高等数学-第七版--13-1 级数的收敛性

1、一、函数列及其一致收敛性 二、函数项级数及其一致收 敛性三、函数项级数的一致收敛 判别法 对于一般项是函数的无穷级数，其收敛性要比数项级数复杂得多，特别是有关一致收敛的内容就更为丰富，它在理论和应用上有着重要的地位.1 级数的收敛性数学分析 第十三章函数列与函数项级数*点击以上标题可直接前往对应内容数学分析 第十三章 函数列与函数项级数高等教育出版社设设12,(1)nfff是一列定义在同一数集是一列定义在同一数集 E 上的函数上的函数,上的函数列上的函数列. . ,1,2,.nnffn或或以以0 xE 代入代入 (1), 10200(),(),(),.(2)nfxfxfx1 级数的收敛性函数列

2、及其一致收敛性函数项级数及其一致收敛性函数项级数的一致收敛性判别法(1) 也可记为也可记为 可得数列可得数列 函数列及其一致收敛性后退 前进 目录 退出称为定义在称为定义在 E 数学分析 第十三章 函数列与函数项级数高等教育出版社0 x0 x如果数列如果数列(2)收敛收敛, 则称函数列则称函数列(1)在点在点收敛收敛, 称称 为函数列为函数列(1)的收敛点的收敛点. 列列(1)在点在点 发散发散. 0 x当函数列当函数列(1)在数集在数集 上每一上每一 DE 点都收敛时点都收敛时, 就称就称(1)在数集在数集 D 上收敛上收敛. x( )nfx一一 点点 都有数列都有数列 的一个极限值与之相对

3、应的一个极限值与之相对应 , 根据这个对应法则所确定的根据这个对应法则所确定的 D 上的函数上的函数, 称为函数称为函数 列列(1)的极限函数的极限函数. lim( )( ) ,nnfxf xxD1 级数的收敛性函数列及其一致收敛性函数项级数及其一致收敛性函数项级数的一致收敛性判别法如果数列如果数列(2)发散发散, 则称函数则称函数 这时这时 D 上每上每 若将此极限函数记作若将此极限函数记作f, 则有则有或或( )( )() ,.nfxf xnxD 数学分析 第十三章 函数列与函数项级数高等教育出版社 函数列极限的 定义N xD 对每一固定的对每一固定的 , 任给正数任给正数 , 数数N ,

4、 (注意注意: 一般说来一般说来N值与值与 和和 的值都有关的值都有关, x, x)表示三者之间的依赖关系表示三者之间的依赖关系) 所以有时也用所以有时也用N( 使当使当nN 时时, 总有总有 |( )( )|.nfxf x 使函数列使函数列nf收敛的全体收敛点集合收敛的全体收敛点集合, 称为函数列称为函数列 nf的的收敛域收敛域. 1 级数的收敛性函数列及其一致收敛性函数项级数及其一致收敛性函数项级数的一致收敛性判别法总存在总存在正正数学分析 第十三章 函数列与函数项级数高等教育出版社例例1 ( ),1,2,nnfxxn 设设为为定定义义在在( (- -) )上的上的 函数列函数列, 证明它

5、的收敛域是证明它的收敛域是( 1,1 , 且有极限函数且有极限函数 0,| 1,( )1,1.xf xx0(1),0| 1,x 任任给给不不妨妨设设当当时时|( )( )| |,nnfxf xxln( ,),( ,)ln|NxnNxx 只只要要取取当当时时, ,|( )( )| |.nNnfxf xxx 1 级数的收敛性函数列及其一致收敛性函数项级数及其一致收敛性函数项级数的一致收敛性判别法由于由于 证证 就有就有数学分析 第十三章 函数列与函数项级数高等教育出版社01,xx当当和和时时|(0)(0)| 0nff ，|(1)(1)| 0.nff 所表示的函数所表示的函数. | 1|(),nxx

