自适应第三章模型参考自适应控制

1、第三章 模型参考自适应控制3.0 局部参数最优化设计方法系统要求：系统参数变换速度比系统过渡过程进行速度缓慢得多。系统方框图模型：对象：( )( )()( )mKN sGsKD s已知系统中哪个是参考模型？哪个是被控对象？( )( )( )VpK N sGsD sV（K 未知）控制目的：cVK Kpm趋近K（即y 趋近y ）pymyemp偏差：e=y -y性能指标：21( )2Jed（按J最小来确定自适应律）求偏导：ccJeedKK梯度法：规定负梯度方向是函数下降最快的方向。0()cJK c即 K其中为调整步长常数cJK cc0K -KcJKcc0KKceedKc0KceeK cK系统开环传函

2、：( )()( )cVeN sKK KrD s,dpdt令得微分方程的时域算子形式（用p代s）( )()( )cVD p eKK KN p rcK对求偏导：( )( )(1)VceD pK N p rK 模型微分方程：( )( )myKN srD s( )( )(2)mD p yKN p r(1)/(2):VmcKeyKK 得:VcmKKeyK c代入K 中，得VmKeyKVKK令 cmKey0cmcKey dtK（自适应律）0cmcKey dtKMIT方案：乘法器、积分器组成mypyemyMIT自适应控制方案图缺点：稳定性得不到保证，要检验稳定性（保证e收敛）。优点：设计方法简单，易于实现。

3、例：设控制对象的微分算子方程为：221(1)( )( )pVa pa pytK r t参考模型的微分算子方程为：221(1)( )( )ma pa pytKr t试按MIT方案，求自适应律。解：设自适应可调增益为Kc ，则得：21( )mmma ya yyKr t21( )pppcVa ya yyK K r t相减：21() ( )cVa ea eeKK Kr t（输出误差方程）cmKey自适应律：检验稳定性：胡尔维茨（hurwitz）稳定判据设系统特征方程为：11100nnnna sasa sa稳定充要条件：主行列式1352413200000000000nnnnnnnnnaaaaaaaaaa

4、 及其主对角线上的各子行列式0i 110na 即13220nnnnaaaa 1353241300nnnnnnnnaaaaaaaa 0n 假设r(t)为阶跃信号，r(t)=R，并设KV缓慢变化，0VK 过渡过程很短，在e的调节过程中，ym(t)已达稳定值，即myKR21( )Vca ea eeK K r t 求导：21cVmKa ea eeKy re 代入，得：myKR210Va ea eeKKRre 由hurwitz判据：13210100VVaKKRraaKKRr 110a 12201VaKKRra 12Vaa KKRr30 12Vaa KKRr12Vaa KKRr10a 3.1 一阶系统的模

5、型参考自适应控制被控对象：( )( )( )pppYskP sU ssa参考模型：( )( )( )mmmmYskM sRssappak其中：、为未知参数mmak，按理想的输出响应选取0mmak其中：，0图：一阶系统模型参考自适应控制控制目标：设计控制信号u(t),使对象输出yp(t) 渐近跟踪参考模型的输出ym(t)，且所有系统中的信号有界。时域描述：被控对象：参考模型：( )ppppya yk u t ( )mmmmya yk r t 控制信号：00( )( ) ( )( )( )pu tc t r td t yt00( ) ( )( )( )pppppya yk c t r td t y

6、t *00,pmmppaakcdkk令：*000( ),( )tc d td0则c时( )( )pmmpppppppaakya ykr tytkk ( )()( )ppmpmpa yk r taayt ( )( )mpma ytk r t 传函：( )( )pmmYskR ssa可调系统与模型传函完全匹配。(参数希望值)0pmeyy输出误差：令参数误差：*0*0( )( )( )( )rytc tctd td0pmeyy00pppppmmma yk c rk d ya yk r 00mpmpmmpppppma ya ya ya yk c rk d yk r00()()()mpmmppppmay

7、yaak dyk ckr *00000()() mppa ekddycc r 0()mpypra ekyr 0( )( )tdt 0任务：设计c、的自适应律，使方程渐近稳定，即t时0( )0,0,0yre t 。判断稳定性：1、选李氏函数22200(,)()()22pryrykeV eg 正定0,0pkg其中：2、求导0002(,)(22)22pryrryykeV eeg 0000()()pmpyprrykea ekyrcdg200000prpympypprkka eke yke rcdgg 200000()()mpypprdca eke yke rgg 0000()()0pypprdcke

