工程力学A 单辉祖-第4章(平面任意力系)

1、 主讲教师：主讲教师：*建筑工程学院建筑工程学院 College of Civil Engineering and Architecture第四章第四章 平面任意力系平面任意力系 4-1 力的平移力的平移 4-2 平面任意力系向一点简化平面任意力系向一点简化 4-3 平面任意力系的平衡条件平面任意力系的平衡条件 4-4 刚体系的平衡刚体系的平衡 4-5 静定与静不定问题的概念静定与静不定问题的概念 作用于刚体某平面上任一点的力，可平移到此平面作用于刚体某平面上任一点的力，可平移到此平面上的任意点而不改变对刚体的作用效应，但需增加一上的任意点而不改变对刚体的作用效应，但需增加一附附加力偶加力偶，

2、附加力偶的，附加力偶的力偶矩力偶矩等于等于原力对新的作用点之矩原力对新的作用点之矩。力的平移定理力的平移定理（平面、重点）（平面、重点）()BBFdMMF第四章第四章 平面任意力系平面任意力系4-1 力的平移力的平移 作用在刚体上的力可向刚体上任意点平移，平移作用在刚体上的力可向刚体上任意点平移，平移后后附加一力偶附加一力偶，附加力偶的，附加力偶的力偶矩矢力偶矩矢等于原力对平移等于原力对平移点的之矩矢。点的之矩矢。力的平移定理（空间）力的平移定理（空间） FMFrMBAB一、平面任意力系向作用平面内一点简化一、平面任意力系向作用平面内一点简化4-2 平面任意力系向一点简化平面任意力系向一点简化

3、平面汇交力系平面汇交力系 平面力偶系平面力偶系 1122nnFFFFFF ， ，1O12O2nOn()()()FFF MMMMMM，平面任意力系平面任意力系 12nFFF ， ，力的力的平移平移定理定理RFFFRxx FFRyy FF2222RRR()()()()xyxyFFFFFRRcos()xFi FF，RRcos()yFj FF，1. 1. 平面汇交力系的合成平面汇交力系的合成 主矢大小主矢大小主矢方向主矢方向力系主矢力系主矢x Fy F 力系的主矢等于力力系的主矢等于力系各力的矢量和，大小、系各力的矢量和，大小、方向方向与简化中心无关与简化中心无关。O MM2. 2. 平面力偶系的合成

4、平面力偶系的合成力系力系对简化中心的主矩对简化中心的主矩O()F M力系对简化中心的主矩，等于力系各力对简化中心之矩力系对简化中心的主矩，等于力系各力对简化中心之矩的代数和，作用于原平面内，大小、方向的代数和，作用于原平面内，大小、方向与简化中心位置有与简化中心位置有关关。3. 3. 固定端约束固定端约束平面任意力系平面任意力系向作用面内向作用面内任一点简化任一点简化力力力偶力偶力系主矢力系主矢力系对简化中心的主矩力系对简化中心的主矩二、平面任意力系简化的最后结果二、平面任意力系简化的最后结果1. 1. 力系简化为合力偶力系简化为合力偶 力系的主矩与简化中心的位置无关。力系的主矩与简化中心的位

5、置无关。RO00F MOAMM 2. 2. 力系简化为合力力系简化为合力 RO00F M3. 3. 力系简化为合力力系简化为合力 4. 4. 力系平衡（力系平衡（重点重点） RO00F MRO00F MRRFF ORd MF力的平移力的平移逆定理逆定理求：求：力系向力系向 点的简化结果；点的简化结果；合力与合力与 的交点到点的交点到点 的距离的距离 ；已知已知: :1450kN,P 2200kN,P 1300kN,F kN701FOOAOx解：解：（1 1）主矢主矢：12122cos232.9kNsin670.1kNxyFFFFPPF 22R()()709.4kNxyFFFRRRRcos(,

6、)0.3283, cos(, )0.9446yxFFFiFjFF RR(, )70.84 ,(, )18019.16FiFj 主矩主矩：112( )31.53.92355kN mOOMMFFPP （2 2）合力与）合力与OA的交点到点的交点到点O的距离的距离x：003.514mcos 9070.84dx dORd MF一、平面任意力系平衡方程的基本形式一、平面任意力系平衡方程的基本形式 平面力系任意平衡的充分与必要条件：力系的主矢平面力系任意平衡的充分与必要条件：力系的主矢和力系对任一点的主矩和力系对任一点的主矩分别等于零分别等于零。 22()()0 xy RFFFOO()0F MM0 x F

