自动控制理论翁思义第三章线性系统的时域分析法

1、第三章第三章 线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法 u 高阶系统的时域分析高阶系统的时域分析u 典型输入信号和时域性能指标典型输入信号和时域性能指标u 一阶系统的时域分析一阶系统的时域分析u 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析u 线性系统的稳态误差分析及误差系数线性系统的稳态误差分析及误差系数引引 言言什么是时域分析? 是根据系统的数学模型，直接解出控制系统被控量的时间响应。然后根据响应的数学表达式及其描述的时间响应曲线，分析系统的稳定性、瞬态和稳态性能。 由于时域分析是直接在时间域中对系统进行分析的方法，所以时域分析具有直观和准确的优点。 系统输出量的时域表示可由微分方程得到，也可由传

2、递函数得到。 在初值为零时，一般都利用传递函数进行研究，用传递函数间接的评价系统的性能指标。具体是根据闭环系统传递函数的极点和零点来分析系统的性能。此时也称为复频域分析。第一节 典型输入信号和时域性能指标典型输入信号和时域性能指标一、 典型输入信号 通常是用控制系统的响应来分析系统的性能。控制系统的响应是由系统本身的结构参数、初始状态和输入信号的形式所决定的。对初始状态可以作统一的规定，如规定为零初始状态。 如再将输入信号规定为统一的典型形式，则系统的响应将由系统本身的结构、参数来确定，因而更便于对各种系统进行比较和研究。用于时域分析的典型输入信号有阶跃函数、斜坡函数和抛物线函数等。正弦输入信

3、号常用于在频域上分析线性定常系统的性能。 （1）阶跃函数阶跃函数的定义为 000)(0ttxtxx0=1时称为单位阶跃函数 记作x(t)=1(t)单位阶跃函数的拉氏变换为sLtLsR1 1 )( 1 )(tx(t)x00（2）斜坡函数斜坡函数的定义为000)(ttvttx它等于阶跃函数对时间的积分，斜坡函数对时间的导数就是阶跃函数。 单位斜坡函数的拉氏变换为21)( 1)(stLttLsRtx(t)0斜率=v（3）抛物线函数抛物线函数的定义为00210)(2tRtttx它等于速度函数对时间的积分，抛物线函数对时间的导数就是斜坡函数。 单位抛物线函数的拉氏变换为32212/)( 12)(stLt

4、tLsRtx(t)0（4）脉冲函数脉冲函数的定义为ttRttx000,0)(单位脉冲函数单位脉冲函数的拉氏变换为1)(sR当当R R=1， 0时，称为单位脉冲函数时，称为单位脉冲函数 （t t）1)( dtttx(t)0R（5）正弦函数正弦函数的定义为)sin()(tAtx正弦函数正弦函数sint的拉氏变换为为初相位为初相位A为正弦函数的振幅；2f为角频率为角频率X(t)0 t2A正弦函数在频域分析法中作典型输入信号22sin)(stLsR二、时域性能指标 在典型输入信号作用下， 任何一个控制系统的时间响应都可看成由动态过程和稳态过程两部分组成。 动态过程动态过程又称为过渡过程或瞬态过程，是指

5、系统在典型输入信号作用下，输出量从初始状态到最终状态的响应过程。 稳态过程 稳态过程是指系统在典型输入信号作用下，当时间t趋于无穷时， 输出量的表现形式。稳态过程又称稳态响应，表征系统输出量最终复现输入量的程度， 提供系统有关稳态误差的信息。稳态过程用稳态性能描述。 1.动态性能指标(1)最大超调量(简称超调量) ：瞬态过程中输出响应的最大值超过稳态值的百分数。(2) 上升时间 ：rt输出响应第一次达到稳态值y()所需的时间。或指由稳态值的10%上升到稳态值的90%所需的时间。%100)()()(%)yytypp式中： 输出响应的最大值； )(pty)(lim)(tyyt稳态值；)(y)(pt

