河海大学工程力学第3章平面力系

1、第第3章章 平平 面面 力力 系系河海大学 大 学 水 利 土 木 工 程 学 院 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组第第3 3章章平平 面面 力力 系系 3.3 平面任意力系平面任意力系3.6 摩擦平衡问题摩擦平衡问题 3.5 平面静定桁架平面静定桁架 3.4 物体系统的平衡物体系统的平衡 3.1 平面汇交力系平面汇交力系 3.2 平面力偶系平面力偶系 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组第第3 3章章平平 面面 力力 系系 3.3 平面任意力系平面任意力系3.6 摩擦平衡问题摩擦平衡问题 3.5 平面静定桁架平面静定桁架 3.4 物体系统的平衡

2、物体系统的平衡 3.1 平面汇交力系平面汇交力系 3.2 平面力偶系平面力偶系 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组第第3 3章平面力系章平面力系3.1 3.1 平面平面汇交力系汇交力系汇交力系汇交力系是指力的作用线是指力的作用线都交于一点的力系。若力的作用都交于一点的力系。若力的作用线在同一平面内，称为平面汇交线在同一平面内，称为平面汇交力系，否则称为空间汇交力系。力系，否则称为空间汇交力系。平面汇交力系平面汇交力系空间汇交力系空间汇交力系 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组第第3 3章平面力系章平面力系3.1 3.1 平面平面汇交力系汇交力系平

3、 面 汇 交 力 系 合 成 的 几 何 法F1F2F3OF1BF2CF3DFR=F1+F2+F3应用力多边形法则，合力即为力多边形的封闭边。如图应用力多边形法则，合力即为力多边形的封闭边。如图所示。用解析式表达为所示。用解析式表达为AFR 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组第第3 3章平面力系章平面力系3.1 3.1 平面平面汇交力系汇交力系 平面汇交力系平衡的几何充要条件是：平面汇交力系平衡的几何充要条件是：力多边形自行封闭力多边形自行封闭。 F4FR =F1+F2+F3+F4=0平 面 汇 交 力 系 平 衡 的 几 何 法F1F2F3OF1BF2CF3DAF4

4、水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组第第3 3章平面力系章平面力系3.1 3.1 平面平面汇交力系汇交力系应用合力投影定理求出力系的合力的投影应用合力投影定理求出力系的合力的投影X、Y后，后，可用矢量合成的方法求出力系合力的大小和方向。可用矢量合成的方法求出力系合力的大小和方向。 ininYYYYYXXXXX21212222)()(iiyxRYXFFFRRFYFXcos,cos平 面 汇 交 力 系 合 成 的 解 析 法 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组第第3 3章平面力系章平面力系3.1 3.1 平面平面汇交力系汇交力系xy求图示汇交力系的合

5、力的大求图示汇交力系的合力的大小和方向。已知：小和方向。已知：kNFkNFkNFkNF1,25. 0,5 . 0,5 . 14321kNXXi332. 045cos60cos25. 05 . 0kNYYi99. 145sin60sin25. 05 . 1F先计算合力先计算合力 F 在在x、y轴上的投轴上的投影，有影，有【解解】kNYXF02. 222cos0.164,cos0.986XYFF 3480 . 例例3-11F2F3F4F6045O 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组第第3 3章平面力系章平面力系3.1 3.1 平面平面汇交力系汇交力系 如图如图(a)所示，所

6、示，F 为为F1、F2、F3的合力，已知：的合力，已知：F=10kN， F3=10kN，=20，=60。求。求F1和和F2。 例例3-2xyF1F2F3FO OF1F2F3FO O(a)(b) 建立如图建立如图(b)所示直角坐标系，假定所示直角坐标系，假定F1和和F2的指向，的指向，由合力投影定理有由合力投影定理有【解解】F=F3cos-F1cos0= F3sin+F2+ F1sin 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组第第3 3章平面力系章平面力系3.1 3.1 平面平面汇交力系汇交力系 例例3-2【解解】F1=5.32kN， F2=6.84kN结果均为负值，说明结果均

7、为负值，说明F1和和F2假定的指向与实际指向相反。假定的指向与实际指向相反。 代入数据代入数据F=10kN，F3=10kN，=20，=60，可求得，可求得F=F3cos-F1cos0= F3sin+F2+ F1sinxyF1F2F3FO O(b) 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组第第3 3章平面力系章平面力系3.1 3.1 平面平面汇交力系汇交力系平面汇交力系平衡的解析法平面汇交力系平衡的充要条件是力系的合力平面汇交力系平衡的充要条件是力系的合力FR等于零。等于零。0)()(22iiRYXF平衡平衡方程为00iiYX，即平面汇交力系平衡的解析条件是：力系中各力在两个即

8、平面汇交力系平衡的解析条件是：力系中各力在两个坐标轴中上的投影之代数和均等于零。坐标轴中上的投影之代数和均等于零。独立的平衡方独立的平衡方程只有两个！程只有两个！ 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组第第3 3章平面力系章平面力系3.1 3.1 平面平面汇交力系汇交力系 已知：已知： FP=20kN，R=0.6m, h=0.08m,求：求：1、欲将碾子拉过障碍物，水平拉力、欲将碾子拉过障碍物，水平拉力F 至少多大？至少多大？ 2、F 沿什么方向拉动碾子最省力，此时力沿什么方向拉动碾子最省力，此时力F 多大？多大？ 例例3-3【解解】FPRFhAB取碾子为研究对象，画其受力