7、0y FO()0F M 平面力系平衡的充分与必要条平面力系平衡的充分与必要条件：各力在直角坐标系中各坐标轴件：各力在直角坐标系中各坐标轴上上投影的代数和分别等于零，投影的代数和分别等于零，各力各力对对任一点之矩任一点之矩的代数和等于零。的代数和等于零。 4-3 平面任意力系的平衡条件平面任意力系的平衡条件R0F O0 M二、平面任意力系平衡方程的其他形式二、平面任意力系平衡方程的其他形式 1. 1. 二矩式二矩式0 x F(0)y FA()0F MB()0F M2. 2. 三矩式三矩式A()0F MB()0F MC()0F MA、B 的连线不能与的连线不能与x轴轴（或（或y 轴）垂直轴）垂直A

8、、B、C 三点不能共线三点不能共线 ABxABC0y FO()0F MA()0F MB()0F M三、平面平行力系的平衡方程三、平面平行力系的平衡方程1. 1. 一力一矩式平衡方程：一力一矩式平衡方程：y 轴与力平行轴与力平行2. 2. 二矩式平衡方程：二矩式平衡方程：A、B 连线不能与各力平行连线不能与各力平行0 x F0y F四、平面汇交力系的平衡方程四、平面汇交力系的平衡方程yxF2F3F4F5F1五、平面力偶系的平衡方程五、平面力偶系的平衡方程yxM3M2M1M4M50 M求解力系平衡问题的方法和步骤：求解力系平衡问题的方法和步骤：（1 1）选取研究对象）选取研究对象；（2 2）分析研

9、究对象受力，画受力图）分析研究对象受力，画受力图；（3 3）根据力系的类型列平衡方程）根据力系的类型列平衡方程；（；（选取适当坐选取适当坐标轴和矩心，以使方程中未知量个数最少；尽可能标轴和矩心，以使方程中未知量个数最少；尽可能每个方程中只有一个未知量每个方程中只有一个未知量）。）。（4 4）求解未知量，分析和讨论计算结果）求解未知量，分析和讨论计算结果。 例例4-2：悬臂式简易起重机简化为图示结构。：悬臂式简易起重机简化为图示结构。AB 是吊车梁，是吊车梁，BC 是钢索，是钢索，A 端支承可简化为铰链支座。设已知电动葫芦和重物端支承可简化为铰链支座。设已知电动葫芦和重物其重其重P = 10 k

10、N ，梁自重，梁自重W = 5 kN ，= 30o。试求钢索。试求钢索BC 和铰链和铰链A 的约束力，及钢索受力的最大值。的约束力，及钢索受力的最大值。A()0,F MBsin02lxlWPF 0,x FABcos0 xFF 解：解：（1 1）以吊车梁以吊车梁AB 为研究对象为研究对象（2 2）受力图和坐标系如图所示，）受力图和坐标系如图所示，电动葫芦距电动葫芦距A 处处 距离为距离为x（3 3）建立平衡方程）建立平衡方程0,y F0sinBAyFPWFB2PFxWlA3()2xPWFxlA()2ylxWFPl （4 4）解得）解得 Bmax225kNFPWX=l时时矩心矩心A()0:F MB

11、sin02lWP xFl B()0:F MA()02ylPlxWFl 0:x FABcos0 xFF 1 1）本题也可以用二矩式平衡方程求解，方程如下：）本题也可以用二矩式平衡方程求解，方程如下：注意：注意：A、B两点连线与两点连线与x轴不垂直。轴不垂直。A()0:F MBsin02lWP xFl B()0:F MA()02ylPlxWFl 2 2）用三矩式平衡方程求解，方程如下：）用三矩式平衡方程求解，方程如下： ：0FMC0sin2lFlWPxAx注意：注意：A、B、C三三点不共线。点不共线。D点为矩心点为矩心 例例4-34-3：试求图示悬臂：试求图示悬臂固定端固定端A 处的约束力处的约束

12、力。其中。其中q 为均布载为均布载荷集度，单位为荷集度，单位为kN/m ，设集中力，设集中力F=ql ，集中力偶矩，集中力偶矩M=ql 2。 解：以梁解：以梁AB 为研究对象，受力图和坐标系如图所示。建立为研究对象，受力图和坐标系如图所示。建立平衡方程平衡方程 0,x F0Ax F0,y F20AylFqFA()0,F MA220l ll MqMFA0 x FAyql F2Aql M 解得：解得：MA 和和M投影？投影？q投影？投影？MA 和和M与矩心？与矩心？ 例例4-44-4：边长为：边长为a 的等边三角形平板的等边三角形平板 ABC 在铅垂平面内，在铅垂平面内，用三根沿边长方向的直杆铰接

