多元函数微分法2010ppt课件学习教案

1、会计学1多元函数多元函数(hnsh)微分法微分法2010ppt课件课件第一页，共76页。.,),(),(),(),(yxyxffyzxzzyxyxfyxfDyxfz或或记记为为简简称称为为偏偏导导数数的的偏偏导导函函数数称称为为的的函函数数它它们们均均为为上上的的每每一一点点都都有有偏偏导导数数在在区区域域若若 处处可可偏偏导导。在在点点偏偏导导数数时时，简简称称的的与与对对处处同同时时存存在在对对在在点点当当函函数数00,00),()(),(MyxfyxyxMyxfz 第1页/共75页第二页，共76页。xyxzuxyzyeyxxzyzxz )3(;arctan)2( ;2)1( :,323求

2、求偏偏导导数数例1xxeyxyzyexyxxz 22326 ,43)1(:解解第2页/共75页第三页，共76页。11;ln ;lnln)3( xxxyxxyxyzyzuxyzzyuyyzzxu2222222 ;)(11)2(yxxyzyxyxyxyxz 第3页/共75页第四页，共76页。).0 ,0(),0 ,0()2(.)0 ,0(),()1( )0 ,0(),( 0)0 ,0(),( ),(422yxffyxfyxyxyxxyyxf求求的的连连续续性性在在讨讨论论设设 .)0,0(),(.lim),(lim)1(:422)0,0(),()0,0(),(点点不不连连续续在在不不存存在在由由第

3、第二二节节例例知知解解yxfyxxyyxfyxyx 0)0,0(),0(lim)0,0(0)0,0()0,(lim)0,0().2(00 yfyffxfxffyyxx例2函数中，可导必连续。函数中，可导必连续。在该点连续。而在一元在该点连续。而在一元不能保证不能保证在一点的偏导数存在在一点的偏导数存在二元函数二元函数),( ),(yxfyxf第4页/共75页第五页，共76页。:偏偏导导数数的的几几何何意意义义.)(,( ),(:),(0,00,00000轴轴的的斜斜率率处处的的切切线线对对在在点点表表示示曲曲线线yyxfyxMxxyxfzyxfy .)(,( )(:)(0,00,0000,0轴

4、轴的的斜斜率率处处的的切切线线对对在在点点表表示示曲曲线线xyxfyxMyyx,yfzyxfx 第5页/共75页第六页，共76页。xyz),(yxNyxMxT),(yxfz yT第6页/共75页第七页，共76页。3.2 高阶偏导数(do sh)二二阶阶混混合合偏偏导导数数 )(),()(),(y 22yzxyxfxyzxzyyxfxzyxxy .,., 阶阶偏偏导导数数以以及及四四阶阶类类似似地地定定义义三三阶阶n)(),(y )(),( 2222yzyyxfzxzxyxfxzyyxx 二二阶阶偏偏导导数数第7页/共75页第八页，共76页。.,),0(),(222222yzxzxyzyxzxx

5、yxfzy 求求设设xyzxyxxyxzxxyzxxyzxyyxzyxxzyyyyyy 21122222221ln )(ln,ln )1(,:解解例3第8页/共75页第九页，共76页。0 1222222222 zuyuxuzyxu满满足足拉拉普普拉拉斯斯方方程程证证明明25222222252222322222)(2 2)(23)(1 zyxzyxxzyxxzyxxu 例4 )( 2)(21:2322223222zyxxxzyxxu 证证明明第9页/共75页第十页，共76页。25222222222522222222)(2 , )(2 :zyxxyzzuzyxxzyyu 同同样样可可得得02222

6、22 zuyuxu第10页/共75页第十一页，共76页。0)0 , 0()0, 0(lim)0 , 0( 0)0 , 0()0 , 0(lim)0 , 0(:00 yfyffxfxffyyxx解解 (0,0).(0,0),0 00 ),(2222223yxxyffyxyxyxyxyxf求求 22223522232422)(2),( ,)(3),(,0yxyxxyxfyxyxyxyxfyxyx 时时当当例5第11页/共75页第十二页，共76页。,5,32222xyyyxyxyyyxy 中中例例而而中中例例?么么条条件件混混合合偏偏导导数数相相等等需需要要什什00lim )0,0(),0(lim)

