1 1) ) 1 1、方程、方程(1)(1)的任意两个解的任意两个解的的和仍是和仍是(1)(1)的解；的解；2 2

6、、方程、方程(1)(1)的任意一个解的常数倍仍是的任意一个解的常数倍仍是(1)(1)的解；的解；101、二阶常系数、二阶常系数齐次齐次线性方程解的性质线性方程解的性质1 1、方程、方程(2)的任意两个解的任意两个解的的和仍是和仍是(2)的解；的解；2 2、方程、方程(2)的任意一个解的常数倍仍是的任意一个解的常数倍仍是(2)的解；的解；如如果果)(),(21xyxy是是方方程程(2)的的两两个个解解, ,则则 )()(2211xyCxyCy 也是也是(2)的解的解. .常常数数如如果果 )()(21 xyxy( (称称线性无关线性无关),),则上式为则上式为(2)的的通解通解. .定理定理1

7、10 byyay(2)112、二阶常系数、二阶常系数齐次齐次线性方程的线性方程的解法解法下下面面来来寻寻找找方方程程(2)的的形形如如 xy e 的的特特解解. . 将将xy e 代代入入方方程程(2), ,得得 0e)(2 xba , , 而而0e x , ,于是有于是有 代数方程代数方程(3)称为微分方程称为微分方程(2)的的特征方程特征方程, ,它的它的根称为根称为特征根特征根( (或或特征值特征值).). (3)02 ba 0 byyay(2)12若若0 , , 则则特特征征方方程程(3)有有两两个个相相异异的的实实根根 22,1 a , , 得得到到方方程程(2)的的两两个个特特解解

8、xy1e1 , ,xy2e2 , , 而而Cxyxyx )(2121e)(/ )( , , 记记 ba42 , , 故它们线性无关故它们线性无关, , 因此因此(2)的通解为的通解为 xxCCy21ee21 (3)02 ba 情形情形1 1 13若若 0 , , 则则特特征征方方程程(3)有有两两个个相相等等的的实实根根 只只得得到到方方程程(2)的的一一个个特特解解 xy1e1 , , 设设)(/12xuyy , , 即即xxuy1e)(2 , , 代代入入方方程程(2), ,并并约约去去 x1e , ,得得 因因为为1 是是方方程程02 ba 的的二二重重根根, , 故故有有0121 ba

9、 , ,021 a , , 0 u, , 取取特特解解 xu , , 即即得得xxy1e2 , , 于于是是(2)的的通通解解为为 xxCCy1e)(21 . . 情形情形2 2 ,22, 1a 2y, ,使使 12/ yy常常数数. . 需要求另一个特解需要求另一个特解,0)()2(1211 ubauau 14若若 0 , , 则特征方程则特征方程(3)有一对共轭复根有一对共轭复根 情形情形3 3 i 2, 1可以证明可以证明, ,cose1xyx xyx sine2 是是(2)的解，的解，且线性无关，且线性无关，所以方程所以方程(2)的通解为的通解为 )sincos(e21xCxCyx 1

10、502 ba 0 byyay小结小结 特征根的情况特征根的情况通解的表达式通解的表达式 21rr 21rr ir 2, 1实根实根实根实根复根复根xrxrCCy21ee21 xrxCCy1e)(21 )sincos(e21xCxCyx 16解解特征方程为特征方程为故所求通解为故所求通解为求求微微分分方方程程032 yyy的的通通解解. . 例例1 1例例2 2.052的的通通解解求求方方程程 yyy解解特征方程为特征方程为0522 解得解得,2121i ， 故所求通解为故所求通解为)2sin2cos(e21xCxCyx 0322 xxCCy321ee 3, 121 特征根为特征根为17解解特征

11、方程为特征方程为故通解为故通解为求求微微分分方方程程0dd2dd22 ststs满满足足初初始始条条件件 2)0(, 4)0( ss的的特特解解. . 22 C, , 所所以以所所求求特特解解为为 tts e)24(. . 例例3 30122 121 特征根为特征根为ttCCs e)(21,4)0(1 Cs,e)(212ttCCCs ,2)0( 12 CCs18对应齐次方程对应齐次方程3、二阶常系数、二阶常系数非齐次非齐次线性方程解的性质及求解法线性方程解的性质及求解法(1)(xfbyyay 0 byyay(2)1 1、方程方程(1)的任意一个解加上方程的任意一个解加上方程(2)的任意一个的任