13、如图所示。用三根沿边长方向的直杆铰接如图所示。BC 边水平，三角形平边水平，三角形平板上作用一已知力偶，其力偶矩为板上作用一已知力偶，其力偶矩为M 。三角形平板重为。三角形平板重为P ， 杆杆不计自重。不计自重。试求三杆对三角形平板的约束力试求三杆对三角形平板的约束力。 解：以三角形平板解：以三角形平板ABC 为研究对象，受力图和坐标系如为研究对象，受力图和坐标系如图所示。建立平衡方程图所示。建立平衡方程 A()0,F MC302FaMB()0,F MA3022aFaPMC()0,F MB3022aFaPMA2 3333MPFaB2 3333MPFaC2 33MFa 解得：解得： A、B、C三

14、点不共线，因此三个方程是独立的三点不共线，因此三个方程是独立的 例：塔式起重机简图如图所示。已知机架重量例：塔式起重机简图如图所示。已知机架重量W ，作用线距，作用线距右轨右轨 B 的距离的距离 e ，载重，载重W1 离右轨离右轨 B 的最远距离的最远距离 l ，平衡物重为，平衡物重为W2 ，离左轨，离左轨 A 的距离的距离 a ，轨距，轨距 b 。要使起重机在空载和满载且。要使起重机在空载和满载且载重载重W1 在最远处时均不致翻倒，试确定平衡物重在最远处时均不致翻倒，试确定平衡物重W2 。 解：空载时起重机绕解：空载时起重机绕 A 点向点向左翻倒，此时左翻倒，此时FB = 0 。 所以空载时

15、起重机不翻倒所以空载时起重机不翻倒的条件是的条件是FB 0。 A()0:MF B2()0FbWebWa 满载时起重机绕满载时起重机绕 B 点向右翻倒，此时点向右翻倒，此时FA = 0 。 所以满载时起重机不翻倒的条所以满载时起重机不翻倒的条件是件是FA 0。 2B()W ebW aFb 2()W ebWa 解得：解得：B()0:MF A21()0FbWabW eWl 21A()W abWeW lFb 12WeW lWab 解得：解得： 综合考虑上述两种情况，平衡重物块应该满足如下综合考虑上述两种情况，平衡重物块应该满足如下不等式：不等式：abeWWbalWeW214-4 刚体系的平衡刚体系的平

16、衡 刚体系刚体系：实际工程结构大都是由两个或两个以上构件：实际工程结构大都是由两个或两个以上构件通过一定的约束方式连接起来的系统，因为在静力学通过一定的约束方式连接起来的系统，因为在静力学中构件的模型都是刚体，所以称为刚体系统。中构件的模型都是刚体，所以称为刚体系统。求解刚体系平衡问题的方法和步骤：求解刚体系平衡问题的方法和步骤：（1 1）选取研究对象）选取研究对象研究对象有多种选择研究对象有多种选择：一般先以整体一般先以整体为研究对象，有时虽然为研究对象，有时虽然不能求出全部未知约束力，但可求出其中一个或几个未知力不能求出全部未知约束力，但可求出其中一个或几个未知力；整体平衡与局部平衡整体平

17、衡与局部平衡：某些问题中考虑整体平衡时未知约束某些问题中考虑整体平衡时未知约束力的数目多于平衡方程的数目，此时需要力的数目多于平衡方程的数目，此时需要将系统分开，依次考将系统分开，依次考虑每个构件的平衡虑每个构件的平衡，则可求出全部未知约束力；，则可求出全部未知约束力；（2 2）分析研究对象受力，画受力图）分析研究对象受力，画受力图对刚体系统作受力分析时要对刚体系统作受力分析时要分清内力和外力分清内力和外力；严格根据约束的性质确定约束力，严格根据约束的性质确定约束力，注意作用力和反作用力注意作用力和反作用力；（3 3）根据力系的类型列平衡方程）根据力系的类型列平衡方程（选取适当的坐标轴和选取适

18、当的坐标轴和矩心矩心，以使方程中未知量个数最少；尽可能每个方程中，以使方程中未知量个数最少；尽可能每个方程中只有一只有一个未知量个未知量）（4 4）求解未知量，分析和讨论计算结果）求解未知量，分析和讨论计算结果 例例4-6：图所示三角形平板：图所示三角形平板 A 点为铰链支座，销钉点为铰链支座，销钉 C 固定在杆固定在杆DE 上，并与滑道光滑接触。不计各构件重量，上，并与滑道光滑接触。不计各构件重量，试试求铰链支座求铰链支座 A 和和 D 约束力约束力。 解：解：（1 1）以三角形平板以三角形平板 ABC 为研究对象为研究对象，受力图和坐，受力图和坐标系如图所示。建立平衡方程标系如图所示。建立

