大学数学(高数微积分)第七章线性变换第四节课件(课堂讲义)

1、我们知道，在有限维线性空间中，取了一组基之后，线性变换就可以用矩阵来表示.为了利用矩阵来研究线性变换，对于每个给定的线性变换，我们希望能找到一组基使得它的矩阵具有最简单的形式.从现在开始，我们主要来讨论，在适当的选择基之后，一个线性变换的矩阵可以化成什么样的简单形式.为了这个目的，先介绍特征值和特征向量的概念. 这里需要注意，特征值 0 是数域 P 中的数量,特征向量 是非零向量.显然，零向量对任意的0 都满足 A = 0，因此这不具有“特征”意义.在几何向量空间 R2 和 R3 中，线性变换 A 的特征值与特征向量的几何意义是：例如：在 R2 中，向量绕原点按逆时针方向旋转 角的旋转变换 S

2、 ，当 0 时，对任意非零向量 R2 ， S ( ) 与 都不共线 ( 图 7-8所示 )S ( )O此时， S 没有实特征值；当 = 时，R2 中任何非零向量 都与 S ( )共线，且S ( ) = - (图 7-9所示)，S 的特征值，而且任何非零向量 都是其特征向量.O1S (1)2S (2)所以，- 1 是如果 是线性变换 A 的属于特征值 0 的特征向量，那么 的任何一个非零倍数 k 也是 A 的属于 0 的特征向量 .因为从 A = 0 可以推出A (k ) = 0 (k ) . 这说明特征向量不是被特征值唯一决定的.相反，特征值却是被特征向量所唯一决定，因为一个特征向量只能属于一

3、个特征值.设 V 是数域 P 上的 n 维线性空间，1 , 2 , , n 是它的一组基，线性变换 A 在这组基下的矩阵是 A.又设 0 是 A 的特征值， 是 A 的属于0 的一个特征向量， 在基 1 , 2 , , n 下的坐标是x01 , x02 , , x0n .则 A 的坐标是.00201nxxxA0 的坐标是.002010nxxx因此 A = 0 相当于坐标之间的等式.00201000201nnxxxxxxA上式可进一步变形成. 0)(002010nxxxAE这说明特征向量 的坐标 (x01 , x02 , , x0n ) 满足齐次方程组( 0E - A ) X = 0 .由于 0

4、，所以它的坐标 x01 , x02 , , x0n 不全为零，即齐次方程组 ( 0E - A ) X = 0 有非零解.我们知道，齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数行列式等于零，即. 0|02122220211121100nnnnnaaaaaaaaaAE我们引入以下定义. nnnnnaaaaaaaaaAE2122222111211|上面的分析说明，这时，如果(x01 , x02 , , x0n ) 是方程组 ( 0E - A ) X = 0 的一个非零解，那么非零向量 = x011 + x022 + + x0nn 满足 A = 0 ，即 0 是线性变换 A 的一个特征值线性变换 A

5、 的特征值与特征向量的步骤如下：计算 A 的特征多项式，并求出特征方程在数域 P 中的所有根. 的特征值 1 , 2 , , s ，它们也就是线性变换 A 就是属于特征值 0 的一个特征向量.于是可得求在线性空间 V 中取一组基1 , 2 , , n ，写出 A 在这组基下的矩阵 A ；设矩阵 A 有 s 个不同的全部特征值.特征向量在基 1 , 2 , , n 下的坐标. 对 A 的每个特征值 i ( i = 1, 2,s ), 求解齐次线性方程组 (i E - A ) X = 0，该方程组的全部解即为矩阵 A 的对应于 i 的全部矩阵 A 的特征多项式的根有时也称为 A 的特征值，而相应的

6、线性方程组 (i E - A ) X = 0 的解也就称为 A 的属于这个特征值的特征向量. 在 n 维线性空间中，数乘变换 K 在任意一组基下的矩阵都是 kE，它的特征多项式是| E - kE | = ( - k)n .因此，数乘变换 K 的特征值只有 k .由定义可知,每个非零向量都是属于数乘变换 K 的特征向量. 设线性变换 A 在基1 , 2 , 3下的矩阵是,122212221A求 A 的特征值与特征向量.122212221AEA 的特征多项式为. )5() 1(2所以，A 的特征值为, 15321,0)5(XAE当51时, 解方程组, 0422242224321xxx即解之得基础解