8、yke rgg令200mVa e则正半定稳定0000()()0pypprdcke yke rgg0000,pge rge y 自适应律：cd注意：M(s)须严正实才渐近稳定。二、自适应系统结构020010pe rdte y dtcd12其中： 、为增益图 一阶自适应控制系统结构图（信号调节）调整过程：ppka当、变化00e 自适应律的信号调整pmyy趋近pmyy=00e 可调系统和参考模型匹配，自适应机构不工作。自适应机构工作一般情况下，可调系统和参考模型相匹配，自适应机构不工作。系统状态变量构成的模型参考自适应控制控制系统用状态方程描述用传递函数描述自适应控制规律构成方法状态变量系统输入输出

9、用状态变量构成自适应控制规律要求：被控对象各状态变量可直接获取。用状态变量构成自适应控制图控制对象：( )( ) ( )ppppXA t XBt u t( )pXnu tm式中：为 维状态向量为 维控制向量。ppAB一般，控制对象的状态矩阵和控制矩阵是不能直接调整的。ppAn nBn m 时变矩阵（参数未知）控制信号：( )( )( )pu tK t rF t X( )K tmn式中：为mm矩阵；F(t)为矩阵；r为m维输入向量。( )( )( )( )pppppXA t XBtK t rF t X( )( ) ( )( )( )pppppXA tB t F t XB t K t r(可调系统

10、状态方程)参考模型：mmmmXA XB rmmAnnBnm 常数稳定矩阵其中：mXn为 维状态向量( )( )( )( )ppF tA tK tB t注意：反馈调，前馈调。mpexx误差向量：mpexx mpxx代入、 ，化简得：()()mmpppmpeA eAAB F XBB K r()()mmpppmpeA eAAB F XBB K r在理想情况时，上式后两项应等于0，设F和K的理想值分别为FK和 ，则mppAAB FmpBB K1pmBB K()()mpppppeA eB FB F XB KB K r ()()mpppA eBFF XBKK rFFKK令 ，（可调参数误差）mpppeA

11、eBXBr（误差向量方程）用李氏稳定性定理求自适应律：1、选取李氏函数11121()2TTTVe Petr1112trAAPii其中：为矩阵 对角元素之和，即a、为对称正定矩阵2、求导，化简得1111121()()2()TTTTmmpmTTmVePAA P etrX e PB Ktrre PB KmA为稳定矩阵有对称正定阵Q，使TmmPAA PQ 0Q0Te Qe 0V若后两项为 ，则正定。111TTpmX e PB K 即112TTmre PB K 推出11TTmpB KPeX 12TTmB KPer 00ppABFK、为常值或缓变，可设，。FF 11TTmpB KPeX 110( )(0)

12、tTTmpF tB KPeX dFKK 12TTmB KPer 120( )(0)tTTmK tB KPer dKF(t)的自适应律：K(t)的自适应律：注意：渐近稳定要求Xp与r线性独立；条件：r(t)采用具有一定频率的方波信号或为q个不同频率的正弦信号组成的分段连续信号，其中qn/2。11TTmpB KPeX 12TTmB KPer 特例11ppppbXXubTT 设控制对象方程为：，式中未知1mmmbXXrTT 参考模型方程为：用李雅普诺夫函数法求自适应控制规律。pb解： 只有未知，只用前馈控制K即可。uKrmpeXXmpeXX11pmmpbbXrXKrTTTT 1()pmbbeK rT

13、TT pmbbKTTmpbKb120( )(0)tTTmK tB KPer dK120(0)tTmbKPerdKT12TmbKPT 令0(0)tKerdK图 具有可调增益的自适应系统0(0)tKerdKeppppppXa Xb uab 设控制对象方程为：，式中、未知特例2mmmmXa Xb r 参考模型方程为：用李雅普诺夫函数法求自适应控制规律。( )pu tKrFXmpexx()()mpmppmpa eaab F Xbb K r 110( )(0)tTTmpF tB KPeX dF120( )(0)tTTmK tB KPer dK解：pmpaaFbmpbKb122Tmb KP 令110(0)

14、tTmpb KPeX dF10(0)tpFeX dF120(0)tTmb KPerdK111Tmb KP 令20(0)tKerdKeXmXpK(0)F(0)mmbsappbsa10(0)tpFeX dF20(0)tKerdK一阶自适应系统图例：设系统的参考模型方程为mmmmXA XB r120101052mmmmmXABXX 式中：，=ppppXA XB u控制对象方程为120104pppppXABXX 式中：，=67求状态自适应律。11311P (选，）11解：12( )()pKFu tKrFXFff引入前馈阵 和反馈阵 ，有，其中()pppppXA XBKrFX可调系统：()ppppAB