6、n当当时时, , 有有 又又1,1,1,1,对对应应的的数数列列为为 显然是发散的显然是发散的. nx( 1,1 所以函数列所以函数列在区间在区间 外都是发散的外都是发散的. 故所讨论故所讨论的的函数列的收敛域是函数列的收敛域是 ( 1,1. 这就证明了这就证明了 在在( , 1 上收敛上收敛, nf11 级数的收敛性函数列及其一致收敛性函数项级数及其一致收敛性函数项级数的一致收敛性判别法对任何正整数对任何正整数 n , 都有都有1,x当当时时 且极限就是且极限就是(3)式式数学分析 第十三章 函数列与函数项级数高等教育出版社例例2 sin(,)( ),nnxfxn 定定义义在在上上的的函函数

7、数列列1,2,.n sin1,nxnn10,nN 故对任给的只要就有故对任给的只要就有sin0.nxn ,x由于对任何实数都有由于对任何实数都有所以函数列所以函数列sin(,),nx n 的的收收敛敛域域为为( )0.f x 极极限限函函数数为为1 级数的收敛性函数列及其一致收敛性函数项级数及其一致收敛性函数项级数的一致收敛性判别法数学分析 第十三章 函数列与函数项级数高等教育出版社注注 对于函数列对于函数列, 仅停留在讨论在哪些点上收敛是远远仅停留在讨论在哪些点上收敛是远远1 级数的收敛性函数列及其一致收敛性函数项级数及其一致收敛性函数项级数的一致收敛性判别法例如例如, 能否由函数列每项的连

8、续性、可导性来判断出能否由函数列每项的连续性、可导性来判断出重要的是要研究极限函数与函数列所具有的重要的是要研究极限函数与函数列所具有的解析性质的关系解析性质的关系. 极限函数的连续性和可导性极限函数的连续性和可导性; 必须对它在必须对它在 D上的收敛性上的收敛性或极限函数的导数或积或极限函数的导数或积分是否分别是函数列每项导数或积分的极限分是否分别是函数列每项导数或积分的极限.对这些更深刻问题的讨论对这些更深刻问题的讨论,提出更高的要求才行提出更高的要求才行. 不够的不够的,数学分析 第十三章 函数列与函数项级数高等教育出版社 定义1设函数列设函数列nff与函数定义在同一与函数定义在同一D数

9、集数集 上上,N 若对任给的正数总存在某一正整数若对任给的正数总存在某一正整数nN,xD对一切都有对一切都有时，时，|( )( )|nfxf x ，nfDf则称函数列在上一致收敛于,记作则称函数列在上一致收敛于,记作( )( )(),.nfxf x nxD 1 级数的收敛性函数列及其一致收敛性函数项级数及其一致收敛性函数项级数的一致收敛性判别法由定义看到由定义看到, 一致收敛就是对一致收敛就是对 D 上上任何一点任何一点, 使当使当 于极限函数的速度是于极限函数的速度是 “一致一致” 的的. 这种一致性体现这种一致性体现为为: 函数列趋函数列趋与与 相对应相对应的的 N 仅与仅与 有关有关,

10、而与而与x在在D上的取值无关上的取值无关,( ).N 因而把这个对所有因而把这个对所有 x 都适用的都适用的 N 写作写作 数学分析 第十三章 函数列与函数项级数高等教育出版社例例2 中的函数列中的函数列 sinnxn 是一致收敛的是一致收敛的,1 级数的收敛性函数列及其一致收敛性函数项级数及其一致收敛性函数项级数的一致收敛性判别法,x 正正数数不不论论(- ,+ )(- ,+ )因为对任意给定的因为对任意给定的取取上什么值上什么值 , N 1 1只只要要取取，,nN当当时时 恒恒有有sin.nxn sin( )0nxf xn所所以以函函数数列列在在(- ,+ )(- ,+ )上上一一致致收收