7、0,0(00 yyfyffyxxyxy )0 , 0()0 , 0(1lim)0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(00yxxyxyyxyxffxxxfxff 第12页/共75页第十三页，共76页。. ),(),(,),( ),(),(),(:1 . 3关关即与求偏导数的次序无即与求偏导数的次序无则有则有处连续处连续存在，且在点存在，且在点内内的某邻域的某邻域在点在点若若定理定理yxfyxfyxyxyxfyxfxyyxyxxy 10 ),( ),(),( ),(),(),( ),(),( ),(),(:11 yyyxyxyyxFyxfyxxfyxyxfyxxfyyxfyyxxfFy则则设设

8、证证明明 10 ),( ),(),( 21211 yxyyxxfyyyxfyyxxfyxyy第13页/共75页第十四页，共76页。),(),( :0, 0, ),(),( 1,0 ),( : 43424343yxfyxfyxffyyxxfyyxxfyxyyxxfFyxxyyxxyxyyxxy 得得令令连连续续由由于于同同样样可可得得 第14页/共75页第十五页，共76页。定义(dngy) 3.23.3 全微分(wi fn),(),(yxfyyxxfz :),(),( 处的全增量处的全增量在在yxyxfz , )()(),(),( ),(),(22有有关关而而与与无无关关与与其其中中的的全全增增

9、量量可可表表示示为为在在点点如如果果yxyxyxoyxyxfyyxxfzyxyxfz yxdzdzyxyxfzyxyxyxfz ,),(),(,),(),( 即即记记为为的的全全微微分分在在点点为为处处可可微微在在点点则则称称第15页/共75页第十六页，共76页。如果(rgu)函数f在区域D内处处可微，则称f为区域D内可微函数。yyzxxzdz 则则可可微微在在点点若若函函数数必必要要条条件件定定理理,),(),()(2yxyxfz 且且处存在偏导数处存在偏导数在在,),(),()2(yzxzyxyxf ;),(),()1(处处连连续续在在yxyxf第16页/共75页第十七页，共76页。),(

10、),(lim)()(),(),(),(),()1()0,0(),(22yxfyyxxfyxoyxyxfyyxxfzyxyxfzyx 处处可可微微在在证证明明处处连连续续在在),(),(yxyxf第17页/共75页第十八页，共76页。 )(lim),(),(lim 00 xxoxyxfyxxfxzxx于于是是处处可可微微在在),(),(),(),(),(),(),(),()2(yoyyxfyyxfxoxyxfyxxfyxyxfz )(lim),(),(lim 00yyoyyxfyyxfyzyy第18页/共75页第十九页，共76页。由于自变量的微分等于(dngy)自变量的改变量,即,d ,dyyx

11、x 从而(cng r)全微分可写成可微连续(linx)和可偏导可微可偏导?dyyzdxxzdz 第19页/共75页第二十页，共76页。.)0 , 0(),(),0 , 0(),0 , 0(00 0sin),(222222处处的的可可微微性性在在并并讨讨论论求求设设yxfffyxyxyxyxyxfyx 0000lim)0 , 0(), 0(0lim)0 , 0( 0000lim)0 , 0()0 ,(0lim)0 , 0(: yyyfyfyfxxxfxfxfyx解解例6第20页/共75页第二十一页，共76页。22)()()sin(yxyx )0 , 0()0 ,0(fyxff 而而22)()()

12、0 , 0()0 , 0(yxyfxffyx 22)()()sin(yxyx 而极限220)()()sin(limyxyx 不存在。第21页/共75页第二十二页，共76页。,.,62:的条件的条件高阶无穷小高阶无穷小是比是比加上加上必须再必须再但它并不一定是全微分但它并不一定是全微分表达式表达式当偏导数存在时可得到当偏导数存在时可得到而非充分条件而非充分条件要条件要条件偏导数存在是可微的必偏导数存在是可微的必知知及例及例由定理由定理注注 yyzxxzzdzyyzxxz 才能(cinng)保证全微分存在，且yyzxxzdz 第22页/共75页第二十三页，共76页。定理(dngl)3.3（充分条件

