空间向量讲义1

1、卓越个性化教案GFJW0901向量的数量积和坐标运算a,b是两个非零向量，它们的夹角为，则数|a|b|cos叫做a与b的数量积（或内积），记作ab,即ab|a|b|cos.其几何意义是a的长度与b在a的方向上的投影的乘积.其坐标运算是：T若a（Xi，yi，z）b（X2，y2，z2）,则abX1X2y1y2Z1Z2；iaivxi2v：Zi2,ibitx?y?Z7；abx1x2y1y2z1z2X1X2yy2zz2cosa，b222222Xiyizi1X2y2z21.2.异面直线m,n所成的角分别在直线m,n上取定向量a,b,则异面直线m,n所成的角等于向量a,b所成的角或其补角（如图1所示）,贝

2、cos1a b|a| |b|1.3.异面直线m、n的距离分别在直线m、n上取定向量a,b,求与向量a、b都垂直的向量n,分别在m、n上各取一个定点A、B,则异面直线m、n的距离d等于aB在n上的射影长，即d-U.|nI1.4.直线L与平面所成的角1F在L上取定AB,求平面的法向量n（如图2所示），再求cosLABnJ,则一|AB|n|为所求的角.15二面角方法一：构造二面角l的两个半平面、的法向量M、n2（都取向上的方向，如图3所示），则若二面角l是“钝角型”的如图3甲所示，那么其大小等于两法向量以、门2的夹角的补角，即cos学广东卷第18题第（1）问）.n1n2,.（例如2004年高考数|n

3、iIIn2|若二面角l是“锐角型”的如图3乙所示，那么其大小-等于两法向量n1、n；的夹角，即cosn1n2.In1IIn2I方法二：在二面角的棱l上确定两个点A、B,过A、B分别在平面、内求出与l垂直的向量入、n2（如图4所示），则二面角四、出的夹角，即cosn1n2.In1IIn2I1.6.平面外一点p到平面的距离的大小等于向量先求出平面的法向量n,在平面内任取一定点a,则点p到平面的距离d等于AP在n上的射影长，即dIAPnIInI练习1.在长方体ABCDA1B1C1D1中，BQ和GD与底面所成的角分别为60和45,则异面直线BQ和CiD所成角的余弦值为2.如图，正四棱柱ABCDABiC

4、iDi中，AA所成角的余弦值为（）A.-B.2C.3D.455552AB,则异面直线AiB与AD-CiC3.,在四面体S-ABC中,E、F、GH、MN分别是棱SABGABSGAGSB的中点，且EF=GH=MN,求证：SABC,SBAC,SCAB.4 .如图2,正三棱柱ABCAiBiCi的底面边长为a,侧棱长为J2a,求Ag与侧面ABBA所成的角.图25 .如图3,直三棱柱ABCAB。中，底面是等腰直角三角形，ACB90,侧棱AA2,D,E分别是CCi与AB的中点，点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G,求点A到平面AED的距离.6 .已知正方体ABCDABDi的棱长为2,巳Q分别是BC,CD

5、上的动点，且|PQ泥，确定P,Q的位置，使QBiPD1.90 , SA 面 ABCD ,7.如图4,在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中，ABC1SAABBC1,AD-,求面SCD与面SBA所成一面角的正切值.2SA7 .如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD，底面ABCD,E,F分别为AB,SC的中点.(1)证明EF/平面SAD;(2)设SD2DC,求二面角AEFD的大小的余弦值.8 .(本小题满分14分)如图，三棱柱A1B1C1ABC中，平面AAB平面ABC,平面AAC平面ABC,BAC90,ABAC2,AA13.(I)求证：AA1平面ABC；(H)求异面直线AB与BC

6、1所成角的余弦值；(m)求点B1到平面ABC1的距离9、如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD，底面ABCD,侧棱PA=PD=遮，底面ABCD为直角梯形，其中BC/AD,ABXAD,AD=2AB=2BC=2,。为AD中点.的距离为理由.(1)求证：POL平面ABCD;(2)求异面直线PB与CD所成角的余弦值大小；(3)线段AD上是否存在点Q,使得它到平面PCD-?若存在，求出公Q的值；若不存在，请说明2QD10.如图，在长方体ABCD-AiBiCiDi中，AD=AA1=1,AB=2。E是CCi的中点,(1)求锐二面角D-BiE-B的余弦值(2)试判断AC与面DBiE的位置关系，并说明理由。(

7、3)设M是棱AB上一点，若M到面DBiE的距离为叵,试确定点M的位置7ABC 60 ,E,11如图，已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形，PA，平面ABCD,F分别是BC,PC的中点.(I)证明：AEXPD;(n)若H为PD上的动点,EH与平面FAD所成最大角正切值为,求二面角E-AF-C的余弦值.12 .长方体ABCD-AiBiCiDi中，AB=2,AD=1,AAi=J2,E、F分别是AB、CD的中点k(1)求证：DEL平面ABiF;(2)求直线AB与平面ABiF所成的角(3)求二面角A-B1F-B的大小。13 .如图，三棱锥P-ABC中，PC平面ABC,PC=AC=2,AB=BC,D是PB上一点，且CD平面PAB.P(I)求证：AB平面PCB;(II)求异面直线AP与BC所成角的大小；(III)求二面角C-PA-B的大小的余弦值,二、BC课外练习1.如右下图，在长方体ABCD-AiBiCiDi中，已知AB=4,AD=3,AAi=2.E、F分别是线段上的点，且EB=FB=i.(i)求二面角C-DE-Ci的正切值；(2)求直线ECi与FDi所成的余弦值.2已知，如图四棱锥PABCD中，底面A