11、敛敛于于. .显然显然, 若函数列若函数列 nf在在 D 上一致收敛上一致收敛, 则则必在必在 D 上上每一点每一点都收敛都收敛. 它在它在 D 上不一定一致收敛上不一定一致收敛. 反之反之, 在在 D 上每一点都收敛的函数列上每一点都收敛的函数列, 数学分析 第十三章 函数列与函数项级数高等教育出版社在在 D 上不一致收敛于上不一致收敛于 f 的正面陈述是的正面陈述是: nf函函数数列列存在某正数存在某正数0, 对任对任何正数何正数 N, 必定存在必定存在 0 xD和和00 xn与与的取值与的取值与 N 有关有关 ), ( 注意注意: 0nN正正整整数数使得使得1 级数的收敛性函数列及其一致

12、收敛性函数项级数及其一致收敛性函数项级数的一致收敛性判别法0000()().nfxf x (0,1)0.nx在在上上不不可可能能一一致致收收敛敛于于由例由例1 中知道中知道, 下面来证明这个结论下面来证明这个结论. 事实上事实上 , 若取若取01,2,2N 对对任任何何正正整整数数10011(0, 1),NnNxN取取正正整整数数及及就有就有 001101.2nxN数学分析 第十三章 函数列与函数项级数高等教育出版社nff函函数数列列一一致致收收敛敛于于的的几几何何意意义义: :号大于号大于N 的的所所有有曲曲线线( )yf x 都都落落在在曲曲线线与与( )yf x 所所夹夹的的带带状区域之

13、内状区域之内.( ) (),nyfxnN00,N , ,对对于于序序yOxba( )yf x ( )yf x ( )yf x ( )nyfx 图 13-1 1 级数的收敛性函数列及其一致收敛性函数项级数及其一致收敛性函数项级数的一致收敛性判别法数学分析 第十三章 函数列与函数项级数高等教育出版社就是存在某个预预先给定的就是存在某个预预先给定的 (0,1)nx函函数数列列在在区区间间上上不不一一致致收收敛敛1xyxO2x113x 不能全部落在由不能全部落在由 与与 y y 夹成的带状区域内夹成的带状区域内. . (1)b上上, 1 级数的收敛性函数列及其一致收敛性函数项级数及其一致收敛性函数项级

14、数的一致收敛性判别法( 1), 总存在某条曲线总存在某条曲线 (),nyxnN从几何意义上看从几何意义上看nx所所以以在在0, b上是一致收敛的上是一致收敛的. y y 和和 所夹成的带状所夹成的带状nyx曲线曲线 就全部就全部落在落在ln(01),lnnb 其中其中只要只要 无论无论 N 多么大多么大,只限于在区间只限于在区间nx若函数列若函数列 0, b则容易看到则容易看到, 区域内，区域内，数学分析 第十三章 函数列与函数项级数高等教育出版社 定理13.1（函数列一致收敛的柯西准则）函数列函数列nfD在数集在数集上一致收敛的充要条件是上一致收敛的充要条件是: 对任给正数对任给正数 , ,

15、n mN时时 总存在正数总存在正数 N , 使当使当xD 对一切对一切, 都有都有 |( )( )|.(4)nmfxfx 即对即对证证 必要性必要性 1 级数的收敛性函数列及其一致收敛性函数项级数及其一致收敛性函数项级数的一致收敛性判别法存在正数存在正数N, 使得当使得当 nN时时, 任给任给0, 都有都有 |( )( )|.(5)2nfxf x ,n mN于于是是当当, ,由由( (5 5) )得得|( )( )| |( )( )|( )( )|nmnmfxfxfxf xf xfx( )( )(),nfxf xnxD设设,xD对一切对一切 .22 数学分析 第十三章 函数列与函数项级数高等教

16、育出版社充分性充分性 若条件若条件 (4) 成立成立, 由数列收敛的柯西准则由数列收敛的柯西准则, 在在D上任一点都收敛上任一点都收敛, nf1 级数的收敛性函数列及其一致收敛性函数项级数及其一致收敛性函数项级数的一致收敛性判别法 (4),nm现现固固定定式式中中的的让让x D对对一一切切都都有有|( )( )|.nfxf x 由定义由定义1知知, ( )( )(),.nfxf xnxD 定理13.1（函数列一致收敛的柯西准则）函数列函数列nfD在数集在数集上一致收敛的充要条件是上一致收敛的充要条件是: 对任给正数对任给正数 , ,n mN 总存在正数总存在正数 N , 使当使当xD 对一切对