9、图取碾子为研究对象，画其受力图(b)。(a)FPFFAFBO(b) 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组第第3 3章平面力系章平面力系3.1 3.1 平面平面汇交力系汇交力系利用上述平衡方程求得：利用上述平衡方程求得：kNFFP55.11tan1 1、碾子拉过障碍物，应有、碾子拉过障碍物，应有0BF，如图，如图( (c) )所示。所示。0sin FFA:0Y0cosAPFF建立坐标系，列投影方程建立坐标系，列投影方程:0X 例例3-3【解解】FPFFAO(c) 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组第第3 3章平面力系章平面力系3.1 3.1 平面平面

10、汇交力系汇交力系2、求最小力、求最小力Fmin设此时力设此时力F与水平线夹角为与水平线夹角为 ，建立图（，建立图（d）所示坐标系。）所示坐标系。, 0iX0)cos(sinFFP)cos(sinPFFkNFFP10sinmin显然，当显然，当=时，有时，有 例例3-3【解解】FPFFAO(d) x 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组第第3 3章平面力系章平面力系3.1 3.1 平面平面汇交力系汇交力系 重物重物A质量质量m=10kg,悬挂在支架铰接点悬挂在支架铰接点 B 处，处，A、C 为固定铰支座，杆件位置如图示，略去支架杆件重量，求重物为固定铰支座，杆件位置如图示，

11、略去支架杆件重量，求重物处于平衡时，处于平衡时，AB 、BC 杆的内力。杆的内力。 例例3-4【解解】y（b）x4530BCFBAFBTF取销钉取销钉B为研究对象，画其受力图为研究对象，画其受力图(b)。（a）AC4560B 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组第第3 3章平面力系章平面力系3.1 3.1 平面平面汇交力系汇交力系 例例3-4【解解】045cos30cos, 0BABCFFXi045sin30sin, 0BABCTFFFYi联立上述两方程，解得：联立上述两方程，解得： 。NFNF8 .71,88BABC取销钉取销钉B为研究对象，画为研究对象，画其受力图其受

12、力图(b)。列平衡方程列平衡方程y（b）x4530BCFBAFBTF 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组第第3 3章平面力系章平面力系3.1 3.1 平面平面汇交力系汇交力系 （4）合理选取投影轴，列平衡方程求解；）合理选取投影轴，列平衡方程求解；（5）对结果进行必要的分析和校核。）对结果进行必要的分析和校核。（1）理解题意，明确已知量和待求量；）理解题意，明确已知量和待求量；（2）明确所研究问题，恰当选取研究对象；）明确所研究问题，恰当选取研究对象；（3）正确画出研究对象的受力图；）正确画出研究对象的受力图；求解平面汇交力系平衡问题的一般步骤：求解平面汇交力系平衡问题

13、的一般步骤： 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组第第3 3章章平平 面面 力力 系系 3.3 平面任意力系平面任意力系3.6 摩擦平衡问题摩擦平衡问题 3.5 平面静定桁架平面静定桁架 3.4 物体系统的平衡物体系统的平衡 3.1 平面汇交力系平面汇交力系 3.2 平面力偶系平面力偶系 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组第第3 3章平面力系章平面力系3.2 3.2 平面力偶系平面力偶系平 面 力 偶 系 的 合 成力偶系力偶系是指由多个力偶组成的力系。若各力偶在同一是指由多个力偶组成的力系。若各力偶在同一平面内，称为平面力偶系，否则称为空间力偶系

14、。平面内，称为平面力偶系，否则称为空间力偶系。平面力偶系M1M2MnMi空间力偶系M1M2Mn 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组第第3 3章平面力系章平面力系3.2 3.2 平面力偶系平面力偶系平 面 力 偶 系 的 合 成首先考虑两个力偶的情况首先考虑两个力偶的情况=111dFM222dFM1F2F1F2F1d2ddF1P1PFdRFFRdFMP11dFMP22212P1P2P1PRMMdFdFd)FF(dFM2PFF2PFFFFFF2P1PR2P1PR 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组第第3 3章平面力系章平面力系3.2 3.2 平面力偶

15、系平面力偶系考虑任意个力偶的情况考虑任意个力偶的情况nMMMM21iM1M2MnM平 面 力 偶 系 的 平 衡平面力偶系平衡的必要和充分条件是：力偶系中各平面力偶系平衡的必要和充分条件是：力偶系中各力偶矩的代数和等于零，其平衡方程为力偶矩的代数和等于零，其平衡方程为利用这个平衡条件，可以求解一个未知量。利用这个平衡条件，可以求解一个未知量。 0iM平 面 力 偶 系 的 合 成 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组第第3 3章平面力系章平面力系3.2 3.2 平面力偶系平面力偶系BFAFd 已知已知 ， ，求，求 A、B处的反力。处的反力。mNM161mNM42 例例3