13、） .,在在该该点点可可微微则则函函数数处处连连续续在在点点的的偏偏导导数数若若fyxMyzxzyxfz 0,1010,:2121 yyxfxyxfyyyxfxyyxxfyxfyyxfyyxfyyxxfyxfyyxxfzyxyx证证明明 yxyyxfxyxfyx ,第23页/共75页第二十四页，共76页。 ;0;0lim,0lim;002222 oyxyxyyxxyx又又而而由定义(dngy)知，f 在M点可微。第24页/共75页第二十五页，共76页。 处处在在求求全全微微分分2, 12)2( )1(:34xyxzezyx dydxdzyzxzyxyzyxxzdyxedxyedzyxyx123

14、412,34:2, 13,242 1:)2,1(2433 处处在在解解例8处处的的全全微微分分。在在求求函函数数)1 , 1 , 1()ln(2zyxu 第25页/共75页第二十六页，共76页。例 9 设二元函数(hnsh)00 01sin),(22222222 yxyxyxyxyxf）（问在(0,0)处，f (x, y)的偏导数是否(sh fu)存在？偏导数是否(sh fu)连续？f(x, y)是否(sh fu)可微？解： 01sinlim0,00,0lim0,02200 xxxxfxffxxx第26页/共75页第二十七页，共76页。同样(tngyng) 00,0 yf022 yx时 不不存

15、存在在yxfyxfyxyxyyxyyxfyxyxxyxxyxfyyxxyxyx,lim,lim1cos21sin2,1cos21sin2,0,0,0,0,222222222222 第27页/共75页第二十八页，共76页。所以在一点可微，在此点 偏导数(do sh)不一定连续。 .0,0 ,0,1sin 0 ,00 ,0222222 dfyxfyxoyxyxyfxffyx且且可可微微在在而而第28页/共75页第二十九页，共76页。f 的偏导数(do sh)连续 f 可微f 的偏导数(do sh)存在(可导)f 连续(linx)几个概念之间的关系见下图：第29页/共75页第三十页，共76页。与一元

16、函数类似，多元函数的微分运算(yn sun)法则：设f(x,y),g(x,y)是可微函数(hnsh)，则：; 0),(,),(),(),(),(),(),(),()3();,(),(),(),(),(),()2();,(),(),(),()1(2 yxgyxgyxdgyxfyxdfyxgyxgyxfdyxdgyxfyxdfyxgyxgyxfdyxdgyxdfyxgyxfd多元(du yun)函数的全微分也可用于近似计算与误差估计。第30页/共75页第三十一页，共76页。习题(xt)5.3(P2223)作 业1. (3)(5)(6)(8)；2.(2)(3); 3(2); 4. (3)(4);5(

17、2); 6; 10; 13.第31页/共75页第三十二页，共76页。第四节 微分运算(yn sun)法则4.1 复合(fh)函数微分法 yyvvzyuuzxxvvzxuuzzyxyxyxfzvuvufzyxyxvyxuddd, 且其全微分为且其全微分为微微处也必可处也必可在点在点函数函数则复合则复合处可微处可微在对应的点在对应的点而而处可微处可微均在点均在点设设 定理(dngl)4.1第32页/共75页第三十三页，共76页。 yvvzyuuzyzxvvzxuuzxz 故多元函数有如下(rxi)链式求导法则：第33页/共75页第三十四页，共76页。按线相乘(xin chn),分线相加zuvxyx