19、平衡方程 A()0,F MC0.2100 0.140F 0,x FAC100sin0 xFF 0,y FACcos0yFF 由几何关系可得由几何关系可得 解为：解为： sin0.6 cos0.8 NFC70NFAx58NFAy56A58NxF A56NyF C70NF （2 2）以杆以杆 DE 为研究对象为研究对象，受力图和坐标系如图所示，受力图和坐标系如图所示，建立平衡方程，建立平衡方程 解为：解为： E()0,F MDC0.2sin0.080 xFF 0,y FDCcos0yFF NFDx8 .16NFDy56 例：承重框架如图所示，例：承重框架如图所示，A、D、E 均为铰链，各杆件和均为

20、铰链，各杆件和滑轮的重量不计。试求滑轮的重量不计。试求A、D、E 点的约束力。点的约束力。 解：以整个刚体系统为研究对象，受解：以整个刚体系统为研究对象，受力图和坐标系如图所示。建立平衡方程力图和坐标系如图所示。建立平衡方程 A()0:MF E200 0.250.20 xF0:xF AE0 xxFF0:yF AE2000yyFFA250NxF E250NxF 解为：解为： NFEx250NFAx250 以杆以杆DE 为研究对象，受力图和坐标系为研究对象，受力图和坐标系如图所示。建立平衡方程如图所示。建立平衡方程 D()0:MF 0:xF 0:yF A250NxF E250NxF 解为：解为：

21、EE0.20.30.150 xyFFFDE0 xxFFFDE0yyFFE266.7NyF D450NxF D266.7NyF A66.7NyF NFEy7 .266NFDx450NFFEyDy7 .266再由上式可得，再由上式可得， 例：结构如图所示。已知例：结构如图所示。已知AB = BC = 1m ，DK = KE ，F = 1732kN ，W = 1000kN ，各杆重量不计，试求结构的外约束力。，各杆重量不计，试求结构的外约束力。 以杆以杆DE 为研究对象，受力图和坐标系为研究对象，受力图和坐标系如图所示。建立平衡方程如图所示。建立平衡方程 E()0:MF oDcos300FEDF E

22、K0:xF oEsin300 xFF0:yF oEDcos300yFFFD1000kNF E866kNxF E500kNyF 解为：解为： kNFFFD1000330cos2kNFFEx8662kNFEy500D1000kNF E866kNxF E500kNyF CD1000kNFF 以杆以杆AC 为研究对象，受力图和坐标系为研究对象，受力图和坐标系如图所示。建立平衡方程如图所示。建立平衡方程 解得：解得： A()0:MF 0:xF 0:yF AC0MW ABFACA0 xF AC0yFWFA0 xF A2000kNyF A3000kN mMmkNMA 3000kNFAy2000 例例4-94

23、-9：图所示构架由杆：图所示构架由杆AC 、CE 及及 BH 铰接而成。杆铰接而成。杆CE和和 E 端用滚子搁置在光滑面上，杆端用滚子搁置在光滑面上，杆BH 水平，在水平，在H 点作用一铅垂点作用一铅垂力力F1 = 1kN 。销钉。销钉C 上作用一水平力上作用一水平力F2 = 600N 和一铅垂力和一铅垂力F3 = 600N ，不计各杆重量。试求，不计各杆重量。试求A、B、D处的约束力。处的约束力。 求解思路？求解思路？ 解：解：以整个刚体系统为研究对象以整个刚体系统为研究对象，受，受力图和坐标系如图所示。建立平衡方程力图和坐标系如图所示。建立平衡方程 A()0,MF 0,xF 0,yF 解得

24、：解得： oE123sin4522.25210FFFF oA2Ecos450 xFFFoA3E1sin450yFFFFE2864NF A1425NxF A42NyF 以杆以杆BH 为研究对象为研究对象，受力图和坐标系如图所示。建立平衡方程，受力图和坐标系如图所示。建立平衡方程 B()0,MF 0,xF D()0,MF D111.750yFF B110.750yFF BD0 xxFFB750NyF D1750NyF 解得：解得： A1425NxF A42NyF 以杆以杆AC 为研究对象为研究对象，受力图和坐标系如图所示。建立平衡方程，受力图和坐标系如图所示。建立平衡方程 BB750NyyFF C

25、()0,MF AABB2110.50 xyxyFFFF 解得：解得： B2900NxF BB2900NxxFF DB2900NxxFF 例：平面结构如图所示。已知例：平面结构如图所示。已知F=10kN，l1=2m，l2=3m。如。如若不计结构自重，试求若不计结构自重，试求CD、EO所受的力。所受的力。 例：平面结构如图所示。已知例：平面结构如图所示。已知q=2kN/m，l1=2m，l2=3m。如若不计各个杆件自重，试求如若不计各个杆件自重，试求AC、BC两杆所受的力。两杆所受的力。 例：平面刚架结构受力以几何及尺寸如图所示，如若不计例：平面刚架结构受力以几何及尺寸如图所示，如若不计刚架自重，试求刚架自重，试求A、B支座所受的约束力。支座所受的约束力。 例：静定组合梁受力以及几