设有线性方程组ppt课件

1、第三章 向量与线性方程组 设有线性方程组设有线性方程组11 11221121 1222221 122nnnnsssnnsa xa xa xba xa xa xba xa xa xb1 第三章 线性方程组1 消元法消元法第三章 向量与线性方程组 相应的一些概念：称为方程组的系数；解 解集合 同解方程组ija称为方程组的常数项；ib第三章 向量与线性方程组 引例引例(2)求解线性方程组求解线性方程组 , 97963, 42264, 42, 224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx1342分析：用消元法解方程组的过程分析：用消元法解方程组的过程2 第三章 向量与线性方程组

2、 解解)(1B(2)(2B2 132123412341234123424,22,232,36979,xxxxxxxxxxxxxxxx13422 132 33 14123423423423424,2220,5536,3343,xxxxxxxxxxxxx 1342第三章 向量与线性方程组 )(3B)(4B12342344424,0,26,3,xxxxxxxxx 13425 221 33 42232 4431234234424,0,3,00,xxxxxxxx 1342用用“回代的方法求出解回代的方法求出解第三章 向量与线性方程组 于是解得于是解得 33443231xxxxx.3为为任任意意取取值值其

3、其中中 x第三章 向量与线性方程组 小结：小结：1上述解方程组的方法称为消元法上述解方程组的方法称为消元法 2一直把方程组看作一个整体变形，用到如下三一直把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换：种变换：1交换方程次序；交换方程次序；2以不等于的数乘某个方程；以不等于的数乘某个方程；3一个方程加上另一个方程的一个方程加上另一个方程的k倍倍ij与相互交换与相互交换以交换以交换ik ij以交换以交换ik i第三章 向量与线性方程组 3上述三种变换都是可逆的上述三种变换都是可逆的由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的故这三种变换程组

4、与变换后的方程组是同解的故这三种变换是同解变换是同解变换ji)(A若若),(B)(B则则);(Ajik )(A若若),(Bji)(A若若),(Bik )(B则则);(Aik )(B则则).(Ak ji第三章 向量与线性方程组 定义：上述三种变换称为方程组的初等变换。定义：上述三种变换称为方程组的初等变换。第三章 向量与线性方程组 易知，对方程组易知，对方程组1进展一系列的初等变换进展一系列的初等变换可得到一个阶梯形方程组，无妨设为可得到一个阶梯形方程组，无妨设为第三章 向量与线性方程组 11 1122111222222100000rrnnrrnnrrrrnnrrc xc xc xc xdc x

5、c xc xdc xc xdd 5第三章 向量与线性方程组 其中其中0,1,2,iicir方程组方程组5 5与方程组与方程组1 1同解同解10rd方程组方程组5 5无解，无解，1 1无解。无解。10rd分两种情况：分两种情况：第三章 向量与线性方程组 阶梯形方程组为.rn1)1)11 11221122222, nnnnnnnnc xc xc xdc xc xdc xd 其中0, 1,2, .iicir6方程组6和方程组1有独一解。第三章 向量与线性方程组 2.rn阶梯形方程组为11 112211,111122222,1122rr,11, c+rrrrnnrrrrnnrr rrnnnnc xc

6、xc xcxc xdc xc xcxc xdxcxc xd 其中0, 1,2, .iicir第三章 向量与线性方程组 把上述方程组改写为11 1122111,111222222,112rr,11, crrrrnnrrrrnnrnr rrnnnc xc xc xdcxc xc xc xdcxc xxdcxc x 7由此可见，任给1,rnxx一组值，就独一地定出12,rx xx的值，即为方程组7的一个解。第三章 向量与线性方程组 12,rx xx1,rnxx1,rnxx普通地，由7我们可以把经过表示出来。这样一组表达式称为方程1的普通解。称为一组自在未知量。rn的情形是不能够出现的。第三章 向量与

7、线性方程组 消元法解方程组的过程 初等变换化为阶梯形方程组，去掉恒等式“0=0假设剩下的方程最后一个等式零等于非零数，方程组无解；否那么有解，转 2或 3)。12假设阶梯形方程组方程个数等于未知量个数，方程组有独一解。3假设阶梯形方程组方程个数小于未知量个数，方程组有无穷多个解。用自在未知量表示第三章 向量与线性方程组 定理定理1在齐次线性方程组111122121122221122000nnnnsssnna xa xa xa xa xaxa xa xa x中，假设,sn那么它必有非零解。第三章 向量与线性方程组 证明证明显然，方程组在化成阶梯形方程组之后，方程的个数不会超越原来方程的个数，即r

8、sn由rn得知，它的解不是独一的，因此必有非零解。第三章 向量与线性方程组 定义1 由由 sn 个数陈列成的个数陈列成的 s 行横的，行横的，n 列列称为一个称为一个 sn 矩阵。矩阵。111212122212nnsssnaaaaaaAaaa 数数 aij，i1，2，s，称为矩阵的元素。，称为矩阵的元素。 i当一矩阵的元素全是某一数域当一矩阵的元素全是某一数域 P 中的数时，它中的数时，它纵的的表纵的的表称为元素称为元素 aij 的行目的，的行目的，j 称为列目的。称为列目的。就称为这一数域就称为这一数域 P 上的矩阵。上的矩阵。第三章 向量与线性方程组 由于在上述变换过程中，仅仅只对方程组的