16、-5【解解】A、B 处的反力必须组成一处的反力必须组成一个力偶才能与主动力偶系平衡。作个力偶才能与主动力偶系平衡。作AB 梁的受力图，如图（梁的受力图，如图（b）所示。）所示。1M2MAL=4m(a)60B1M2MAB(b)60解得解得NFB6060cos21LFMMB得得由平衡方程由平衡方程 0iMNFFBA6故故说明图中所示说明图中所示FA 、FB 的指向与实际相同。的指向与实际相同。 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组第第3 3章平面力系章平面力系3.2 3.2 平面力偶系平面力偶系BO1铰接四连杆机构OABO1在图(a)所示。已知：OA=4a，O1B=6a。作用

17、在OA上力偶的力偶M1 和O1B上的力偶M2。要使系统平衡，求M1/ M2的比值。 例例3-6M2M1O30(a)BAO1(b)BAM2O30AM1(c)FABFBAFABFOFBAFO1(d) 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组第第3 3章平面力系章平面力系3.2 3.2 平面力偶系平面力偶系（1）选）选OA为研究对象，受力图如为研究对象，受力图如图（图（c），列平衡方程），列平衡方程 ,0iM030sin41ABMaF（2）选）选O1B为研究对象，受力图如为研究对象，受力图如图（图（d），列平衡方程），列平衡方程 06BA2aFM, 0iM由以上两式可得由以上两式可

18、得M1/ M21/3 【解解】O30AM1(c)FABFOBO1M2FBAFO1(d) 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组第第3 3章章平平 面面 力力 系系 3.3 平面任意力系平面任意力系3.6 摩擦平衡问题摩擦平衡问题 3.5 平面静定桁架平面静定桁架 3.4 物体系统的平衡物体系统的平衡 3.1 平面汇交力系平面汇交力系 3.2 平面力偶系平面力偶系 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组第第3 3章平面力系章平面力系3.3 3.3 平面任意力系平面任意力系定理定理 ：作用在刚体上某点的力作用在刚体上某点的力 FA，可以平行移动到刚体，可以平

19、行移动到刚体 上任意一点上任意一点B，但必须同时附加一个力偶，其力偶，但必须同时附加一个力偶，其力偶 矩等于原来的力矩等于原来的力 FA 对平移点对平移点B之矩。之矩。证明：证明：ABAFABAFBFBF =ABMBF ABFMM 其中其中力 的 平 移 定 理27 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组 可见，一个力可以分解为共面的一个力和一个力偶；可见，一个力可以分解为共面的一个力和一个力偶；反之，共面的一个力和一个力偶，也可以合成为一个力。反之，共面的一个力和一个力偶，也可以合成为一个力。 如打乒乓球，若球拍对球作用的力其作用线通过球心如打乒乓球，若球拍对球作用的力其

20、作用线通过球心（球的质心），则球将平动而不旋转；但若力的作用线与（球的质心），则球将平动而不旋转；但若力的作用线与球相切球相切“削球削球”，则球将产生平动和转动。，则球将产生平动和转动。CF(a)CFCm(b)F力 的 平 移 定 理第第3 3章平面力系章平面力系3.3 3.3 平面任意力系平面任意力系28 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组 请分析一下上图的单桨和请分析一下上图的单桨和双桨划船与右图的单手和双手双桨划船与右图的单手和双手攻丝的情形。攻丝的情形。力 的 平 移 定 理第第3 3章平面力系章平面力系3.3 3.3 平面任意力系平面任意力系29必须注意，力的

21、平移定理只对物体的运动效应起作用，而不适用于必须注意，力的平移定理只对物体的运动效应起作用，而不适用于物体的变形效应，如图物体的变形效应，如图 (a)、(b)所示的情形，尽管将力平移后不会影响物所示的情形，尽管将力平移后不会影响物体的平衡状态，但是其变形情况是完全不同的。但是在工程实际上常用体的平衡状态，但是其变形情况是完全不同的。但是在工程实际上常用力的平移定理得到近似的等效力系，在满足一定的计算精度的前提下，力的平移定理得到近似的等效力系，在满足一定的计算精度的前提下，使原来较为复杂的问题简单化，例如图使原来较为复杂的问题简单化，例如图 (b)所示的偏心受压柱。所示的偏心受压柱。力 的 平

22、 移 定 理第第3 3章平面力系章平面力系(a)(b)AFBCMFABCFFM3.3 3.3 平面任意力系平面任意力系30 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组第第3 3章平面力系章平面力系任意力系任意力系是指力的作用线既不都交于一点也不全平行而且是指力的作用线既不都交于一点也不全平行而且不全由力偶组成的力系。不全由力偶组成的力系。重力坝重力坝FW水水压压力力地基反力地基反力3.3 3.3 平面任意力系平面任意力系31 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组第第3 3章平面力系章平面力系xFWFAxyzFAzFAyFByFBxFTFP3.3 3.3 平

