一不定积分概念和性质

1、1第四章不定积分 第四四章 二、二、 基本积分表基本积分表 三、不定积分的性质三、不定积分的性质一、一、 原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念第一节不定积分的概念与性质 上页 下页 返回 结束 2一、一、 原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念（1 1） 从运算与逆运算看从运算与逆运算看初等数学中加法与减法、初等数学中加法与减法、 乘法与除法、乘法与除法、乘方与开方等，乘方与开方等，都是互逆的运算。都是互逆的运算。微分运算微分运算是对一个可导函数求导数。是对一个可导函数求导数。微分运算的逆运算是什么？微分运算的逆运算是什么？问题：问题：),(xf已已知知函函数数),(xF要要求求

2、这这样样一一个个函函数数).()(xfxF 使使这就是求原函数和不定积分的运算。这就是求原函数和不定积分的运算。上页 下页 返回 结束 3（2） 从实际问题看从实际问题看),(tSS 已已知知运运动动规规律律?)( tv要要求求瞬瞬时时速速度度),()(tStv 求求导导数数：反问题：反问题：),(tv已已知知瞬瞬时时速速度度?)( tSS要要求求运运动动规规律律)()(),(:tvtStS 使使求求原原函函数数定义定义 1 . 若在区间若在区间 I 上定义的两个函数上定义的两个函数 F (x) 及及 f (x)满足满足)()(xfxF ,d)()(dxxfxF 或或在区间在区间 I 上的一个

3、原函数上的一个原函数 .则称则称 F (x) 为为f (x) 例如：例如：,3)()(23xxfxxF 是是上上区区间间在在),( ,RC 233)(xCx .的的一一个个原原函函数数上页 下页 返回 结束 4问题问题: 1. 在什么条件下在什么条件下, 一个函数的原函数存在一个函数的原函数存在 ? 存在问题存在问题2. 若原函数存在若原函数存在, 它如何表示它如何表示 ? 结构问题结构问题 定理定理1. ,)(上连续上连续在区间在区间若函数若函数Ixf上上在在则则Ixf)( 存在原函数存在原函数 .(下章证明下章证明)初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函

4、数初等函数在定义区间上有原函数上页 下页 返回 结束 5,)()(的的一一个个原原函函数数是是若若xfxF定理定理 2. 的的所所有有则则)(xf原函数都在函数族原函数都在函数族CxF )( C 为任意常数为任意常数 ) 内内 .证证: 1).)()(的的原原函函数数是是xfCxF )( CxF)(xF )(xf ，的的任任一一原原函函数数是是设设)()()2xfx )()(xfx 又知又知)()(xfxF )()( xFx)()(xFx 0)()( xfxf故故0)()(CxFx 为某个常数）为某个常数）（0C即即0)()(CxFx 属于函数族属于函数族.)(CxF 即即上页 下页 返回 结

5、束 6定义定义 2. )(xf在区间在区间 I 上的原函数全体称为上的原函数全体称为Ixf在在)(上的不定积分上的不定积分,d)(xxf 其中其中 积分号积分号;)(xf 被积函数被积函数;xxfd)( 被积表达式被积表达式.x 积分变量积分变量;(P185)若若, )()(xfxF 则则 xxfd )(记作记作)(xFC ( C 为任意常数为任意常数 )C 称为称为积分常数积分常数不可丢不可丢 !例如例如, xexdxeC xx d2331xC xxdsinxcos C 上页 下页 返回 结束 7不定积分的几何意义不定积分的几何意义:)(xf的原函数的图形称为的原函数的图形称为)(xfxxf

6、d)( 的图形的图形的所有积分曲线组成的所有积分曲线组成)(xf的平行曲线族的平行曲线族.yxo0 x的的积分曲线积分曲线 . 上页 下页 返回 结束 8例例1. 设曲线通过点设曲线通过点( 1 , 2 ) , 且其上任一点处的切线且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程求此曲线的方程.解解: yxo)2, 1 (xy2 yxxd2 2x C 所求曲线过点所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有故有C 2121 C因此所求曲线为因此所求曲线为. 12 xy上页 下页 返回 结束 9ox例例2. 质点在距地面质点在距地面0 x处以初速处以初速0v力