18、y第34页/共75页第三十五页，共76页。 全导数全导数的的对对它称为复合函数它称为复合函数于是有于是有的一元函数的一元函数复合以后是复合以后是则则均分别可微均分别可微设设xzxvvzxuuzxzxxfzxxvxuvufzdddddd,1 zuuwzwyuuwywxuuwxwzyxuufw dd,dd,dd,2则有则有均可微均可微设设 几种特殊(tsh)的情形：第35页/共75页第三十六页，共76页。 yzzfyfyuxzzfxfxu，yxzzyxfu ,3则有则有均可微均可微设设 左端 表示复合后对x的偏导数,xu 右端 表示复合前对x的偏导数,xf 第36页/共75页第三十七页，共76页。

19、yzxzyxvxyuvezu ,2sin求求设设)(2cos2)(2sin2cos22sin)(2cos2)(2sin2cos22sin:yxexyxyevexveyzyxeyxyevevyexzxyxyuuxyxyuu 解解例1第37页/共75页第三十八页，共76页。.,sin,cos,),( zrzryrxyxfz求求可可微微设设 ryzxr :解解 sincosxzyzryyzxxzzryyzrxxzrz sincosyzxz 222222222sincos1 sincos1 yzxzxzyzrryzxzzrrz 例2第38页/共75页第三十九页，共76页。ztyuzfzuxtyfxyf

20、xfxu :解解 ., ,),(zuxuzxttxyzyxfu 求求均均可可微微设设 utxzyxzx是不同的是不同的与与与与注意题中注意题中zfzuxfxu ,例3第39页/共75页第四十页，共76页。.,),2(2222xzyxzxzfxyyxfz 求求有有二二阶阶连连续续偏偏导导数数设设 ,2:2xyvyxu 设设解解vxzyuyx22yffxzvu )2(2422222yffyyffxzxxzvvvuuvuu vuvvvuuvvvuvuvuuyffyxyfxyfxyffyyfxyffxzyyxz242221222)1(22322 例4vuff ,第40页/共75页第四十一页，共76页。

21、4222121122221244,2:, 2, 1,2,yfyffxzyffxzxyyxvu 则则有有分分别别简简记记为为而而把把可可不不引引入入符符号号为为了了书书写写简简单单起起见见2122231122)4(22fyfyyxfxyfxyz .,21原变量的复合函数原变量的复合函数仍是仍是一定要注意一定要注意在求二阶偏导数时在求二阶偏导数时ff第41页/共75页第四十二页，共76页。. ),sin(222yxzfyxyefzx 求求有有二二阶阶连连续续偏偏导导数数，设设xz12yxyxfyefxzx2sin21 ：解解12)cossin(2fyxyyex 221121222111211242

22、sin21cos2cos2 cossin2cosxyfyfeyfeyfyefxyefyeyfyefxzyyxzxxxxxx 例5第42页/共75页第四十三页，共76页。.).,()2(,2yxzxyxgyxfzgf 求求有有二二阶阶连连续续偏偏导导数数有有二二阶阶导导数数设设22212 22122:gxygxgfyxzyggfxz 解解例6第43页/共75页第四十四页，共76页。0111222 2 2 2 2 yxuyxuxgxyfyxxgxygxxgyxfxuyyxu.,222yxuyxuxxygxyxfyugf 求求二二阶阶连连续续可可微微设设21:gxygfxyxgxygyyfxu 解解

23、 2 22 221xygxygxyxygfyxu 32 1gxyfy 例7第44页/共75页第四十五页，共76页。变变换换为为为为何何值值时时，可可使使问问设设0034,),(,),( uuuubababyxayxuuyyxyxx例8 buubaauuubabuuauuuuuxyyyxx )(,2 ,222解解第45页/共75页第四十六页，共76页。31,11,31 baba或或02446 , 0143 , 01430 0)143( )2446( )143(342222 baabbbaauubbubaabuaauuuyyxyxx变换为变换为第46页/共75页第四十七页，共76页。 ijmjji