23、面任意力系平面任意力系32 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组平面任意力系向作用面内一点简化平面任意力系向作用面内一点简化第第3 3章平面力系章平面力系=)( ,1111FMMFFO)( ,2222FMMFFO)( ,nOnnnFMMFFFR= Fi=Fi MO = MO(Fi) 主矢主矢主矩主矩F1F2FnOOF1FnF2M1MnM2FROMO3.3 3.3 平面任意力系平面任意力系33 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组平 面 任 意 力 系 向 一 点 简 化 结 果 的 解 析 计 算第第3 3章平面力系章平面力系FROMORyRxiyi

24、xyxRFFFFFFFFFcoscos)()(2222，主矢大小及方向主矢大小及方向主矩主矩Mo= Mo(Fi) 作用点作用点作用于简化中心上作用于简化中心上主矢与简化中心无关主矢与简化中心无关, ,而主矩一般与简化中而主矩一般与简化中心有关。心有关。yx3.3 3.3 平面任意力系平面任意力系34 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组平 面 任 意 力 系 向 一 点 简 化 结 果 的 讨 论第第3 3章平面力系章平面力系平面一般力系一般可以简化为一个力和平面一般力系一般可以简化为一个力和一个力偶，该力可由力系的主矢来表示，该一个力偶，该力可由力系的主矢来表示，该力偶

25、的矩等于力系的主矩。根据主矢和主矩力偶的矩等于力系的主矩。根据主矢和主矩是否为零可分为以下几种情况：是否为零可分为以下几种情况：0,0)2(ORMF该力系等效一个合力偶该力系等效一个合力偶OMO0,0) 1 (ORMF该力系平衡该力系平衡OFROMO0,0)3(ORMF该力系等效一个合力该力系等效一个合力FRO3.3 3.3 平面任意力系平面任意力系35 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组平 面 任 意 力 系 向 一 点 简 化 结 果 的 讨 论第第3 3章平面力系章平面力系0,0)4(ORMF该力系仍可简化为一个合力，但合力的作用线距简化中该力系仍可简化为一个合力

26、，但合力的作用线距简化中心心O的距离为，并使得该合力对的距离为，并使得该合力对O点的矩与主矩点的矩与主矩MO的转向一致。的转向一致。/ROFMd FROMOFROMOFRFROFRd3.3 3.3 平面任意力系平面任意力系36 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组平 面 固 定 端 约 束第第3 3章平面力系章平面力系 将物体的一端牢固地插入基础或固定在其他静止的物将物体的一端牢固地插入基础或固定在其他静止的物体上，就构成体上，就构成固定端固定端。构件既不能转动，也不能移动。构件既不能转动，也不能移动。3.3 3.3 平面任意力系平面任意力系37 水 利 土 木 工 程

27、学 院 工 程 力 学 课 程 组平 面 固 定 端 约 束第第3 3章平面力系章平面力系FqFqAFqAFAMqFAFAxMFAy3.3 3.3 平面任意力系平面任意力系38 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组分布荷载分布荷载是指力的作用位置不能简化为一个点，而必是指力的作用位置不能简化为一个点，而必须看作是一定范围的力系。根据其作用范围的情况可分为须看作是一定范围的力系。根据其作用范围的情况可分为以下三种：以下三种：1）体分布荷载2）面分布荷载荷载分布在狭长范围内，如沿构件荷载分布在狭长范围内，如沿构件的轴线分布。的轴线分布。荷载（力）分布在整个构件内部各荷载（力）

28、分布在整个构件内部各点上。例如，构件的自重等。点上。例如，构件的自重等。分布在构件表面上的荷载（力）。分布在构件表面上的荷载（力）。例如，风压力、雪压力等。例如，风压力、雪压力等。3）线分布荷载分布荷载第第3 3章平面力系章平面力系3.3 3.3 平面任意力系平面任意力系39 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组分布荷载第第3 3章平面力系章平面力系作用线平行、指向相同、连续作用线平行、指向相同、连续分布在一定范围上的力系，这称为分布在一定范围上的力系，这称为平行分布力系或平行分布荷载。平行分布力系或平行分布荷载。 2、平行分布荷载qq若以若以F表示微长度表示微长度L上平

29、上平行分布荷载的合力，则线分布荷行分布荷载的合力，则线分布荷载的集度载的集度(N/m)为为 3、线分布荷载的集度LFqL0lim均布荷载均布荷载非非均均布布荷荷载载3.3 3.3 平面任意力系平面任意力系40 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组分布荷载)x(qFxdxxCbadx)x(qFbaOdxxxqM)(线分布荷载的简化 babaCdxxqdxxxqx)()(dx)x(qdF dFxC称为荷载图的形心坐标。称为荷载图的形心坐标。 bayOx第第3 3章平面力系章平面力系3.3 3.3 平面任意力系平面任意力系41 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课

30、 程 组分布荷载第第3 3章平面力系章平面力系4、线平行分布荷载的简化Lq均布荷载均布荷载xCFFxC均布荷载均布荷载LxqLFC21 ,三角形分布荷载三角形分布荷载梯形分布荷载梯形分布荷载Lx LqFC31,20q0非非均均布布荷荷载载Lq2q13.3 3.3 平面任意力系平面任意力系42 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组 水坝坝前水深水坝坝前水深h=10m，求求1m长的坝面上水压力的合力之长的坝面上水压力的合力之大小和作用线位置。大小和作用线位置。 例例3-7第第3 3章平面力系章平面力系qA)y( qBC 取取1m长的坝考虑时，水压长的坝考虑时，水压力可以简化为