17、一切, 都有都有 |( )( )|.(4)nmfxfx ,nN于于是是当当时时( ),.f xx D 记其极限函数为记其极限函数为数学分析 第十三章 函数列与函数项级数高等教育出版社 定理13.2（余项准则）根据一致收敛定义可推出下述定理根据一致收敛定义可推出下述定理:limsup|( )( )| 0.(6)nnx Dfxf x则对任则对任 证证 必要性必要性 ( )( )(),.nfxf xnxD若若 1 级数的收敛性函数列及其一致收敛性函数项级数及其一致收敛性函数项级数的一致收敛性判别法nffD函数列函数列 在区间在区间 上一致收敛于上一致收敛于 的充分必要条件是的充分必要条件是: 由上确

18、界的定义由上确界的定义, 对所有对所有nN, 也有也有sup|( )( )|.nx Dfxf x 这就得到了这就得到了(6)式式.有有 |( )( )|,.nfxf xxD 给的正数给的正数 , 存在不依赖于存在不依赖于 x 的正整数的正整数 N, nN当当时时, ,数学分析 第十三章 函数列与函数项级数高等教育出版社充分性充分性 由假设由假设, 对任给对任给0, 存在正整数存在正整数N, 使得使得 nN当当时时, ,有有sup|( )( )|.(7)nx Dfxf x ,xD因因为为对对一一切切总总有有|( )( )| sup |( )( )| .nnx Dfxf xfxf x故由故由 (7

19、) 式得式得( )( ),nfxf x 1 级数的收敛性函数列及其一致收敛性函数项级数及其一致收敛性函数项级数的一致收敛性判别法 定理13.2（余项准则）limsup|( )( )|0.(6)nnx Dfxf x nffD函数列函数列 在区间在区间 上一致收敛于上一致收敛于 的充分必要条件是的充分必要条件是: .nfDf于于是是在在上上一一致致收收敛敛于于数学分析 第十三章 函数列与函数项级数高等教育出版社1 级数的收敛性函数列及其一致收敛性函数项级数及其一致收敛性函数项级数的一致收敛性判别法注注 柯西准则的特点是不需要知道极限函数是什么柯西准则的特点是不需要知道极限函数是什么, 只是根据函数

20、列本身的特性来判断函数列是否一致只是根据函数列本身的特性来判断函数列是否一致 收敛，收敛，较为方便较为方便. (,)sin1limsup0lim0,nnxnxnn sin(,),0().nxnn所所以以在在上上而使用余项准则需要知道极限函数而使用余项准则需要知道极限函数, 但使用但使用如例如例2, 由于由于 推论函数列函数列 在在 D上不一致收敛于上不一致收敛于 f 的充分必要条件是的充分必要条件是: nf存在存在 ,nxD|()()|nnnfxf x 使得使得 不收敛于不收敛于0.数学分析 第十三章 函数列与函数项级数高等教育出版社例例3 定义在定义在0,1上的函数列上的函数列2212,0,

21、211( )22,1,2,(8)210,1,nn xxnfxnn xxnnnxn(0)0,nf由由于于(0)f故故lim(0)0.nnf01,x当当时时1,nx只要就有只要就有( )0,nfx (0,1故故在在上上有有( )lim( )0.nnf xfx1 级数的收敛性函数列及其一致收敛性函数项级数及其一致收敛性函数项级数的一致收敛性判别法数学分析 第十三章 函数列与函数项级数高等教育出版社1, 2, 3n 其其中中的图的图像如图像如图13-3 所示所示. (8)0,1于于是是在在上上的的极极限限函函数数( )0.f x为为0,11sup( )( )(),2nnxfxf xfnnn 所以函数列