6、y%02. 0%05. 0或ptstrtp1.动态性能指标输出响应超过稳态值达到第一个峰值ymax所需要的时间。(3) 峰值时间 ：pt(4)调节时间或过渡过程时间：st当 和 之间的误差达到规定的范围之内一般取 的5%或2%，称允许误差范围，用D表示且以后不再超出此范围的最小时间。即当 ，有：)(ty)(y)(ystt )52(%)(|)()(|或DDyyty)(y)(pty%02. 0%05. 0或ptstrt2.稳态性能稳态误差是描述系统稳态性能的一种性能指标，通常在阶跃函数、斜坡函数或加速度函数作用下测定或计算。稳态误差ess 指系统输出实际值与希望的给定值之差。在上述几项指标中，峰值

7、时间tp、上升时间tr均表征系统响应初始阶段的快慢；调节时间ts表征系统过渡过程（暂态过程）的持续时间，从总体上反映了系统的快速性；而超调量p%标志暂态过程的稳定性；稳态误差反映系统复现输入信号的最终精度。 第二节第二节 一阶系统的时域分析一阶系统的时域分析 控制系统的运动方程为一阶微分方程，称为一阶系统。控制系统的运动方程为一阶微分方程，称为一阶系统。)()()(txtydttdyT典型的一阶系统的结构图如图所示Ts1X(s)E(s)Y(s)-开环传递函数为开环传递函数为sKTssG1)(0 11)(TsKsKsG闭环传递函数为闭环传递函数为式中， ，称为时间常数。KT1ssXttx1)()

8、,( 1)(,111)(sTssYTteTssLsTsLty1111111)(110t这是一条指数曲线， 处斜率最大，其值为1/T，若系统保持此变化速度，在 t=T 时，输出将达到稳态值。而实际系统只能达到稳态值的0.632, 经过3T或4T的时间系统输出响应分加别达到稳态值的0.95或0.98。T2T3Ty(t)014T63.2%T86.5%95%98.2%t一阶系统响应的特点：（1 1）t=Tt=T时，输出达到稳态值的时，输出达到稳态值的0.6320.632 t= 0时， 输出为0 t=T时，输出达到稳态值的0.632 t=3T时，输出达到稳态值的0.95 t=4T时，输出达到稳态值的0.

9、98 t=时，输出达到稳态值1（2 2）t t0 0时，响应曲线的切线斜率为时，响应曲线的切线斜率为1/T, 1/T, 切线与稳态值的交切线与稳态值的交 点处的点处的t=Tt=T。t t增加增加,c(t),c(t)斜率下降。斜率下降。632. 01)(1eTy98. 01)4(4eTy95. 01)3(3eTy01)0(0ey11)(ey（3）过渡过程时间 ts=3T（95）， ts=4T（98）（4）对于一阶系统的单位阶跃响应，0)()(lim)(limtxtyteettss说明一阶系统跟踪阶跃输入信号时，无稳态误差。 21)()( 1)(ssXtttx) 1(1)()()(2TsssXsG

10、sYTtTeTtsYLty/1)()(当输入信号为单位斜坡信号时，当输入信号为单位斜坡信号时，可以画出一阶系统的单位斜坡响应如图所示。对于一阶系统的可以画出一阶系统的单位斜坡响应如图所示。对于一阶系统的单位斜坡响应，说明一阶系统跟踪单位斜坡输入信号时，稳态单位斜坡响应，说明一阶系统跟踪单位斜坡输入信号时，稳态误差为误差为T。Ttxtyteettss)()(lim)(limt-Tty(t)0T 1)()()(sXttxTsTTssXsGsY/1/111)()()(TteTsYLty/11)()(T2T3Ty(t)01/T4T0.368/T0.135/T0.05/T0.018/T当输入信号为单位脉