31、平行分布荷载。力可以简化为平行分布荷载。 深度深度y处，水的压强为处，水的压强为 。yhhqydydyyyq)()1 ()(【解解】y1mhdymhdkNhhqF67. 632491)(21 该分布荷载是三角形分布的，该分布荷载是三角形分布的，其合力大小为三角形的面积，作其合力大小为三角形的面积，作用线在距水面用线在距水面2/3处。处。3.3 3.3 平面任意力系平面任意力系43 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组 在长方形平板上在长方形平板上作用有四个力：作用有四个力：F1=1 kN，F2=2 kN，F3=F4=3 kN，试求该力系，试求该力系对对O点的简化结果，以及

32、最后点的简化结果，以及最后合成结果。合成结果。【解解】 例例3-8F1F2F3F4OABCxy2m3m3060 1) 求主矢求主矢 。RF kN FF FX F iRx598. 030cos60cos432kN F FFY F iRy768. 030sin60sin421主矢的大小：主矢的大小：主矢的方向：主矢的方向：kN FFFyRxRR794.0221.52,614.0cosRRRRi , Fi , FFFxRF第第3 3章平面力系章平面力系3.3 3.3 平面任意力系平面任意力系44 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组xy【解解】2）求主矩求主矩MO合力合力FR到

33、到O点的距离为：点的距离为：3）最后结果是一个合力最后结果是一个合力FR。mkN FF FM O5 . 030sin3260cos2432MORFFRdRRFFm FMdRO51. 0F1F2F3F4OABCxy2m3m3060第第3 3章平面力系章平面力系3.3 3.3 平面任意力系平面任意力系45 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组第第3 3章平面力系章平面力系图图(a)平面任意力系平面任意力系向向O、A两点简化后的主矢和主两点简化后的主矢和主矩分别为矩分别为FR、MO和和FA、MA，求它们之间的关系，并求图求它们之间的关系，并求图(b)力系的简化结果。力系的简化结

34、果。【解解】 例例3-9FRMOO(a)FAMAA(1) FRFAMAMOMA(FR)FFFABCaaa(b)FaMMMFCBAR866. 0, 0(2) 图图(b)力系的简化结果力系的简化结果3.3 3.3 平面任意力系平面任意力系46 重力坝受力情况如图所示。设重力坝受力情况如图所示。设FP1=450kN，FP2=200kN，F1=300 kN，F2=70 kN。求力系的合力。求力系的合力FR的的大小和方向余弦大小和方向余弦,合力与基线合力与基线OA的交点到的交点到O点的距离点的距离x0，以及合力作用线方程。以及合力作用线方程。 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组

35、例例3-10AOCRF MO9m3m1.5m3.9m5.7m3mxyABCO90F1FP1FP2F27 .16arctanCBAB ACB第第3 3章平面力系章平面力系3.3 3.3 平面任意力系平面任意力系47 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组【解解】9m3m1.5m3.9m5.7m3mxyABCO90F1FP1FP2F2 1) 求主矢求主矢 。RF 主矢的大小：主矢的大小：主矢的方向：主矢的方向：kN FFFYFkN FFXFPPiyRixR1 .670sin9 .232cos22121kN YXFiiR4 .709)()(2284.160945. 0cos84.

36、70328. 0cos，RiRiFYFX第第3 3章平面力系章平面力系3.3 3.3 平面任意力系平面任意力系48 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组2）求主矩求主矩MO mkN F.F.F MMPPOO355293513211FOACRFMO84.70kN FR4 .70984.16084.70，【解解】9m3m1.5m3.9m5.7m3mxyABCO90F1FP1FP2F2第第3 3章平面力系章平面力系3.3 3.3 平面任意力系平面任意力系49 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组3）力系最后合成结果是一个合力）力系最后合成结果是一个合力FR

37、。OACRFMO84.70FRkN FF kN FFkN FFyRyRxRxRRR1 .6709 .2324 .709x0合力合力FR对对O点的矩必等于主矩点的矩必等于主矩MO 。 0FxFMMyRROOmFMxyRO514.30mkN MO3552【解解】第第3 3章平面力系章平面力系3.3 3.3 平面任意力系平面任意力系50 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组OACFR 设合力作用线上任一点的坐设合力作用线上任一点的坐标为（标为（x，y），将合力作用线过），将合力作用线过此点，则此点，则可得合力作用线方程可得合力作用线方程或或xRyRROOyFxFMMFyx 9

38、.2321 .6703552035529 .2321 .670 y xkN F ,kN FyRxR1 .6709 .232FRxFRy(x,y)【解解】第第3 3章平面力系章平面力系3.3 3.3 平面任意力系平面任意力系51 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组第第3 3章平面力系章平面力系 平面任意力系平衡的充分必要条件是力系的主矢和主矩平面任意力系平衡的充分必要条件是力系的主矢和主矩同时都等于零，即同时都等于零，即FR =0，MO= 0 0 , 0 , 0 OiiMYX 000 iBA，XMM000 CBAMMM，1、基本形式 2、二力矩形式 3、三力矩形式 与该平