22、所以函数列 (8) 在在0,1上不一致收敛上不一致收敛.133 图图()fx11f2f3f12131614213xyO1 级数的收敛性函数列及其一致收敛性函数项级数及其一致收敛性函数项级数的一致收敛性判别法又由于又由于数学分析 第十三章 函数列与函数项级数高等教育出版社例例4 讨论函数例讨论函数例222( )e,0,1n xnfxn xx 的一致的一致 收敛性收敛性. 解解 为了使用余项准则为了使用余项准则, 首先求出函数列的极限函数首先求出函数列的极限函数. 易见易见222( )lim( )lime0,0,1,n xnnnf xfxn xx 于是于是 222|( )(0)|e.n xnfxf

23、n x 222en xn x 0,1容易验证容易验证 在在 上只有惟一的极大值点上只有惟一的极大值点 01,2xn 因此为最大值点因此为最大值点. 12sup|( )( )|e2nnfxf x 根据余项准则知该函数列在根据余项准则知该函数列在0,1上不一致收敛上不一致收敛.1 级数的收敛性函数列及其一致收敛性函数项级数及其一致收敛性函数项级数的一致收敛性判别法于是于是数学分析 第十三章 函数列与函数项级数高等教育出版社00.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.511.522.5n = 1n = 2n = 3n = 4n = 5图13 4 1 级数的收敛性函数列及其一致收敛

24、性函数项级数及其一致收敛性函数项级数的一致收敛性判别法数学分析 第十三章 函数列与函数项级数高等教育出版社 定义2注注 222( )en xnfxn x 不一致收敛是因为函数列余不一致收敛是因为函数列余 0 x 项的数值在项的数值在 附近不能随附近不能随 n 的增大一致趋于零的增大一致趋于零 (见图见图13-4), ,1(0aa 222( )en xnfxn x 在该区间上一致收敛于零在该区间上一致收敛于零. 1), 0 1.nf因因此此在在， 上上内内闭闭一一致致收收敛敛nffI设设函函数数列列与与 定定义义在在区区间间 上上，1 级数的收敛性函数列及其一致收敛性函数项级数及其一致收敛性函数

25、项级数的一致收敛性判别法,a bI区区间间上上若若对对任任意意闭闭,nfa bf在在上上一一致致收收敛敛于于 ，.nfIf在在 上上内内闭闭一一致致收收敛敛于于则则称称因此对任何不含原点的区间因此对任何不含原点的区间数学分析 第十三章 函数列与函数项级数高等教育出版社( )nuxE设设是是定定义义在在数数集集上上的的一一个个函函数数列列, ,表表达达式式12( )( )( ),(9)nu xuxuxxE1( )nnux简简记记为为或或( ).nux1( )( ),1,2,(10)nnkkSxuxxE n为函数项级数为函数项级数(9)的部分和函数列的部分和函数列.1 级数的收敛性函数列及其一致收

26、敛性函数项级数及其一致收敛性函数项级数的一致收敛性判别法函数项级数及其一致收敛性称为定义在称为定义在E上的函数项级数上的函数项级数, 称称0,xE若若数数项项级级数数10200()()()(11)nu xuxux0 x称为称为 (9)的收的收敛点敛点.收敛收敛, 0 x收敛收敛, 则称级数则称级数(9)在点在点数学分析 第十三章 函数列与函数项级数高等教育出版社1 级数的收敛性函数列及其一致收敛性函数项级数及其一致收敛性函数项级数的一致收敛性判别法若级数若级数(11)发散发散, 则称级数则称级数(9)在点在点0 x发散发散. E 的某个子集的某个子集 D上每点都收敛上每点都收敛, 则称则称 D