11、冲信号时，可以画出一阶系统的单位脉冲响应如图所示。第三节第三节 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析 用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。从物理上讲，二阶系统总包含两个储能元件，能量在两个元件之间交换，从而引起系统具有往复的振荡趋势。当阻尼不够充分大时，系统呈现出振荡的特性， 这样的二阶系统也称为二阶振荡环节。 下图所示为标准形式的二阶系统的典型结构图。开环传递函数为:sssGnn2)(220闭环传递函数为:2222)()()(nnnsssRsYsG)2(2nnss)(sR)(sY- 称为典型二阶系统的传递函数， 称为阻尼系数， 称为无阻尼自然振荡频率。)(sGn一、二阶系统的单位阶跃响应一

12、、二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的特征方程为的取值不同,特征根不同。 1s21,2 nn 02s 22nns一、二阶系统的单位阶跃响应一、二阶系统的单位阶跃响应s1s221nn位于平面的左半部（1） （欠阻尼）有一对共轭复根10 s1s2（2） （临界阻尼）， ，两相等实根 s 1 1,2n21,21nnSj 一、二阶系统的单位阶跃响应一、二阶系统的单位阶跃响应s1s2s2s1（3） （过阻尼）， ，两不等实根（4） （无阻尼）， ，一对纯虚根（5） ， 位于右半平面1s 1 21,2nnnj1,2s 0 1s 01- 21,2nnjs2s1 上述四种情况分别称为二阶无阻尼、欠阻尼、临界阻尼和

13、过阻尼系统。其阻尼系数、特征根、极点分布和单位阶跃响应如下表所示：单位阶跃响应极点位置特征根阻尼系数单调上升两个互异负实根单调上升一对负实重根 衰减振荡一对共轭复根(左半平面） 等幅周期振荡一对共轭虚根 无阻尼, 0njs2, 1欠阻尼, 1o22, 11nnjs临界阻尼，1)(2, 1重根ns过阻尼，1122, 1nns一、二阶系统的单位阶跃响应一、二阶系统的单位阶跃响应一、二阶系统的单位阶跃响应一、二阶系统的单位阶跃响应可以看出：随着 的增加，c(t)将从无衰减的周期运动变为有衰减的正弦运动，当 时c(t)呈现单调上升运动(无振荡)。可见 反映实际系统的阻尼情况，故称为阻尼系数。1一、二阶

14、系统的单位阶跃响应一、二阶系统的单位阶跃响应 在单位阶跃函数作用下，二阶系统输出的拉氏变换为 求Y(s)的拉氏变换，可得典型二阶系统单位阶跃响应。由于特征根s1,2与系统阻尼比有关。当阻尼比为不同值时，单位阶跃响应有不同的形式，下面分几种情况来分析二阶系统的暂态特性。222s2s.s1 (s)R(s)(nnnGsY2n1,21sjn2222222)()(11s2s (s)dnndnnnnnsssssY1)欠阻尼情况（01）由于0 1 时，称为过阻尼。此时，二阶系统的极点是两个负实根，其传递函数可表示为)1)(1()()()(222nnnnnsssRsYsG当r(t)=1(t)时， 有0)1(1

15、21)1(1211)()1(22)1(2222teetyttnn二、欠阻尼二阶系统动态响应的性能指标的计算二、欠阻尼二阶系统动态响应的性能指标的计算21 -1tg 其中 上升时间 ：根据定义，当 时， ，可计算得rtt rt1)(rty21nrt二、欠阻尼二阶系统动态响应的性能指标的计算二、欠阻尼二阶系统动态响应的性能指标的计算 峰值时间：pt21ndpt按峰值时间定义，它对应最大超调量，即y(t)第一次出现峰值所对应的时间tp,所以应取上式说明，峰值时间恰好等于阻尼振荡周期的一半，当一定时极点距实轴越远，tp越小。二、欠阻尼二阶系统动态响应的性能指标的计算二、欠阻尼二阶系统动态响应的性能指标