39、衡条件等效的平衡方程有三种形式，分别是与该平衡条件等效的平衡方程有三种形式，分别是3.3 3.3 平面任意力系平面任意力系平平 面面 任任 意意 力力 系系 的的 平平 衡衡 条条 件和件和 平平 衡衡 方方 程程 52 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组平面任意力系虽然有三种形式的平衡方程，且每一种平面任意力系虽然有三种形式的平衡方程，且每一种都有三个方程，但都有三个方程，但独立的平衡方程只有三个独立的平衡方程只有三个，一次最多可，一次最多可以求解三个未知量。另外，它们都各有相应的适用条件。以求解三个未知量。另外，它们都各有相应的适用条件。第第3 3章平面力系章平面力

40、系1 1、基本形式x、y轴不平行轴不平行FROMO0 iY0 iXOMO0 OMO3.3 3.3 平面任意力系平面任意力系53 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组第第3 3章平面力系章平面力系2、 二力矩形式二力矩形式FRAMA0 iX0 AMAFRA0 AMAFRBFRABxAB连线连线不垂直于不垂直于x轴轴3.3 3.3 平面任意力系平面任意力系54 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组第第3 3章平面力系章平面力系3、 三力矩形式三力矩形式ABC三点三点不共线不共线FRAMA0 AMAFRA0 BMAFRBFRABC0 CM3.3 3.3 平

41、面任意力系平面任意力系55 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组10kN/m35kNm30kN6m5m3mAFAxFAyMA刚架受力如图，求固定端刚架受力如图，求固定端A处的约束反力。处的约束反力。 取刚架为研究对象，画出受力图取刚架为研究对象，画出受力图, ,由平衡方程得：由平衡方程得：Xi=0, FAx 30=0 Yi=0, FAy 106=0 MA=0, MA351063+303=0 由以上三式解得由以上三式解得 FAx=30kNFAy =60kNMA125kNm 【解解】 例例3-11第第3 3章平面力系章平面力系3.3 3.3 平面任意力系平面任意力系56FPF

42、TCB0.1mFTFW6m4mMAA 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组取 弧 形 闸取 弧 形 闸门为研究对象，门为研究对象，画受力图。当刚画受力图。当刚开启闸门时，必开启闸门时，必有有FNB=0，所以共，所以共有三个未知力有三个未知力FAx、FAy和和FT 。 【解解】FNBFAxFAy 图示弧形闸门，图示弧形闸门， FP=3000kN，自重，自重FW=150kN，水压力铰水压力铰A处的摩擦力偶处的摩擦力偶mA= 60kNm。求刚开启闸门时的拉。求刚开启闸门时的拉力及铰力及铰A处的约束反力。处的约束反力。 例例3-12第第3 3章平面力系章平面力系303.3 3.3

43、 平面任意力系平面任意力系57 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组由平面一般力系的三个平衡方程可得：由平面一般力系的三个平衡方程可得： MA=0, FT 6FP 0.1 + FW4 + mA =0Xi=0, FAx + FP cos30= 0Yi=0, FAyFW +FT + FP sin30= 0 代入数据，求得代入数据，求得 FT = 60kN FAx = 2598kNFAy = 1410kN 【解解】第第3 3章平面力系章平面力系FPFTCB0.1mFTFW6m4mMAAFAxFAy303.3 3.3 平面任意力系平面任意力系58 水 利 土 木 工 程 学 院

44、工 程 力 学 课 程 组已知所示水平杆，已知所示水平杆，FP1 = 50 kN，FP2= 75kN，试求，试求、三根吊杆所受之力。、三根吊杆所受之力。 例例3-13F3CBAFP1FP26045F1F245BFP1FP2453mA3m3m3m4560CO1O2第第3 3章平面力系章平面力系3.3 3.3 平面任意力系平面任意力系59 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组采用二力矩形式的平衡方程，得采用二力矩形式的平衡方程，得MO1=0,-F1cos456-F1sin4512+FP19-FP2cos606+FP2sin603=0MO2 = 0, F39 + FP2cos6

45、03 - FP2sin606= 0Xi=0, F2cos45- -FP2 cos60- -F1cos45= 0 解方程得解方程得 设三杆均受拉，分别用设三杆均受拉，分别用F1、F2、F3表示，画受力图。表示，画受力图。【解解】F3CBAFP1FP26045F1F245O1O23m3m3m3mF1 = 33.0kNF2 = 30.8kNF3 = 86.0kN 第第3 3章平面力系章平面力系3.3 3.3 平面任意力系平面任意力系60 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组平平 面面 平平 行行 力力 系系 的的 简简 化化第第3 3章平面力系章平面力系平行力系平行力系是指各力

