高中数学导数及其应用微积分基本定理二 苏教选修PPT课件

1、1.理解定积分的几何意义，会通过定积分求由两条或多条曲线围成的图形的面积.2.掌握利用定积分求曲边梯形面积的几种常见题型及方法.3.通过具体实例了解定积分在物理中的应用，会求变速直线运动的路程和变力做功的问题.学习目标第1页/共36页栏目索引知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠第2页/共36页 知识梳理 自主学习知识点一定积分在求几何图形面积方面的应用1.求由一条曲线yf(x)和直线xa，xb(ab)及y0所围成的平面图形的面积S.答案第3页/共36页答案第4页/共36页2.求由两条曲线f(x)和g(x)(f(x)g(x)，直线xa，xb (ab)所围成平面图形的面积S.(1

2、)如图，当f(x)g(x)0时，S .答案3.当g(x)f(x)0时，同理得S .第5页/共36页思考(1)怎样利用定积分求不分割型图形的面积？答案求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可.(2)当f(x)0时，f(x)与x轴所围图形的面积怎样表示？答案如图，因为曲边梯形上边界函数为g(x)0，下边界函数为f(x)，答案第6页/共36页4.利用定积分求平面图形面积的步骤：(1)画出图形：在平面直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象；(2)确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标(或纵坐标)，确定积分上、下限；(3)确定被积函数；(4)写出平面图形面

3、积的定积分表达式；(5)利用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积，写出答案.第7页/共36页知识点二定积分在物理中的应用1.在变速直线运动中求路程、位移路程是位移的绝对值之和，从时刻ta到时刻tb所经过的路程s和位移s分别为：(1)若v(t)0，则s ，s .(2)若v(t)0，则s ，s .(3)若在区间a，c上v(t)0，在区间c，b上v(t)0，则s ，s .答案第8页/共36页2.定积分在物理中的应用(1)做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数vv(t)(v(t)0)在时间区间a，b上的定积分，即s .(2)一物体在恒力F(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着

4、与F相同的方向移动了s(单位：m)，则力F所做的功为WFs；而若是变力所做的功W，等于其力函数F(x)在位移区间a，b上的定积分，即W .答案第9页/共36页思考下列判断正确的是_.(1)路程是标量，位移是矢量，路程和位移是两个不同的概念；(2)利用定积分求变速直线运动的路程和位移是同一个式子 (3)利用定积分求变速直线运动的路程和位移不是同一个式子 解析(1)显然正确.对于(2)(3)两个判断，由于当v(t)0时，求某一时间段内的路程和位移均用 求解；当v(t)0时，求某一时间段内的位移用 求解，这一时段的路程是位移的相反数，即路程为 所以(2)错(3)正确.21( )d ;ttttv21(

5、 )d .ttttv21( )dttttv21( )dttttv21( )d .ttttv(1)(3)答案返回第10页/共36页 题型探究 重点突破解析答案题型一利用定积分求平面图形的面积问题反思与感悟第11页/共36页解在同一个平面直角坐标系上画出两个抛物线的大致图形，如图.方法一以x为积分变量.设点P(1,0)，则所求面积5544012(d1d )5xSxxx35352424012 5222|(1) | .1533xx解析答案反思与感悟第12页/共36页方法二以y为积分变量.设点P(1,0)，则所求面积11223220422(15)d2()|.33Syyyyy 反思与感悟第13页/共36页

6、反思与感悟若以x为积分变量，则被积函数的原函数不易确定，而且计算也比较麻烦；若以y为积分变量，则可以避免这种情况.选取积分变量有时对解题很关键.第14页/共36页解析答案跟踪训练1在曲线yx2(x0)上的某一点A处作一切线，使之与曲线以及x轴所围成图形的面积为 .试求：切点A的坐标和过切点A的切线方程.解如图所示，设切点A(x0，y0)，由y2x得过A点的切线方程为yy02x0(xx0)，设由曲线和过A点的切线及x轴所围成图形的面积为S，则SS曲边AOBSABC. S曲边AOB0023300011d|,33xxxxxx从而切点为A(1,1)，切线方程为y2x1.第15页/共36页解析答案题型二