12、意一个解是解是(1)的解；的解；2 2、方程方程(1)的任意两个解之差是的任意两个解之差是(2)的解的解 . . yYy定理定理2 2设设)(xy 是方程是方程(1)(1)的一个特解的一个特解, , )(xY是是(2)(2)的通解的通解, , 那么方程那么方程(1)(1)的通解的通解为为19问题归结为求方程问题归结为求方程(1)的一个特解的一个特解. .只讨论只讨论 f (x) 的两种类型的两种类型. .用用待定系数法待定系数法求解求解. .对应齐次方程对应齐次方程3、二阶常系数、二阶常系数非齐次非齐次线性方程解的性质及求解法线性方程解的性质及求解法(1)(xfbyyay 0 byyay(2)

13、. yYy)(xY是是(2)(2)的通解的通解, , 那么方程那么方程(1)(1)的通解的通解为为定理定理2 2设设)(xy 是方程是方程(1)(1)的一个特解的一个特解, , 20其中其中 r 是是一个一个实实数数, ,)(xPm是是m次多项式次多项式. . 代代入入方方程程)(xfbyyay , , 整整理理并并约约去去xre, ,得得 )()()2(2xPQbarrQarQm ( (* *) ) (1)( )( ) erxmf xP x、型则则()( )e( )erxrxyQ xrQ x2()( )e2( )e( )erxrxrxyQ xrQ xr Q x21即即02 barr, , 则

14、则可可设设)(xQ为为次次数数与与)(xPm次次数数相相同同的的多多项项式式: : )()()2(2xPQbarrQarQm ( (* *) ) 情形情形1 1 若若 r 不是特征根不是特征根, , , )()(xQxQm xrmxQye)( 即即情形情形2 2 而而02 ar, , 若若 r 是特征方程的单根是特征方程的单根, , 即即02 barr, , , )()( xQxxQm 则令则令即即xrmxxQye)( 22)()()2(2xPQbarrQarQm ( (* *) ) 情形情形3 3 若若 r 是特征方程的是特征方程的二重二重根根, , 即即02 barr, , , )()(2

15、 xQxxQm 则则令令即即且且02 ar, , xrmxQxye)(2 23综上讨论综上讨论 )(xQ不是特征根不是特征根 )(exPbyyaymxr 设特解为设特解为，)(xQm是单特征根是单特征根 ，)(xxQm是二重特征根是二重特征根 ，xrxQye)( 其中其中，)(2xQxm)()()2(2xPQbarrQarQm ( (* *) ) 然然后后将将 y代代入入原原方方程程，或或根根据据恒恒等等式式( (* *) )来来确确定定)(xQ, ,从从而而得得到到特特解解 y. . ，若若)()(xPxfm 可可看看成成是是0 r的的特特殊殊情情形形。 24解解对应齐次方程通解对应齐次方程

16、通解特征方程特征方程0322 特征根特征根1321 ，,ee231xxCCY 求求微微分分方方程程1332 xyyy的的通通解解. . 因因为为0 r不不是是特特征征根根, , 故设特解故设特解BAxy , , 31, 1 BA, , 所所以以特特解解 xy 31, , 即即原原方方程程的的通通解解为为 31ee321 xCCyxx. . 例例4 4代入原方程代入原方程, ,得得 13)(32 xBAxA25.e232的的通通解解求求方方程程xxyyy 解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程,0232 特征根特征根，2121 .ee221xxCCY 2r Q代入方程代入方程xBA

17、xA 22，121 BA，于于是是xxxy2e )121( 原方程通解为原方程通解为.e) 121(ee2221xxxxxCCy 例例5 5xBAxxy2e)( 所所以以设设得得22()e ,xAxBx是单特征根是单特征根26解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程,0962 特征根特征根，32, 1 .e)(321xxCCY 求微分方程求微分方程xxyyy3e96 的通解的通解. . 因因为为3 r是是二二重重特特征征根根, , 解解得得 0,61 BA, , 所所以以特特解解 xxy33e61 , , 从从而而方方程程的的通通解解为为 xxxxCCy33321e61e)( .

