椭圆第一课时

1、圆锥曲线圆锥曲线圆锥曲线是什么？圆锥曲线是什么？为什么学圆锥曲线？为什么学圆锥曲线？圆锥曲线有什么特征？圆锥曲线有什么特征？怎样学习圆锥曲线？怎样学习圆锥曲线？底面底面为圆为圆正圆锥正圆锥面面截面截面截痕截痕为椭圆为椭圆截面截面与圆锥与圆锥面的高不垂面的高不垂直直時截痕可能時截痕可能为为一一个椭圆个椭圆正圆锥正圆锥高高V(顶点顶点)H圆锥曲线是什么？圆锥曲线是什么？底面底面圆圆正圆锥正圆锥面面截痕截痕为双曲线为双曲线截面截面截痕截痕为双曲线为双曲线截面截面与圆锥与圆锥的的高平行高平行時其時其截面为双曲线截面为双曲线圆锥曲线是什么？圆锥曲线是什么？VH底底为圆为圆正圆锥正圆锥面面截面截面圆锥圆锥

2、高高VH截痕截痕为抛物线为抛物线截面截面与圆锥与圆锥的母的母线线平行時其平行時其截面为抛物线截面为抛物线圆锥母线圆锥母线圆锥曲线是什么？圆锥曲线是什么？公元前公元前4 4世纪古希腊数学家梅内克世纪古希腊数学家梅内克缪斯在缪斯在在研究在研究“立方倍积立方倍积”问题问题 ，用平面截不同的圆锥，发现了圆用平面截不同的圆锥，发现了圆锥曲线锥曲线 . .圆锥曲线的发展史：圆锥曲线的发展史：1最初发现最初发现梅内克缪斯（公元前梅内克缪斯（公元前375-375-公元前公元前325325，古希，古希腊数学家）腊数学家）当时，希腊人对平面曲线还缺乏认识，当时，希腊人对平面曲线还缺乏认识，上述三种曲线须以上述三种

3、曲线须以“圆锥曲面为媒介得圆锥曲面为媒介得到，这就是圆锥曲线的到，这就是圆锥曲线的“雏形雏形”. .2奠基工作奠基工作阿波罗尼的著作阿波罗尼的著作圆锥曲线论圆锥曲线论与欧几里得的与欧几里得的几何原本几何原本同被同被誉为古希腊几何登峰造极之作誉为古希腊几何登峰造极之作 ，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地几乎使后人没有插足的余地. 总而言之，在古希腊对圆锥曲线的总而言之，在古希腊对圆锥曲线的研究就有一个十分清楚的轮廓，只是由研究就有一个十分清楚的轮廓，只是由于没有坐标系统，所以在表达形式上存于没有坐标系统，所以在表达形式上存在着不容忽视的缺陷在着不容

4、忽视的缺陷.圆锥曲线的发展史：圆锥曲线的发展史：阿波罗尼阿波罗尼（约公元前262190年，古希腊数学家，与欧几里得、阿基米德齐名.）3长期停滞长期停滞 在这之后的在这之后的 13 13 个世纪里，整个数学界对圆锥个世纪里，整个数学界对圆锥曲线的研究几乎没有什么进展曲线的研究几乎没有什么进展. .圆锥曲线的发展史：圆锥曲线的发展史： 又经过了又经过了500500年，到了年，到了3 3世纪，希腊数学家帕普世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作斯在他的著作汇篇汇篇中，才完善了关于圆锥曲线中，才完善了关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定理进行了证明。这时，圆的统一定义，并对这一定理进行了证明。这时，圆锥曲线的

5、定义和性质才比较完整地建立起来了锥曲线的定义和性质才比较完整地建立起来了. . 4有所突破有所突破开普勒开普勒 (1571-1630,德国天文德国天文学家、数学家学家、数学家 ) 德国数学家开普勒继承了哥白尼德国数学家开普勒继承了哥白尼的日心说，揭示出行星按椭圆轨道绕的日心说，揭示出行星按椭圆轨道绕太阳运行，是圆锥曲线摆脱圆锥而成太阳运行，是圆锥曲线摆脱圆锥而成为自然界中物体运动的普遍形式为自然界中物体运动的普遍形式. . 圆锥曲线的发展史：圆锥曲线的发展史：4有所突破有所突破伽利略（伽利略（1564-1642,1564-1642,意大利数学家、物理意大利数学家、物理学家、天文学家）学家、天文