9、系由于在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进展运算，未知量并未参与运算数和常数进展运算，未知量并未参与运算假设假设记记2111211214()4622436979AA b那么对方程组的变换完全可以转换为对矩阵那么对方程组的变换完全可以转换为对矩阵 (称称为方程组为方程组1的增广矩阵的变换的增广矩阵的变换A第三章 向量与线性方程组 定义2 所谓数域所谓数域 P 上的矩阵初等行变换是指以下上的矩阵初等行变换是指以下当矩阵当矩阵 A 经过初等行变换变成矩阵经过初等行变换变成矩阵 B 时，我们写时，我们写AB三种变换：三种变换：1以以 P 中的一个非零的数乘矩阵的某一行；中的一个非零的数乘矩阵

10、的某一行；2把矩阵的某一行的把矩阵的某一行的 c 被加到另一行，被加到另一行，c 是是 P 中中3互换矩阵中两行的位置。互换矩阵中两行的位置。恣意一个数。恣意一个数。成成第三章 向量与线性方程组 111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa nn 矩阵也称为矩阵也称为 n 级方阵。一个级方阵。一个 n 级方阵级方阵定义一个定义一个 n 级行列式级行列式称为称为 A 的行列式，记为的行列式，记为111212122212nnnnnnaaaaaaaaa.A第三章 向量与线性方程组 我们称方式如我们称方式如0 1 210 0 0 10 0 00 1 2 11 20 0 1020 0 023

11、 1 010 2 10 03 的矩阵为阶梯形矩阵。的矩阵为阶梯形矩阵。小结：恣意一个矩阵经过一系列行初等变换总能小结：恣意一个矩阵经过一系列行初等变换总能变成阶梯形矩阵。变成阶梯形矩阵。第三章 向量与线性方程组 例例1：0011 2 141 0 21421 0 2 8 1 1 0A A,换行换行141 0 2 0011 21421 0 2 8 1 1 0 +(-2)+1 41 0 2 0 011 20 0 11 20 0 3 1 -4 +(-3)+1 41 0 2 0 011 20 0 02 40 0 0 2 2 +1 41 0 2 0 011 20 0 02 40 0 0 0 2J 第三章

12、向量与线性方程组 那么上述方程组那么上述方程组1可写成矩阵方式可写成矩阵方式Axb111212122212nnsssnaaaaaaAaaa12nxxxx12sbbbb假设记假设记第三章 向量与线性方程组 分量全为复数的向量称为复向量分量全为复数的向量称为复向量.分量全为实数的向量称为实向量，分量全为实数的向量称为实向量， 2 n 维向量空间定义定义2数域数域 P 上一个上一个 n 维向量就是由数域维向量就是由数域 P 中中n 个数组成的有序数组个数组成的有序数组12( ,)na aa称为第称为第 i 分量分量.ia第三章 向量与线性方程组 时，时， 维向量没有直观的几何笼统维向量没有直观的几何

13、笼统n3 n可以把上述有关三维向量的讨论推行到可以把上述有关三维向量的讨论推行到n维向量维向量.定义定义:1、两个向量的相等、两个向量的相等2、两个向量的和、两个向量的和3、向量与数的数量乘积、向量与数的数量乘积第三章 向量与线性方程组 4、零向量，负向量、零向量，负向量 易证：向量关于上述易证：向量关于上述“和、和、“ 数量乘积满足交数量乘积满足交换律、结合律、分配律等换律、结合律、分配律等.P115: (2) (3) (6) (7) (8) 定义定义8 以数域以数域 P 中的数作为分量的中的数作为分量的n维向量的全维向量的全体，同时思索到在它们上面定义的加法和数量乘法，体，同时思索到在它们

14、上面定义的加法和数量乘法，称为数域称为数域 P 上的上的n维向量空间维向量空间.第三章 向量与线性方程组 ),(21nTaaaa naaaa21 维向量的表示方法 维向量写成一行，称为行向量，维向量写成一行，称为行向量，通常用等表示，如：通常用等表示，如： TTTTba,n 维向量写成一列，称为列向量，维向量写成一列，称为列向量，通常用等表示，如：通常用等表示，如： ,bann第三章 向量与线性方程组 向量向量)3( n解析几何解析几何线性代数线性代数既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量有次序的实数组成的数组有次序的实数组成的数组几何笼统：可随意几何笼统：可随意平行挪动的有向线段平行挪动的