16、的计算 最大超调量 ：%100%21emax)()(ytytyp得将峰值时间 代入21npt00.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.910102030405060708090100时当时当52,3,4nnst 调节时间 ：st由分析知，在 之间，调节时间和超调量都较小。工程上常取 作为设计依据，称为最佳阻尼常数。 8 . 04 . 0707. 021二、欠阻尼二阶系统动态响应的性能指标的计算二、欠阻尼二阶系统动态响应的性能指标的计算第四节第四节 高阶系统的时域分析高阶系统的时域分析设高阶系统的传递函数可表示为：)(. )(111111mnasasasbsbsbss

17、Gnnnnmmmm一、高阶系统的单位阶跃响应设闭环传递函数的零点为-z1,-z2,-zm，极点为-p1,-p2, -pn，则闭环传递函数可表示为：)().()().()( )(2121mnpspspszszszsKsGnm第四节第四节 高阶系统的时域分析高阶系统的时域分析当输入信号为单位阶跃信号时，输出信号为：ssspszsKsYrknknkkqjjmii1)2()()( )(12211式中n=q+2r，而q为闭环实极点的个数，r为闭环共轭复数极点的对数。用部分分式展开得r1k222q1jj21)(pss Y(s)nknkkknkknkkKjsscsbaa对上式取反拉氏变换得： )0(1sin

18、1cosa y(t)12r1k2q1jttectebearkknktKknktKtpjnkknkkj由上式分析可知，高阶系统的暂态响应是一阶惯性环节和二阶振荡响应分量的合成。系统的响应不仅和 、nk有关，还和闭环零点及系数aj、bk、ck的大小有关。 kk第四节第四节 高阶系统的时域分析高阶系统的时域分析第四节第四节 高阶系统的时域分析高阶系统的时域分析二、高阶系统闭环主导极点及其动态性能分析从分析高阶系统单位阶跃响应表达式可以得到如下结论： k（1） 高阶系统暂态响应各分量衰减的快慢由 和 、nk 决定，即由闭环极点在s平面左半边离虚轴的距离决定。闭环极点离虚轴越远，相应的指数分量衰减的越快

19、，对系统暂态分量的影响越小；反之，闭环极点离虚轴越近，相应的指数分量衰减的越慢，系统暂态分量的影响越大。jp （2）高阶系统暂态响应各分量的系数不仅和极点在s平面的位置有关，还与零点的位置有关。如果某一极点 靠近一个闭环零点，又远离原点及其他极点，则相应项的系数阿 aj比较小，该暂态分量的影响也就越小。如果极点和零点靠得很近，则该零极点对暂态响应几乎没有影响。jp主导极点主导极点： 在所有的闭环极点中，那些离虚轴最近、且附近又没有其它零、极点，对系统动态性能影响起主导的决定性作用的闭环极点，称之为主导极点主导极点。主导极点法主导极点法： 利用主导极点代替系统全部闭环极点来估算系统性能的方法，称

20、为主导极点法主导极点法。 偶极子偶极子： 当一对闭环零、极点重合或它们之间的距 离比较小（它们之间的距离比其本身的模值小一个数量级以上）时便构成偶极子。三、利用主导极点法分析系统性能指标利用主导极点法可以将高阶系统化成低阶（一阶或二阶系统来近似地对高阶系统进行等效分析。第四节第四节 高阶系统的时域分析高阶系统的时域分析第五节第五节 系统的稳态误差分析及误差系数系统的稳态误差分析及误差系数 为了分析方便，把系统的稳态误差按输入信号形式不同分为扰动作用下的扰动稳态误差和给定作用下的给定值稳态误差。 对于恒值系统，由于给定量是不变的，常用扰动作用下的稳态误差来衡量系统的稳态品质； 而对随动系统，给定