24、nmiinnxuufxFxxxFxxufxFyxxxuuufymixxunxxx 1111, , 1 ,R,且有且有的偏导数均存在的偏导数均存在关于各个变量关于各个变量从而从而处也必可微处也必可微在在合函数合函数则复则复处可微处可微对应的对应的在在而数量值函数而数量值函数处可微处可微在在元数量值函数元数量值函数设设 推广(tugung)到n元函数第47页/共75页第四十八页，共76页。一阶微分形式的不变性:,),(则则可可微微设设vufz yxyxfz, dvvzduuzdzvu 有有为自变量为自变量若若, ,yxvyxu 若若dyyzdxxzdz 有有第48页/共75页第四十九页，共76页。

25、 dyyvdxxvvzdyyudxxuuzdyyvvzyuuzdxxvvzxuuzdvvzduuz 性性一阶全微分形式的不变一阶全微分形式的不变，均有：，均有：是中间变量还是自变量是中间变量还是自变量无论无论 dvvzduuzdzvu,第49页/共75页第五十页，共76页。 0,dd1d3ddd2ddd12 vvuuvvvuvuuvuvvuvu由一阶微分形式不变性得：第50页/共75页第五十一页，共76页。 ., ,),(zuxuzxttxyzyxfu 求求均均可可微微设设 例3dzzfdttdxxyfdxxfdzzfdyyfdxxfdu 解解：dxxtyfxyfxfdzzfdzydxxtyf

26、dxxyfdxxf dzzfytyf zu xu 第51页/共75页第五十二页，共76页。4.2 隐函数(hnsh)微分法 yxyFFxyxfxFxfyxfyyxyxFyxFyxyxFyxF dd,0,),(0,.0,3;,2; 0,1,0000000000并且并且及及它满足它满足函数函数了一个具有连续导数的了一个具有连续导数的的某一邻域内唯一确定的某一邻域内唯一确定在在则方程则方程导数导数的某邻域中有连续的偏的某邻域中有连续的偏在点在点满足满足如果二元函数如果二元函数定理(dngl)4.2(隐函数存在定理(dngl)第52页/共75页第五十三页，共76页。可推广(tugung)到多元函数：)

27、., 2, 1( ),( ),( ),(0),( , 0),(, 0),()2( , ),( ),(1)1(0010100101000100010001,21niFFxyxxfyxxfyxxxyxxFyxxFyxxFyxxyxxxFnyxinnnnnynnni 且且满满足足偏偏导导数数的的函函数数个个连连续续且且有有一一阶阶连连续续的的邻邻域域内内能能唯唯一一确确定定一一在在点点则则方方程程续续的的偏偏导导数数域域内内具具有有连连的的某某邻邻在在点点元元函函数数设设定理(dngl)4.1第53页/共75页第五十四页，共76页。., ,3223yxzyzxzyxzaxyzz 求求的的函函数数是是

28、确确定定设设方方程程: : 法法一一解解例9公式(gngsh)法 xyzxzFFyzxyzyzFFxzxyzFxzFyzFaxyzzzyxFzyzxzyx22223:,33,3,3,3),(则则令令第54页/共75页第五十五页，共76页。0333,033322 yzxyxzyzzxzxyyzxzz法二：直接(zhji)法得求导两边分别对,323x,yaxyzz 在在xyyxzyzxyyyzxz 22,第55页/共75页第五十六页，共76页。233330z dzxydzxzdyyzdxxyyxzyzxyyyzxzdyxyzxzdxxyzyzdz 2222即即得得法三：在等式两边(lingbin)

29、求全微分得：全微分(wi fn)法第56页/共75页第五十七页，共76页。,0333336222 yxzxyxzxyzyzyxzzxzyzz得导求两边分别对, 03332偏偏在在yxzxyyzxzz 就就可可解解出出yxz 2第57页/共75页第五十八页，共76页。1,0),(),( yzbxzababzyazxFyxzz求求证证为为常常数数所所确确定定由由方方程程设设1,),(),(:2122112121 yzbxzabFaFFGGyzbFaFFGGxzbFaFGFGFGbzyazxFzyxGzyzxzyx则则设设证证明明例10第58页/共75页第五十九页，共76页。例11., 0, ,0)

