动力学普遍方程和拉格朗日方程ppt课件

1、第二十五章第二十五章 动力学普遍方程和拉格朗日方程动力学普遍方程和拉格朗日方程 25-1 25-1 动力学普遍方程动力学普遍方程 将达朗贝尔原理与虚位移原理相结合将达朗贝尔原理与虚位移原理相结合, ,得到动力学普遍方程。得到动力学普遍方程。 0)(NIiiiirFFF设有n个质点的质点系，约束皆为理想约束，对于第i个质点：0NIiiiFFF给虚位移0ir0)(I1iiinirFF0NiirF0)(NIiiiirFFF解析方式：解析方式： 0)()()(1iiiziiiiyiiiixinizzmFyymFxxmF 任一瞬时，作用在受理想约束的质点系上的自动力与任一瞬时，作用在受理想约束的质点系上

2、的自动力与惯性力，在质点系恣意虚位移中的元功之和为零。惯性力，在质点系恣意虚位移中的元功之和为零。 0)(1iiiiniramF即动力学普遍方程动力学普遍方程例例1：一套滑轮系统悬挂两个重物。设绳和滑轮质量不计。：一套滑轮系统悬挂两个重物。设绳和滑轮质量不计。试求试求:重力为重力为P1的物体的加速度的物体的加速度a1。解解:0)()(22I211I1rFPrFP122aa 122rr gPPPPa1212142111IagPF 222IagPF2a1a1P2P r1 r22IF1IF自在度1解解题题步步骤：骤：1、运动分析，确定自在度；虚位移分析；2、受力分析包括惯性力；3、列写方程； 4、确

3、定虚位移之间的关系，运动关系；5、求解。例例2：调速器稳定在：调速器稳定在b 时，试求时，试求与与b关系关系,弹簧原长为弹簧原长为2l。解解:klF)cos1 (20)(2221ICAAyFgmygmxFsinlexAcoslxAcoslyAsinlyAcos2lyCsin2lyC21I)sin(lemF0sin2 )cos1 (2(sin2cos)sin(22121llkgmglmllemtan)sin( )cos1 (2)( 121lemklgmmIFIF2em1gm1gllllkm2g ABCFFxy自在度1aa取广义坐标bmAgmBgNFrAaBa例例3：三棱柱：三棱柱A沿三棱柱沿三棱

4、柱B的光滑斜面下滑，的光滑斜面下滑，A和和B的质量各为的质量各为mA、mB。试求。试求:三棱柱三棱柱B的加速度。的加速度。解解:BBBamFIrIrAAAamFBAAamFIe0, 01BAxx）0)cossin(IeIrAAAAxFgmFcossinBAraga0, 02BAxx）0)cosIrAIeIBABxFFF（cosABABBArmamama,)sin(22sin2BAABmmgma xB xAIBFIeAFIrAF自在度2ABC例例4：图示系统在铅垂平面内运动，各物体的质量均为：图示系统在铅垂平面内运动，各物体的质量均为m，圆，圆盘的半径为盘的半径为R，绳索与圆盘无相对滑动。试求滑

5、块的加速度，绳索与圆盘无相对滑动。试求滑块的加速度和圆盘和圆盘C的角加速度。的角加速度。 ABxCAaCaBCgmgmgmIAFIBMICMICFRaABRaaCACAAmaFIBBBJMICACCmRmamaFICCCJMI解：运动分析解：运动分析运用动力学普遍方程运用动力学普遍方程0)(1IniiiirFF受力分析受力分析 ABxCxCr系统的虚位移系统的虚位移RxRxrCABCgmgmgmIAFIBMICMICFAAImaFBBBJMICACCmRmamaFICCCJMI0)(IIIICCCBAMrFmgMxF由动力学普遍方程得：由动力学普遍方程得：02325mRgRaxmgRaCACA

6、025gRaCA023gRaCACAa ABxCxCr系统的虚位移系统的虚位移RxABCgmgmgmIAFIBMICMICFAAmaFIBBBJMICACCmRmamaFICCCJMIxxFmgMxFxwQCBAx)(III023mRgRaCA025mgRaCACAa或令001x，）002x，）wQ)(IICCMrFmgRxrC拉格朗日拉格朗日 Lagrange Lagrange1736-18141736-1814年年 法国数学家、力学家及天文学家。只需法国数学家、力学家及天文学家。只需1818岁的他岁的他就以纯分析的方法开展了欧拉所开创的变分法，奠定就以纯分析的方法开展了欧拉所开创的变分法，