15、有向线段代数笼统：向量的代数笼统：向量的坐标表示式坐标表示式),(21nTaaaa 向量空间第三章 向量与线性方程组 空空 间间)3( n解析几何解析几何线性代数线性代数点空间：点的集合点空间：点的集合向量空间：向量的集合向量空间：向量的集合代数笼统：向量空代数笼统：向量空间中的平面间中的平面 dczbyaxzyxrT ),(几何笼统：空间几何笼统：空间直线、曲线、空间直线、曲线、空间平面或曲面平面或曲面 dczbyaxzyx ),(),(zyxP),(zyxrT 一一对应一一对应第三章 向量与线性方程组 定义定义 93 线性相关性线性相关性向量称为向量组12, , , s 的一个1122.s

16、skkk线性组合，假设有数域12,sk kk使中的数P第三章 向量与线性方程组 例例 令123(2,1,3,1), (4,2,5,4) (2,1,4,1)3是向量组12, 的一个线性组合，由于3123.第三章 向量与线性方程组 任一个n维向量12( ,)na aa都是向量组12(1, 0, 0),(0,1, 0),(0, 0,1)n的一个线性组合: 且1 122.nnaaa维单位向量n第三章 向量与线性方程组 12, , s零向量是任一向量组的线性组合。当向量是向量组的一个线性组合时，也说可以经线性表出。12, , s小结一：小结一：第三章 向量与线性方程组 12,t 12, , s定义定义1

17、010假设向量组12,t 中每个向量(1,2, )iit都可以经向量组线性表出，那么向量组就称为可以经向量线性表出。 假设两个向量相互可以线性表出，它们就称为等价。组12,s 第三章 向量与线性方程组 12, , p小结二：小结二：每一个向量组都可以经它本身线性表出。12,t 可以经向量组线性表出。假设向量组可以经向量组12,t 12,s线性表出，向量组可以经向量组12,s线性表出，那么向量组12,p第三章 向量与线性方程组 12,s 12, , t12, , p向量组等价的性质：1反身性： 每一个向量组都与它本身等价。2对称性： 假设向量组12, , p12,s 12, , t与等价，那么向

18、量组与等价。3传送性： 假设向量组12,s 12, , t12, , t12,s 与等价，向量组与向量组与等价。等价，那么第三章 向量与线性方程组 12,(1)ss 12,(2)ss 定义定义1111假设向量组有一向量可以经其它的向量线性表出，那么向量组称为线性相关的。定义定义1111 向量组12,s 称为线性相关，假设有数域P中不全为零的数12,sk kk使11220.sskkk例 恣意一个包含零向量的向量组必线性相关。第三章 向量与线性方程组 12,s 12,sk kk11220,sskkk定义定义1212一向量组即没有不全为零的数使12,s 11220sskkk就称为线性无关；或者说，一

19、向量组称为线性无关，假设由可以推出120.skkk不线性相关，第三章 向量与线性方程组 假设一个向量组的一部分线性相关，那么这个向量组就线性相关。 假设一个向量组线性无关，那么它的任何一个非空的部分组也线性无关。由定义可知第三章 向量与线性方程组 1 1220,sskkk现实上，由12 (1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)nkkk12( ,)(0,0,0)nk kk12 0.nkkk维单位向量n12,n组成的向量组线性无关.第三章 向量与线性方程组 123112223331123 , , .bbbb b b 已知向量组线性无关试证线性无关例例0 ,332211321 bxbxbxxxx使

20、使设有设有, 0)()( 133322211 xxx）（即即, 0)()() 332221131 xxxxxx（亦亦即即线性无关，故有线性无关，故有，因因321 证证第三章 向量与线性方程组 ., 0 321321线线性性无无关关向向量量组组，所所以以故故方方程程组组只只有有零零解解bbbxxx 02110011101 由于此方程组的系数行列式由于此方程组的系数行列式 . 0 , 0 , 0 322131xxxxxx第三章 向量与线性方程组 . ,. ,: , (1) 1121也也线线性性无无关关向向量量组组则则线线性性无无关关量量组组若若向向反反言言之之也也线线性性相相关关向向量量组组则则线

21、线性性相相关关：向向量量组组若若ABBAmmm ）设设（2 ), 2 , 1(, 12121mjaaaabaaajrrjjjjrjjjj 第三章 向量与线性方程组 .,.,.2121性性相相关关也也线线则则向向量量组组线线性性相相关关反反言言之之，若若向向量量组组关关也也线线性性无无：则则向向量量组组线线性性无无关关：若若向向量量组组添添上上一一个个分分量量后后得得向向量量即即ABbbbBAbmmjj 第三章 向量与线性方程组 12,r 12, , s12,r 定理定理 2 2与组，假设112,r 12, , s线性表出，2,rs那么向量组必线性相关。向量组可以经是两个向量第三章 向量与线性方程组 证明证明由 1有1, 1,2, .sijijjtir到不全为零的数11220.sskkk使为了证明线性相关，只需证可以找12,n 12,nkkk第三章 向量与线性方程组 做线性组合112211rsrrijijijxxxxt 1111().rssrjiijjiijijjit xt x 的系数全为零，那就证明了的线性相关性。这一点是可以做到的，由 2，即,rs假设我们找到不全为零的数使12,nx xx12,n12,n 第三章 向量与线性方程组 齐次方程组111122121122221122000rrrrsssrrt xt xt xt xt xt xt xt xt x中