30、,( )(),(sin),(2dxduzgfzexxzzxgyzyxfuy求求可可导导，且且阶阶连连续续偏偏导导数数，具具有有一一其其中中确确定定程程由由方方设设 代代入入即即可可，而而法法一一解解zyzxzyxxgexdxdzxgdxdydxdzfdxdyffdxdu 21cos2 ,cos,: 第59页/共75页第六十页，共76页。 cos2 0cos2)(:2121221dxxgexdzdzxdxgedxxdzdexdzyzyzy 求求微微分分得得法法二二zyzyxxgexfxgffdxdu cos2cos21 dxxgexfxgffdzfdyfdxfduzyzyxzyx)cos2cos

31、( 21 而而第60页/共75页第六十一页，共76页。为为例例以以 0),(0),( vuyxGvuyxF的的某某邻邻域域内内能能在在则则由由方方程程组组PvuyxGvuyxF 0),(0),(内有一阶连续偏导数，内有一阶连续偏导数，的某一邻域的某一邻域在点在点设设 ),( ),(),()1(0000vuyxPvuyxGvuyxF, 0|),(),(|, 0),(, 0),()2(00000000 PvuvuPPGGFFvuGFJJacobivuyxGvuyxF行行列列式式一一阶阶连连续续偏偏导导数数的的函函数数唯唯一一确确定定一一组组连连续续且且具具由方程组确定(qudng)的隐函数微分法第

32、61页/共75页第六十二页，共76页。且且满满足足),( ),( ),( ),( 000000yxvvyxuuyxvvyxuu ),(),(1,),(),(1,),(),(1,),(),(1yuGFJyvxuGFJxvvyGFJyuvxGFJxu ), ., ,00:,0,0,(同同理理可可得得由由此此解解得得求求偏偏导导两两边边对对由由于于yvyuxvxuxvGxuGGxvFxuFFxyxvyxuyxGyxvyxuyxFvuxvux 第62页/共75页第六十三页，共76页。uvxvuvvxuxvvxuxvxuux411,41202012,: 解解得得得得求求偏偏导导两两边边对对法法一一解解.

33、, ,00 ),(),(22yvyuxvxuyvuxvuyxvvyxuu 求求确定确定由方程组由方程组例12第63页/共75页第六十四页，共76页。uvuyvuvyuyvvyuyvyuuy412,41101202 , 解解得得得得求求偏偏导导两两边边对对第64页/共75页第六十五页，共76页。uvudydxdvuvdyvdxdudyvdvdudxdvudu412,412:0202: 解解得得求求微微分分得得法法二二uvuyvuvxvuvyuuvvxu412,411411,412 由由此此得得第65页/共75页第六十六页，共76页。习题(xt)5.4(P3436)作 业1.(2), 2.(3),

34、 3.(2), 5, 6.(2), 7.(5)(6), 9, 10.(2), 11.(1), 14, 15.(1)(2), 16.(2)第66页/共75页第六十七页，共76页。5.1 方向(fngxing)导数第五节 方向导数(do sh)与梯度定义(dngy)5.1 tyxftytxflzlzlMyxfztyxftytxflyxMyxfztMMt)()cos,cos(lim,.),(,)()cos,cos(limcos,cos,)(),(0,000000,00000,0000 即即记记为为的的方方向向导导数数沿沿方方向向在在点点则则称称此此极极限限为为存存在在，若若极极限限的的方方向向余余弦弦为为向向量量的的某某邻邻域域内内有有定定义义在在点点设设第67页/共75页第六十八页，共76页。 00001,00,1MMMMyzlzjlxzlzil ，则则若若，则则特特别别，若若 coscos ),()(),(00000,00MMMyzxzlzlMyxfyxMyxfz 的的方方向向导导数数都都存存在在，且且沿沿任任一一方方向向在在点点可可微微，则则在在点点若若定理(dngl)5.1定义5.1与定理(dngl)5.1可推广到n元函数。第68页/共75页第六十九页，共76页。 .1, 2)1, 1(22的的方方向向导导数数沿沿在在点