46、的作用线都互相平行的力系。若各力的是指各力的作用线都互相平行的力系。若各力的作用线都在同一平面内，称为平面平行力系，否则称为空间平作用线都在同一平面内，称为平面平行力系，否则称为空间平行力系。行力系。F1F2FnFixiyixyzO空间平行力系空间平行力系平面平行力系平面平行力系yOxF1FnF2Fix1xixnx23.3 3.3 平面任意力系平面任意力系61 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组平平 面面 平平 行行 力力 系系 的的 平平 衡衡第第3 3章平面力系章平面力系平面平行力系向一点平面平行力系向一点O简化的简化的结果一般是一个力和一个力偶。结果一般是一个力和

47、一个力偶。 FR = Yi MO = Fi xi yOxF1FnF2FixiFRMO平面平行力系的平衡方程为平面平行力系的平衡方程为平面平行力系平衡的充要条件是：平面平行力系平衡的充要条件是：力系中各力的代数和力系中各力的代数和以及各力对任一点之矩的代数和都为零以及各力对任一点之矩的代数和都为零。00Oi MY，0 0 BAMM，或或y轴不与力的作用线垂直轴不与力的作用线垂直A、B连线与力的作用线不平行连线与力的作用线不平行3.3 3.3 平面任意力系平面任意力系62 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组第第3 3章平面力系章平面力系图示一塔式起重机。机架图示一塔式起重机

48、。机架m1=50t，重心在，重心在O点。已点。已知起重机的最大起吊质量知起重机的最大起吊质量m2=25t，欲使起重机在空载与满载，欲使起重机在空载与满载时都不会翻到，平衡锤的质量时都不会翻到，平衡锤的质量m3 应为多大？图中应为多大？图中 a=3m，b=1.5m，c=6m，l=10m，FW=m2g，FQ =m3g，FW1=m1g。 例例3-14cbxyaLFW1OFQFWFR 的方向铅垂向下。的方向铅垂向下。合力合力FR的大小为的大小为FRxgmmmFR)(321【解解】由合力矩定理得由合力矩定理得gcmlagmbagmxFR321)()(（）（）321321mmmcm)la(m)ba(mx3

49、.3 3.3 平面任意力系平面任意力系63 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组第第3 3章平面力系章平面力系cbxyaLFW1OFQFWFRx欲使起重机不翻倒应有欲使起重机不翻倒应有tcbamm5 .37)(13即得即得ax 01）空载时，）空载时，m2=0，FW=0，x0，由，由（* *）式得式得0)(31cmbam【解解】 2）满载时，）满载时，m2=25t，xa，由由（）（）式得式得)()()(321321mmmacmlambamtaclmbmm1 .36213欲使起重机不致翻倒，应有欲使起重机不致翻倒，应有tmt5 .371 .3633.3 3.3 平面任意力系

50、平面任意力系 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组第第3 3章章平平 面面 力力 系系 3.3 平面任意力系平面任意力系3.6 摩擦平衡问题摩擦平衡问题 3.5 平面静定桁架平面静定桁架 3.4 物体系统的平衡物体系统的平衡 3.1 平面汇交力系平面汇交力系 3.2 平面力偶系平面力偶系 65 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组第第3 3章平面力系章平面力系 3.4 3.4 物体系统的平衡物体系统的平衡静 定 和 静 不 定 的 概 念 当物体在某一力系作用下处于平衡时，如果未知量的当物体在某一力系作用下处于平衡时，如果未知量的数目等于或少于独立平

51、衡方程的个数，则由平衡方程可以数目等于或少于独立平衡方程的个数，则由平衡方程可以求解全部未知量，这类问题称为求解全部未知量，这类问题称为静定问题，相应的结构称，相应的结构称为为静定结构。FF(a)(b)FqFq(c)(d)66 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组静 定 和 静 不 定 的 概 念 第第3 3章平面力系章平面力系 3.4 3.4 物体系统的平衡物体系统的平衡 反之，如果未知量的数目超过独立平衡方程的个数，反之，如果未知量的数目超过独立平衡方程的个数，则仅由平衡方程不可能求解全部未知量，这类问题称为则仅由平衡方程不可能求解全部未知量，这类问题称为静不定问题，

52、相应的结构称为，相应的结构称为静不定结构。FF(a)(b)FqFq(c)(d)67 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组平面系统中，若把每个物体都看作受平面一般力系作用，则由n个物体组成的系统就有3n个独立的平衡方程，可以求解3n个未知量。由几个物体通过一定的由几个物体通过一定的约束约束联系在一起的联系在一起的物体系统物体系统。物体系统平衡时，组成该系统的每一个刚体都处在平物体系统平衡时，组成该系统的每一个刚体都处在平衡状态，因而可以选取衡状态，因而可以选取整个系统整个系统、系统内、系统内每一个刚体每一个刚体、系、系统内统内若干个刚体若干个刚体的组合为研究对象，分别写出的

53、组合为研究对象，分别写出平衡方程平衡方程求求得未知量。得未知量。 物物 体体 系系 统统 的的 平平 衡衡 问问 题题第第3 3章平面力系章平面力系 3.4 3.4 物体系统的平衡物体系统的平衡68 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组 1、物体系统是由几个物体组成，可分别分析各个物体、物体系统是由几个物体组成，可分别分析各个物体的受力情况，的受力情况，画出受力图画出受力图。 2、根据每个受力图的力系类型，可知各有、根据每个受力图的力系类型，可知各有几个独立几个独立的平衡方程的平衡方程，总计独立平衡方程数，与问题中，总计独立平衡方程数，与问题中未知量的总未知量的总数数相比