7、对用定积分解决变速问题的理解例2一点在直线上从时刻t0(s)开始以速度vt24t3(m/s)运动，求：(1)此点在t4 s时的位置；(2)此点在t4 s时运动的路程.反思与感悟第16页/共36页解因为位置决定于位移，所以它是v(t)在0,4上的定积分，而路程是位移的绝对值之和，所以需要判断在0,4上哪些时间段的位移为负.(2)因为v(t)t24t3(t1)(t3)，所以在区间0,1及3,4上，v(t)0，在区间1,3上，v(t)0，所以该点在t4 s时的路程为反思与感悟第17页/共36页反思与感悟解决此类问题的一般步骤：(1)求出每一时间段上的速度函数；(2)根据定积分的物理意义，求出对应时间

8、段上的定积分.第18页/共36页解析答案跟踪训练2有一辆汽车以每小时36 km的速度沿平直的公路行驶，在B处需要减速停车.设汽车以2 m/s2的加速度刹车，问：从开始刹车到停车，汽车行驶了多远？解设从开始刹车到停车，汽车经过了t s.v036 km/h10 m/s，v(t)v0at102t.令v(t)0，解得t5.所以从开始刹车到停车，汽车行驶的路程为故从开始刹车到停车，汽车行驶了25 m.第19页/共36页解析答案题型三用定积分解决变力做功问题例3设有一个长为25 cm的弹簧，若加以100 N的力，则弹簧伸长到30 cm，求使弹簧由25 cm伸长到40 cm所做的功.解设x表示弹簧伸长的长度

9、，f(x)表示加在弹簧上的力，则f(x)kx(其中常数k为比例系数).因为当f(x)100时，x5，所以k20.所以f(x)20 x.弹簧由25 cm伸长到40 cm时，弹簧伸长的长度x从0 cm变化到15 cm，反思与感悟第20页/共36页反思与感悟(1)根据物理学知识，求出变力f(x)的表达式；(2)由功的物理意义知，物体在变力f(x)的作用下，沿力的方向做直线运动，使物体由一个位置移到另一个位置，因此，求功之前应先求出位移的起始位置和终止位置；(3)根据变力做功的公式W 求出变力所做的功.第21页/共36页解析答案跟踪训练3如图所示，设气缸内活塞一侧存在一定量气体，气体做等温膨胀时推动活

10、塞向右移动一段距离，若气体体积由V1变为V2，求气体压力所做的功.解由物理学知识知，气体膨胀为等温过程，L表示活塞移动的距离，VLQ). 记L1，L2分别表示活塞的初始位置和终止位置，于是有222211111=( )d =d =d=(ln V)|LLVVVLLVCWF LLLCVCLVC(ln V2ln V1).所以气体体积由V1变为V2，气体压力所做的功为C(ln V2ln V1).第22页/共36页例4求由抛物线y28x(y0)与直线xy60及y0所围成图形的面积.易错易混用定积分求平面图形面积时，因对图形分割不当致误解析答案返回防范措施第23页/共36页错解由题意，作出图形如图所以抛物线

11、y28x(y0)与直线xy60的交点坐标为(2,4)，3242012(62 2)|23xxx324 232 2248416.33 解析答案防范措施第24页/共36页322620221( 8)|(6)|32xxx防范措施第25页/共36页合理划分积分上、下限及正确选择积分变量，最好结合图形进行处理.返回防范措施第26页/共36页 当堂检测1.在下面所给图形的面积S及相应表达式中，正确的有_.第27页/共36页解析答案第28页/共36页和正确.答案第29页/共36页解析答案解析32202cos dcos dSx xx x2202=sin|sinxx10113.3第30页/共36页3.一列车沿直线轨

12、道前进，刹车后列车速度v(t)270.9t，则列车刹车距离为_.解析停车时v(t)0，由270.9t0，得t30，405解析答案第31页/共36页解析答案4.由曲线yx24与直线y5x，x0，x4所围成平面图形的面积是_.解析由图形可得第32页/共36页解析答案5.一个弹簧压缩x cm可产生4x N的力，把它从自然长度压缩到比自然长度短5 cm，求弹簧克服弹力所做的功.解设F(x)kx，弹簧压缩x cm可产生4x N的力，k4.第33页/共36页课堂小结1.利用定积分求平面图形面积的一般步骤：(1)在平面直角坐标系中画出图形；(2)通过解方程求出交点坐标；(3)写出平面图形面积的定积分表达式，当被求平面区域较复杂时，可分割求和；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积.2.路程问题.(1)用定积