7、力, 求它的运动规律求它的运动规律. 解解: 取质点运动轨迹为坐标轴取质点运动轨迹为坐标轴, 原点在地面原点在地面, 指向朝上指向朝上 ,)0(0 xx )(txx 质点抛出时刻为质点抛出时刻为,0 t此时质点位置为此时质点位置为初速为初速为,0 x设时刻设时刻 t 质点所在位置为质点所在位置为, )(txx 则则)(ddtvtx (运动速度运动速度)tvtxdddd22 g (加速度加速度).0v垂直上抛垂直上抛 , 不计阻不计阻 先由此求先由此求)(tv 再由此求再由此求)(tx上页 下页 返回 结束 10先求先求. )(tv,ddg tv由由知知ttvd)()(g 1Ct g,)0(0v

8、v 由由,01vC 得得0)(vttv g再求再求. )(txtvttxd)()(0 g221tg 由由)(ddtvtx ,0vt g知知故故ox)0(0 xx )(txx tv0 2C ,)0(0 xx 由由,02xC 得得于是所求运动规律为于是所求运动规律为00221)(xtvttx g)0(0vv 上页 下页 返回 结束 11 xdd)1( xxfd)( 二、二、 基本积分表基本积分表 (P188)(P188)从不定积分定义可知从不定积分定义可知:)(xf d xxfd)( 或或xxfd)( xd )2()(xF )(xFC 或或 d)(xF)(xFC 利用逆向思维利用逆向思维 xkd)

9、1( k 为常数为常数)Cxk xx d)2( Cx 111 xxd)3(Cx ln)1( )ln( xx1 (P187)上页 下页 返回 结束 12 21d)4(xxCx arctan xxdcos)6(Cx sin xx2cosd)8( xxdsec2Cx tan或或Cx cotarc 21d)5(xxCx arcsin或或Cx cosarc xxdsin)7(Cx cos xx2sind)9( xxdcsc2Cx cot上页 下页 返回 结束 13 xxxdtansec)10(Cx sec xxxdcotcsc)11(Cx csc xexd)12(Cex xaxd)13(Caax lnC

10、x 1 xxd1)15(Cx 2 xxd1)14(2上页 下页 返回 结束 14例例3. 求求.d3 xxx解解: 原式原式 = xx d)2( Cx 111 )1( xxd34 134 Cx 313134 xC 上页 下页 返回 结束 15三、不定积分的性质三、不定积分的性质性质性质 1 )()(的的原原函函数数存存在在，则则及及设设函函数数xgxfxxgxfd)()( xxgxxfd)(d)(性质性质 2 )(为为非非零零常常数数，则则原原函函数数存存在在，设设函函数数kxf xxfkd)( xxfkd)()0( k推论推论: 若若, )()(1xfkxfinii 则则xxfkxxfini

11、id)(d)(1 上页 下页 返回 结束 16例例4.4. 求求.d )5(2xexx 解解: 原式原式 =xexxd 25)2( xexd )2( xxd 25 xaxd)13(Caax ln )2ln( exe)2(5 2lnx2C Cexx 2ln512ln2上页 下页 返回 结束 17例例5. 求求.d )1(23xxx 解解: 原式原式 =xxd 2 3x23x x3 1 xd x(3 x3 )12x 22xx3 xln3 x1 C 上页 下页 返回 结束 18例例6. 求求.d)1(122xxxxx 解解: 原式原式 =xxxd)1( 2 )1(2x x xxd1 xxd112 x

12、ln xarctan C 分项积分分项积分例例7. 求求 xxxd11222解解: 原式原式 =xxd1 2 )1(22 x3 xd2xxd1132 x2 Cx arctan3上页 下页 返回 结束 19例例8. 求求.d124xxx 解解: 原式原式 =xxd1 2 加项减项加项减项)1(4 x1 xxd1 2 )1)(1(22 xx1 xxd)1(2 21dxx 331xx xarctan C 上页 下页 返回 结束 20例例9. 求求.d2sin2xx 解解: 原式原式 =xxd2cos1 21 xd xxdcos 21 xxsin C 三角公式三角公式例例10. 求求.dtan2xx 解解: 原式原式 =xxd)1(sec2 xxxddsec2xtan x C 上页 下页 返回 结束 21例例11. 求求.d2cos2sin122xxx 解解: （方法一）（方法一）原式原式 =xxd2sin12 xxdcsc42 Cx cot4（方法二）（方法二）原式原式 =xxxd 2cos2sin 22 2cos2sin22xx xxd 2cos1 2 xxd 2sin1 2 xxd2sec2 xxd2csc2 ? 上页 下页