线性代数-N阶行列式

1、线 性 代 数线 性 代 数 南京工业大学理学院南京工业大学理学院 信息与计算科学系信息与计算科学系程程 浩浩线性代数是研究在日常生活里、在工程技术线性代数是研究在日常生活里、在工程技术的许多领域以及在各项科学研究中经常出现的的许多领域以及在各项科学研究中经常出现的代数问题的一门学科。代数问题的一门学科。介介 绍绍 这些代数问题包括：这些代数问题包括：矩阵的运算矩阵的运算，线性方线性方程组的求解理论与方法程组的求解理论与方法，化二次型为标准型化二次型为标准型，线性空间与线性变换线性空间与线性变换等。等。1 什么全国大学生数学建模竞赛？什么全国大学生数学建模竞赛？2 数学建模竞赛在我校的情况？数

2、学建模竞赛在我校的情况？3 该怎样参加数学建模竞赛？该怎样参加数学建模竞赛？ 线性代数是应用数学知识解决实际问题的线性代数是应用数学知识解决实际问题的一个强有力的工具。例如，在计算机图形处理一个强有力的工具。例如，在计算机图形处理中，通常将圆锥曲线中，通常将圆锥曲线220AxBxyCyDxEyF 写成下列矩阵形式写成下列矩阵形式 221022122BDAxBExyCyDEF 简记为简记为0TXSX 如果将该圆锥曲线作（绕原点的）旋转变换如果将该圆锥曲线作（绕原点的）旋转变换（坐标系不变），设变换矩阵（坐标系不变），设变换矩阵cossin0sincos0001R 则变换后的圆锥曲线其方程即为则变

3、换后的圆锥曲线其方程即为0TTXRSRX 用矩阵方法来表示圆锥曲线的旋转变换，用矩阵方法来表示圆锥曲线的旋转变换，不仅表达简明，而且更便于不仅表达简明，而且更便于计算机程序实现计算机程序实现。线性代数线性代数这一门学科各章内容之间有较强这一门学科各章内容之间有较强的的渐进关系渐进关系；概念具有；概念具有多样性多样性；有些理论比较；有些理论比较抽象抽象；解决问题的方法富于；解决问题的方法富于变化变化；对本课程的；对本课程的这些特点，在以后的学习中应予以注意。这些特点，在以后的学习中应予以注意。第一章第一章 行列式行列式 n n阶行列式的定义阶行列式的定义n n阶行列式的性质阶行列式的性质克莱姆克

4、莱姆(Cramer)(Cramer)法则法则n n阶行列式的计算阶行列式的计算n n阶行列式的定义、性质与计算阶行列式的定义、性质与计算 行列式是线性代数中的一个基本工具。在初等行列式是线性代数中的一个基本工具。在初等数学里已经介绍二阶、三阶行列式，现在为了研数学里已经介绍二阶、三阶行列式，现在为了研究究 n n 元线性方程组需要进一步讨论元线性方程组需要进一步讨论 n n 阶行列式。阶行列式。 讨论二阶、三阶行列式讨论二阶、三阶行列式进一步介绍进一步介绍 n n 阶行列式阶行列式解决一类解决一类 n n 元线性方程组求解问题元线性方程组求解问题第一节第一节 n n 阶行列式阶行列式 一一.

5、. 二阶、三阶行列式二阶、三阶行列式 研究二元线性方程组：研究二元线性方程组： 22221211212111bxaxabxaxa利用利用消元法消元法 :122a ,2212221212211abxaaxaa :212a ,1222221212112abxaaxaa ，得，得两式相减消去两式相减消去2x 1 2211222111222211aaaaababx 211222112111122aaaaababx 从二元线性方程组解的形式可以发现，如果从二元线性方程组解的形式可以发现，如果引引入记号（入记号（叫做叫做二阶行列式二阶行列式）：）： dcbaD bcad 同理同理1122221112212