7、奠定变分法之实际根底。发表大量有关变分法、概率论、变分法之实际根底。发表大量有关变分法、概率论、微分方程、弦振动及最小作用原理等论文。这些著作微分方程、弦振动及最小作用原理等论文。这些著作使他成为当时欧洲公认的第一流数学家。到了使他成为当时欧洲公认的第一流数学家。到了17641764年，年，他凭万有引力解释月球运动问题获得法国巴黎科学院他凭万有引力解释月球运动问题获得法国巴黎科学院奖金。奖金。17661766年，又因胜利地以微分方程实际和近似解年，又因胜利地以微分方程实际和近似解法研讨科学院所提出的一个复杂的六体问题木星的法研讨科学院所提出的一个复杂的六体问题木星的四个卫星的运动问题而再度获奖

8、。写了继牛顿后又四个卫星的运动问题而再度获奖。写了继牛顿后又一重要经典力学著作一重要经典力学著作 (1788(1788年年) )。书内以变。书内以变分原理及分析的方法，把完好调和的力学体系建立起分原理及分析的方法，把完好调和的力学体系建立起来，使力学分析化。来，使力学分析化。25-2 25-2 拉格朗日方程拉格朗日方程 );,(21tqqqrrkii(i=1,2,n) 0)(11jjikjiiiniqqramF代入动力学普遍方程：式中式中 为广义力为广义力 jiinijqrFQ1广义惯性力广义惯性力 拉格朗日从动力学普遍定理出发，导出了两种方式的质点系微分方程，称第一类拉氏方程和第二类拉氏方程

9、，这里引见第二类拉氏方程。设有n个质点组成的具有完好、理想约束的质点系，有k个自在度：kq ,q ,q21取广义坐标：0)(111jjiiinijiinikjqqramqrF(2) jjikjiqqrr1(1)nijiijiiinijqrFqramQ1I1I令 (3) jiiinijiiinijqrtvmqramQdd11I式式1 1对时间对时间t t求导求导 trqqrtrvijjikjii1dd(6)将式将式6 6对对 求偏导数求偏导数: : jq jijiqrqv(7)再将式6对任一广义坐标ql 求偏导数: lijjlikjliqtrqqqrqv221(8)0)(I1jjjkjqQQ那么

10、(4)0IjjQQ即(5)(dd)(dd11jiiinijiiiniqrtvmqrvmt直接由矢径 对某个广义坐标 求偏导数后，再对时间t求导 :irlq)()()(dd1lijlijkjliqrtqqrqqrt(9)比较式8、式9将等式7、10代入式5，得:jijiqrtqvdd(10)jiiinijiiinijqvvmqvvmtQ11Idd)21(21(dd2121iinijiinijvmqvmqt）jjjqTqTtQddI即11定义拉氏函数：定义拉氏函数：L=T-V具有理想和完好约束的质点系第二类拉氏方程具有理想和完好约束的质点系第二类拉氏方程0)(ddjjqLqLt将11代入式4得：

11、当自动力均为有权利：当自动力均为有权利： jjqVQ0)()(ddVTqVTqtjjjjjQqTqTtdd (j=1,2,k) 有权利作用下的第二类拉氏方程有权利作用下的第二类拉氏方程jjjqVqTqTtdd例例5：质量为：质量为m，杆长为，杆长为l、弹簧刚度为、弹簧刚度为k的杆如图示。试求系的杆如图示。试求系统微振动的周期。统微振动的周期。解：解：22)31(21mlT 2220202)sin(2sin2bkbklmgV)02:(0bklmg平衡条件22222)31(21bkmlL0)(ddLLt0)31(22kbml 0322mlkb 22n322Tkbmlk bPABC取平衡位置作为零势能点自在度1取广义坐标qkAm1m2例例6：空心轮的质量为：空心轮的质量为m1、半径、半径R，绳子的一端悬挂一质量为，绳子的一端悬挂一质量为m2的物体的物体A，另一端固结在弹簧上。试求，另一端固结在弹簧上。试求:物体物体A的微振动周期。的微振动周期。解：解：22212220)(212121RmmvmJT021mmk kmm21n22T 221)(RmmT 221)()(ddRmmTTt0T 221)()