6、学家） 伽利略得出斜抛运动的轨道是抛物线，伽利略得出斜抛运动的轨道是抛物线，突破了静态圆锥曲线的观念突破了静态圆锥曲线的观念.人们开始感到古人们开始感到古希腊人的证明方法太缺乏一般性，几乎每个希腊人的证明方法太缺乏一般性，几乎每个定理都是要想出一个特殊的证明方法定理都是要想出一个特殊的证明方法.于是，于是，对圆锥曲线的处理方法开始有了变化对圆锥曲线的处理方法开始有了变化. 圆锥曲线的发展史：圆锥曲线的发展史：5别开生面别开生面 笛卡尔（笛卡尔（1596-16501596-1650，法国数学家、物理学家，法国数学家、物理学家，解析几何创始人解析几何创始人 解析几何的创立，使人们解析几何的创立，使

7、人们对圆锥曲线的研究方法不同于对圆锥曲线的研究方法不同于以前，而是朝着解析方法的方以前，而是朝着解析方法的方向发展向发展.即建立坐标系，得出即建立坐标系，得出圆锥曲线的方程，再利用方程圆锥曲线的方程，再利用方程研究圆锥曲线的性质，以摆脱研究圆锥曲线的性质，以摆脱几何直观而达到抽象化的目标，几何直观而达到抽象化的目标，也可以求得对圆锥曲线研究的也可以求得对圆锥曲线研究的高度概括与统一高度概括与统一.在这方面，在这方面，笛卡儿等解析几何的鼻祖作出笛卡儿等解析几何的鼻祖作出了巨大的贡献了巨大的贡献.圆锥曲线的发展史：圆锥曲线的发展史：5别开生面别开生面 圆锥曲线的发展史：圆锥曲线的发展史：P一组有序

8、实数对一组有序实数对P(x,y)点点P(x,y)满足代满足代数关系数关系几何图形的几何图形的性质并应用性质并应用解析几何6系统总结系统总结 牛顿（牛顿（1643-17271643-1727，英国物理学家，数英国物理学家，数学家）学家）伯努利（伯努利（1623-1623-17081708，瑞士数学，瑞士数学家）家） 18 18世纪，牛顿、伯努力和等先后提出不同的坐标系，世纪，牛顿、伯努力和等先后提出不同的坐标系，尤其影响深刻的是极坐标系，随着坐标系的系统化，关尤其影响深刻的是极坐标系，随着坐标系的系统化，关于圆锥曲线性质研究逐渐系统化起来于圆锥曲线性质研究逐渐系统化起来. .圆锥曲线的发展史：圆

9、锥曲线的发展史：6系统总结系统总结 欧拉（欧拉（1707-17831707-1783，瑞士，瑞士数学家、自然科学家）数学家、自然科学家）欧拉欧拉17451745年发表的年发表的分析引分析引论论，被誉为解析几何发展，被誉为解析几何发展史上的重要著作，系统地研史上的重要著作，系统地研究了圆锥曲线的各种情形，究了圆锥曲线的各种情形，并证明通过坐标变换，一定并证明通过坐标变换，一定可以把任何圆锥曲线化为某可以把任何圆锥曲线化为某种标准形式种标准形式. . 圆锥曲线的发展史：圆锥曲线的发展史：欧拉之后，三维解析几何的欧拉之后，三维解析几何的研究蓬勃开展，由圆锥曲线研究蓬勃开展，由圆锥曲线导出了圆锥曲面导

10、出了圆锥曲面.至此，关于至此，关于圆锥曲线的理论被广泛应用，圆锥曲线的理论被广泛应用，直至今天直至今天.圆锥曲线的应用圆锥曲线的应用?“嫦娥一号嫦娥一号”探月变轨轨道图探月变轨轨道图圆锥曲线的应用：圆锥曲线的应用：火电厂及核电站的冷却塔火电厂及核电站的冷却塔冷却塔的轴截面是冷却塔的轴截面是双曲线双曲线，从底部到中部直径变小，是将，从底部到中部直径变小，是将蒸汽抽到塔内，防止底部逸出，而上部直径变大，可以降蒸汽抽到塔内，防止底部逸出，而上部直径变大，可以降低上升到顶部热气的流动速度，从而降低抽力，使蒸汽尽低上升到顶部热气的流动速度，从而降低抽力，使蒸汽尽可能的留在塔内，提高冷却回收率可能的留在塔