6、2babaaaaa211222111222211aaaaababx 11112211122122ababaaaa211222112111122aaaaababx 则其解可简洁地表示为：则其解可简洁地表示为： DD1 DD2 其中其中2221211ababD 22211211aaaaD 2211112babaD 22221211212111bxaxabxaxa解线性方程组解线性方程组 143022121xxxx由于方程组的系数行列式由于方程组的系数行列式 02644321 D又又241201 D113012 D所以方程组的解为所以方程组的解为 解解例例1111 DDx2122 DDx类似地，如果

7、在求解三元方程组类似地，如果在求解三元方程组 333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa的过程中引入下列的过程中引入下列三阶行列式三阶行列式的记号的记号333231232221131211aaaaaaaaaD 其实，这个三阶行列式的展开式的值也可以用其实，这个三阶行列式的展开式的值也可以用下面的所谓下面的所谓主、副对角线法则主、副对角线法则得到：得到： 333231232221131211aaaaaaaaa332112322311312213aaaaaaaaa 322113312312332211aaaaaaaaaD 并并规定规定其值

8、为：其值为： 时，用消元法同样可得这个方程组的解时，用消元法同样可得这个方程组的解DDx11 DDx22 DDx33 其中其中 Dj（j = 1, 2, 3）是用常数项）是用常数项 b1, b2, b3 替换替换系数行列式系数行列式 D 中的第中的第 j 列列所得的三阶行列式。所得的三阶行列式。 而且当三元线性方程组的系数行列式而且当三元线性方程组的系数行列式 0333231232221131211 aaaaaaaaaD例例2113321101 D解解 D = 330111121 )(110131321 )(8=8 计算行列式计算行列式 但应当指出的是但应当指出的是：主、副对角线法则不易于向主

9、、副对角线法则不易于向一般一般 n 阶行列式推广阶行列式推广。333231232221131211aaaaaaaaa332112322311312213aaaaaaaaa 322113312312332211aaaaaaaaaD 事实上，事实上，三阶行列式的计算，除了三阶行列式的计算，除了主、副对主、副对角线法则角线法则 还可以还可以按按照依第一行展开照依第一行展开的方法得到行列式的方法得到行列式的值。的值。 即即131312121111333231232221131211AaAaAaaaaaaaaaaD 的的代数余子式代数余子式：A11 = 111)(131211aaa,其中其中 A11,

10、A12, A13 分别是第一行元素分别是第一行元素33322322aaaa32233322aaaa A12 = )()(3123332133312321211aaaaaaaa A13 = 3122322132312221311aaaaaaaa )(同理同理131312121111333231232221131211AaAaAaaaaaaaaaaD 和和 )(3123332112aaaaa)(3122322113aaaaa 而且而且131312121111333231232221131211AaAaAaaaaaaaaaaD )(3223332211aaaaa不难看到，这与用不难看到，这与用主、副

11、对角线法则主、副对角线法则得到的结果得到的结果是一致的。是一致的。 例如例如，对例，对例 2 2 中的行列式，有中的行列式，有 A11 = 1 A12 = 10 A13 = 7 从而从而行列式的值行列式的值131312121111AaAaAaD =1( 1)+ 0 10 + 1(7)= 8113321101 D与与对角线法对角线法结果相同。结果相同。 1 1）可以用）可以用低阶行列式低阶行列式的值去定义的值去定义高阶行列式高阶行列式的值；的值； 即，从而从二、三阶行列式出发去定义一般的即，从而从二、三阶行列式出发去定义一般的 n n 阶阶行列式。行列式。 2 2）这样的定义方式应该具有某种这样