21、量是变化的，要求输出量以一定的精度跟随给定量的变化，因此给定稳态误差成为恒量随动系统稳态品质的指标。 第五节第五节 系统的稳态误差分析及误差系数系统的稳态误差分析及误差系数一、稳态误差的定义设给定信号为r(t)，主反馈信号为b(t)，一般定义其差值e(t)为误差信号,即 e(t)= r(t)-b(t) 当时间t时，此值就是稳态误差，用ess表示，即 )()(limtbtretss sR sY sH sG2 sG1 sN sE sB控制系统结构图控制系统结构图 )()()()()()(sYsHsRsBsRsE)()()(11sRsHsG)()(1)()()(limlimlim00sHsGssRs

22、sEteesstss第五节第五节 系统的稳态误差分析及误差系数系统的稳态误差分析及误差系数式中称为扰动输入作用下系统的误差传递函数。此时，系统的稳态误差为)()()(1)()()(212sHsGsGsHsGsen)()()()(1)()()(21200limlimsNsHsGsGsHssGteessss)()()()()()(1)()()(212sNssNsHsGsGsHsGsEen可以比照着给定输入情况的讨论对扰动输入进行同样的讨论。扰动单独作用时第五节第五节 系统的稳态误差分析及误差系数系统的稳态误差分析及误差系数给定输入和扰动共同作用时 212( )( )( )11( )( )( )er

23、R sGs H s N sE ss R ss N sG s H sG s Gs H s ssssrssneee 在给定输入作用下，系统的稳态误差与系统的结构、参数和输入信号的形式有关，对于一个给定的系统，当给定输入的形式确定后，系统的稳态误差将取决于开环传递函数描述的系统结构。 分析稳态误差与系统结构的关系，关键是根据开环传递函数G(s)H(s)中串联的积分环节个数所规定的控制系统类型。设系统的开环传递函数一般形式为 niimjjsSsKsHsG11)1()1()()(式中K为系统的开环增益，为开环传递函数中积分环节的个数。系统按的不同取值可以分为不同类型。=0，1，2时，系统分别称为0型，型

24、和型系统。2的系统很少见，实际上很难使之稳定，所以这种系统在控制工程中一般不会碰到。二、系统的分类第五节第五节 系统的稳态误差分析及误差系数系统的稳态误差分析及误差系数第五节第五节 系统的稳态误差分析及误差系数系统的稳态误差分析及误差系数三、给定作用下的稳态误差 1、 单位阶跃输入时的稳态误差 对于单位阶跃输入，R(s)=1/s, 求得系统的稳态误差为)()(111)()(1limlim00sHsGssHsGsessss基本公式 )()(lim0sHsGKsppssKe11KssKKniimjjsp110) 1() 1(lim1111sspeKK为稳态位置误差系数对于0型系统0基本公式 第五节

25、第五节 系统的稳态误差分析及误差系数系统的稳态误差分析及误差系数对于1型系统（或高于1型的系统），1niimjjspsssKK110)1()1(lim011pssKe可见，由于0型系统中没有积分环节，它对阶跃输入的稳态误差为一定值，误差的大小与系统的开环放大系数K成反比，K越大，误差越小，只要K不是无穷大，系统总有误差存在。对实际系统来说，通常是允许存在稳态误差的，但不允许超过规定的指标。为了降低稳态误差，可在稳定条件允许的前提下，增大系统的开环放大系数，若要求系统对阶跃输入的稳态误差为零，则必须选用1型或高于1型的系统。第五节第五节 系统的稳态误差分析及误差系数系统的稳态误差分析及误差系数2单位斜坡函数输入 当R(s)=1/s2时，系统稳态误差为)()(11)()(1limlim020sHssGssHsGsessss)()(lim0sHssGKsv稳态速度误差系数vssKe1基本公式 对0型系统 =0，Kv=0，ess=0)1()1(110limniimjjsvssKsK第五节第五节 系统的稳态误差分析及误差系数系统的稳态误差分析及误差系数对型系统 =1，Kv=K，ess=1/ KKsssKsKniimjjsv1110)1()1(lim对型或高于型系统 =2，3，Kv=，ess=0 niimjjsvsssKsK)1()1(10lim由此可见，对于单位斜坡输入