54、较。相比较。 （1）若未知量总数超过独立的平衡方程总数，则问题）若未知量总数超过独立的平衡方程总数，则问题是是超静定超静定的。的。 （2）若未知量总数正好等于独立的平衡方程总数，）若未知量总数正好等于独立的平衡方程总数，则问题是则问题是静定静定的。的。物物 体体 系系 统统 的的 平平 衡衡 问问 题题第第3 3章平面力系章平面力系 3.4 3.4 物体系统的平衡物体系统的平衡69 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组 （3）若未知量总数小于独立的平衡方程总数，则）若未知量总数小于独立的平衡方程总数，则系系统可能不平衡统可能不平衡；若计算表明，所有的平衡方程都能满足，；若

55、计算表明，所有的平衡方程都能满足，则说明系统处于平衡，但则说明系统处于平衡，但题给的条件有些是多余的题给的条件有些是多余的或或系统系统是不稳定的是不稳定的。4、这里主要研究静定结构的受力平衡问题。根据每、这里主要研究静定结构的受力平衡问题。根据每个物体的受力图，个物体的受力图，分析问题，制定可行的解题思路分析问题，制定可行的解题思路，选择，选择合适的矩心或投影轴，列平衡方程求解未知量，直至求出合适的矩心或投影轴，列平衡方程求解未知量，直至求出需要求解的全部未知量。需要求解的全部未知量。物物 体体 系系 统统 的的 平平 衡衡 问问 题题第第3 3章平面力系章平面力系 3.4 3.4 物体系统的

56、平衡物体系统的平衡70 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组5、注意事项、注意事项 (1)(1)在总计独立的平衡方程数时，应在总计独立的平衡方程数时，应分别考虑系统中分别考虑系统中每一个物体，而系统的整体则不应再加考虑每一个物体，而系统的整体则不应再加考虑。因为系统中。因为系统中每一个物体既已处于平衡，整个系统当然处于平衡，其平每一个物体既已处于平衡，整个系统当然处于平衡，其平衡方程可由各个物体的平衡方程推出，不是相互独立的。衡方程可由各个物体的平衡方程推出，不是相互独立的。(2)(2)在求解物体系的平衡问题时，不仅要在求解物体系的平衡问题时，不仅要研究整体，研究整体，还

57、要研究局部个体还要研究局部个体，才能使问题得到解决。应该从未知量，才能使问题得到解决。应该从未知量较少或未知量数正好等于独立的平衡方程数的受力图开较少或未知量数正好等于独立的平衡方程数的受力图开始，逐步求解。始，逐步求解。物物 体体 系系 统统 的的 平平 衡衡 问问 题题第第3 3章平面力系章平面力系 3.4 3.4 物体系统的平衡物体系统的平衡71 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组第第3 3章平面力系章平面力系 3.4 3.4 物体系统的平衡物体系统的平衡 图示三铰刚架上，作用着集度为图示三铰刚架上，作用着集度为q均布荷载，自均布荷载，自重及摩擦均不计。求铰链重及

58、摩擦均不计。求铰链A、B处的反力。处的反力。BxFByF【解解】 例例3-15Ahl/2l/2BqCAAxFAyFqCCxFCyFAxFAyF72 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组第第3 3章平面力系章平面力系 3.4 3.4 物体系统的平衡物体系统的平衡BxFByF【解解】Ahl/2l/2BqCAAxFAyFqCCxFCyFAxFAyF（1）画整体的受力图）画整体的受力图(b)。020llqlFMAyB，00qlFFYByAyi，)(2qlFFByAy(b)(c)73 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组第第3 3章平面力系章平面力系 3.4

59、3.4 物体系统的平衡物体系统的平衡BxFByF【解解】Ahl/2l/2BqCAAxFAyFqCCxFCyFAxFAyF（2）画）画AC的受力图的受力图(c)。)(83, 0422, 02hqlFllqlFhFMAxAyAxC(c)(b)74 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组第第3 3章平面力系章平面力系 3.4 3.4 物体系统的平衡物体系统的平衡BxFByF【解解】Ahl/2l/2BqCAAxFAyFqCCxFCyFAxFAyF（3）以整体为研究对象，）以整体为研究对象，00BxAxiFFX，(b)(c)(832hqlFBx75 水 利 土 木 工 程 学 院 工

60、 程 力 学 课 程 组第第3 3章平面力系章平面力系 3.4 3.4 物体系统的平衡物体系统的平衡A3mB10kN/mCAxFAyF(a)20kN3m3m3m10kN/m3mEDBxFByFDF(b)CxFCyFDDFC10kN/m思考题一思考题一76 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组求求A、B、D处的反力。处的反力。 例例3-16第第3 3章平面力系章平面力系 3.4 3.4 物体系统的平衡物体系统的平衡AB10kN/mD10kN2m1mC2m2m1m20kNm【解】FAFBFDFA=-15kNFB =55kNFD =10kND20kNm10kN/mDFCxFCy