12、的定义方式应该具有某种内在的一致性内在的一致性。 即，这样定义的各阶行列式应该有统一的性质。即，这样定义的各阶行列式应该有统一的性质。这一展开的规律启示我们这一展开的规律启示我们： 二二. n . n 阶行列式阶行列式 由由nn个数个数jia( i, j = 1, 2, ,n) 组成组成的具有的具有 n 行行 n 列的列的式子式子nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 nnjia 并且规定其值为：并且规定其值为： 1 1）当）当 n = 1时，时， D = 1111aa 定义定义1.叫做叫做 n 阶行列式阶行列式（Determinant）， 2 2）当）当 n 2时，时，D

13、= nnAaAaAa1112121111 111njjjaA 其中其中 jjjMA1111 )( jM1nnjnjnnnjjnjjaaaaaaaaaaaa11131313312121221 jA1为为行列式行列式 D 的元素的元素 ja1的的为行列式为行列式 D 的元素的元素 并称并称 jM1ja1的的 余子式余子式， 代数余子式代数余子式。 322113312312332211aaaaaaaaa可知：可知：n n 阶行列式的定义阶行列式的定义展式展式中，一定包含有中，一定包含有n n！个项，并且每一项都是来自于个项，并且每一项都是来自于不同行、不同列不同行、不同列的的n n个元素个元素的乘积

14、。（的乘积。（容易证明容易证明）从从二、三阶行列式二、三阶行列式dcbaD bcad 333231232221131211aaaaaaaaaD 332112322311312213aaaaaaaaa例例3计算计算 n 阶阶上三角行列式上三角行列式nnnnnaaaaaaD00022211211由行列式定义，按第一行展开时，第一行的由行列式定义，按第一行展开时，第一行的1111111MaDn )(以此类推，得以此类推，得 解解 皆等于零皆等于零， 所以所以 nnnaaaD2211 naaa11312,的的余子式余子式 元素元素 ？1111Ma 特别地，对特别地，对主对角主对角行列式行列式，有有 n

15、nnaaaD0000002211nnaaa2211对对上三角行列式上三角行列式与与主对角主对角行列式行列式值的结论，我们值的结论，我们以后常会用到。以后常会用到。 nnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaD)()()( )()()(121111212121000000 例例4计算计算 n 阶（阶（副对角、下副对角、下三角三角）行列式行列式 解解 由由 n 阶行列式的定义，可以得到阶行列式的定义，可以得到 nnnnMaD1111 )(nM1是是 n-1 阶行列式，阶行列式，其中其中 的的余子式余子式 na1nnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaD)()()( )()()(1

16、21111212121000000 2(1)11111(1)2(1)(1)12(1)00( 1)( 1)0nnnnnnnnnnnnn naDaMaaaaaa 它与它与 n 阶行列式阶行列式 nD同样的形式，同样的形式，行列式的定义行列式的定义，有，有12112121111111nnnnnnnaaaaD)()()()()()( = 1121211nnnnnaaa)()()( 等于等于 11211nnnaaa)()( 这个这个 n 行列式行列式 nD的值并不总的值并不总值得注意的是值得注意的是：反复利用（反复利用（n 阶）阶）！ ！ ！例例5 5计算计算 4 4 阶数字行列式阶数字行列式 0010

17、130101012011 D解解 1414131312121111AaAaAaAaD =0011300101 =7420011 0001310111 0 0103011012 如果再将上述行列式如果再将上述行列式按第四行元素展开按第四行元素展开，又得到，又得到 71310112011124 )(这个结果与这个结果与按定义展开按定义展开是一样的。是一样的。 实际上，行列式不但可以按第一行元素展开，实际上，行列式不但可以按第一行元素展开，而且也可以按第一行以后的而且也可以按第一行以后的任一行任一行或者或者任一列任一列去去展开，其结果都是相同的。展开，其结果都是相同的。即有下面的即有下面的定理定理：0010130101012011 D n 阶行列式阶行列式 D 等于它的任一行（列）等于它的任一行（列）的元素与它们所对应的代数余子式乘积之和，的元素与它们所对应的代数余子式乘积之和， nkkikiAa1ni, 2 , 1和和 nkjkjkAa1jnjnjjjjAaAaAaD 2211