11、内，提高冷却回收率.圆锥曲线的应用：圆锥曲线的应用：圆锥曲线的应用：圆锥曲线的应用：圆锥曲线的应用：圆锥曲线的应用：“杰尼西亚的耳朵杰尼西亚的耳朵”圆锥曲线的应用：圆锥曲线的应用：“杰尼西亚的耳朵杰尼西亚的耳朵” ：据说，很：据说，很久以前，意大利西西里岛有一个久以前，意大利西西里岛有一个山洞，叙拉古的暴君杰尼西亚把山洞，叙拉古的暴君杰尼西亚把一些囚犯关在这个山洞里囚犯一些囚犯关在这个山洞里囚犯们多次密谋逃跑，但每次计划都们多次密谋逃跑，但每次计划都被杰尼西亚发现起初囚犯们认被杰尼西亚发现起初囚犯们认为出了内奸，但始终未发现告密为出了内奸，但始终未发现告密者后来他们察觉到囚禁他们的者后来他们察

12、觉到囚禁他们的山洞形状古怪，洞壁把囚犯们的山洞形状古怪，洞壁把囚犯们的话都反射到狱卒耳朵里去了，于话都反射到狱卒耳朵里去了，于是囚犯们诅咒这个山洞为是囚犯们诅咒这个山洞为“杰尼杰尼西亚的耳朵西亚的耳朵”椭圆光学性质生活生产中处处存在应用着椭圆生活生产中处处存在应用着椭圆,我们如何用自己的双手画出椭圆呢我们如何用自己的双手画出椭圆呢?请大家动手画椭圆请大家动手画椭圆画椭圆的步骤画椭圆的步骤从数学角度探究椭圆的步骤从数学角度探究椭圆的步骤如何定义椭圆如何定义椭圆?如何定义椭圆如何定义椭圆?从数学角度探究椭圆的步骤从数学角度探究椭圆的步骤如何定义椭圆如何定义椭圆?从数学角度探究椭圆的步骤从数学角度探

13、究椭圆的步骤如何定义椭圆如何定义椭圆?从数学角度探究椭圆的步骤从数学角度探究椭圆的步骤如何定义椭圆如何定义椭圆?圆的定义圆的定义: 平面上到定点的距离等于定长平面上到定点的距离等于定长 的的点的集合叫圆点的集合叫圆.椭圆的定义椭圆的定义:如何定义椭圆如何定义椭圆?圆的定义圆的定义: 平面上到定点的距离等于定长平面上到定点的距离等于定长 的的点的集合叫圆点的集合叫圆.椭圆的定义椭圆的定义: 平面上到两个定点平面上到两个定点F1, F2的的距离之和为固定值距离之和为固定值(大于大于| F1F2 |)的点的的点的轨迹叫作椭圆轨迹叫作椭圆.椭圆定义的文字表述椭圆定义的文字表述：椭圆定义的符号表述：椭圆

14、定义的符号表述：F1F2PcaPFPF2221回忆圆标回忆圆标准方程推准方程推导步骤导步骤怎么推导椭圆的标准方程呢？怎么推导椭圆的标准方程呢？ 求动点轨迹方程的一般步骤：求动点轨迹方程的一般步骤：1.建立适当的坐标系，用有序实数对建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y）表示曲线上任意一点）表示曲线上任意一点M的坐标的坐标;2.写出适合条件写出适合条件 P（M） ;3.用坐标表示条件用坐标表示条件P（M），列出方程），列出方程 ; 4.化方程为最简形式。化方程为最简形式。 探讨建立平面直角坐标系的方案探讨建立平面直角坐标系的方案OxyOxyOxyPF1F2方案一方案一F1F2方案二方案二OxyP

15、Oxy原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；( (一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴为坐标轴.).)(对称、对称、“简洁简洁”)xF1F2( (x , y) )0y设设P (x, y)是椭圆上任意一点，是椭圆上任意一点，椭圆的椭圆的焦距焦距|F1F2|=2c(c0)，则则F1、F2的坐标分别是的坐标分别是( c,0)、(c,0) . P与与F1和和F2的距离的和为的距离的和为固定值固定值2a(2a2c) （问题：下面怎样（问题：下面怎样化简化简？）？）aPFPF2|21222221)