27、为级数为级数(9)的的若级数若级数(9)在在 则称级数则称级数(9)在在D上收敛上收敛. 若若 D 为级数为级数(9)全体收敛点的集合全体收敛点的集合,级数级数(9)在在 D上每一点上每一点 x 与其所对应的数项级与其所对应的数项级收敛域收敛域.数数(11)的的和和( )S x构成一个构成一个定义在定义在 D 上的函数上的函数, 12( )( )( )( ) ,nu xuxuxS xxD即即lim( )( ) ,.nnSxS xxD(9)的和函数的和函数, 记作记作称为级称为级也就是说也就是说, 函数项级数函数项级数(9)的收敛性就是指它的部分和的收敛性就是指它的部分和函数列函数列(10)的收

28、敛性的收敛性. 数学分析 第十三章 函数列与函数项级数高等教育出版社例例5 (,) 定定义义在在上上的的函函数数项项级级数数( (几几何何级级数数) )21,(12)nxxx1( ).1nnxSxx的的部部分分和和函函数数为为( )lim( )nnS xSx1(12)( 1,1)( );1S xx所所以以几几何何级级数数在在收收敛敛于于|1,.x 当当时时 几几何何级级数数是是发发散散的的1 级数的收敛性函数列及其一致收敛性函数项级数及其一致收敛性函数项级数的一致收敛性判别法| 1x当当时时, ,1.1x数学分析 第十三章 函数列与函数项级数高等教育出版社 定义3( )( )nnSxux设设是

29、是函函数数项项级级数数的的部部分分和和函函数数列列. .( )( ),nSxDS x若若在在数数集集 上上一一致致收收敛敛于于 则称则称( )( ),nuxDS x函函数数项项级级数数在在上上一一致致收收敛敛于于函函数数( ).nuxD或或称称在在上上一一致致收收敛敛由于函数项级数的一致收敛性是由它的部分和函数由于函数项级数的一致收敛性是由它的部分和函数1 级数的收敛性函数列及其一致收敛性函数项级数及其一致收敛性函数项级数的一致收敛性判别法列来确定列来确定, 所以得到的有关函数项级数的定理所以得到的有关函数项级数的定理.数学分析 第十三章 函数列与函数项级数高等教育出版社 定理13.3（一致收

30、敛的柯西准则）函数项级数函数项级数 ( )nux在数集在数集 D 上一致收敛的充要上一致收敛的充要存在正整数存在正整数N， ，对任给的正数对任给的正数使当使当 对一切对一切 ,xDp和和一一切切正正整整数数|( )( )|,n pnSxSx 或或12|( )( )( )|.nnn puxuxux 此定理中当此定理中当 p=1 时时, 得到函数项级数一致收敛的一个得到函数项级数一致收敛的一个1 级数的收敛性函数列及其一致收敛性函数项级数及其一致收敛性函数项级数的一致收敛性判别法条件为条件为:n N时时，都有都有必要条件必要条件.数学分析 第十三章 函数列与函数项级数高等教育出版社 定理13.4（

31、余项法则） 推论 (函数项级数一致收敛的必要条件) 函数项级函数项级数数( )nuxD在在数数集集上上一一致致收收敛敛的的( )nuxD必要条件是函数必要条件是函数 列列 在在上一致收敛于零上一致收敛于零. ( )( ),nuxDS x设设函函数数项项级级数数在在上上的的和和函函数数为为称称( )( )( )nnRxS xSx( ).nux为为函函数数项项级级数数的的余余项项limsup|( )| limsup|( )( )| 0.nnnnx Dx DRxS xSx1 级数的收敛性函数列及其一致收敛性函数项级数及其一致收敛性函数项级数的一致收敛性判别法( )( )nuxDS x函函数数项项级级

32、数数在在数数集集 一一致致收收敛敛于于的的充充要要条条件件是是数学分析 第十三章 函数列与函数项级数高等教育出版社0,nnx我我们们再再来来看看例例4 4中中的的级级数数则由则由 ,sup |( )( )|sup0()11nnnxa axa axaSxS xnxa0, nnxa a可可得得级级数数在在上上一一致致收收敛敛. .若在若在(1, 1)上讨论这个级数上讨论这个级数, 则由则由 1 级数的收敛性函数列及其一致收敛性函数项级数及其一致收敛性函数项级数的一致收敛性判别法 ( 1,1)( 1,1)sup |( )( )|sup1111nnnxxxnnSxS xnnx 1()1nnnnn0(