18、. 例例6 6代入方程代入方程, 得得,26xBAx 23()exyxAxB所以特解323()e,xAxBx27解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程,0962 特征根特征根，32, 1 .e)(321xxCCY 求微分方程求微分方程xxyyy3e96 的通解的通解. . 例例6 6因因为为3 r是是二二重重特特征征根根, , 注意：注意：实实际际计计算算时时，只只要要将将23)(BxAxxQ 代代入入 )()()2(2xPQbarrQarQm 现即现即, )()(xPxQm 即得即得.26xBAx 这样比代入原方程要简便得多。这样比代入原方程要简便得多。xBAxxy22e)(

19、所以设特解为所以设特解为,e)(223xBxAx 28解解求求微微分分方方程程xyyy e44 的的通通解解, , 1 1）若若2 , , 则则设设特特解解为为 xAxy22e , , 其其中中 为为实实数数. . 代代入入原原方方程程, ,得得 21 A, , 即即特特解解为为xxy22e21 , , 此此时时原原方方程程的的通通解解为为 xxxxCCy22221e21e )( ； 例例7 7对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程,0442 特征根特征根，22, 1 .e)(221xxCCY ,)(2AxxQ , )(xPQm 12 A292 2）若若2 , , 则设特解为则设特解

20、为 xAy e , , 代代入入原原方方程程, ,得得 2)2(1 A, , 即即特特解解为为xy e)2(12 , , xyyy e44 .e)2(1e )(2221xxxCCy 此时原方程的通解为此时原方程的通解为 3012(2)( )e (cossin) rxf xaxax、型可以证明可以证明, ,方程方程(1)具有如下形式的特解具有如下形式的特解: :12e (cossin)krxyxAxAx .1;0是是特特征征根根不不是是特特征征根根irirk 12,A A其中待定，31解解求微分方程求微分方程xyyy2sin1022 的通解的通解. . 因因为为 2, 0 r, ,iir2 不不

21、是是特特征征根根, ,故故设设特特解解为为 例例8 8，xBxAy2sin2cos ，xxBAxBA2sin102sin)24(2cos)42( 所求所求通解为通解为 对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程,0222 特征根特征根，i 12, 1 .)sincos(e21xCxCYx 代入原方程代入原方程, ,得得 1024042BABA.2sin2cos2)sincos(e21xxxCxCyx ,12 BA32解解求微分方程求微分方程xyy2sin104 的通解的通解. . 因因为为 2, 0 r, ,iir2 是是特特征征根根, ,故故设设特特解解为为 书书7878页页8 8，)

22、2sin2cos(xBxAxy ，xxAxB2sin102sin42cos4 所求所求通解为通解为 对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程,042 特征根特征根，i 22, 1 .2sin2cos21xCxCY 代入原方程代入原方程, ,得得 10404AB.2cos252sin2cos21xxxCxCy ,025 BA33定理定理3 (3 (非齐次线性方程的叠加原理非齐次线性方程的叠加原理) ) 设设)(),(21xyxy 分分别别是是非非齐齐次次线线性性方方程程 则则)()(21xyxy 为非齐次方程为非齐次方程 和和的特解的特解, ,)(1xfbyyay )(2xfbyyay

23、)()(21xfxfbyyay 的一个特解的一个特解. .34.2coscos的的通通解解求求xxyy 2121 0cossiniYCxCx ，111( )cos3cos322f xxyyx，例例1010解解xxxf2coscos)( ，设设xBxAy3sin3cos1 ，xxBxA3cos213sin83cos8 代入得代入得,0161 BA，；xy3cos161 1 ，xxcos213cos21 35,cos21)(2xxf 对对于于，xCxCYsincos21 ，对对于于xxf3cos21)(1 解解，xxxfcos213cos21)( ；xy3cos161 1 ，41, 0 BA，xx

24、AxBcos21)sincos(2 代入得代入得，xxysin41 2 原方程通解为原方程通解为.sin413cos161sincos21xxxxCxCy ，设设)sincos(2xBxAxy .2coscos的的通通解解求求xxyy 例例10101cos2yyx36解解)()()(xfyxqyxpy (A)(A)中中2211ycyc 不是对应齐次方程的解不是对应齐次方程的解, ,故故(A)(A)错；错； 有有三三个个线线性性无无关关的的解解)(1xy, ,)(2xy, ,)(3xy, ,则则其其通通解解 是是( )( )(21,cc是任意常数是任意常数).). ( (A A) )32211y

25、ycyc 3212211)()(Byccycyc ( (C C) )3212211)1(yccycyc ( (D D) )3212211)1(yccycyc ( (B B) )中中)()()(3223113212211yycyycyccycyc 例例1111是对应齐次方程的通解是对应齐次方程的通解, ,但没有原方程的特解但没有原方程的特解, , 故故( (B)B)也不对；也不对； 二阶非齐次线性微分方程二阶非齐次线性微分方程 37(C)(C)中中3212211)1 (yccycyc ( (C C) )3212211)1 (yccycyc ( (D D) )3212211)1(yccycyc 3322311)()(yyycyyc , , 显显然然不不是是