16、(| ,)(|ycxPFycxPFaycxycx2)()(2222由椭圆的定义得，限制条件：由椭圆的定义得，限制条件：由于由于得方程得方程1)()()(22222222222caayacaaxca对称美对称美整理得整理得2222222)()(44)(ycxycxaaycx 222)(ycxacxa 2222222222422yacacxaxaxccxaa 两边再平方，得两边再平方，得)()(22222222caayaxca移项，再平方移项，再平方122222cayax由椭圆定义可知由椭圆定义可知,0,2222cacaca所以即),0(222bbca设).0(12222babyax椭圆的标准方程

17、椭圆的标准方程OXYF1F2P(-c,0)(c,0)Y)0(12222babyax焦点在焦点在x轴的椭圆的标准方程的特点：轴的椭圆的标准方程的特点：（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1（2）椭圆的标准方程中三个参数）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足满足a2=b2+c2。（3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。的值。（4）椭圆的标准方程中，）椭圆的标准方程中，x2与与y2的分母哪一个大，则焦点在的分母哪一个大，则焦点在 哪一个轴上。哪一个轴上。OXYF1F2P(-c,0

18、)(c,0)Y)0(12222babyax焦点在焦点在y轴的椭圆的标准方程的特点：轴的椭圆的标准方程的特点：（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1（2）椭圆的标准方程中三个参数）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足满足a2=b2+c2。（3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。的值。（4）椭圆的标准方程中，）椭圆的标准方程中，x2与与y2的分母哪一个大，则焦点在的分母哪一个大，则焦点在 哪一个轴上。哪一个轴上。YOXF1F2P(0,-c)(0 , c)OXYF1F2M(-c,

19、0)(c,0)YOXF1F2M(0,-c)(0 , c)0(12222babyax)0(12222babxay 椭圆的标准方程的特点：椭圆的标准方程的特点：（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1（2）椭圆的标准方程中三个参数）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足满足a2=b2+c2。（3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。的值。（4）椭圆的标准方程中，）椭圆的标准方程中，x2与与y2的分母哪一个大，则焦点在的分母哪一个大，则焦点在 哪一个轴上。哪一个轴上。2222+=1 0

20、 xyabab2222+=1 0 xyabba分母哪个大，焦点就在哪个轴上分母哪个大，焦点就在哪个轴上222=+abc12- , 0 , 0，FcFc120,-0,，FcFc标准方程标准方程不不 同同 点点相相 同同 点点图图 形形焦点坐标焦点坐标定定 义义a、b、c 的关系的关系焦点位置的判断焦点位置的判断 再认识！再认识！xyF1 1F2 2POxyF1 1F2 2PO最大acaba, 0, 0,例例1.根据下列条件，求根据下列条件，求(1) a、b、c;(2)焦点坐标；焦点坐标；(3)焦距；焦距；(4)以及椭圆上每一点到两焦点距离的和。以及椭圆上每一点到两焦点距离的和。135) 1 (2

21、222yx164)2(2222yx1916)3(22yx12316)4(22yx例例1.根据下列条件，求根据下列条件，求(1) a、b、c;(2)焦点坐标；焦点坐标；(3)焦距；焦距；(4)以及椭圆上每一以及椭圆上每一点到两焦点距离的和。点到两焦点距离的和。135) 1 (2222yx10282)04()04- (4,16,3, 53,52222222222acxccaccbababa两焦点距离和点到由椭圆定义得椭圆上每焦距，、，焦点坐标轴，焦点在解：由题意得例例1.根据下列条件，求根据下列条件，求(1) a、b、c;(2)焦点坐标；焦点坐标；(3)焦距；焦距；(4)以及椭圆上每一以及椭圆上每

22、一点到两焦点距离的和。点到两焦点距离的和。122542)52 , 0()52- , 0(52,20,4, 64,62222222222acyccaccbababa两焦点距离和点到由椭圆定义得椭圆上每焦距、焦点坐标轴，焦点在解：由题意得164)2(2222yx例例1.根据下列条件，求根据下列条件，求(1) a、b、c;(2)焦点坐标；焦点坐标；(3)焦距；焦距；(4)以及椭圆上每一以及椭圆上每一点到两焦点距离的和。点到两焦点距离的和。82722)07()07- (7, 7,3, 49,1622222222acxccaccbababa两焦点距离和点到由椭圆定义得椭圆上每焦距，、，焦点坐标轴，焦点在解：由题意得1916)3(22yx例例1.根据下列条件，求根据下列条件，求(1) a