计算旋转体体积的“柱壳法”

1、四川大学数学学院 徐小湛May 2012柱柱 壳壳 法法 Shell MethodShell Method四川大学数学学院 徐小湛May 2012柱壳法柱壳法 是计算是计算 xOy 坐标面上的图形绕坐标面上的图形绕 y 轴轴旋转所得旋转体的体积的公式。美国的微积旋转所得旋转体的体积的公式。美国的微积分教材一般都有这个公式的介绍（他们叫分教材一般都有这个公式的介绍（他们叫Shell Method）。柱壳法的思路柱壳法的思路是将旋转体分成很多很薄的柱是将旋转体分成很多很薄的柱壳，然后利用定积分将这些柱壳的体积累积壳，然后利用定积分将这些柱壳的体积累积起来，得到旋转体的体积。起来，得到旋转体的体积。

2、柱壳法的方便之处：柱壳法的方便之处：虽然图形是绕虽然图形是绕 y 轴旋转，轴旋转，但是柱壳法却是沿但是柱壳法却是沿 x 轴积分。这样做有时会轴积分。这样做有时会给我们的计算带来极大的便利。给我们的计算带来极大的便利。四川大学数学学院 徐小湛May 2012ab( )yf x设设( )0 (0)f xaxb由曲线由曲线 y = f(x), y=0, x=a, x=b 所围成的曲所围成的曲边梯形边梯形绕绕 y 轴旋转一周轴旋转一周，得一旋转体。，得一旋转体。求旋转体的体积求旋转体的体积 V。四川大学数学学院 徐小湛May 2012用以下方法求体积元素：用以下方法求体积元素：x( )yf xxdx2

3、2()Vxdxxy22() xdxdxy(2)xdx y2 xydxdVy体积元素是一层柱壳的体积的近似值体积元素是一层柱壳的体积的近似值四川大学数学学院 徐小湛May 2012ab2dVxydxbaVdV2baxydx柱壳柱壳柱柱壳壳半半径径柱柱壳壳的的高高度度柱柱壳壳的的厚厚度度体积元素是一层柱壳体积元素是一层柱壳的体积的近似值的体积的近似值柱壳法柱壳法四川大学数学学院 徐小湛May 2012四川大学数学学院 徐小湛May 2012柱壳法示意图柱壳法示意图四川大学数学学院 徐小湛May 2012柱壳法示意图动画柱壳法示意图动画四川大学数学学院 徐小湛May 2012四川大学数学学院 徐小湛

4、May 2012sinyx0解解例例求求sin(0)yxx与与 x 轴所围成的图形分别绕轴所围成的图形分别绕 x 轴和轴和 y 轴所轴所得的旋转体的体积。得的旋转体的体积。同济大学同济大学高等数学高等数学（第六版）（第六版）286页页20题。题。四川大学数学学院 徐小湛May 201220sinxVxdx22sinyx0用用“圆片法圆片法”求绕求绕 x 轴的旋转体体积：轴的旋转体体积：四川大学数学学院 徐小湛May 2012四川大学数学学院 徐小湛May 2012sinyx02sinyVxxdx22用用“柱壳法柱壳法”求绕求绕 y 轴的旋转体体积：轴的旋转体体积：四川大学数学学院 徐小湛May

5、 2012四川大学数学学院 徐小湛May 2012例例 求摆线求摆线(sin )(02 )(1 cos )xa tttyat 2 a2a与与 x 轴所围成的图形轴所围成的图形绕绕 y 轴轴所得的旋转体所得的旋转体的体积。的体积。四川大学数学学院 徐小湛May 2012yV202axydx20 (sin ) (1 co2 (sin )s)d a tta ttat用用“柱壳法柱壳法”求图形求图形绕绕 y 轴轴所得的旋转体的体积。所得的旋转体的体积。220 (sin ) (1 cos )2a ttatdt2302(sin )(1s2co)tttadt3223a336a2010.4.7四川大学数学学院 徐小湛May 2012附：国内外微积分教材有关“柱壳法”的介绍四川大学数学学院 徐小湛May 2012Volumes by Cylindrical Shells美国微积分教材有关“柱壳法”的介绍四川大学数学学院 徐小湛May 2012四川大学数学学院 徐小湛May 2012四川大学数学学院 徐小湛May 2012四川大学数学学院 徐小湛May 2012四川大学数学学院 徐小湛May