15、F XB KrpmB KB104mpB KB 111222mpmpmpXXeeXXXXe110( )(0)tTTmpF tB KPeX dF120( )(0)tTTmK tB KPer dK112023104(0)11tppeXXdFe1211220(44)(44)(0)tppeeXeeXdF1023 104(0)11terdKe 120(44)(0)tee rdK3.2 模型参考自适应控制（高阶）（用被控对象的输入输出构成自适应律）一、问题的提出ppppXA Xb u1( )( )()( )ppTppppk ZsWshsIAbRs对象传函：( ):( ):ppZsmRsn阶阶m、n已知，首1

16、互质hurwitz (稳定)多项式(参数已知)，n-m11 控制对象：Tppyh X其中：:pK未知mmmmXA Xb r2、参考模型：Tmmyh X传函：( )( )( )mmmmk ZsWsRs( ):( ):mmZsmRsn阶阶首1互质hurwitz多项式其中：3、参考输入r(t)分段连续函数、有界1pmeyy4、广义输出误差：5、控制目标：( )pmu tyy设计，使跟踪，1lim( )( )lim( )0pmttytyte t即二、控制器结构对象可调参数：对象传函分母n阶n个 分子m阶m个 Kp1个共n+m+1个自适应机构：对应的n+m+1个可调参数。讨论n-m=1时纳朗特兰方案：(

17、 )mWs已知：严正实（分子、分母为首1hurwitz，n-m=1）n-m=1时纳朗特兰方案图特点：两个辅助信号发生器组成的子系统F1、F2（ F1、F2的状态向量可观测）1( )1(1,2,1)u tnin1iF：输入，输出，含个可调参数c2(0,1,2,1)pynin2iF：输入，输出，含 个可调参数d0K可调增益自适应机构共有2n个可调参数问：对象有多少个可调参数？11VVbu 1F方程：11Tc V1( )( )()( )TC sscsIbN s1传函：W其中：11)1)Vncn为(维列向量； 为(n-1) (n-1)矩阵； 为(维列向量2F 方程：22pVVby 220Tpd Vd

18、y100( )( )()( )TD ssddsIbdN s2传函：W其中：21)1)Vndn为(维向量； 为(维向量2110nnIll01Tb 121Tncccc121Tndddd(可调参数向量)N(s)为（n-1）阶首1hurwitz多项式C(s)、D(s)为（n-2）阶非首1多项式2121( )nnC scc scs2121( )nnD sdd sds21121( )nnnN sll slss可调系统图可调系统传递函数：012( )( )( )1( )( )( )pppysK WssrW sWs W sW代入化简得：00( )( )( )( )( )( )( )( )( )pppppK K

19、 Zs N ssN sC s RsK Zs d N sD sW自适应控制作用：可调系统传递函数与参考模型的传递函数相一致。( )( )mmmK ZsRs00( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )ppmmpppmK K Zs N sK ZsN sC s RsK Zs d N sD sRs则要求下列各式成立：0( )mpKaKK( )( )( )mbN sZs( )mZs 为模型零点）0( )( )( )( )( )( )( )( )pppmpN sC s RsK Zs d N sD sRs Zs(c)要使(c)成立，必须：( )( )ppZsRs(1)和互质（已保证）( )

20、( )( )pppZsZss(2)为稳定多项式且要实现两边对消，即N(s)+C(s)=q(s)Z前馈环节作用：0K( )( )( )N sC sN s0( )( )D sdN s( )pWs+-pyr可调系统等价结构前馈：( )( )( )( )( )( )mpZsN sC sN sq s Zs( )( )( )( )( )pmpppZsZsKq s ZsRs前向通道传函：作用：对消对象传函的零点，用模型零点来代替。传函分子分母对消原则：稳定的零极点才能对消。自适应律（可证明）：1e 00( )( )( )( )( )TTTtK tctd tdt其中：12( )( )( )( )( )TTTp

21、tr tVtytVt（2n维可调参数向量）（2n维可调系统信号向量）2( )1( )( )( )( )( )( )56ppmpppppZssWsWsWsKysWs uRsss例：设和分别为:2( )2( )( )( )( )36mmmmmmZssWsKysWs rRsss试用纳朗特兰方案求可调系统和参考模型完全匹配时的参数值和自适应律。解：2( )56,( )1,1 (2)pppRsssZssKn2( )36,( )2,1mmmRsssZssK为正定对称阵（可取为单位阵）( )( )( )C ssN s1设W0( )( )( )D ssdN s2WC(s) ：n-2=0阶、非首1多项式，设C(s)=CN(s)：n-1=1阶首1多项式，设N(s)=s+LD(s)：n-2=0阶、非首1多项式，设D(s)=d00TKCdd00TKCdd匹配时：可