33、1,1)nnx知知道道级级数数在在内内不不一一致致收收敛敛. ., (1)a a a若若仅仅在在上上讨讨论论数学分析 第十三章 函数列与函数项级数高等教育出版社20(1)nnxx 0,1例例6 讨论函数项级数讨论函数项级数在在上一致上一致收敛性收敛性. 1 级数的收敛性函数列及其一致收敛性函数项级数及其一致收敛性函数项级数的一致收敛性判别法210( )(1)(1)(1)nknnkSxxxxx 所以所以 ( )lim( )(1)0,1.nnS xSxxx ，于是于是|( )( )|(1),0,1,nnS xSxxxx 由由1(1)(1)0nnnxxnxnx 解得最大值点解得最大值点 0,1nxn

34、 故故 0 x (1)0nS 01x 当当时时,; 当当 时时解解0,1sup |( )( )|nxS xSx 1011nnnn因此因此20(1)nnxx 在在0,1上一致收敛上一致收敛.数学分析 第十三章 函数列与函数项级数高等教育出版社注注 当和函数容易求出时当和函数容易求出时, 0n 1n 2n ( )1S xx ( )()()111nnS xxx xy0.510.20.40.60.81O图图 13 - 51 级数的收敛性函数列及其一致收敛性函数项级数及其一致收敛性函数项级数的一致收敛性判别法20(1)nnxx 0,1例例6 讨论函数项级数讨论函数项级数在在上一致上一致收敛性收敛性. 余

35、项准则是比较好用的余项准则是比较好用的一种判别方法一种判别方法.数学分析 第十三章 函数列与函数项级数高等教育出版社 定理13.5 ( 魏尔斯特拉斯判别法，或优级数判别法 ) 判别函数项级数的一致收敛性除了根据定义、柯西判别函数项级数的一致收敛性除了根据定义、柯西( ),nuxD定定义义在在数数集集上上nM设函数项级数设函数项级数为收为收 敛的正项级数，敛的正项级数，,xD若若对对一一切切有有|( )|,1,2,(13)nnuxMn( )nuxD则则函函数数项项级级数数在在上上一一致致收收敛敛. .1 级数的收敛性函数列及其一致收敛性函数项级数及其一致收敛性函数项级数的一致收敛性判别法函数项级

36、数的一致收敛判别法准则或余项准则外准则或余项准则外, 有些级数还可以根据级数一般项有些级数还可以根据级数一般项的某些特性来判别的某些特性来判别. 数学分析 第十三章 函数列与函数项级数高等教育出版社证证 ,nM由由假假设设正正项项级级数数收收敛敛 根根据据数数项项级级数数的的柯柯西准则西准则, 及任何正整数及任何正整数 p, 有有 11|.nn pnn pMMMM (13)xD又又由由式式对对一一切切有有11|( )( )| |( )|( )|nn pnn puxuxuxux根据函数项级数一致收敛的柯西准则根据函数项级数一致收敛的柯西准则, 级数级数( )nux在在 D 上一致收敛上一致收敛.

37、 1.nn pMM 1 级数的收敛性函数列及其一致收敛性函数项级数及其一致收敛性函数项级数的一致收敛性判别法, 存在某正整数存在某正整数N, 使得当使得当 n N 任给正数任给正数|( )|,1,2,(13)nnuxMn数学分析 第十三章 函数列与函数项级数高等教育出版社例例7 函数项级数函数项级数 22sincos,nxnxnn (,)在在上上一一致致收收敛敛. .2222sin1cos1,nxnxnnnn21.n而而正正项项级级数数是是收收敛敛的的当级数当级数( ) , nnuxMa b与与级级数数在在区区间间上成立关系式上成立关系式1 级数的收敛性函数列及其一致收敛性函数项级数及其一致收