7、系为,) 1,1,1 (T所以属于51的一个线性无关的特征向量就是, 0422242224321xxx 1 = 1 + 2 + 3，全部特征向量就是. )(111Pkk,0)(XAE当132时, 解方程组, 0222222222321xxx即,0222222222321xxx解之得基础解系为,) 1,1,0(,)0,1,1(TT).,(323322Pkkkk132所以属于的一个线性无关的特征向量就是全部特征向量就是,323212 在空间 Pxn 中，线性变换D f (x) = f (x)在基)!1(,! 2,112nxxxn下的矩阵是0000100001000010DD 的特征多项式是.000

8、1000010001|nDE因此，D 的特征值只有 0 .通过解相应的齐次线性方程组知道，属于特征值 0 的线性无关的特征向量组只能是任一非零常数.这表明微商为零的多项式只能是零或非零的常数. 平面上全体向量构成实数域上一个二维线性空间，第一节中旋转 S 在直角坐标系下的矩阵为.cossinsincos它的特征多项式为.1cos2cossinsincos2当 k 时，这个多项式没有实根，因而，当 k 时， S 没有特征值.容易看出，对于线性变换 A 的任一个特征值0 ，全部适合条件A = 0的向量 所成的集合，部特征向量再添上零向量所成的集合，是 V 的一个子空间，.0V显然，0V的维数就是属

9、于 0 的线性无关的特征向的最大个数.也就是 A 的属于 0 的全称为 A 的一个，记为 由行列式的定义可知, 矩阵 A 的特征多 6 项式nnnnnnaaaaaaaaaAE212222111211因而, A 的特征多项式中, n 与 n-1 的系数由该项中, 有一项是主对角线上 n 个元素的乘积( - a11) ( - a22) ( - ann)而其他各项至多含有主对角线上的 n - 2 个元素. | E - A | = n - (a11 + a22 + + ann)n-1 + + (-1)n |A| . 确定.不难看出, n 的系数为 1 , n-1 的系数为-(a11 + a22 + +

10、 ann).另外, 在特征多项式中令 = 0 可得其常数项为 |A| .故称niiia1为矩阵 A 的, 记作 trA.由于 1 , 2 , , n 是 A 的 n 个特征值, 所以| E - A | = ( - 1)( - 2) ( - n) .比较上述两式可得特征值自然是被线性变换所决定的.但是在有限维空间中，任取一组基之后，特征值就是线性变换在这组基下矩阵的特征多项式的根.随着基的不同，线性变换的矩阵一般是不同的.但是这些矩阵是相似的，因此，对于相似矩阵我们有以下定理 设 A B，即有可逆矩阵 X，使B = X-1AX .于是| E - B | =| E - X-1AX | = | X-

11、1(E - A)X |= | X-1 | | E - A | | X |= | E - A | .定理 7 正好说明，线性变换的矩阵的特征多项式与基的选择无关，它是直接被线性变换决定的.因此，以后就可以说线性变换的特征多项式了.既然相似的矩阵有相同的特征多项式，当然特征多项式的各项系数对于相似的矩阵来说都是相同的.譬如说，考虑特征多项式的常数项，得到因此，以后就可以说线性变换的行列式了.应该指出，定理 7 的逆是不对的，特征多项式相同的矩阵不一定是相似的.例如.1011,1001BA它们的特征多项式都是 ( - 1)2 ，但 A 和 B不相似,因为和 A 相似的矩阵只能是 A 本身. 设 B(

12、 ) 是 E - A 的伴随矩阵，由行列式的性质，有B( ) (E - A) = | E - A |E = f ( ) E .因为矩阵 B( ) 的元素是 | E - A | 的各个代数余子式，都是 的多项式，其次数不超过 n - 1 .因此由矩阵的运算性质， B( ) 可以写成B( ) = n-1B0 + n-2B1 + + Bn-1 .其中 B0 , B1 , , Bn-1都是 n n 数字矩阵.再设 f ( ) = n + a1n-1 + + an-1 + an ，则 f ( )E = nE + a1n-1E + + an-1E + an E .而B( ) (E - A)= (n-1B0 + n-2B1 + + Bn-1)(E - A)= nB0 + n-1(B1 - B0A) + n-2 (B2 - B1A)+ + (Bn-1 - Bn-2 A) - Bn-1A .比较上述两式，得.,11212121010EaABEaABBEaABBEaABBEBnnnnn以 An , An-1 , , A , E 依