38、敛性函数项级数的一致收敛性判别法( )nnMux为为或称或称的的优级数优级数. nM , a b则称级数则称级数在区间在区间上优于级数上优于级数 ( )nux (,)x因因为为对对一一切切有有(13)时时, 优级数判别法也称为优级数判别法也称为M 判别法判别法.数学分析 第十三章 函数列与函数项级数高等教育出版社 定理13.6 (阿贝尔判别法) 对于定义在区间对于定义在区间I上的函数项级数上的函数项级数有类似的判别定理有类似的判别定理:1 级数的收敛性函数列及其一致收敛性函数项级数及其一致收敛性函数项级数的一致收敛性判别法设设 (i)( );nuxI在在区区间间上上一一致致收收敛敛(ii),(

39、 );nxIvx对对于于每每一一个个是是单单调调的的(iii)( ),nvxIxI在在上上一一致致有有界界 即即对对一一切切整数整数 n , 存在正数存在正数 M, |( )|,nvxM则级数则级数(14)在在 I 上一致收敛上一致收敛.1122( )( )( ) ( )( )( )nnux vxu x vxux vx( )( )(14)nnux vx和正和正使得使得 数学分析 第十三章 函数列与函数项级数高等教育出版社12|( )( )( )|nnn puxuxux 又由又由(ii),(iii)及阿贝耳引理及阿贝耳引理(第十二章第十二章3的引理的推的引理的推 论论)得到得到 11|( )(

40、)( )( )|nnn pn pux vxux vx由函数项级数一致收敛性的柯西准则由函数项级数一致收敛性的柯西准则, 得级数得级数(14) 在在 I 上一致收敛上一致收敛. 1(|( )| 2|( )|)3.nn pvxvxM证证 (i),0,NnN 由任给存在某正数使得当及由任给存在某正数使得当及,pxI任何正整数对一切有任何正整数对一切有1 级数的收敛性函数列及其一致收敛性函数项级数及其一致收敛性函数项级数的一致收敛性判别法数学分析 第十三章 函数列与函数项级数高等教育出版社 定理13.7 (狄利克雷判别法) 设设(i)( )nux 的部分和数列的部分和数列1( )( )(1,2,)nn

41、kkUxuxn在在 I 上一致有界上一致有界;(ii),( );nxIvx对对于于每每一一个个是是单单调调的的 (iii)( )0(),nIvxn在在上上则级数则级数(14)在在I上一致收敛上一致收敛.|( )|.nUxM证证 由由(i), 存在正数存在正数 M, 对一切对一切x I, 有有 1 级数的收敛性函数列及其一致收敛性函数项级数及其一致收敛性函数项级数的一致收敛性判别法因此当因此当 n, p 为任何正整数时为任何正整数时, 12|( )( )( )|nnn puxuxux|( )( )| 2.n pnUxUxM数学分析 第十三章 函数列与函数项级数高等教育出版社对任何一个对任何一个

42、x I, 再由再由(ii)及阿贝耳引理得到及阿贝耳引理得到 11|( )( )( )( )|nnn pn pux vxux vx 0, 存在正数存在正数N, 当当nN 时时, 对对 再由再由(iii), 对任给的对任给的 一切一切x I, 有有 |( )|,nvx 所以所以12(|( )| 2|( )|).nn pMvxvx1 级数的收敛性函数列及其一致收敛性函数项级数及其一致收敛性函数项级数的一致收敛性判别法11|( )( )( )( )|nnn pn pux vxux vx2(2 )6.MM 于是由一致收敛性的柯西准则于是由一致收敛性的柯西准则, 级数级数(14)在在I上一致收敛上一致收敛. 数学分析 第十三章 函数列与函数项级数高等教育出版社例例8 函数项级数函数项级数11( 1) ()nnnnxnn在在0, 1上一致收敛上一致收敛.( 1)( ),nnuxn记记nu 于是于是在在